1. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Statistique de l'assurance, STT 6705
Statistique de l'assurance II
Arthur Charpentier
…niversité ‚ennes I 8 …niversité de wontré—l
arthur.charpentier@univ-rennes1.fr ou ou charpentier@DMS.UMontreal.ca
http ://freakonometrics.blog.free.fr/
10 novembre 2010
I
2. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Notations dans les triangles de paiements
0 1 2 3 4 5
0 3209 4372 4411 4428 4435 4456
1 3367 4659 4696 4720 4730
2 3871 5345 5398 5420
3 4239 5917 6020
4 4929 6794
5 5217
xous —vions vu trois présent—tions des pro™essus de développementD
λj =
E(Ci,j+1)
E(Ci,j)
et γj =
E(Ci,j+1)
E(Ci,n)
pour j = 0, · · · , n − 1F
P
3. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Notations dans les triangles de paiements
‚—ppelons que l9on peut relier ™es ™oe0™ients vi—
λj =
γj+1
γj
et γj =
n−1
k=j
1
λk
.
gomme —up—r—v—ntD on peut introduire les f—™teurs de développements empiriques
λ,j =
Ci,j+1
Ci,j
et γi,j =
Ci,j+1
Ci,n
v— méthdode gh—in v—dder repose sur
λCL
j =
n−j−1
i=0 Ci,j+1
n−j−1
i=0 Ci,j
=
n−j−1
i=0
Ci,j+1
n−j−1
i=0 Ci,j
· λi,j.
Q
4. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
yn en déduit —lors les t—ux de développement suiv—ntsD
γCL
j =
n−1
k=j
1
λCL
k
.
H I P Q R S
λCL
j IDQVHWQ IDHIIRQ IDHHRQR IDHHIVT IDHHRUR IDHHHH
γCL
j UHDVIW7 WUDUWT7 WVDWIR7 WWDQRR7 WWDSPW7 IHHDHHH7
Table I ! p—™teurs de développementD λ = (λi)D exprimés en ™—den™e de p—iements
p—r r—pport à l— ™h—rge utlimeD en ™umulé @iFeF γAF
R
5. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
La méthode de Bornhutter-Ferguson
v— méthode de fornhutterEperguson vise à prédire dire™tement les réserves
Ri = Ci,n − Ci, n − i
de telle sorte que si l9on dipose de développement γ) = (γ0, · · · , γn−1)D
E(Ri) = [1 − γn−i]E(Ci,n).
h—ns l9—ppro™he origin—leD l9estim—teur de Ri ét—it —lors
Ri = [1 − γCL
n−i]πiLRi
où γCL
n−i est l9estim—teur proposé —up—r—v—ntD πi ™orrespond à un e'et ligneD que
l9on pourr— —ssimiler à l— prime —™quiseD et LRi une prédi™tion du loss ratioD où
LRi = E(Ci,n)/πiF
v— ™h—rge ultime prédite est —lors
Ci,n = Ci,n−i + [1 − γCL
n−i]πiLRi.
S
6. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
gette idée peut se génér—liserD en not—nt que
Ci,n = Ci,n−i + [1 − γn−i]Ci,n,
où l9on peut rempl—™er l9estim—teur gh—in v—dder du t—ux de ™—den™e p—r un
—utreD γn−i et rempl—™er l— ™h—rge ultime ™i˜le πiLRi p—r un —utre estim—teur
Ci,nF
T
7. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
La méthode de Bornhutter-Ferguson généralisée
ƒupposons que l9on dispose
• d9estim—tions a priori des ™—den™es de p—iements γ) = (γ0, · · · , γn−1)D
• d9estim—tions a priori des ™h—rges ultimes α) = (α0, · · · , αn)D
@proven—nt d9—utres modèlesD d9inform—tions exogènesD et™AD —lors
E(Ci,n) = Ci,n−i + [1 − γn−i]αi.
Remarque si on tr—v—ill—it sur les in™réments φj on —ur—it ϕj =
E(Yi,j+1)
E(Ci,n) F gette
méthode revient —lors à ™onsidérer un modèle intégr—nt des f—™teurs ligne αi et
des f—™teurs ™olonnes ϕj pour modéliser les in™réments de p—iements Yi,j+1F
U
8. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
La méthode dite Loss Development
yn n9utilise i™i que des a priori sur les ™—den™esD et on réé™rit
E(Ci,k) = γk
Ci,n−i
γn−i
—ussi
CLD
i,n = γk
Ci,n−i
γn−i
iFeF on ™onsidère i™i αLD
i = Ci,n−i/γn−iF
Remarque r—ppelons que CCL
i,k = Ci,n−i
k−1
j=n−i
λCL
j D ™9est à dire
CCL
i,k = γCL
k
Ci,n−i
γCL
n−i
don™ si γLD
k = γCL
k D on retom˜e sur l9estim—teur proposé p—r l— méthode gh—in
v—dderF
V
9. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
La méthode dite Cape Code
yn dispose i™i d9estim—tions a priori des ™—den™es de p—iements
γ) = (γ0, · · · , γn−1)D et on suppose que pour toutes les —nnées de surven—n™eD il
existe un loss ratio ™i˜leD
LR =
E(Ci,n)
πi
pour tout i
ƒoit LR
CC
un estim—teur de ™ette qu—ntitéD —lors
CCC
i,k =
Ci,n−i
+
[γk − γn−i]πiLR
CC
.
h—ns l— méthode origin—leD LR
CC
=
n
i=0 Ci,n−i
n
i=0 πiγn−i
F
W
10. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Comment estimer a priori les γj ?
xous —vons vu que l— méthode gh—in v—dder pouv—it permettre de ré™upérer des
prédi™tions γCL
j F
€—rmi les —utres méthodes on peut utiliser le €—nning r—tioF €our ™el—D on
™her™he à modéliser les f—™teurs in™rément—ux βj = E(Yi,j)/E(Yi,0)F yn peut
rep—sser —ux γj en not—nt que
γk =
k
j=0 βj
n
j=0 βj
€osons βi,j =
Yi,j
Yi,0
et ™onsidérons une moyenne pondérée
βj =
n−j
i=1
ωi,jβi,j.
IH
11. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
ve €—nning r—tio est o˜tenu en ™onsidér—nt les poids suiv—nts
βPR
j =
n−j
i=1
Y 2
i,0
n−i
h=0 Y 2
h,0
βi,j.
it on pose —lors
γPR
j =
j
k=0 βPR
j
n
k=0 βPR
j
.
sl est —ussi possi˜le d9utiliser les in™réments de loss r—tiosD
Li,j =
Yi,j
πi
et là —ussiD on pose
Lj =
n−j
i=1
ωi,jLi,j.
II
12. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
…n estim—teur usuel est donné p—r
LAD
j =
n−j
i=1
πi
n−j
k=0 πk
Li,j.
™orrespond—nt à un modèle —dditifF it on pose —lors
γAD
j =
j
k=0 LPR
j
n
k=0 LPR
j
.
Modèles bayésiens et Chain Ladder
he m—nière génér—leD un méthode ˜—yésienne repose sur deux hypothèses
• une loi — priori pour les p—r—mètres du modèle @Xi,jD Ci,jD λi,jD
LRi,j = Ci,j/PjD et™A
• une te™hnique pour ™—l™uler les lois — posterioriD qui sont en génér—l —ssez
™omplexesF
IP
13. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Modèles bayésiens pour les nombres de sinistres
ƒoit Ni,j l9in™rément du nom˜re de sinistresD iFeF le nom˜re de sinistres survenus
l9—nnée iD dé™l—rés l9—nnée i + jF
yn note Mi le nom˜re tot—l de sinistres p—r —nnée de surven—n™eD iFeF
Mi = Ni,0 + Ni,1 + · · · F ƒupposons que Mi ∼ P(λi)D et que p = (p0, p1, · · · , pn)
désigne les proprotions des p—iments p—r —nnée de dérouléF
gonditionnellement à Mi = miD les —nnées de surven—n™e sont indépen—ntesD et le
ve™teur du nom˜re de sinistres survenus —nnée l9—nnée i suit une loi multinomi—le
M(mi, p)F
v— vr—isem˜l—n™e est —lors
L(M0, M1, · · · , Mn, p|Ni,j) =
n
i=0
Mi!
(Mi − Nn−i)!Ni,0!Ni,1! · · · Ni,n−i!
[1−pn−i]Mi−Nn−i p
Ni,
0
où Nn−i = N0 + N1 + · · · + Nn−i et pn−i = p0 + p1 + · · · + pn−iF
sl f—ut ensuite de donner une loi — priori pour les p—r—mètresF v— loi — posteriori
ser— —lors proportionnelle produit entre l— vr—isem˜l—n™e et ™ette loi — prioriF
IQ
14. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Modèles bayésiens pour les montants agrégés
yn pose Yi,j = log(Ci,j)D et on suppose que Yi,j = µ + αi + βj + εi,jD où
εi,j ∼ N(0, σ2
)F eussiD Yi,j suit une loi norm—leD
f(yi,j|µ, α, β, σ2
) ∝
1
σ
exp −
1
2σ2
[yi,j − µ − αi − βj]
2
,
et l— vr—isem˜l—n™e est —lors
L(θ, σ|Y ) ∝ σ−m
exp
i,j
[yi,j − µ − αi − βj]
2
où m = (n(n + 1)/2 désigne le nom˜re d9o˜serv—tions p—sséesF v— di0™ulté est
—lors de spé™i(er une loi — priori pour (θ, σ2
)D iFeF (µ, α, β, σ2
)F
IR
15. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Modèles bayésiens et Chain Ladder
h—ns le ™—dre des modèles de provisionnementD on suppose
λi,j|λj, σ2
j , Ci,j ∼ N λj,
σ2
j
Ci,j
xotons γj = log(λj)F λ désigne l9ensem˜le des o˜serv—tionsD iFeF λi,jD et le
p—r—mètre que l9on ™her™he à estimer est γF v— logEvr—isem˜l—n™e est —lors
log L(λ|γ, C, σ2
) =
i,j
log
Ci,j
σ2
j
−
Ci,j
σ2
j
[λi,j − exp(γj)]
2
in utilis—nt le théorème de f—yes
log L(λ|γ, C, σ2
)
a posteriori
= log π(γ)
a priori
+ log L(γ|λ, C, σ2
)
log vraisemblance
+™onst—nte
ƒi on utilise une loi uniforme ™omme loi — prioriD on o˜tient
log L(λ|γ, C, σ2
) = log L(γ|λ, C, σ2
) + ™onst—nte
IS
16. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
ves ™—l™uls de lois ™onditionnelles peuvent être simples d—ns ™ert—ins ™—s @très
limitésAF he m—nière gérér—leD on utilise des méthodes de simul—tion pour
—ppro™her les loisF in p—rti™ulierD on peut utiliser les —lgorithmes de qi˜˜s ou
d9r—stingsEwetropolisF
yn p—rt d9un ve™teur initi—l γ(0)
= (γ
(0)
1 , · · · , γ
(0)
m )D puis
γ
(k+1)
1 ∼ f(·|γ
(k)
2 , · · · , γ
(k)
m , λ, C, σ)
γ
(k+1)
2 ∼ f(·|γ
(k+1)
1 , γ
(k)
3 , · · · , γ
(k)
m , λ, C, σ)
γ
(k+1)
3 ∼ f(·|γ
(k+1)
1 , γ
(k+1)
2 , γ
(k)
4 , · · · , γ
(k)
m , λ, C, σ)
FFF
γ
(k+1)
m−1 ∼ f(·|γ
(k+1)
1 , γ
(k+1)
2 , · · · , γ
(k+1)
m−2 , γ
(k)
m , λ, C, σ)
γ
(k+1)
m ∼ f(·|γ
(k+1)
1 , γ
(k+1)
2 , · · · , γ
(k+1)
m−1 , λ, C, σ)
e l9—ide de ™et —lgorithmeD on simule —lors de tri—ngles CD puis on estime l—
pro™ess errorF
v9—lgorithme d9—d—pt—tive reje™tion metropolis s—mpling peut —lors être utiliser
IT
17. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
pour simuler ™es di'érentes lois ™onditionnelle @™f f—lson @PHHVAAF
v— méthode de rejet est ˜—sé sur l9idée suiv—nte
• on souh—ite tirer @indépendemmentA suiv—nt une loi fD qu9on ne s—it p—s simuler
• on s—it simuler suiv—nt une loi g qui véri(e f(x) ≤ Mg(x)D pour tout xD où M
peut être ™—l™uléeF
v9—gorithme pour tirer suiv—nt f est —lors le suiv—nt
• f—ire une ˜ou™le
◦ tirer Y selon l— loi g
◦ tirer U selon l— loi uniforme sur [0, 1]D indépend—mment de Y D
• t—nt que U >
f(Y )
Mg(Y )
F
• poser X = Y F
yn peut utiliser ™ette te™hnique pour simuler une loi norm—le à p—rtir d9une loi
de v—pl—™eD de densité g(x) = 0.5 · exp(−|x|)D —ve™ M =
√
2eπ−1F w—is ™et
—lgorithme est très ™outeux en temps s9il y — ˜e—u™oup de rejetsD
IU
19. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
−6 −4 −2 0 2 4 6 8
−20−15−10−505
q
q
q
q q
q
q
q
pormellementD on ™onstruit Li,j(x) l— droite reli—nt les points (xi, log(f(xi))) et
(xj, log(f(xj)))F yn pose —lors
hn(x) = min {Li−1,i(x), Li+1,i+2(x)} ,
IW
20. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
qui dé(nie —lors une enveloppe de log(f) @p—r ™on™—vité de log(f)F yn utilise
—lors un —lgorithme de rejet —ve™ ™omme fon™tion de référen™e
gn(x) =
exp(hn(x))
exp(hn(t))dt
norm—lisée pour dé(nir une densité.
• f—ire une ˜ou™le
◦ tirer Y selon l— loi gn
◦ tirer U selon l— loi uniforme sur [0, 1]D indépend—mment de Y D
• t—nt que U >
f(Y )
exp(hn(Y ))
F
• poser X = Y F
in(nD l9—d—pt—tive reje™tion metropolis s—mpling r—joute une ét—pe
suppl ¡ment—ireD d—ns le ™—s des densité non logE™on™—veF v9idée est d9utiliser l—
te™hnique pr陡d—nteD même si hn n9est plus for™ément une enveloppe de log(f)D
puis de r—jouter une ét—pe de rejet supplémen—t—ireF ‚—ppelons que l9on ™her™he
à implénter un —lgorithme de qi˜˜sD ™9est à dire ™réér une suite de v—ri—˜les
X1, X2, · · · F
PH
21. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
ƒupposons que l9on dispose de Xk−1F €our tirer XkD on utilise l9—lgorithme
pré™éd—ntD et l— nouvelle ét—pe de rejet est l— suiv—nte
• tirer U selon l— loi uniforme sur [0, 1]D indépend—mment de X et de Xk−1D
◦ si U > min 1,
f(X) min{f(Xk−1), exp(hn(Xk−1))}
f(Xk−1) min{f(X), exp(hn(X))}
—lors g—rder
Xk = Xk−1
◦ sinon poser Xk = X
PI
22. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Code R pour l'algorihtme ARMS
ges fon™tions exponentielles p—r mor™e—ux sont inéress—ntes ™—r elles sont f—™iles
à simulerF v— fon™tion hn est liné—ires p—r mor™e—uxD —ve™ ™omme noeuds NkD de
telle sorte que
hn(x) = akx + bk pour tout x ∈ [Nk, Nk+1].
elors gn(x) =
exp(hn(x))
In
où
In = exp(hn(t))dt =
exp[hn(Nk+1)] − exp[hn(Nk)]
ak
F yn ™—l™ule —lors GnD l—
fon™tion de rép—rtition —sso™iée à gnD et on f—it utilise une méthode d9inversion
pour tirer suiv—nt GnF
PP
23. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l'assurance, sujets spéciaux, STT 6705V
Bayesian estimation for reserves
0 200 400 600 800 1000
220023002400250026002700
iteration
reserves(total)
PQ
