1. U N I V E R S I D A D A L A S P E R U A N A S
FILIAL AYACUCHO
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
“ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL”
TEMA : SUMATORIA
CURSO : ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
ALUMNOS : HUAMANI QUICHCA, Bladimir
PACHECO AVILA, Katiusca
SINCHE CAVALCANTI, Javier Oliver
VARGAS QUISPE, José
DOCENTE : ECON. VILLAR ANDIA, Paul
CICLO : III
AYACUCHO- PERU
2015
2. Dedicatoria
Este trabajo dedicamos a los profesores de la universidad alas peruanas filial
Ayacucho y a todos nuestro compañeros del la asiganatura de estadísticas y
probabilidades.
3. Introducción
La sumatorias es el estudio de fenómenos y procesos que ocurren en la Naturaleza y
la Sociedad conduce a la formulación de modelos que los describen y predicen su comportamiento,
pueden agruparse en dos categorías:continuos,como la descripción de la transmisión del movimiento a
través de una cuerda, el desplazamiento de un vehículo, etc., o discretos, como la serie de pagos
históricos de una entidad, losregistros de temperatura de un país o territorio, etc.
Esta última categoría, discretos, tiene gran importancia en la actualidad atendiendo al
acelerado desarrollo de las técnicas digitales,que en la práctica es un proceso donde toda la información,
en última instancia, se representa a través de conjuntos ordenados de dos valores lógicos: falso o
verdadero.
En términos matemáticos, el estudio de las funciones cuya variable dependiente exhibe una variación
discreta constituye una especialidad, que tiene en las sumatorias y series un componente relevante.
Tomando en cuenta lo señalado, en el presente trabajo se relacionan un conjunto de propiedades
reportadas en la literatura sobre las sumatorias y se deducen otras que pueden facilitar cálculos tales
como la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultantes del planteamiento del problema de la
obtención de expresiones analíticas para la derivada de funciones de variable independiente discreta.
4. SUMATORIAS
HISTORIADE LA SUMATORIA
La historia de la sumatoria empieza desde que Carl
Friedrich ingresó a la escuela primaria St. Catherine a
los 7 años de edad . Su profesor fue J. G. Büttner, un
mastro de la escuela que, en general, consideraba a
sus alumnos como poco inteligentes.
Sin embargo, pronto descubrió que Gauss era
diferente. una mañana en clases el profesor, ante un
grupo de niños de alrededor de 10 años de edad,
estaba molesto por el mal comportamiento de los
alumnos y les puso un problema en el pizarrón que
según él les tomaría un buen rato terminar; así, de paso, podría descansar. En esos
tiempos los niños llevaban una pequeña pizarra en la cual hacían sus ejercicios.
Y el profesor dijo que mientras fueran acabando pusieran las pizarras en su escritorio
para que luego las revisara. El problema consistía en sumar los primeros cien números
enteros, es decir, encontrar la suma de todos los números del 1 al 100. A los pocos
segundos de haber planteado el problema se levantó un niño y puso su pizarra sobre
el escritorio del maestro. Éste, convencido de que aquel niño no quería trabajar, ni se
molestó en ver el resultado; prefirió esperar a que todos terminaran.
Un poco más de media hora después comenzaron a levantarse los demás niños para
dejar su pizarra, hasta que finalmente todo el grupo terminó. Para sorpresa del
profesor, de todos los resultados el único correcto era el del primer muchacho gaus,
mando a llamar al chico y le preguntó si estaba seguro de su resultado y cómo lo
había encontrado tan rápido; el niño respondió:
"Mire maestro, antes de empezar a sumar mecánicamente los 100 primeros números
me di cuenta que si sumaba el primero y el último obtenía 101; al sumar el segundo y
el penúltimo también se obtiene 101, al igual de sumar el tercero con el antepenúltimo,
y así sucesivamente hasta llegar a los números centrales que son 50 y 51, que
también suman 101. Entonces lo que hice fue multiplicar 101 x 50 para obtener mi
resultado de 5.050."
formula para los numeros naturales :
ejemplo:
formula para numeros consecutivos :
formula para la sumatoria de cubos para numeros consecutivos.
5. Valor donde termina
la sumatoria
Valor por el cual
comienza la suma
Signo
Sumatoria Término a sumar
Límite
inferior
Límite
superior
INTRODUCCIÓN
Dentro del estudio de muchos fenómenos de la naturaleza, la formulación del modelo
que describe el comportamiento del mismo, puede estar bajo el uso de variables
discretas, siendo las sumatorias un insumo fundamental.
Las sumatorias son dos procesos matemáticos muy particulares de gran utilidad en
ciencias estadísticas, ciencias económicas y otros. Aún en los fundamentos de Cálculo
Integral, las sumatorias son un insumo básico, es común hablar de las muy nombradas
Sumas de Riemman, como la base de las integrales definidas. En el análisis de series
las sumatorias son el pan de cada día. En fin se puede observar que las sumatorias
tienen gran utilidad en el mundo de las matemáticas.
Al presentarse la suma de una secuencia numérica, en donde destaquemos cierta
secuencia u orden en los sumandos que se van a sumar, podemos esa suma
abreviarla bajo un signo, el que denominaremos sumatoria.
Identificación,
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
El símbolo Σ se llama Sigma en el
alfabeto griego y en español corresponde a la letra S. Es natural usar este símbolo
para referirse a la idea de Suma, o bien, sumatoria. Con el símbolo Σk2
, por ejemplo,
se desea indicar la suma de los términos de la forma k2
para varios valores enteros de
k. El rango para estos valores enteros se indica en la parte inferior y superior
respectivamente. Por ejemplo en la forma:
∑ 𝒌 𝟐
= 𝟏 𝟐
+ 𝟐 𝟐
+ ⋯ + 𝒏 𝟐𝒏
𝒌=𝟏
Una sumatoria es un símbolo que se ocupa para denotar
en forma comprimida la suma sucesiva de los términos de
una sucesión expresados como sumandos.
Las sumatorias tienen múltiples aplicaciones. En
ingeniería, ésta es útil para comprender el concepto de
integral.
Existen ciertas propiedades que permiten simplificar el
desarrollo matemático de las sumatorias e incluso pueden
dar lugares a reglas o “fórmulas” que son susceptibles de
ser demostradas por el principio de Inducción Matemática.
A continuación se relacionan las propiedades de las sumatorias:
6. SUMATORIA SIMPLE
Cuando el proceso de sumatoria se realiza sobre un solo índice.
PROPIEDADES:
1. La sumatoria de la suma de dos o más términos, es igual a la suma de las
sumatorias separadas de los términos.
∑( 𝑥𝑖 ± 𝑦𝑖) = ∑ 𝑥𝑖 ± ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
2. La sumatoria de una constante multiplicada por una variable es igual a la
constante multiplicada por la sumatoria de la variable.
∑ 𝑎. 𝑥𝑖 = 𝑎. ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
3. La sumatoria de una constante es igual a la constante multiplicada por el
número que indique los límites de la sumatoria.
∑ 𝑎 = 𝑛𝑎
𝑛
𝑖=1
4. El índice de la sumatoria es una variable ficticia es decir se puede cambiar en
toda la expresión de la sumatoria sin alterar el resultado que esta representa.
∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑗
𝑏
𝑗=𝑎
𝑏
𝑖=𝑎
5. Se puede descomponer en la suma de dos o más sumatorias.
∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 + ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=𝑚+1
; 𝑚 < 𝑛
𝑚
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
7. EJERCICIO
Si
𝑄 = ∑ ( 𝑦𝑖 − ℎ)2𝑛
𝑖=1 , demostrar que esta funcion dependiente de "h",
alcanza el valor más pequeño cuando este es igual a:
ℎ = ȳ = ∑
𝑦𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
Solución:
Del enunciado debe cumplirse que:
∑( 𝑦𝑖 − ℎ)2
≥ ∑( 𝑦𝑖 − ȳ)2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
∑( 𝑦𝑖
2
− 2ℎ𝑦𝑖 + ℎ2)
2
≥ ∑( 𝑦𝑖
2
− 2ȳ𝑦𝑖 + ȳ2)
2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
∑( 𝑦𝑖)2
− 2ℎ ∑ 𝑦𝑖 + 𝑛ℎ2
𝑛
𝑖=1
≥ ∑( 𝑦𝑖)2
− 2ȳ ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑛ȳ2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
Simplificando:
(ℎ2
− 2ℎȳ + ȳ2) ≥ 0
(ℎ − ȳ)2
≥ 0
Lo cual es siempre cierto.
SUMATORIADOBLE
Cuando la variable observada se categoriza por dos criterios, se tiene dos subíndices
para la variable, y un elemento en particular se define como Xij.
Por ejemplo:
9. Solución:
∑ [[∑(𝑥 𝑖𝑗
2
𝑗=1
− 4)]
1
3⁄
]
4
𝑖=1
+ 8𝑏
2.- Si los precios de venta por kilos de azúcar de los mercados 1, 2 y 3 son
respectivamente:
P1 = S/. 2.00
P2 = S/. 2.30
P3 = S/. 2.10
Conociendo la información dada y sabiendo además el costo del azúcar por sacos de
50 kilos es de S/.80 y los costos de transporte por tonelada desde los almacenes 1, 2,
3, 4 y 5 son variables:
C1 = S/. 120.00
C2 = S/. 72.00
C3 = S/. 96.00
C4 = S/. 120.00
C5 = S/. 72.00
Halle la ganancia total de los mercados 1 y 3.
1 ton = 1000 kilos, costo por ton del azúcar = 1600,
Costo del azúcar:
𝑐1 𝑥11 + 𝑐2 𝑥21 + 𝑐3 𝑥31 + 𝑐4 𝑥41 + 𝑐5 𝑥51 + 𝑐1 𝑥13 + 𝑐2 𝑥23 + 𝑐3 𝑥33 + 𝑐4 𝑥43 + 𝑐5 𝑥53
∑ 𝑐𝑖 ∑ 𝑥 𝑖,2𝑗−2
2
𝑗=1
5
𝑖=1
= 4 536 ;
Utilidad = 92000-45*1600-4536 = S/.15,464.00
APLICACIONES
I. Mejoramiento Genético
Objetivo: Modificar frecuencias génicas en genes (muchos) involucrados en
características de importancia agronómica, en algún sentido previamente
predeterminado.
Base: registro fenotípico (por ejemplo: kg de leche producidos en una lactancia) para
estimar mérito genético (no visible) de reproductores en esa característica
10. Problemas:
1. Estimar parámetros poblacionales (medias, varianzas) y distribuciones
2. Hacer predicciones del valor genético de los animales
3. Establecer medidas de asociación entre animales o variables productivas
Características:
1. Uso de grandes volúmenes de datos
2. Tipificación de la muestra para realizar inferencias sobre la población
muestra población
3. Predicción de valores individuales de los animales a partir del conocimiento
poblacional.
II. Fuerzas Intermoleculares
Termodinámica Estadística a sistemas formados por partículas no interactuantes
donde la energía total puede expresarse como suma de las energías de las N
partículas que forman el sistema:
𝐸 = ∑ 𝜀𝑖 … (1)
𝑁
𝑖=1
De forma que la función de partición se puede escribir como el producto de las
funciones de partición de las partículas (dividido por N! si son indistinguibles). Por
ejemplo, imaginemos un sistema formado por dos partículas no interactuantes cuyo
movimiento de traslación puede ser descrito clásicamente:
𝐸 =
1
2
𝑚1 𝑣1
2
+
1
2
𝑚2 𝑣2
2
= ∑
𝑝𝑖
2
2𝑚𝑖
= ∑ 𝜀𝑖
𝑖𝑖
… (2)
11. Conclusiones
Como conclusión de este trabajo podemos señalar que se relacionan un conjunto de propiedades de las
sumatorias descritas en la literatura,a partir de las cuales se dedujeron diversas propiedades,que son de
particular utilidad para el cálculo de los determinantes asociados a la solución del Sistema de Ecuaciones
Lineales resultante del planteamiento del problema de obtención de expresiones analíticas para el cálculo
de la derivada de funciones de variable discreta.
