1. 7ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 3° ANO
TERESÓPOLIS, AGOSTO DE 2012.
PROFESSOR: CARLINHOS
π.62 6.6
GABARITO A
4 2
A 9.π 18
Resposta da questão 1:
[E] A 9.( π 2) unid2
Calculando a distância entre os pontos dados, temos: Resposta da questão 4:
dAB 2 6 2
4 2 10
2 [C]
dAC 2 2 2 4 2 2 6 x y 1
Equação da reta 30 5 1 0 x 3y 15 0
dBC 6 2 2 2 2 2 8
30 15 1
Logo, o triângulo é retângulo (6, 8 e 10), o diâmetro da 5 3.10 15
Raio da circunferência: R 5 10
circunferência é a hipotenusa.
Portanto: 12 ( 3)2
R = 5 cm e o centro é o ponto médio entre A e B, isto é:
2 6 4 ( 2) Equação da circunferência:
C , C 2,1 .
2
2 2 (x 5)2 (y 10)2 5 10
A equação da circunferência será:
x 22 y 12 25 x2 y2 4x 2y 20 0 . Fazendo x = 0, temos:
Resposta da questão 2: 25 +(y-10)2 250
[C]
(y 10)2 225 y 25 ou y 5
2 2
(x – 2) + (y – 3) = 10, pois possui centro C(2, 3) e Raio
R 10. Portanto, 25 – (- 5) = 30.
Resposta da questão 3: Resposta da questão 5:
[C] 02 + 04 + 16 = 22.
Cálculos auxiliares
O lado do Triângulo equilátero vale:
d(A,B) 0 32 5 12 5 uc.
Item (01) – Falso
L 3 5 3
htriângulo uc 5
2 2
Item (02) – Verdadeiro
L2 3 (5)2 3 25 3
A triângulo ua
4 4 4
Item (04) – Verdadeiro
xy 6
2 2
Dada a circunferência, (x – 3) + (y – 1) = 25, temos:
Representando o sistema 2 2
no plano Coordenadas do centro C(3,1) e Raio R=5.
x y 36
Portanto, como o triângulo é equilátero, o ponto C
cartesiano temos região mostrada na figura abaixo: pertence à circunferência.
Basta fazer a área do quarto de círculo menos a área do Item (08) – Falso
triângulo retângulo e isósceles: A equação da reta suporte da altura em relação à reta
AB passa pelo ponto médio de A(0,5) e B (3,1) , isto é:
3
D ,3 e é perpendicular à reta AB. Logo, possui
2
3
coeficiente angular mh .
4
1
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Portanto:
3 3 3 15
y 3 x 2 y 4 x 8 .
4
Item (16) – Verdadeiro
A reta que possui o ponto C é a reta definida no item
anterior que, em sua forma geral, é dada por 6x – 8y +
15 = 0.
Resposta da questão 6:
[B]
Considere a figura abaixo, em que C é o centro da Assim:
circunferência e CO é o seu raio. (x r)2 (y r)2 r 2
(x 2 2)2 (y 2 2)2 (2 2)2 x 2 y 2 4 2x 4 2y 8 0
Mas:
4 2 2 2 2 2 2 22 2 8
Portanto, a equação
pedida é:
x2 y2 2 8x 2 8y 8 0.
Temos que Resposta da questão 8:
01 + 04 + 16 = 21.
x y 2y x y 2y 0
2 2 2 2
(x 0)2 (y 1)2 1. 01) Correto. Completando os quadrados, vem:
Logo, C (0, 1) e CO 1. x2 y2 2x 2y 6 0 (x 1)2 1 (y 1)2 1 6 0
Como o triângulo STU é equilátero, segue que (x 1)2 (y 1)2 (2 2)2 .
ˆ 180
OCS 60.
3
Portanto, o centro da circunferência é o ponto
Portanto, do triângulo OCS, obtemos
H (1 1) e seu diâmetro mede 2 2 2 4 2 cm.
,
SU 2
tg60 SU 2 3.
CO 02) Incorreto. Como Q está inscrito na circunferência,
sua diagonal é igual ao diâmetro da circunferência.
Resposta da questão 7: Desse modo, se é a medida do lado de Q, então:
[B]
2 4 2 4cm.
Seja C(r, r), com r 0
o centro da
04) Correto. Como os lados de Q são paralelos aos
circunferência.
eixos coordenados, segue que os coeficientes
Como a diagonal do
quadrado de lado r vale angulares das retas que contêm as diagonais de Q
são 1 e 1. Além disso, o ponto de encontro das
r 2, segue que:
diagonais de Q é o ponto H. Desse modo, temos
4 r 2 r 2 2. que H é o ponto de interseção das retas y x e
y x 2, cujos coeficientes angulares são,
respectivamente, 1 e 1.
08) Incorreto. H não pertence à reta r, pois
1 5 (1) 2.
2
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16) Correto. Considere a figura.
As medidas dos lados do triângulo ABC são
dAB (3 3)2 32 6, dAC 02 62 6 e
dBC (3 3) 3 6.
2 2
Desse modo, o triângulo ABC é equilátero e seu
baricentro coincide com seu circuncentro. Por
conseguinte, as coordenadas do circuncentro são
03 3 0 036
G , ( 3, 3).
3 3
O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC
mede
( 3)2 32 12 2 3.
Temos que UV AB e VW BC.
Devemos mostrar que UW AC e UW AC. De fato, o
40
coeficiente angular da reta suporte de AC é 1 e
62
AC (6 2)2 (4 0)2 4 2 cm.
Resposta da questão 9:
[B]
Portanto, uma equação da circunferência circunscrita ao
triângulo ABC é
(x 3)2 (y 3)2 (2 3)2 (x 3)2 (y 3)2 12.
Resposta da questão 11:
[D]
2 2
Raízes. C1: x – 2x + y – 2y = 0 centro (1,1) e raio 2
2
x − 6x + 8 = 0 2 2
C2: x – 4x + y – 4y = 0 centro (2,2) e raio 8
x = 2 ou x = 4
Vértice. A= 82
. 2
2
6
b ( 6)
xv 3
2a 2 1 Resposta da questão 12:
[D]
Δ 4
yv 1
4 a 4 1 2 2
Equação da circunferência: (x – 3) + ( y – 1 ) = 25
Intersecções com o eixo y .(x = 0 )
V(3,-1) e raio R 2
(0-3) + (y – 1) =25 y = 5 ou y = -3 (veja a figura)
2 2
Logo, a equação da circunferência O ponto P (0,a) pertence ao eixo y. Portanto, a resposta
D é a correta;
será x 3 y – 1
2 2 2
2 Se a < -3 ou a > 5, P é externo à circunferência.
x 32 y 1 2
2
Resposta da questão 10:
[A]
3
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2 2
5 2
x y 4
2
3 3
2
5
x y 4
2 4
3 9
y
B(1,7)
Resposta da questão 13:
[B]
r 4-r
Com o eixo x( y = 0) C(5,4)
(x - 4) + (0 – 3) = 25 x = 8 ou x = 0 logo os pontos
2 2
r 2
são (0,0) ou (8,0) 3
3
Com o eixo y ( x = 0)
(0-4) + (y-3) = 25 y = 0 ou y = 6, logo os pontos são
2 2 A(1,1)
(0,0) e (0,6)
x
6.8
Portanto a área será A = 24 Resposta da questão 15:
2 [C]
2 2
x + y = 1, centro (0,0) e raio 1 e x – y + b = 0 é a
equação geral da reta
Utilizando a fórmula da distância de ponto à reta, temos:
Distância do centro a reta é igual à medida do raio
ax o by o c 1.0 1.0 b
r 1
a2 b2 12 12
b 2 b 2
Considerando somente o b positivo temos b = 2
Resposta da questão 14:
Resposta da questão 16:
dA,C = dB,C = 5
[D]
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
assinalado, temos: (Falsa) - o diâmetro é 4cm
(Verdadeira) - A = .2 = 4 cm
2 2
2 2 2
(4 - r) = r + 2 8r = 12 r = 2/3
2 2 2 (Verdadeira) - (x – 0 ) +( y – 0 = 2
Resposta da questão 17:
E o centro C(1 + r, 4) = (5/3, 4)
5.
Logo a equação da circunferência será:
Resposta da questão 18:
[B]
Completando os quadrados, obtemos:
4
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2 C 0, 3
2 2
y 3 9
x y 3 y 0 ( x 0)
2 2 2 2 b) (x - 2) + (y - 3) = 25/2
2 4
r 3 D3
2 Resposta da questão 30:
[A]
Resposta da questão 31:
a) (4, 3)
b) 4x - 3y - 7 = 0
Resposta da questão 32:
a) P (- 2, 0) e Q (0, 1)
2 2
b) (x + 1) + [y - (1/2)] = 5/4
Resposta da questão 33:
[B]
Resposta da questão 34:
Sabendo que o terceiro vértice pertence à circunferência
[D]
e que a altura do triângulo mede 3, segue que
PO h 3. Logo, o terceiro vértice é o ponto P.
Resposta da questão 35:
Queremos determinar a equação da reta suporte do
[D]
ˆ
lado MP, pois tg NMP tg 60 3 0.
y3 3 ( x 0) y 3 x 3. Resposta da questão 36:
[D]
Resposta da questão 19:
Resposta da questão 37:
6π u.a. 2 2
a) C: (x-1) + (y -2) = 1, 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ y ≤ 3
Resposta da questão 20:
[E] b) π
Resposta da questão 21: Resposta da questão 38:
[D] [D]
Resposta da questão 22: Resposta da questão 39:
[B] [B]
Resposta da questão 23: Resposta da questão 40:
[A] [B]
Resposta da questão 24: Resposta da questão 41:
[B] FVVFF
Resposta da questão 25: Resposta da questão 42:
(9/14, -2/7). [B]
Resposta da questão 26: Resposta da questão 43:
[B] [E]
Resposta da questão 27: Resposta da questão 44:
[B] [A]
Resposta da questão 28: Resposta da questão 45:
[C] [D]
Resposta da questão 29:
a) x - y = -1
5