Maximos y minimos

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Conferencia de aplicaciones de la derivada

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Maximos y minimos

  1. 1. CALCULO I (MAT-101) Docente: Ing. Isaac Checa A.
  2. 2. Teorema de Rolle Teorema del Valor Medio Funciones Crecientes y Decrecientes Valor Crítico Extremos Relativos, Criterio de la Primera Derivada Criterio de la segunda derivada, Concavidad Puntos de Inflexión Problemas Resueltos Práctica Nº 4 (Primera Parte) Volver a la página principal
  3. 3. COMPETENCIAS ESPECÍFICAS • Establece, a partir de los diferentes teoremas, los valores máximos y mínimos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, las concavidades y los posibles puntos de inflexión de una función para aplicarlos en el trazado de su gráfica. • Analiza el comportamiento de las funciones por medio del cálculo diferencial y calcula sus extremos relativos los que tienen aplicación en problemas reales. • Desarrolla habilidades para interpretar el comportamiento de funciones de acuerdo a su análisis por medio de las derivadas.
  4. 4. CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Calcula la derivada de una función real sobre la base de la definición • Calcula las derivadas aplicando las distintas reglas de derivación • Interpreta funciones crecientes y decrecientes • Interpreta y grafica una función real aplicando derivadas • Calcula la derivada de una función de dos variables sobre la base de la definición • Aplica el concepto de derivada y sus diferentes teoremas para resolver problemas de máximos y mínimos. • Utiliza la regla de L` Hôpital para calcular límites con indeterminaciones específicas
  5. 5. Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) tal que f(a)=f(b). Entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que f’(c)=0 f ’(c)=0 f(a)=f(b) a c b Volver a índice aplicaciones de la derivada, gráficos
  6. 6. Sea una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b). Entonces existe un punto c (a,b) tal que: f(b) f ‘(c) f (b ) f (a ) f ' (c ) b a ß ß f(a) a c b Volver a índice aplicaciones de la derivada, gráficos
  7. 7. Una función es creciente en un intervalo dado si para dos números cualesquiera x1 y x2 se tiene que x1 < x2 f(x1) < f(x2) y es decreciente si x1 < x2 f(x1) > f(x2) constante f ‘(x)<0 f ‘(x)>0 a b c d
  8. 8. Si f ’(x)>0 f(x) es creciente en (a,b) Si f ’(x)<0 f(x) es decreciente en (c,d) Si f ’(x)=0 f(x) es constante (b,c) Valor crítico de una función es todo punto c de la misma para el cual f ’(c)=0 o bien f ’(c) no existe Volver a índice aplicaciones de la derivada, gráficos
  9. 9. Un máximo relativo de una función es todo punto c, f(c) de (a,b), para el cual se cumple que f(x) f(c) para todo x de (a,b). Un mínimo relativo de una función es todo punto c, f(c) de (a,b), para el cual se cumple que f(x) f(c) para todo x de (a,b). Una función tiene un Máx.r. mínimo o un máximo relativo en un punto c cuando c es un valor Mínimo r. crítico de f.
  10. 10. Signo de GRÁFICO Signo de c, f(c) f ‘ en (a,c) f ‘ en (c,b) a c b MÁXIMO + -
  11. 11. Signo de GRÁFICO Signo de c, f(c) f ‘ en (a,c) f ‘ en (c,b) a c b MÁXIMO + - MÍNIMO - +
  12. 12. Signo de GRÁFICO Signo de c, f(c) f ‘ en (a,c) f ‘ en (c,b) a c b MÁXIMO + - MÍNIMO - + NINGUNO + +
  13. 13. Signo de GRÁFICO Signo de c, f(c) f ‘ en (a,c) f ‘ en (c,b) a c b MÁXIMO + - MÍNIMO - + NINGUNO + + NINGUNO - -
  14. 14. Ejemplo. Hallar máximos, mínimos y graficar la siguiente función f(x) = x2 + 3x – 4 f ’(x) = 2x + 3 = 0 Valor Crítico x = -3/2 f ’(-2) = 2(-2) + 3 < 0 (-) f ’(0) = 2(0) + 3 > 0 (+) El signo de la derivada antes y después del valor crítico varía de (-) a (+) por tanto la función tiene un mínimo en x = -3/2 f(-3/2) = (-3/2)2 + 3 (-3/2) – 4 = 9/4 – 9/2 – 4 ; X Y y = -25/4 0 -4 1 0 -4 0 Volver a índice aplicaciones de la derivada, gráficos
  15. 15. y y Cóncava Cóncava hacia arriba hacia abajo x x y’ y’ f ”(c)<0 f ”(c)>0 x x a c b a c b
  16. 16. Sea f una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b). Entonces: Si f ’’(x)>0 para todo x en (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b). Si f ’’(x)<0 para todo x en (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b). Si además la función contiene un punto c tal que f’(c)=0, entonces: Si f ’’(c)>0, f(c) es un mínimo relativo. Si f ’’(c)<0, f(c) es un máximo relativo. Volver a índice aplicaciones de la derivada, gráficos
  17. 17. Si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en el que su concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo, o viceversa, este punto se denomina punto de inflexión. Si (c,f(c)) es un punto de inflexión, entonces o bien f’’(c)=0 o f’’(c) no existe.
  18. 18. y Cóncava Cóncava hacia arriba hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava Cóncava Cóncava hacia arriba hacia abajo hacia abajo x Volver a índice aplicaciones de la derivada, gráficos
  19. 19. Ejemplo. Determinar máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión y grafique f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x Solución f ’(x) = 6x2 + 6x –12 = 0 x2 + x –2 = (x-1) (x+2) = 0 x=1 ; x=-2 Valores críticos f ’’(x) = 12x + 6 f’’(1)>0 , la función tiene un mínimo en x = 1 ; y =-7 f’’(-2)<0, la función tiene un máximo en x=-2 ; y =20 Haciendo f’’(x) = 0 se tiene 12 x + 6 = 0 ; x = -1/2 por tanto, el punto x = -1/2 ; y = 6,5 es un punto de inflexión.
  20. 20. (-2,20) f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x (-1/2, 6,5) (1,-7)
  21. 21. Hallar máximos mínimos puntos de inflexión y graficar… 4 2 1 x 1 y x 2 y 2 x x 3 2 y' 2x 2x 2x 3 0 x 4 4 2x 2 0 x 1 1 4 y" 2 6x f "(1) 0 f "( 1) 0 Existen dos mínimos en: x=1 y=2 ; x=-1 y=2 La función es simétrica al eje y Tiene una asíntota vertical en x=0
  22. 22. 2 1 y x 2 x
  23. 23. Hallar los extremos relativos y graficar... f(x) = 2xe-x + 4 en [-1,1] Resp. Máx (1, (2/e) + 4). Mínimo (-1, -2e+4) f ‘(x) = 2e-x – 2xe-x = 2e-x(1 – x) = 0 valor crítico: x = 1 f’’(x) = - 2e-x - 2e-x + 2xe-x = 2e-x ( x – 2 ) f’’(1) = 2e-1(-1) = -2e-1 como es menor a cero la función tiene un máximo en x=1 , y=4,73
  24. 24. Máximo (1, (2/e) + 4)=(1, 4.73) Para el valor x=-1 f(-1) = -2e+4 que constituye un mínimo en el intervalo de análisis de [-1,1] Mínimo (-1, -2e+4)
  25. 25. Graficar x 2 x 2 f ( x) 2 x 4x 3 (x 1)( x 3) x=1 ; x=3 asíntotas verticales 2 (1)( x 4x 3) (x 2)(2 x 4) f '( x ) 2 2 (x 4x 3) 2 2 2 x 4x 3 2x 4x 4x 8 x 4x 5 2 2 2 2 (x 4x 3) (x 4x 3) 2 x 4x 5 2 2 0 No existen valores criticos (x 4x 3)
  26. 26. x 2 lim 0 y 0 Asíntota horizontal 2 x x 4x 3 2 2 (2 x 4)( x 4x 3) (x 4x 5)(2 x 4) f "( x ) 2 4 (x - 4·x + 3) 2 2(x-2)( x 4x 7) 2 3 0 (x - 4·x + 3) Por tanto x=2 ; y=0 es el punto de inflexión
  27. 27. x y 4 2/3 2,5 -2/3 2 0 0 -2/3 Volver a índice aplicaciones de la derivada, gráficos
  28. 28. Determinar los extremos relativos, puntos de inflexión y graficar. 1.- f(x) = x3 – 6x2 + 15 Resp. Max.Rel. (0, 15); Min.Rel.(4, -17) 2.- f(x) = x1/3 + 1 Resp. No tiene extremos. 3.- f(x) = (x2 – 2x + 1) / (x + 1) Resp.(-3, -8) Máximo Relativo (1, 0) Mínimo Relativo 4.- Hallar a, b ,c y d tales que la función f(x)=ax3 + bx2 + cx +d tenga un mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (2,2). Resp. a = -1/2 ; b =3/2 ; c = d = 0. 5.- f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 8 6.- f(x) = x2 / (x2 + 1)
  29. 29. 7.- f(x) = x / (x2 - 4) Resp. (0, 0) Punto de Inflexión 8.- Un fabricante ha calculado que el costo total c de la explotación de una cierta instalación esta dado por c = 0,5x2 + 15x + 5000, donde x es el número de unidades producidas. ¿A qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad? (El costo medio por unidad viene dado por c/x) Resp. x = 387,3 En los ejercicios 9 al 14 determine los extremos absolutos de la función en el intervalo indicado. 9.- f(x) = x2 (x2 – 2) + 1 en [-3, 0] Resp. Max. (-3, 64) Min. (-1, 0)
  30. 30. 10.- f(x) = x / (x2 + 2x +2) en [-3, 0] Resp. Máximo (0, 0). Mínimo (-√2, -(√2+1)/2 11.- f(x) = 2ln (1 + x2) + 2 en [0, 2] 12.- f(x) = arctag (1 + x2 ) en [-1, 1] 13.- f(x) = -ln (1 + x2 ) en [-2, 2] 14.- f(x) = x4 – 32x + 4 [0,2] FIN de Aplicaciones de la derivada, gráficas Volver a la página principal Volver a índice aplicaciones de la derivada, gráficos

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