Grafos

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Grafos

  1. 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO TÉCNOLOGICO “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” Barquisimeto – Estado Lara ÁLGEBRA I Bachiller: Geraldine Cadevilla C.I: 17625053 Escuela: Informática
  2. 2. INSTITUTO UNIVERSITARIO TÉCNOLOGICO “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” Barquisimeto – Estado Lara GRAFOS Barquisimeto, 30 de enero de 2012.
  3. 3.  Def. 1: Un grafo “G” está formado por un conjunto de vértices v es distinto vacío v = {v1,v2,………vn} y un conjunto “A” de aristas o lados, en donde a cada arista se le asigna un par no ordenado (u,v) con u,v en V tal que A = {a1, a2,….an} Notación: G = [V,A] a Representación Geométrica: u v Def. 2: Dado un grafo G = [V,A] se tiene lo siguiente:
  4. 4. a) La multiplicidad del par (u,v) se define como el número de aristas entre “u” y “v”. Notación m(u,v).b) Una arista “a” es un lazo si existe v en V tal que a = (v,v).c) Dos aristas a y b son paralelas si existen u,v en V tal que: a = (u,v) = b.d) Una arista a en A incide en un vértice “v”, si “v” es extremo de “a”.e) El grado de un vértice v en V, denotado por g(v), representa el número de aristas que inciden en “v”.f) Dos vértices “u” y “v” son adyacentes si y solo si existe una arista a en A con extremos “u” y “v”.g) Ges un grafo nulo si a es igual a vacío.
  5. 5. En matemáticas y en ciencias de lacomputación, la teoría de grafos (tambiénllamada teoría de las gráficas) estudia laspropiedades de los grafos (también llamadasgráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, deobjetos llamados vértices (o nodos) y unaselección de pares de vértices, llamados aristasque pueden ser orientados o no. Típicamente, ungrafo se representa mediante una serie de puntos(los vértices) conectados por líneas (las aristas).
  6. 6. RepresentaciónMatricial de Grafos:
  7. 7. Matriz de Adyacencia y Matriz de Incidencia: Dado un grafo G = [V,A] en donde v = {v1,v2,………vn} y A = {a1, a2,….an} se define:a) Matriz de adyacencia, como la matriz cuadrada nxn cuya componente con fila “i” y columna “j” la representa el número m(vi,vj).b) Matriz de incidencia, como la matriz de orden mxn cuya componente con fila “i” columna “j” se define como la incidencia de la arista ai con respecto al vértice vj.
  8. 8. Grafos Eulerianos yGrafos Hamiltonianos:
  9. 9. Grafos Eulerianos: un grafo G = [V,A]conexo es euleriano si y solo si existe unciclo en G que recorre todas las aristas.Si existe una cadena simple que recorratodas las aristas de G, diremos que elgrafo es Semi-euleriano.Grafos Hamiltonianos: un grafo G = [V,A]conexo entonces G es hamiltoniano siexiste un ciclo elemental que recorretodos los vértices. G es Semi-hamiltoniano si existe una cadenaelemental que recorre todos los vértices.
  10. 10. Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, dondeno se recorre dos veces la misma arista, y donde seregresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tieneademás que recorrer todos los vértices exactamenteuna vez (excepto el vértice del que parte y al cualllega).Por ejemplo, en un museo grande, lo idóneo seríarecorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar unciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo(los vértices son las salas, y las aristas los corredores opuertas entre ellas).Se habla también de camino hamiltoniano si no seimpone regresar al punto de partida, como en unmuseo con una única puerta de entrada. Porejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas deun tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma:es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclohamiltoniano en el grafo del dodecaedro.
  11. 11. Árboles:Un grafo G1 = [V1,A1] es un subgrafo deG = [V,A] si y solo si V1 es subconjuntode V y tambiés A1 es subconjunto de A.un grafo T = [V,A] es un árbol si no poseeciclos y es conexo.Si T es un grafo con n mayor igual a2, entonces: T es un árbol si y solo si T esconexo y todas sus aristas son puentes.Si T es un árbol con n vértices entonces nes mayor igual a 2 entonces T tiene n-1aristas.
  12. 12. Un subgrafo H de un grafo conexo Gsedenomina “árbol generador” si secumplen las siguientes condiciones:1) H es un árbol.2) H posee todos los vértices de G.
  13. 13. Aplicaciones: Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería. Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd. Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.
  14. 14.  La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes. Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.

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