1. Constantino Campos Romero
Pedagogia 4º “B”
NÚMERO IRRACIONAL
En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser
expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de
cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es
racional.
== Notación == carolain No existe una notación universal para indicarlos, como
, que es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de
Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo
son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y los
Complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al
conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios
Puros, lo cual puede crear confusión.
Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna
fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... Se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón
(o fracción),
¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número
racional:
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así
19
/2 = 9,5
Así que no es irracional (es un número racional)

2. Aquí tienes más ejemplos:
¿Racional o
Números En fracción
irracional?
5 5/1 Racional
1,75 7/4 Racional
.001 1/1000 Racional
√2
? ¡Irracional!
(raíz cuadrada de 2)
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es
1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue
indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han
calculado más de un millón de cifras decimales y
sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y
sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro
número irracional famoso. Se han calculado
muchas cifras decimales de e sin encontrar
ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y
sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus
primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y más...)

3. Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también
son irracionales. Ejemplos:
1,7320508075688772935274463415059
√3
(etc.)
9,9498743710661995473447982100121
√99
(etc.)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las
raíces son irracionales.
Historia de los números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números
irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que
usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como
fracción, así que es irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque
creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar
que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hiposo por la
borda y se ahogó.
Los núme ros irrac i ona l es
Un n ú me ro e s irra cio n a l si p o se e inf in it a s cif ra s d e cim a le s no
p e rió d ica s , po r ta n t o no se pu ed e n e xp re sa r en f o rma d e
f ra cción .
E l n úm e ro irra cio na l má s con o cid o es , qu e se d ef in e co m o la
re la ció n en t re la lon git u d d e la circu nf e re n cia y su d iá me t ro .
= 3 . 1 41 5 92 6 53 58 9. . .
O t ro s n úme ro s irra cio n a le s so n :
E l n ú me ro e a pa re ce e n p ro ce so s d e cre cim ien to , e n la
d e sin te gra ció n ra dia ct iva , e n la f ó rmu la de la ca te na ria , qu e es
la cu rva qu e p od em o s a p re cia r e n los t e nd id o s e lé ct rico s.
e = 2 . 71 82 8 18 2 845 9 .
E l n úm e ro áu re o , u t iliza d o po r a rt ist a s de to d a s la s é po ca s
(Fid ia s, L e o na rd o d a V in ci, A lb e rt o Du le ro , Da lí, . . ) e n la s
p ro p o rcio ne s de su s o b ra s.

4. E CU ACI O N DE 2 ª
Una ecuación de segundo grado 1 2 o ecuación cuadrática, es aquella en la
cual la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. La
expresión general de una ecuación cuadrática es
Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente
cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación cuadrática
proporciona las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas, que
pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.
Historia
El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran
antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla.
En Europa: a) en Grecia las desarrolló el matemático Diofanto de Alejandría; b)
el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Líber embadorum,
introdujo la solución de estas ecuaciones.
Fórmula cuadrática
De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen
siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que
pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática3 a la
ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

5. ,
Donde el símbolo ± indica que los valores
y
Constituyen las dos soluciones.
Discriminante
Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre
de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D
o bien con el símbolo Δ (delta):
Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones
reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces
complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la
parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
.

6. Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca
en un punto al eje de las abscisas: X):
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la
parábola no corta al eje de las abscisas: X):
Donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son
números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.
Ecuación bicuadrática
Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en es de la
forma:
Con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta
ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.
Clasificación
La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:
1. Completa. Es la forma canónica:
Donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales
y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos
números complejos conjugados, según el valor del discriminante
Ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por
fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.
2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

7. Donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x
mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren
en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos
números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c
son del mismo signo.
Una ecuación cuadrática incompleta:
Con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto,
su única solución de multiplicidad dos es x = 0.
3. Incompleta mixta. Se expresa así:
Donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por
factorización de x. Siempre su solución es la trivial x1 = 0. En números
imaginarios no hay solución.
Deducción para resolver la ecuación de la forma
La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el
coeficiente líder, de forma que
Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que y la
demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:
Desde la ecuación
Transponiendo n
Sumando a ambos términos

8. Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado
Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros
Transponiendo y simplificando la fracción de la raíz
Simplificando a común denominador
Si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado
Ejercicio;