PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE LAS VARIANCIAS DE DOSPOBLACIONES NORMALESCuando se trata de comparar las variancias se utiliza la ...
Siguiendo el criterio de colocar en el numerador siempre la variancia mayor,es suficiente considerar el valor tabulado de ...
Z<         óZ>En el contraste b) sólo valores grandes de (     ) y de Z confirman lahipótesis H1. En un ensayo unilateral,...
Los supuestos que se deben cumplir son: datos extraídos de dos muestrasaleatorias independientes de tamaño n1 y n2 respect...
DondeEl valor tabulado de t, para 16 grados de libertad y nivel de significación del1% es igual a 2,921. Como el valor de ...
CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIASPOBLACIONALES: MUESTRAS APAREADASEsta estrategia de la investigacióm surge cu...
luego se compara el tc con tn -1 . Las reglas de decisión son:No se rechaza H0 cuando -t       <t<tRechazar H0 si t < -t  ...
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yPor lo tanto la estadística de prueba esta dada por:                          N(0, 1)                               [Vuel...
4,5 5,3 5,4 4,9 5,3 5,7 6,2 4,8¿Se puede asegurar, con =0,05, de que esta variedad de papas tiene unrendimiento promedio d...
Gráficamente podemos establecer la correspondiente región de rechazo deH0 en la cola de la distribución normalEjemplo: Se ...
cotización. De acuerdo a lo estipulado por él, esta acción presentaría unavarianza en las cotizaciones diarias      = 0,2....
Conclusión: La evidencia muestral parece indicar que el operador estabaequivocado y que en realidad la cotización diaria e...
4,41    4,37    4,33    4,35    4,34,39En el nivel 0,01, el aditivoa haaumentado el peso medio de lospollos? Estime el val...
EJERCICIO 2Una empresa que se dedica ahacer en cuestas se queja deque un agente realiza enpromedio 53 encuestas porsemana....
53     57   50   55   58   5451        59   56En el nivel de significancia0,05, puede concluirse que lacantidad media de e...
EJERCICIO 3
Lisa Monnin es directora depresupuesto en la empresa NewProcess Company, deseacomparar los gastos diarios detransporte del...
medios diarios del equipo deventas son mayores? cuál es elvalor p?
EJERCICIO 4De una población se toma unamuestra de 40 observaciones.La media muestral es de 102 yla desviación estándar 5. ...
Ho: u1 ≠ u2a) Es esta una prueba de una ode dos colas?  Esta es una prueba dehipótesis de dos colasb ) Establezca la regla...
Si Z > que el valor crítico, se rechaza la
d) Cuál es su decisión respectoa la hipótesis nula?  Como su valor calculado Z(2,59) > 2,05; se rechaza lahipótesis nula y...
e) Cuál es el valor p?  Z = 2,59 Area 0,4952       0,5 - 0,4952 = 0,0048 *2 = 0,0096
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Respuestas de ejercicios

  1. 1. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE LAS VARIANCIAS DE DOSPOBLACIONES NORMALESCuando se trata de comparar las variancias se utiliza la variable F=S²1/S²2, quecomo se sabe está relacionada con la distribución F con (n1-1, n2-1) grados delibertad.Se recomienda colocar siempre en el numerador la variancia muestralasociada a la variancia poblacional mayor estos es, a. Si H1: ²1 > ²2 La estadística de prueba se toma como F=S²1/S²2 . b. Si H1: ²2 > ²1 La estadística de prueba se toma como F=S²2/S²1. c. Si H1: ²1 ²2 La estadística de prueba se toma de tal manera que la mayor de las variancias muestrales aparezca en el numerador.Las tablas de la distribución F generalmente proporcionan los puntos de lacola superior de la distribución F así que para encontrar valor dela cola inferior, debe utilizarse , donde f es el valor tabulado de F [Vuelve a índice]Ejemplo 1: Se comparó la eficacia de dos tipos de aceites para evitar eldesgaste en ciertas piezas sometidas a intenso trabajo. En trece piezas seutilizó el aceite 1 y en otras trece el aceite 2. Las variancias muestrales fueronS²1 = 64, S²2 = 16. Se desea verificar la hipótesis nula según la cual lasvariancias de las dos poblaciones son iguales. ( = 0,05)H0: ²1 = ²2H1: ²1 ²2n1 = n2 = 13, = 0,05Como el valor calculado de F =4 supera el valor tabulado de la cola superiorde la distribución, no puede concluirse, al nivel del 5% que las variancias seaniguales.
  2. 2. Siguiendo el criterio de colocar en el numerador siempre la variancia mayor,es suficiente considerar el valor tabulado de la zona derecha de la distribuciónF. [Vuelve a índice]CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIASPOBLACIONALES: MUESTRAS INDEPENDIENTES Los desvíos de las poblaciones son conocidosLos supuestos que se deben cumplir son que las mediaspoblacionales 1 y 2 son normales, los desvíos poblacionales y conocidos y las muestras, independientes, de tamaño n1 y n2 respectivamente,estableciendo las siguientes hipótesis:H0 ) 1 - 2 =0ó 1 = 2a ) H1 ) 1 2b) H1 ) 1 > 2c) H1 ) 1 < 2 = 0,05En cualquiera de estos casos el test estadístico que se utiliza esque se distribuye como una N ( 0,1).Si y son iguales, lo que equivale a decir que hay una sola variancia, lafórmula anterior se puede reemplazar por la siguiente:En el contraste a) valores grandes y pequeños de( )y por lo tantopequeños de Z son suficientes para confirmar H1. Por lo tanto para un ensayobilateral con nivel de significación , la hipótesis H0 se rechaza si :
  3. 3. Z< óZ>En el contraste b) sólo valores grandes de ( ) y de Z confirman lahipótesis H1. En un ensayo unilateral, rechazamos H0 cuando:Z > Z 1-En el contraste c) valores pequeños de la diferencias de medias muestrales ypor lo tanto valores pequeños de Z confirman H1 y rechazamos H0 cuando:Z<Z [Vuelve a índice]Ejemplo 2: El porcentaje de calcio de dos muestras de soja se determinó pordos métodos de mineralización: (A) cenizas secas y (B) mineralizaciónhúmeda. Los datos obtenidos fueron:(A): 0,32 3,32 0,36 0,29 0,27 0,29 0,28(B): 0,35 0,35 0,34 0,36 0,31 0,28 0,28Se sabe, por experiencias anteriores que 1 = 1 = 0,03. Se desea verificar siambos métodos producen los mismos resultados. ( = 0,05).H0 ) A = Bó A - B =0H1 ) A BPor ser un test bilateral, los valores críticos de la distribución normal, para =0,05 son –1,96 y 1,96. Como el valor de la estadística calculada cae entre losvalores críticos, no hay evidencias como para rechazar la hipótesis nula. Por lotanto las media de los dos metodos de mineralización no difieren. [Vuelve a índice] Los desvíos de las poblaciones son desconocidos:a) Se suponen iguales ( ):
  4. 4. Los supuestos que se deben cumplir son: datos extraídos de dos muestrasaleatorias independientes de tamaño n1 y n2 respectivamente, cuyaspoblaciones son normales con medias poblacionales 1 y 2. Las varianciaspoblacionales no se conocen y se supone que son iguales. Primero sedebería docimar la igualdad de dichas varianzas, en particular si los tamañosde las muestras son distintos, a través de la prueba de F de Snedecor. Si sonestadísticamente iguales, aplicamos el siguiente test estadístico:dondeque se distribuye aproximadamente como una t de Student con n1 + n2 -2grados de libertad. (tn1 + n2 - 2) [Vuelve a índice]Ejemplo 3: Dieciocho plantas de una misma variedad de naranjos fuerontratadas con fertilizantes. A nueve de ellas se les aplico una cierta dosis denitrógeno (N) y al resto una de nitrógeno y fósforo (NP). Se midió elrendimiento en Kg. por planta; los resultados obtenidos fueron:_N: X = 28 kg S² = 9_NP: X = 21 kg S² = 7Interesa conocer si existen diferencias significativas entre los rendimientos delas plantas tratadas con los dos tipos de fertilizante. ( = 0,01).H0 ) N = NP ó N - NP =0H1 ) N NPSuponiendo que las variancias poblacionales son iguales, de las cuales S²N yS²NP son estimaciones, se calcula la variancia amalgmada. Si el supuesto nofuera válido debería verificarse primeramente la homogneidad de varinacia através del test F, en particular si las muestras de las poblaciones no soniguales.
  5. 5. DondeEl valor tabulado de t, para 16 grados de libertad y nivel de significación del1% es igual a 2,921. Como el valor de la estadística calculada supera alvalor tabulado, se rechas H0 . Conclusión existen diferencias estadísticamentesignificativas entre los tratamientos, siendo superior el promedio por planta denaranjo, de aquellas que reciben el tratamiento NP. [Vuelve a índice]b) se suponen distintos ( )Los supuestos son los mismos, pero el test estadístico es:estadística que se distribuye aproximadamente como una t de Student con grados de libertad que se obtienen mediante la fórmula de Satterwitte:Gráficamente podemos representar la zona de aceptación y rechazo en ladistribución tsi t < -t t>t si t -t ót tSe rechaza H0 Se rechaza H0 Se rechaza H0 [Vuelve a índice]
  6. 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIASPOBLACIONALES: MUESTRAS APAREADASEsta estrategia de la investigacióm surge cuando cada observación para untratamiento está apareada con otra observación para el otro tratamiento. Estepar está compuesto por las mismas unidades experimentales observadas dosveces en distintos momentos de la investigación, o por unidades semejantes.El procedimeinto consiste en buscar pares de unidades experimentales concaracterísticas similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cadauno de los dos tratamientos en estudio. Por ejemplo parejas de gemelospueden ser asignadas al azar para que reciban dos tratamientos, de tal maneraque los miembros de una sola pareja, reciban tratamientos distintos. Puedenasí mismo ensayarse dos raciones distintas en dos lotes de terneros formandopares de raza de la misma edad, sexo, etc. y ocurrir que al cabo de un tiempo ,exista diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de pesode ambos lotes, (se elimina la influencia diferencia de calidad entre los lotes).También puede ocurrir que al estudiar en dos lotes de plantas homogéneas dea pares, la aplicación de herbicidas (uno en cada lote), para ciertas plagas (seobtenga diferencias de resistencia entre los lotes de plantas).La hipótesis planteada es:H0 ) ó H0) ó H0)H1 ) H1) > 0 H1) <0 = 0,05Como se establece una hipotesis de un único parámetro poblaciona (se podríapensar en una sola muestra) , el número de grados de liberatd es (n - 1)el test estadístico es:donde
  7. 7. luego se compara el tc con tn -1 . Las reglas de decisión son:No se rechaza H0 cuando -t <t<tRechazar H0 si t < -t ót>t [Vuelve a índice]Ejemplo 4: La siguiente tabla muestra los niveles de colesterol en suero para12 individuos , al principio del programa (ANTES) y al final del mismo(DESPUES). INDIVIDUO ANTES XI DESPUES YI di di2 1 201 200 -1 1 2 231 236 +5 25 3 221 216 -5 25 4 260 233 - 27 625 5 228 224 -4 16 6 237 216 - 21 441 7 226 296 - 30 900 8 235 195 - 40 1600 9 210 207 - 33 1089 10 267 247 - 20 400 11 284 210 - 74 5176 12 201 209 +8 64 TOTAL -242 10.766La pregunta que se plantea es: ¿proporcionan los datos suficiente evidenciacómo para concluir que el programa es efectivo en la reducción de los nivelesde colesterol en suero?Aplicar un test de hipótesis para llegar a una decisión al repecto, utilizandoun del 0,05.
  8. 8. Las hipótesis planteadas son:H0)H1) <0 = 0,05t (11; 0,05) = - 1,7959 (valor de tabla)Se rechaza H0 ya que -3,02 es menor que -1,7959Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula, existen diferencias altamentesignificativas entre ANTES y DESPUES. El programa es efectivo. [Vuelve a índice]PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS PROPORCIONESPOBLACIONALESSean y las proporciones muestrales de dos grandes muestras detamaños n1 y n2 extraídas de poblaciones que tienen proporciones P1 yP2 respectivamente. Considérese la H0 de que no hay diferencias entre losparámetros poblacionales, es decir:H0 : P1 = P2, implica que (P1 – P2) = 0H1: P1 P2Una estimación de la proporción poblacional se puede obtener como:La distribución muestral de la diferencia de proporciones se distribuyeaproximadamente normal con media y variancia dadas por: p1-p2 =0 ²p1-p2 = pq(1/n1+1/n2) (los p de los subíndice tienen sombrero)
  9. 9. yPor lo tanto la estadística de prueba esta dada por: N(0, 1) [Vuelve a índice]Ejemplo 5: Sobre parcelas sembradas con dos variedades distintas de maíz (Ay B), se aplicó un herbicida que resultó ser nocivo en el sentido que destruyógran parte de las plantas. De un total de 500 plantas de la primera variedadfueron destruidas 200 y de 570 plantas de la segunda variedad, murierontambién 200. ¿Se puede considerar que el herbicida es igualmente nocivo paralas dos variedades?. ( = 0,05).H0 : PA = PB, implica que (PA – PB) = 0 H1: PA PBPor ser una prueba bilateral, los valores críticos de la distribución normal son–1,96 y 1,96 ( =0,05), como el valor de Z = 1,l8 cae entre estos valores, nose rechaza la hipótesis nula.Conclusión: Se puede considerar que el herbicida es igualmente nocivo paralas dos variedades.CONTRASTE DE HIPÓTESIS RESPECTO A UNA MEDIAPOBLACIONAL ( desconocido)Las hipótesis se plantean de forma similar al caso en que es conocido, perola estadística de prueba es la "t" de Student.Ejemplo: Para estimar el rendimiento de parcelas plantadas con papa de unacierta variedad, se cosecharon ocho de ellas, obteniéndose la siguienteinformación expresada en kg/parcela:
  10. 10. 4,5 5,3 5,4 4,9 5,3 5,7 6,2 4,8¿Se puede asegurar, con =0,05, de que esta variedad de papas tiene unrendimiento promedio de 5,25 kg?H0 : = 5,25H1 : 5,25A partir de los datos se calcula y S², para este ejemplo = 5,5625 y S²=0,2884. =Como el valor de t calculado cae entre –2,365 y 2,365 (valor tabulado de tpara 7 grados de libertad y = 0,025, no se rechaza la hipótesis nula.Conclusión: No hay duficiente evidencia, a partir de los datos de la muestra,para decir que el rendimiento de papa por parcela no es igual a 5,25. [Vuelve al índice]CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTES A UNA PROPORCIÓNPOBLACIONAL (P)Las hipótesis formuladas son:H0: P P0H1: P < P0 : 0,05En el caso del parámetro poblacional "P", cuando el tamaño de la muestra esgrande, la variable aleatoria proporción muestral "p" se distribuyeaproximadamente normal con esperanza igual a P y desviación estandarigualPor eso se puede utilizar "p" como criterio de test para probar la hipótesis conrespecto al parámetro proporción poblacional. El test estadísto z se calcula:
  11. 11. Gráficamente podemos establecer la correspondiente región de rechazo deH0 en la cola de la distribución normalEjemplo: Se supone que en un cierto partido de la provincia de Buenos Aires,el 90% de los productores cultivan maíz. De 110 productores de la zona quese encuestaron, 95 hacen maíz. ¿Está este resultado en conformidad con elvalor supuesto?. ( = 0,05)H0: P = 0,90H1: P 0,90Como el valor calculado de Z = –0,97 reside entre los valores tabulados –1,96y 1,96 (valores críticos de la distribucion normal ) no se rechaza H0.Conclusión, la información proporcionada por la muestra no es suficientecomo para decir que la proporción de productes de tal partido que cultivanmaíz es distinto de 90%. [Vuelve al índice]CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTES AL PARÁMETROVARIANZA POBLACIONALPor ejemplo, un operador en la bolsa de cereales, aconseja a un cliente conrespecto a una inversión de compra y destaca la poca variabilidad de dicha
  12. 12. cotización. De acuerdo a lo estipulado por él, esta acción presentaría unavarianza en las cotizaciones diarias = 0,2.El cliente, quien debe realizar una fuerte inversión, decide poner a prueba lahipótesis del operador, estableciendo las siguientes hipótesis estadísticas:H0) 0,2H1) > 0,2Fijamos: = 0,05, como nivel de significación.Para probar esta hipótesis selecciona una muestra de 15 días donde se registrala cotización diaria. El cálculo de la varianza en la muestra es S2 = 0,4.El test estadístico es:que se distribuye como una con (n - 1) grados de libertad.Se calcula el valor del estadístico planeado:Gráficamente se tendrá:Como se puede observar, el estadístico utilizado como criterio para realizar eltest, cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula.
  13. 13. Conclusión: La evidencia muestral parece indicar que el operador estabaequivocado y que en realidad la cotización diaria es bastante más variable delo que él cree.EJERCICIO 1Un criador de pollos sabe porexperiencia que el peso de lospollos de cinco meses es 4,35libras. Los pesos siguen unadistribución normal. Para tratarde aumentar el peso de dichasaves se le agrega un aditivo alalimento. En una muestra depollos de cinco meses seobtuvieron los siguientes pesos( en libras).
  14. 14. 4,41 4,37 4,33 4,35 4,34,39En el nivel 0,01, el aditivoa haaumentado el peso medio de lospollos? Estime el valor de p.
  15. 15. EJERCICIO 2Una empresa que se dedica ahacer en cuestas se queja deque un agente realiza enpromedio 53 encuestas porsemana. Se ha introducido unaforma más moderna de realizarlas encuetas y la empresa quiereevaluar su efectividad. Losnúmeros de encuestasrealizadas en una semana poruna muestra aleatoria deagentes son:
  16. 16. 53 57 50 55 58 5451 59 56En el nivel de significancia0,05, puede concluirse que lacantidad media de entrevistasrealizadas por los agentes essuperior a 53 por semana?Evalúe el valor p.
  17. 17. EJERCICIO 3
  18. 18. Lisa Monnin es directora depresupuesto en la empresa NewProcess Company, deseacomparar los gastos diarios detransporte del equipo de ventasy del personal de cobranza.Recopiló la siguienteinformación muestral ( importeen dólares). Ventas ($) 131 135 146 1 Cobranza ($) 130 102 129Al nivel de significancia de 0,10,puede concluirse que los gastos
  19. 19. medios diarios del equipo deventas son mayores? cuál es elvalor p?
  20. 20. EJERCICIO 4De una población se toma unamuestra de 40 observaciones.La media muestral es de 102 yla desviación estándar 5. Deotra población se toma unamuestra de 50 observaciones.La media mustral es ahora 99 yla desviación estándar es 6.Realice la siguiente prueba dehipótesis usando como nivel designificancia 0,04.Ho: u1 = u2
  21. 21. Ho: u1 ≠ u2a) Es esta una prueba de una ode dos colas? Esta es una prueba dehipótesis de dos colasb ) Establezca la regla dedecisión Si Z > que le valor crítico, serechaza la hipótesis nula y seacepta la hipótesis alternativac) Calcule el valor delestadístico de prueba
  22. 22. Si Z > que el valor crítico, se rechaza la
  23. 23. d) Cuál es su decisión respectoa la hipótesis nula? Como su valor calculado Z(2,59) > 2,05; se rechaza lahipótesis nula y se acepta lahipótesis alternativa Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 =0,48 este valor en la tabla es2,05
  24. 24. e) Cuál es el valor p? Z = 2,59 Area 0,4952 0,5 - 0,4952 = 0,0048 *2 = 0,0096

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