1) O documento é uma lista de exercícios de geometria para o 2° ano do ensino médio, preparada pelo professor Carlinhos em Teresópolis, em maio de 2012. 2) A lista contém 31 exercícios sobre funções trigonométricas, período, conjunto imagem, gráficos e outras propriedades de funções. 3) Os exercícios envolvem cálculos, interpretação de gráficos e escolha da alternativa correta.

1. LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MAIO DE 2012.
PROFESSOR: CARLINHOS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Com base nos dados observados, estima-se que o número
1. (Unesp) Do solo, você observa um amigo numa roda de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica
gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao f(x) = 900 - 800 sen [(x . ™)/12], onde f(x) é o número de
solo é dada pela expressão: clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 ´
h(t) = 11,5 + 10 sen [(™/12) . (t - 26)], onde o tempo t é dado x ´ 24).
em segundos e a medida angular em radianos. Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o
a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a número máximo e o número mínimo de clientes dentro do
roda começou a girar (t = 0). supermercado, em um dia completo, é igual a
b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo a) 600. b) 800. c) 900. d) 1 500. e) 1 600.
alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).
5. (Fgv) Considere a função f(x) = 2 - [(3 cos¥x)/4]. Os
2. (Unifesp) Considere a função y = f(x) = 1 + sen [(2™x - valores máximo e mínimo de f (x) são, respectivamente:
(™/2)] definida para todo x real. a) 1 e -1 b) 1 e 0 c) 2 e - 3/4
a) Dê o período e o conjunto imagem da função f. d) 2 e 0 e) 2 e 5/4
b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], tais
que y = 1. 6. (G1) O gráfico abaixo representa o esboço, no intervalo
[0, 2™], da função
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp) O subir e descer das marés é regulado por
vários fatores, sendo o principal deles a atração
gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os
demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas
entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a
mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros.
Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo a) y = - cos x b) y = sen (- x)
(t) e altura de maré (A) seria semelhante a este: c) y = sen 2x d) y = 2 sen x
3.
7. (Mackenzie) A função real definida por f(x) = k . cos(px),
k > 0 e p Æ IR tem período 7™ e conjunto imagem [-7, 7].
Então, k . p vale:
a) 7 b) 7/2 c) 2 d) 2/7 e) 14
8. (Puccamp) Observe o gráfico a seguir.
O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função
da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e
t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas
sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura
máxima de 1,5 metros, então
a) b = (5™)/31 b) a + b = 13,9 c) a - b = ™/1,5
d) a . b = 0,12 e) b = (4™)/3
4. (Fgv) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por A função real de variável real que MELHOR corresponde a
dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 esse gráfico é
horas. a) y = cos x b) y = sen x c) y = cos 2x
d) y = sen 2x e) y = 2 sen x
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2. LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MAIO DE 2012.
PROFESSOR: CARLINHOS
9. (Puccamp) Sobre a função f, de IR em IR, definida por 14. (Unirio) Seja f: R ë R, onde R denota o conjunto dos
f(x)=cos 3x, é correto afirmar que números reais, uma função definida por
a) seu conjunto imagem é [-3; 3]. f(x) = [3/(4 + cosx)] + 1. O menor e o maior valor de f(x),
b) seu domínio é [0; 2™]. respectivamente, são:
c) é crescente para x Æ [0; ™/2]. a) 1, 6 e 2 b) 1, 4 e 3 c) 1, 6 e 3
d) sua menor raiz positiva é ™/3. d) 1, 4 e 1,6 e) 2 e 3
e) seu período é 2™/3.
15. (Ufrs) Se f(x) = a + bsen x tem como gráfico então:
10. (Pucsp) O gráfico seguinte corresponde a uma das
funções de IR em IR a seguir definidas. A qual delas?
a) a = -2 e b = 1 b) a = -1 e b = 2 c) a = 1 e b = -1
a) f(x) = sen 2x + 1 b) f(x) = 2 sen x d) a = 1 e b = -2 e) a = 2 e b = -1
c) f(x) = cos x + 1 d) f(x) = 2 sen 2x
e) f(x) = 2 cos x + 1 16. (Ufrs) O gráfico a seguir representa a função real f.
11. (Uel) O gráfico abaixo corresponde à função:
a) y = 2 sen x b) y = sen (2x)
c) y = sen x + 2 d) y = sen (x/2)
e) y = sen (4x)
Esta função é dada por:
a) f(x) = 1 - cos x b) f(x) = 1 + cos x c) f(x) = cos (x +1)
12. (Uel) Uma bomba de água aspira e expira água a cada d) f(x) = cos (x - 1) e) f(x) = cos (x + ™)
três segundos. O volume de água da bomba varia entre um
mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as 17. (Ufsm) A função f(x) = sen x, x Æ IR, tem como gráfico a
alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o senóide que, no intervalo [0,2™], está representada na
volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t). figura
a) y = 2 + 2 sen [(™/3) . t] b) y = 2 + 2 sen [(2™/3) . t]
c) y = 3 + sen [(™/3) . t] d) y = 3 + sen [(2™/3) . t]
e) y = - 3 + 2 sen [(™/3) . t]
13. (Ufes) O período e a imagem da função f(x) = 5 - 3 cos
[(x-2)/™], x Æ R, são, respectivamente,
a) 2™ e [-1, 1] b) 2™ e [2, 8] c) 2™£ e [2, 8]
d) 2™ e [-3, 3] e) 2™£ e [-3, 3]
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3. LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MAIO DE 2012.
PROFESSOR: CARLINHOS
21. (Unesp) Observe o gráfico.
Se g(x) = a sen 3x, onde a Æ IR e a · 0, assinale verdadeira
(V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir.
( ) O domínio da função g é igual ao domínio da função f,
independente do valor de a.
( ) Para todo a, o conjunto imagem da função f está
contido no conjunto imagem da função g.
( ) O período da função g é maior que o período da
função f. Sabendo-se que ele representa uma função
A seqüência correta é trigonométrica, a função y(x) é
a) V - F - F. b) V - V - F. c) F - V - V. a) -2 cos (3x). b) -2 sen (3x). c) 2 cos (3x).
d) V - F - V. e) F - V - F. d) 3 sen (2x). e) 3 cos (2x).
18. (Ufsm) Se o gráfico da função 22. (Unioeste) Sobre a função f: IR ë R, dada por
f(x) = a + b (cos(2x) + sen(2x)) é dado por: f(x)=3cos2x, é correto afirmar que:
01. f(0)=0.
02. é uma função periódica de período 2™.
04. o maior valor que f(x) assume é 6.
08. para todo x, |f(x)|´3.
16. para todo x, f(x)=3-6sen£x.
32. para todo x, f(x)=f(-x).
23. (Ufrrj) Determine os valores reais de k, de modo que a
então 5a£ + 3b£ vale equação 2 - 3cosx = k - 4 admita solução.
a) 47 b) 51 c) 57 d) 72 e) 92
24. (Fei) Na estação de trabalho de pintura de peças de
19. (Ufsm) Uma gráfica que confeccionou material de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido
campanha determina o custo unitário de um de seus varia com o tempo conforme a expressão P(t) = 50 +
produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = 200 + 120 . 50sen[t - (™/2)], t > 0.
sen (™ . t)/2, com t medido em horas de trabalho. Assim, os Assinale a alternativa em que o instante t corresponda ao
custos máximos e mínimo desse produto são valor mínimo da pressão.
a) 320 e 200 b) 200 e 120 c) 200 e 80 a) t = ™/2 b) t = ™ c) t = 3™/2
d) 320 e 80 e) 120 e 80 d) t = 2™ e) t = 3™
20. (Ufsm) Em determinada cidade, a concentração diária, 25. (G1) O menor valor de y = 1/(3 - cos x) com x real é
em gramas, de partículas de fósforo na atmosfera é a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/2
medida pela função C(t) = 3 + 2 sen (™t/6) em que t é a
quantidade de horas para fazer essa medição. 26. (Ufrrj) Carlos propõe o seguinte exercício para seus
O tempo mínimo necessário para fazer uma medição que alunos: Calcule o período da função
registrou 4 gramas de fósforo é de f(x) = 2 + sen [6™x + (1/2)]. A resposta correta é
a) 1/2 hora. b) 1 hora. c) 2 horas.
d) 3 horas. e) 4 horas. a) 6™ b) 1/3 c) ™/3 d) ™ e) 2™
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4. LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MAIO DE 2012.
PROFESSOR: CARLINHOS
27. (Uff) No processo de respiração do ser humano, o fluxo
de ar através da traquéia, durante a inspiração ou
expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em
cada instante t, por F(t) = M sen wt.
A pressão interpleural (pressão existente na caixa
torácica), também durante o processo de respiração, pode ( ) ( )
ser modelada pela função P, definida, em cada instante t,
por P(t) = L - F(t + a).
As constantes a, L, M e w são reais, positivas e
dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo.
(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M.
Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas, ed. HARBRA
Ltda. 1988.(Adaptado) ( ) ( )
Um possível gráfico de P, em função de t, é:
( )
30. (Fgv 2011) A previsão de vendas mensais de uma
empresa para 2011, em toneladas de um produto, é dada
x
por f  x   100  0,5x  3sen , em que x = 1 corresponde
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a janeiro de 2011, x = 2 corresponde a fevereiro de 2011 e
28. (Uel) Uma bomba de água aspira e expira água a cada assim por diante.
três segundos. O volume de água da bomba varia entre um
A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro
mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as trimestre de 2011 é:
alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o (Use a aproximação decimal 3  1 )
,7
volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t). a) 308,55 b) 309,05 c) 309,55 d) 310,05 e) 310,55
a) y = 2 + 2 sen [(™/3) . t]
b) y = 2 + 2 sen [(2™/3) . t] 31. (Ufpr 2011) Suponha que a expressão P = 100 + 20
c) y = 3 + sen [(™/3) . t] sen(2  t) descreve de maneira aproximada a pressão
sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa
d) y = 3 + sen [(2™/3) . t]
pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o
e) y = - 3 + 2 sen [(™/3) . t] tempo em segundos.
A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e
29. (Ufpb 2012) Um especialista, ao estudar a influência abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a
da variação da altura das marés na vida de várias espécies pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa
em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa
dada em metros, em um espaço de tempo não muito bate 60 vezes por minuto durante o teste.
grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
  a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0
A(t)  1  1 sen  t 
,6 ,4 s; t = 0,75 s.
6  b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, pressão sanguínea atingiu seu mínimo?
em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse
contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], 32. (Ufpb 2011) Com o objetivo de aumentar a produção
está representada pelo gráfico: de alimentos em certa região, uma secretaria de agricultura
encomendou a uma equipe de agrônomos um estudo
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5. LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA - 2° ANO
TERESÓPOLIS, MAIO DE 2012.
PROFESSOR: CARLINHOS
sobre as potencialidades do solo dessa região. Na análise
da temperatura do solo, a equipe efetuou medições diárias, 5865
r t 
durante quatro dias consecutivos, em intervalos de uma 1  0,15.cos  0,06t 
hora. As medições tiveram início às 6 horas da manhã do
primeiro dia (t = 0). Os estudos indicaram que a
temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t, Um cientista monitora o movimento desse satélite para
representando o número de horas decorridas após o início controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso,
das observações, relacionavam-se através da expressão ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e
no perigeu, representada por S.
 π 4π 
T  t   26  5 cos  t  . O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o
 12 3 
 valor de
a) 12 765 km. b) 12 000 km. c) 11 730 km.
Com base nessas informações, identifique as afirmativas d) 10 965 km. e) 5 865 km.
corretas:
( ) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do 36. (Pucpr 2010) Um terremoto de magnitude 8 graus da
primeiro dia, foi de 23,5 ºC. escala Richter atingiu, em setembro de 2009, a região de
( ) A função T(t) é periódica e tem período igual a 24 h. Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 metros. A
( ) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30 ºC. maré alta neste local ocorreu à meia-noite.
( ) A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no Suponha que o nível de água na maré alta era de 3 metros;
primeiro dia, às 14 h. mais tarde, na maré baixa, era de 3 cm. Supondo que a
( ) A função T(t) é crescente no intervalo [0,8]. próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que a
altura da água é dada por uma curva seno ou cosseno,
33. (Ufrgs 2010) O período da função definida por f(x) =
qual das alternativas a seguir corresponde à fórmula para o
 π
sen  3x   é nível da água na região em função do tempo?
 2
π  π 
a) 1,515 + 1,485.cos  t  b) 1,515 + 1,485.sen  t 
π 2π 5π 6  6 
a) . b) . c) . d) π. e) 2 π.
2 3 6 π  π 
c) 1,485.cos  t  d) 1,485.sen  t 
6  6 
34. (Ufpr 2010) Suponha que o horário do pôr do sol na
cidade de Curitiba, durante o ano de 2009, possa ser e) 1,485 + 1,515.cos  πt 
descrito pela função
 2  37. (Uff 2007) Nas comunicações, um sinal é transmitido
f(t)  18,8  1,3sen  t por meio de ondas senoidais, denominadas ondas
 365 
portadoras.
sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1º de janeiro.
Com base nessas informações, considere as seguintes Considere a forma da onda portadora modelada pela
afirmativas: função trigonométrica
  π 
1. O período da função acima é 2π . f(t) = 2 sen 3t     , t ∈ IR
2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu   3 
mais cedo. Pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa f(t) é:
3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi
17h30.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
35. (Enem 2010) Um satélite de telecomunicações, t
minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de
distância do centro da Terra. Quando r assume seus
valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o
apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para
esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
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