Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.

1. Integrantes:
Albert Rosales
Carlos Moreno
Manama Salazar
Johan Hernández
SIN 501
Maracay, 2013

2. INTRODUCCIÓN
La resolución del problema del isomorfismo de grafos se complica
cuando los grafos son o de grandes tamaños o sus matrices de
adyacencias son homogéneas. En ambos casos el problema se resuelve
más fácil presentando los grafos por un conjunto de relaciones
correspondientes a matrices de tamaños razonables y no homogéneos.
Con tal presentación aumenta el número de restricciones que permiten
eliminar muchas variantes y con esto facilita la resolución del problema.
En este trabajo se resuelve el problema del isomorfismo para tales
conjuntos y se dan las aplicaciones de estos en grafos y en funciones
lógicas. Un problema importante en síntesis de mecanismos es identificar
los isomorfismos de grafos, puesto que los isomorfismos no detectados
generan soluciones duplicadas y por tanto suponen un esfuerzo
innecesario en el proceso de diseño mecánico. Desde 1960, una gran
cantidad de métodos han sido propuestos para la detección del
isomorfismo en grafos de mecanismos. Métodos que podríamos clasificar
como heurísticos y visuales han sido desarrollados por Crossley, Davies
and Crossley y Woo. La dificultad principal de este tipo de técnicas
estriba en que son difíciles de implementar computacionalmente, puesto
que su desarrollo se basa fundamentalmente en la experiencia del
diseñador.
Otros métodos basados en el polinomio característico de la matriz
de adyacencia de la cadena cinemática del mecanismo también han sido
propuestos. Sin embargo, la ineficacia de este tipo de técnicas ha sido
probada a través de varios contraejemplos. Además de que el polinomio
característico no identifica de forma única a una cadena cinemática, se
muestra que estos métodos son computacionalmente muy costosos.

3. CONCEPTOS BÁSICOS DE ISOMORFISMO:
Para entrar en materia de que es un grafo isomorfo debemos
conocer algunos términos relacionados con el tema:
ARISTAS
Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la
que se construyen también caminos.
Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si
convergen en el mismo vértice.
Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y
el final son el mismo.
Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.
CRUCE: Son dos aristas que cruzan en un punto.
VÉRTICES: Son los puntos o nodos con los que está conformado un
grafo.
Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y
si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes
y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
CAMINO: Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe
una sucesión finita no vacía de aristas {x, v1}, {v1, v2},..., {vn, y}. En este
caso x e y se llaman los extremos del camino

4. DEFINICIÓN DE ISOMORFISMO:
Un isomorfismo entre dos grafos G y H es una bisección f entre los
conjuntos de sus vértices que preserva la relación de
adyacencia. Es decir, cualquier par de vértices u y v de G son adyacentes
si y solo si lo son sus imágenes, f(u) y f(v), en H.
Dos grafos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.
A pesar de su diferente aspecto, los dos grafos que se muestran a
continuación son isomorfos:
Un
Grafo G Grafo H isomorfismo
entre G y H

5. ISOMORFISMO DE GRAFOS:
Se dice que dos grafos son isomorfos si y solo si se preserva la
relación de adyacencia entre ambos. Por ejemplo, tenemos el siguiente
grafo:
A C
E
B
D
Entonces suponemos que el conjunto K={A,B,C,D,E} (donde cada
una de las letras representa los vértices del grafo) posee una función f(v),
la cual tiene como imagen al conjunto K'={A',B',C',D',E'}.
Para que el grafo que tiene como vértices el conjunto K' sea
isomorfo, este debe tener las mismas relaciones de adyacencia que K. En
otras palabras, por ejemplo, en K tenemos una arista D-E, entonces en K'
tendríamos una arista D'-E'. Así para todos los vértices de K'. Entonces,
un grafo isomorfo al anterior (El formado por los vértices incluidos en el
conjunto K) sería:
D
B
E
C
A

6. OTRA DEFINICIÓN:
¿Qué es un grafo?
De forma coloquial y sencilla, un grafo es un conjunto de
elementos, a los que llamaremos vértices, que se relacionan entre ellos
por parejas, no necesariamente todos, definiendo lo que llamamos aristas
del grafo.
Podemos pensar, por ejemplo que queremos diseñar un circuito
con 4 componentes, todas unidos con todas, por parejas. A las
componentes, que harán el papel de vértices del grafo, las llamamos en
una alarde de originalidad {1, 2, 3, 4}. En ese caso, las conexiones que
tenemos que dibujar, que harán el papel de aristas, serán
{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}. Al grafo así definido se le conoce como
K4.
Vamos a dibujar el circuito. Una posible representación sería ésta.
Pensamos un poco más el posible diseño del circuito y nos damos cuenta
de que si lo pintamos, por ejemplo, como en la siguiente figura, no hay
cruce entre las conexiones.

7. Bueno, este circuito ha sido muy fácil y hemos resuelto el problema del
cruce de las conexiones Vamos a poner una componente más, una nada
más. Tenemos que dibujar 5 vértices, las 5 componentes, {1, 2, 3, 4, 5} y
unir cada una de ellas con las otras 4.

8. Grafos Isomorfos (Isomorfismo de grafos):
Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca
(uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos queden
unidos por una arista en común.
Si dos grafos G1 y G2 son isomorfos, tienen el mismo número de vértices,
el mismo número de aristas, el mismo número de vértices de cualquier
grado, el mismo número de ciclos de cualquier longitud, etc.
Propiedad:
Dos grafos simples G1 y G2 son isomorfos si y sólo si para cierto orden
de sus vértices las matrices de adyacencia son iguales.
Ejemplos:
1.- Grafos isomorfos a través de definición de funciones que los hacen
isomorfos
Figura 16: Grafos Isomorfos
Un posible Isomorfismo: f (u1) = v1; f (u2) = v4; f (u3) = v3; f (u4) = v2
Para mostrar que dos grafos son isomorfos podemos mostrar que
sus invariantes (propiedad que los grafos simples deben cumplir) son
iguales.
1. El número de vértices.
2. El número de aristas.
3. El grado de los vértices.

9. Si en alguna de esas cantidades difieren 2 grafos simples, no son
isomorfos.
Nota: Si sus invariantes son los mismos, no necesariamente son
isomorfos.
EJEMPLO:
G1 G2
G2
a b 1
e1 e6 e7 2
e2 e8
e5 e10
e4
e3 e9
d c 4 3
Los vértices del grafo 1 está representado por letras (a, b, c, d) y el grafo
2, se representa con los números (1, 2, 3 ,4).
Las aristas están representadas en el grafo 1 por (e1, e2, e3, e4, e5) y en
el grafo 2 por (e6, e7, e8, e9, e10)
Por consiguiente en la presente función demostraremos porque los dos
grafos son isomorfos:
Grados de los vértices:
Grafo 1 Grafo2
a 3 1 2
b 2 2 2
c 3 3 3
d 2 4 3

10. Entonces:
G1 G2
a 1
b 2
c 3
d 4
Si partimos de la definición anterior tenemos que los dos grafos
contienen 4 vértices, 5 aristas y sus grados coinciden. Por lo tanto los dos
grafos mostrados en este ejercicio son isomorfos.

11. ARBOLES
El concepto general del árbol implica una estructura en la que los
datos se organizan d modo que los elementos de información
están relacionados entre sí a través de las ramas.
El árbol genealógico es el ejemplo típico más representativo del
concepto cepto de árbol general.
Definición 1:
Un árbol es un grafo no dirigido conexo sin ciclos. Un bosque es un
grafo no dirigido sin ciclos pero no conexo. Una definición equivalente
es que un bosque es una unión disjunta de árboles
(de aquí el nombre). Un árbol a veces recibe el nombre de árbol libre.
Definición 2:
Un árbol consta de un conjunto finito de elementos, llamados nodos y un
conjunto finito de líneas dirigidas llamadas ramas que conectan los nodos
Definición 3:
Un árbol es una estructura no lineal en la que cada nodo puede apuntar a
uno o varios nodos.

12. En cuanto a los nodos:
 Nodo hijo: cualquiera de los nodos apuntados por uno de los nodos
del árbol. En el ejemplo, 'L' y 'M' son hijos de 'G'.
 Nodo padre: nodo que contiene un puntero al nodo actual.
En el ejemplo, el nodo 'A' es padre de 'B', 'C' y 'D'.
 Los árboles con los que trabajaremos tienen otra característica
importante: cada nodo sólo puede ser apuntado por otro nodo, es
decir, cada nodo sólo tendrá un padre. Esto hace que estos árboles

13. estén fuertemente jerarquizados, y es lo que en realidad les da la
apariencia de árboles.
En cuanto a la posición dentro del árbol:
 Nodo raíz: nodo que no tiene padre. Este es el nodo que usaremos
para referirnos al árbol. En el ejemplo, ese nodo es el 'A'.
 Nodo hoja: nodo que no tiene hijos. En el ejemplo hay varios: 'F', 'H,
'I', 'K', 'L', 'M', 'N' y 'O'.
 Nodo rama: son los nodos que no pertenecen a ninguna de las dos
categorías anteriores. En el ejemplo: 'B', 'C', 'D', 'E', 'G' y 'J'.
Características del árbol, en relación a su tamaño:
 Orden: es el número potencial de hijos que puede tener cada
elemento de árbol. De este modo, diremos que un árbol en el que
cada nodo puede apuntar a otros dos es de orden dos, si puede
apuntar a tres será de orden tres, etc.
 Grado: el número de hijos que tiene el elemento con más hijos
dentro del árbol. En el árbol de la Figura que muestra nodos y
ramas, el grado es tres, ya que tanto 'A' como 'D' tienen tres hijos,
y no existen elementos con más de tres hijos.
 Nivel: se define para cada elemento del árbol como la distancia a
la raíz, medida en nodos. El nivel de la raíz es cero y el de sus
hijos uno. Así sucesivamente. En el árbol de la Figura 25, el nodo '
D' tiene nivel 1, el nodo 'G' tiene nivel 2, y el nodo 'N', nivel 3.

14.  Altura: la altura de un árbol se define como el nivel del nodo de
mayor nivel. Como cada nodo de un árbol puede considerarse a
su vez como la raíz de un árbol, también podemos hablar de altura
de ramas. El árbol del ejemplo tiene altura 3, la rama 'B' tiene
altura 2, la rama 'G' tiene altura 1, la 'H' cero, etc.
Propiedades de los Árboles:
Algunas de las propiedades de los árboles son las siguientes:
 Teorema: sea G=(V,E) un grafo con n vértices. Los siguientes
enunciados son equivalentes:
1. G es un árbol.
2. Dos vértices cualesquiera de G están conectados por un único
camino simple (Dados dos nodos cualesquiera de un árbol,
existe exactamente un camino que los conecta.)
3. G es conexo y si se suprime una arista deja de serlo.
4. G es conexo y E=V−1 (un árbol con N nodos tiene N-1 aristas)
EJEMPLOS DE ARBOLES
Un árbol es un grafo conexo
que no tiene ciclos.
Proposición:
G = (V,E) es un árbol ⇐⇒ G es
conexo y tiene |V| − 1 aristas

16. CONCLUSIONES
El problema de detección de isomorfismos en grafos de
mecanismos es un problema NP-duro importante en el proceso de diseño
mecánico. A través de su análisis, Tischler et al. muestran que, aunque
pueden existir algoritmos eficaces para casos particulares, en el caso
general los métodos tradicionales para la detección de isomorfismos en
cadenas cinemáticas no proporcionan generalmente soluciones de forma
eficiente. Por esta razón se proponen como método alternativo de
resolución a las redes neuronales, y en particular a las redes tipo Hopfield
por ser las más eficaces y extendidas en la resolución de problemas del
tipo NP-duro.
Aunque Kong et al. han propuesto ya una red neuronal basada en
el modelo continuo de Hopfield para la detección de isomorfismos, sin
embargo críticas recientes hacia este modelo muestran que no es un
método adecuado para la resolución de un problema NP-duro como es la
identificación de isomorfismos. De esta forma la red continua en muchos
casos oscila indefinidamente, puesto que la convergencia del sistema no
se halla bien definida. Asimismo se observa que frecuentemente es difícil
la identificación de la solución final obtenida por la red debido a que que
las salidas de las neuronas son continuas en lugar de binarias. También
es destacable el hecho de que la red continua necesite para su completa
definición de la determinación experimental de siete parámetros, así como
de la determinación de la función de activación sigmoidal de cada
neurona, lo que dificulta enormemente su implementación. En
contraposición hemos presentado en este trabajo una nueva red binaria
para detección de isomorfismos en grafos de mecanismos, cuyas
dinámicas discretas completamente definidas garantizan siempre una
correcta convergencia de la red. Los resultados experimentales muestran
que la red propuesta converge rápidamente hacia un estado estable sin
comportamientos oscilatorios, por lo que se muestra muy superior a la red
de Kong et al.

17. BIBLIOGRAFÍA
Páginas web visitadas:
 http://www.google.co.ve/webhp?hl=es&tab=ww#hl=es&tbo=d&sclie
nt=psy-
ab&q=ejercicios+resueltos+de+grados+isomorfos&oq=ejercicios+re
sueltos+de+grados+isomorfos&gs_l=serp.3..0i13.15993.25150.4.2
5326.27.17.0.10.10.0.229.2792.0j16j1.17.0...0.0...1c.1.xhS8zhSBJ
Ho&pbx=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_qf.&fp=55e30f02ec71afc5&bi
w=1366&bih=673
 http://www.google.co.ve/url?sa=t&rct=j&q=ejemplos%20de%20arbo
les%2Bteoria%20de%20grafos&source=web&cd=10&ved=0CG0Q
FjAJ&url=https%3A%2F%2Fwww.u-
cursos.cl%2Fingenieria%2F2010%2F2%2FMA3701%2F1%2Fmate
rial_docente%2Fobjeto%2F321571&ei=RzUIUcuwCJGi8AT_jIHAC
A&usg=AFQjCNEHkrfXJjOyK3MgTojsIqM2vuukKA&bvm=bv.41524
429,d.eWU
 http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-
particular/tag/teoria-de-grafos/
 http://www.google.co.ve/imgres?q=arboles%2Bteoria+de+grafos&u
m=1&hl=es&sa=N&tbo=d&biw=1024&bih=673&tbm=isch&tbnid=XB
OdsUzyHAWQVM:&imgrefurl=http://garcia-arias-
leny.blogspot.com/&docid=NAxXIse4TWro_M&imgurl=http://1.bp.bl
ogspot.com/-
UR9zf2Rjyrc/ULZqaDePrDI/AAAAAAAAADQ/9Vbhnc8fBmg/s1600/
arboles.jpg&w=814&h=536&ei=fjoIUeDDAZLW8gTBo4CoBw&zoo
m=1&ved=1t:3588,r:7,s:0,i:100&iact=rc&dur=172&sig=1146754200
07589119298&page=1&tbnh=142&tbnw=216&start=0&ndsp=14&tx
=123&ty=93
 http://www.google.co.ve/imgres?q=arboles%2Bteoria+de+grafos&u
m=1&hl=es&sa=N&tbo=d&biw=1024&bih=673&tbm=isch&tbnid=Qr
g5WfW4MBK_SM:&imgrefurl=http://lizardorodriguez.wordpress.co
m/unidad-3/recorrido-de-grafos/&docid=NaA3MGZRWDo9-
M&imgurl=http://lizardorodriguez.files.wordpress.com/2012/06/recor
rido.png&w=535&h=327&ei=fjoIUeDDAZLW8gTBo4CoBw&zoom=1
&ved=1t:3588,r:29,s:0,i:175&iact=rc&dur=508&sig=1146754200075
89119298&page=2&tbnh=175&tbnw=287&start=14&ndsp=17&tx=1
49&ty=119