1) O documento apresenta 20 questões de trigonometria em triângulos retângulos, com cálculos envolvendo seno, cosseno e tangente de ângulos. 2) As questões abordam situações como medição de alturas, distâncias e comprimentos utilizando relações trigonométricas. 3) Geometria analítica e topografia também são temas presentes, com problemas envolvendo medição de larguras de rios e distâncias.

1. 1
Geometria Prof.:Carlinhos.
Lista n°08 06/04/2013
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. (Pucrj) Se 1 etgθ θ pertence ao primeiro quadrante,
então cosθ é igual a:
a) 0 b)
1
2
c)
2
2
d)
3
2
e) 1
2. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com um
ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista
existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a
decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma
altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km.
3. (Uepg) Num instante 1t , um avião é visto por um
observador situado no solo sob um ângulo de 60° e, no
instante 2t , sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião
voa numa reta horizontal a uma altitude de 5 km, assinale o
que for correto.
01) No instante 1t , a distância entre o observador e o avião
é 10 3 km.
02) No instante 2t , a distância entre o observador e o avião
é 10 km.
04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 1t e
2t é maior que 5 km.
08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 1t e
2t é menor que 4 km.
4. (G1 - utfpr) Um caminhão, cuja carroceria está a uma
altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno
plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste
caminhão e para isso será colocada uma rampa da
carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo
da rampa para que esta forme com o chão um ângulo
máximo de 30° é, em metros, de:
a) 0,8 3. b) 2,4 c) 1,2 3. d) 0,6 3. e) 0,6.
5. (Pucsp) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma
superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante,
veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P)
voando, conforme é representado na planificação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio
e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância
entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura
o pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 ( 3 + 1) b) 120 ( 3 – 1)
c) 120 ( 3 + 1) d) 180 ( 3 – 1) e) 180 ( 3 + 1)
6. (G1 - epcar (Cpcar)) Uma coruja está pousada em R,
ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no
chão.
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo
de 30°, conforme mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a
coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma
distância BR de medida 6 2 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P
alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se
afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato,
em metros, é um número entre
a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7
7. (Ufrn) Numa escola, o acesso entre dois pisos
desnivelados é feito por uma escada que tem quatro
degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12
cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do
Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da
escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a
seguir.
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo
com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a
medição do ângulo que a rampa faz com o solo.
O valor encontrado pelo fiscal
a) estava entre 30 e 45 . b) era menor que 30 .
c) foi exatamente 45 . d) era maior que 45 .
8. (G1 - utfpr) Uma escada rolante de 6 m de comprimento
liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°.
Determine, em metros, a altura entre estes dois andares.
Use os valores: sen 30 0,5,  cos 30 0,87  e
tg 30 0,58. 
a) 3,48. b) 4,34. c) 5,22. d) 5. e) 3.

2. 2
9. (Unesp) Um prédio hospitalar está sendo construído em
um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto
responsável idealizou o estacionamento no subsolo do
prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A
recepção do hospital está 5 metros acima do nível do
estacionamento, sendo necessária a construção de uma
rampa retilínea de acesso para os pacientes com
dificuldades de locomoção. A figura representa
esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no
piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a
qual deve ter uma inclinação α mínima de 30° e máxima de
45°.
Nestas condições e considerando 2 1,4, quais deverão
ser os valores máximo e mínimo, em metros, do
comprimento desta rampa de acesso?
10. (G1 - ifpe) Um estudante do Curso de Edificações do
IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso ele toma
os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em
seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 100
metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são
perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir
do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A,
determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele
determinou a largura do rio e achou, em metros:
Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75
a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80
11. (Uepa) As construções de telhados em geral são feitas
com um grau mínimo de inclinação em função do custo.
Para as medidas do modelo de telhado representado a
seguir, o valor do seno do ângulo agudo φ é dado por:
a)
4 10
10
b)
3 10
10
c)
2 2
10
d)
10
10
e)
2
10
12. (Ufjf) A figura abaixo representa um rio plano com
margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no
ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura
desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem
oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo
ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido
anti-horário a partir da margem em que se encontra o ponto
A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual é
a largura do rio?
a) 50 3 m b) 75 3 m c) 100 3 m
d) 150 3 m e) 200 3 m
13. (Ufjf) Considere dois triângulos ABC e DBC, de mesma
base BC , tais que D é um ponto interno ao triângulo ABC. A
medida de BC é igual a 10 cm. Com relação aos ângulos
internos desses triângulos, sabe-se que
DBC BCD , DCA 30º , DBA 40º , BAC 50º.   
a) Encontre a medida do ângulo BDC.
b) Calcule a medida do segmento BD.
c) Admitindo-se
6
tg (50º) ,
5
 determine a medida do
segmento AC.
14. (Ufjf) Dois estudantes I e II desejam medir a altura, H,
de um prédio, utilizando-se de conhecimentos matemáticos.
Distanciados um do outro de x metros, os estudantes fazem
visadas atingindo a ponta da antena de altura h situada no
topo do prédio, segundo os ângulos α e ,β representados
no esboço abaixo.
Obtenha a altura H da torre, em função de ,α ,β h e x.
15. (G1 - cftmg) Um triângulo ABC, retângulo em ˆA, possui
o ângulo interno ˆC maior que o ângulo interno ˆB. De
acordo com esses dados, é correto afirmar que
a) ˆˆsenB cosC. b) ˆ ˆsenB cosB.
c) ˆ ˆsenC cosC. d) ˆ ˆsenC cosB.

3. 3
16. (G1 - cftmg) As circunferências da figura abaixo são
tangentes entre si e tangentes à reta t nos pontos A e B.
Dados
BC 4 3 cm R 12 cm 30º  α
A medida do segmento AB, em cm, é igual a
a) 2 3. b) 4 3. c) 8 3. d) 12 3.
17. (Uftm) Um pintor utiliza uma escada de 5 m de
comprimento para pintar a área externa de uma casa. Ao
apoiar a escada, o pintor deixa uma das extremidades
afastada y cm da parede e, assim, a outra extremidade
atinge uma altura x na parede.
Nessas condições, determine:
a) a medida, em metros, indicada por y (figura 2), sabendo
que ˆˆsenB 2senC.
b) a medida, em metros, indicada por h (figura 2), sabendo
que a altura da parede é 6 m.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de
Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma
das constatações que fez foi a de que existe grande
proximidade entre Engenharia e Matemática.
18. (Pucrs) Em uma aula prática de Topografia, os alunos
aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado
para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é
possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o
observador desloca-se 100 metros na direção do percurso
do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada
na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura
abaixo.
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em
metros, é
a)
100 3
3
b)
100 3
2
c) 100 3 d)
50 3
3
e) 200
19. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a
praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a
partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira
em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo
sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse
possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um
ângulo visual 2 . A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30º 
e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia
percorrido a distância AB 2000 m . Com base nesses
dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do
barco até o ponto fixo P será
a) 1000 m . b) 1000 3 m . c)
3
2000 m
3
.
d) 2000 m . e) 2000 3 m .
20. (Uel) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir
da posição 1P , um barco ancorado no horizonte norte na
posição B. Nesta posição 1P , o ângulo de visão do barco,
em relação à praia, é de 90°, como mostrado na figura a
seguir.
Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e
observa novamente o barco a partir da posição 2P . Neste
novo ponto de observação 2P , o ângulo de visão do barco,
em relação à praia, é de 45°.
Qual a distância 2P B aproximadamente?
a) 1000 metros b) 1014 metros c) 1414 metros
d) 1714 metros e) 2414 metros
21. (G1 - cftmg) Um foguete é lançado de uma rampa
situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a figura.
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido
12km, é
a) 600 dam b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm d) 600.000 3 cm

4. 4
22. (G1 - ifsc) A trigonometria estuda as relações entre os
lados e os ângulos de um triângulo. Em um triângulo
retângulo, sabemos que
cat. oposto
sen
hipotenusa
θ ,
cat. adjacente
cos
hipotenusa
θ e
cat. oposto
tg
cat.adjacente
θ .
Considere o triângulo abaixo e as proposições I, II e III.
I. o ABCΔ é retângulo em B. II. cos 0,8
III.
32
sen  tg Â
15
 
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a proposição I é verdadeira.
b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
d) Apenas a proposição II é verdadeira.
e) Todas as proposições são verdadeiras.
23. (G1 - ifsc) Uma baixa histórica no nível das águas no rio
Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do
Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na
expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em alguns trechos,
o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas
com mercadorias e combustível para energia elétrica
cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação
de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa
imediatamente anterior à situação de emergência – em
outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda
permitem plenas condições de navegabilidade.
Texto adaptado de:
http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-
nivel-do-rioamazonas-
diminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/
Acesso em: 10 nov. 2010.
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio
Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um
ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio,
teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos
afirmar que a distância AB em metros percorrida pela
embarcação foi em metros de...
a) 60 3 . b) 40 3 . c) 120. d) 20 3 . e) 40 .
24. (Ufjf) Considere um triângulo ABC retângulo em C e
 o ângulo ˆBAC. Sendo AC 1 e
1
sen( ) ,
3
  quanto
vale a medida da hipotenusa desse triângulo?
a) 3 b)
2 2
3
c) 10 d)
3 2
4
e)
3
2
25. (G1 - cps) Ter condições de acessibilidade a espaços e
equipamentos urbanos é um direito de todo cidadão.
A construção de rampas, nas entradas de edifícios que
apresentam escadas, garante a acessibilidade
principalmente às pessoas com deficiência física ou com
mobilidade reduzida.
Pensando nisso, na entrada de uma ETEC onde há uma
escada de dois degraus iguais, cada um com 15 cm de
altura, pretende-se construir uma rampa para garantir a
acessibilidade do prédio a todos.
Essa rampa formará com o solo um ângulo de 30, conforme
a figura.
Sendo assim, conclui-se que o comprimento da rampa será,
em metros,
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2.
26. (Enem) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343
quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último
domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na
região de Presidente Prudente, assustando agricultores da
região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus,
desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e
Itália, para a medição do comportamento da camada de
ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo
previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso
em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão.
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o
avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da
posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no
mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob
um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km b) 1,9 km c) 3,1 km d) 3,7 km e) 5,5 km

5. 5
27. (Pucrj) O valor de
cos45 sen30
é :
cos60

a) 2 1 b) 2 c)
2
4
d)
2 1
2

e) 0
28. (Uemg) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600
m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo A ˆF
B é igual a 30º.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro
encontrou a medida correspondente a
a) 200 3. b) 100 2. c) 150 3. d)50 2.
29. (Ufpb) Em parques infantis, é comum encontrar um
brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as
crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à
rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado
em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de
comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a
rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme
ilustrado na figura a seguir.
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o
comprimento (L) da rampa é de:
a) 2 m b) 2 2 m c) 3 2 m
d) 4 2 m e) 5 2 m
30. (Uerj) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma
pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa pista,
há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D,
E e F, que dividem a circunferência em seis arcos, cada um
medindo 60 graus.
Observe o esquema:
O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em
direção a cada um dos outros cones, sempre correndo em
linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso
correspondeu a ABACADAEAFA.
Considerando 3 = 1,7, o total de metros percorridos pelo
atleta nesse treino foi igual a:
a) 1480 b) 2960 c) 3080 d) 3120
31. (Enem cancelado) Uma empresa precisa comprar uma
tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um
tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura.
Considere que a base do reservatório tenha raio r = 2 3 m e
que sua lateral faça um ângulo de 60° com o solo.
Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada
deverá cobrir uma área de
a) 12  m
2
. b) 108  m
2
.
c) (12 + 2 3 )2  m
2
.
d) 300  m
2
. e) (24 + 2 3 )2  m
2
.
32. (Ufpb) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro
pavimento para o segundo através de uma escada rolante,
conforme a figura a seguir.
A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao
segundo pavimento, é:
a) 15 b) 10 c) 5 d) 3 e) 2
33. (Unesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa
com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4
metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação
ao ponto de partida é 30 m.
Use a aproximação sen 3
°
= 0,05 e responda. O tempo, em
minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a
rampa é
a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30.
34. (Pucmg) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30
°
.
Então, depois que tiver percorrido 500 m, sua altura h em
relação ao solo, em metros, será igual a:
a) 250 b) 300 c) 400 d) 435

6. 6
35. (G1 - cps) O acesso a um edifício é feito por uma
escada de dois degraus, sendo que cada um tem 16 cm de
altura. Para atender portadores de necessidades especiais,
foi construída uma rampa.
Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar,
com o solo, um ângulo de 6
°
, conforme figura.
Dados: sen6°=0,10 e cos6°=0,99
A medida c do comprimento da rampa é, em metros, igual a
a) 1,8. b) 2,0. c) 2,4. d) 2,9. e) 3,2.
36. (Ufes) Duas viaturas policiais A e B perseguem um
carro suspeito C numa grande cidade. A viatura A possui um
radar que informa ao Comando Central que a distância dela
até B é de 8 km e a distância dela até C é de 6 km. A viatura
B possui um aparelho que informa ao Comando que, nesse
instante, o ângulo AB C é de 45
°
. Sabendo que o carro C
está mais próximo de A do que de B, calcule a distância, em
km, entre B e C. A resposta é
a) 2 3 + 4 b) 4 2 + 2 c) 3 2 + 2
d) 3 2 + 3 e) 2 2 + 4
37. (G1 - cftce) Queremos encostar uma escada de 8m de
comprimento numa parede, de modo que ela forme um
ângulo de 60
°
com o solo. A que distância da parede
devemos apoiar a escada no solo?
38. (G1 - cp2)
Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até
o chão, o vicking usa uma escada medindo 2,4 m. Os
degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente
espaçados 18 cm um do outro. Nem todos os degraus estão
representados na figura. O degrau mais baixo equidista do
chão e do segundo degrau. O degrau mais alto apóia-se no
plano superior do pedestal.
a) A escada é composta por quantos degraus?
b) A escada faz um ângulo è com o chão e sabe-se que:
sen  =
4
5
cos  =
3
5
tg  =
4
3
Calcule a altura h do pedestal.
39. (G1 - cftmg) Duas pessoas A e B, numa rua plana,
avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60
°
e 30
°
,
respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a
figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m,
então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente
igual a
a) 34 b) 32 c) 30 d) 28
40. (Fatec) De dois observatórios, localizados em dois
pontos X e Y da superfície da Terra, é possível enxergar um
balão meteorológico B, sob ângulos de 45
°
e 60
°
, conforme é
mostrado na figura a seguir.
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X
e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à superfície da
Terra, é
a) 30 - 15 3 b) 30 + 15 3 c) 60 - 30 3
d) 45 - 15 3 e) 45 + 15 3
41. (Uel) Um engenheiro fez um projeto para a construção
de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a
diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do
andar imediatamente superior é de 3,5 m. Durante a
construção, foi necessária a utilização de rampas para
transporte de material do chão do andar térreo até os
andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de
comprimento, fazendo ângulo de 30
0
. com o plano
horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa
inteira transportará material, no máximo, até o piso do:
a) 2
0
. andar. b) 3
0
. andar. c) 4
0
. andar.
d) 5
0
. andar. e) 6
0
. andar.
42. (Ufrrj) Milena, diante da configuração representada a
seguir, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o
comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela
informa que o sen á = 0,6.
Calcule o comprimento da sombra x.

7. 7
43. (Pucrs) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16
m por 8m. Duas jogadoras, A e B, em um determinado
momento de um jogo, estão posicionadas como na figura a
seguir. A distância "x", percorrida pela jogadora B para se
deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à
mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A,
é
a) x = 5 tan (  ) b) x = 5 sen (  )
c) x = 5 cos (  ) d) x = 2 tan (  ) e) x = 2 cos (  )
44. (Uerj) Um foguete é lançado com velocidade igual a 180
m/s, e com um ângulo de inclinação de 60
°
em relação ao
solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua
velocidade se mantenha constante ao longo de todo o
percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a
uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no
solo, a y metros do ponto de lançamento.
Os valores de x e y são, respectivamente:
45. (Ufrrj) Em um campo de futebol, o "grande círculo" é
formado por uma circunferência no centro, de 30 metros de
diâmetro, como mostra a figura:
Ao tentar fazer a marcação da linha divisória (AB), um
funcionário distraído acabou traçando a linha (AC), como
podemos ver na figura. Desta forma, o número de metros
que ele traçou foi de
a) 5 3 m. b) 10 3 m. c) 10 2 m.
d) 15 3 m . e) 15 2 m .
46. (Uem) Para obter a altura CD de uma torre, um
matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a
horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos á = 30
°
e â = 60
°
e a medida do segmento BC = 5 m, conforme
especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre,
em metros, é...
47. (Ufc) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em
B. O cosseno do ângulo BÂC é:
a)
12
13
b)
11
13
c)
10
13
d)
6
13
e)
1
13
48. (Uerj) Um barco navega na direção AB, próximo a um
farol P, conforme a figura a seguir.
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 30
°
com a direção
AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o
navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol,
forma um ângulo de 60
°
com a mesma direção AB.
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a
embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:
a) 500 b) 500 3 c) 1.000 d) 1.000 3
49. (Mackenzie) Na figura, tg á vale:
a)
1
3
b)
2
3
c)
1
3
d)
3
4
e)
2
3
50. (Pucrs) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa
e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir. A distância
entre M e N é, aproximadamente,
a) 4,2 m b) 4,5 m c) 5,9 m d) 6,5 m e) 8,5 m
51. (Unesp) Um pequeno avião deveria partir de uma
cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60
quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto
seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele
corrigiu a rota, fazendo um giro de 120
°
à direita em um
ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o
trajeto que deveria ter sido seguido, formaram,
aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como
mostra a figura.

8. 8
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião
voou partindo de A até chegar a B é
a) 30 3 . b) 40 3 . c) 60 3 . d) 80 3 . e) 90 3 .
52. (Ufv) Na figura a seguir, os triângulos são retângulos,
com hipotenusa comum AC, sendo ABC um triângulo
isósceles com catetos medindo 4 cm. Se o cateto AD do
triângulo ADC mede 2 cm, então o valor de tgx é:
a)
( 7)
4
b) 7 c)
( 7)
2
d)
( 7)
3
e)
( 7)
7
53. (Uflavras) Duas pessoas A e B estão situadas na
mesma margem de um rio, distantes 60 3 m uma da outra.
Uma terceira pessoa C, na outra margem do rio, está
situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a
medida do ângulo A ˆC B seja 60
°
. A largura do rio é
a) 30 3 m b) 180 m c) 60 3 m d) 20 3 m e) 60 m
54. (Uerj) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120
cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e
52 cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:
a) 10
°
b) 12
°
c) 13
°
d) 14
°
55. (Puccamp) Em uma rua plana, uma torre AT é vista por
dois observadores X e Y sob ângulos de 30
°
e 60
°
com a
horizontal, como mostra a figura a seguir.
Se a distância entre os observadores é de 40m, qual é
aproximadamente a altura da torre?(Se necessário, utilize
2 =1,4 e 3 =1,7).
a) 30 m b) 32 m c) 34 m d) 36 m e) 38 m
56. (Faap) A seguir está representado um esquema de uma
sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a
medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros
da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto
mais alto da tela, que é T, a 30
°
da horizontal?
Dados:
sen 30
°
= 0,5 sen 60
°
= 0,866
cos 30
°
= 0,866 cos 60
°
= 0,5
2 = 1,41 3 = 1,73
tg 30
°
= 0,577 tg 60
°
= 3
a) 15,0 m b) 8,66 m c) 12,36 m
d) 9,86 m e) 4,58 m
57. (Puccamp) A figura a seguir é um corte vertical de uma
peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem
dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e
um apoio horizontal.
A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a
altura do suporte é
a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm
58. (Pucmg) Uma escada rolante de 10 m de comprimento
liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30
°
.
A altura h entre um andar e outro, em metros, é tal que:
a) 3 < h < 5 b) 4 < h < 6 c) 5 < h < 7
d) 6 < h < 8 e) 7 < h < 9

9. 9
59. (Uel) Trafegando num trecho plano e reto de uma
estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o
ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60
°
, o
marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km.
Quando o ângulo descrito passa a ser 90
°
, o marcador de
quilometragem acusa 104,03 km.
Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada?
(Se necessitar, use 2 ≈1,41; 3 ≈1,73; 6 ≈2,45.)
a) 463,4 m b) 535,8 m c) 755,4 m
d) 916,9 m e) 1071,6 m
60. (Unirio) Um disco voador é avistado, numa região plana,
a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo
se desprende da nave e cai em queda livre, conforme
mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco
voador?
Considere as afirmativas:
l - a distância d é conhecida;
ll - a medida do ângulo á e a tg do mesmo ângulo são
conhecidas.
Então, tem-se que:
a) a l sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a
ll, sozinha, não.
b) a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a
l, sozinha, não.
c) l e ll, juntas, são suficientes para responder à pergunta,
mas nenhuma delas, sozinha, não é:
d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à
pergunta.
e) a pergunta não pode ser respondida por falta de dados.
61. (G1) Um navio, navegando em linha reta, passa
sucessivamente pelos pontos A e B. O comandante, quando
o navio está no ponto A, observa um farol num ponto C e
calcula o ângulo A C B = 30
°
. Sabendo-se que o ângulo AB
C é reto e que a distância entre os pontos A e B é de 6
milhas, pergunta-se de quantas milhas é a distância entre o
farol e o ponto B.
a) 6 3 milhas b) 18 3 milhas c) 2 3 milhas
d) 3 3 milhas e) 5 3 milhas
62. (G1) O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo
de uma encosta é de 60
°
. Sabendo-se que a árvore está
distante 100 m da base da encosta, que medida deve ter um
cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta?
a) 100 m b) 50 m c) 300 m d) 200 m e) 400 m
63. (Puccamp) Uma pessoa encontra-se num ponto A,
localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura
adiante.
Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um
ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um
ângulo de 60
°
. Quantos metros ela deverá se afastar do
ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para
que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30
°
?
a) 150 b) 180 c) 270 d) 300 e) 310
64. (Ufrgs) Um barco parte de A para atravessar o rio. A
direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120
°
com
a margem do rio.
Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros,
percorrida pelo barco foi de
a) 40 2 b) 40 3 c) 45 3 d) 50 3 e) 60 2
65. Uma estrada de alta velocidade foi projetada com ângulo
de sobrelevação de 10°. A figura a seguir mostra o corte
transversal à pista. Se sua largura é de 12 m, determine o
desnível entre suas margens. (Dados: sen 10° ≅ 0,174; cos
10° ≅ 0,985; tg 10° 0,176).