Este documento apresenta uma monografia sobre a relação entre cônicas e espelhos esféricos na perspectiva da interdisciplinaridade entre matemática e física. O trabalho é dividido em três capítulos onde o primeiro traz considerações sobre espelhos esféricos e cônicas, o segundo discute o conceito de interdisciplinaridade e sua relação entre matemática e física, e o terceiro apresenta a metodologia adotada.

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
SENHOR DO BONFIM – BA.
CURSO DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
INTERDISCIPLINARIDADE: A RELAÇÃO
CÔNICAS – ESPELHOS ESFÉRICOS DAS
COMPONENTES CURRICULARES
MATEMÁTICA E FÍSICA.
Magnum Miranda de Araújo
Senhor do Bonfim
2008

2. Magnum Miranda de Araújo
INTERDISCIPLINARIDADE: A RELAÇÃO CÔNICAS – ESPELHOS
ESFÉRICOS DAS COMPONENTES CURRICULARES MATEMÁTICA E
FÍSICA.
Monografia apresentada ao
Departamento de Educação
de Senhor do Bonfim –
Campus VII da Universidade
do Estado da Bahia, como
requisito parcial para a
obtenção do título de
Graduado em Licenciatura em
Matemática.
CONCEITO: _____________________________________________________
BANCA AVALIADORA
Prof. (a) 1: ________________________________
Mirian Brito de Santana
Prof. (a) 2: ________________________________
Ivan
Prof. (a) 3: ________________________________
Orientador: _________________________________
Profº. Geraldo Caetano de Souza Filho
Senhor do Bonfim
2008

3. DEDICATÓRIA
Oferto este trabalho monográfico à minha família, em especial minha mãe,
Maria Augusta, a meu pai, Francisco Augusto, aos meus irmãos, Vinicius e Leandro,
pela ajuda, pelo incentivo e pela compreensão nos momentos que necessitei ficar
distante.
Dedico aos meus avós: Isabel e Adalberto (em memória); Evani e José
Gomes e a meu afilhado Kadu.

4. AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela vida, saúde e sabedoria com as quais fui capaz de
chegar até aqui. Agradeço e saliento que a realização deste trabalho deve-se a
generosidade, atenção e orientação do amigo e professor Geraldo Caetano, aos
amigos da UNEB, alunos do CAMPUS VII; Jovens que enfrentaram e enfrentam o
que eu enfrentei: distanciar-se da família em busca de um ideal comum; ao apoio
irrestrito da minha família, dos amigos de infância, bem como aos novos, em
especial aos da faculdade, aos meus amigos-irmãos da casa do estudante que
convivi estes últimos anos.
Agradeço a meus colegas de trabalho, especialmente a Professora Sílvia,
Professora Fabíola, Professora Tina e Professor Robério, pela compreensão e
apoio. À minha nova família: D. Vanda, Sr. Martins e minha namorada Cínthia o meu
muito obrigado.
Fico grato a UNEB (CAMPUS VII), por dar subsídio a minha formação, a
direção, professores e funcionários.
Por fim, agradeço a todos que me ajudaram desde a minha infância até os
dias atuais, dando-me conselhos e orientações para um bom caminho.

5. RESUMO
A Interdisciplinaridade pode ser interpretada
como um instrumento pedagógico inovador para o ensino na comunidade escolar
atualizada. O presente trabalho acomete a influência mútua entre as componentes
curriculares Matemática e Física, dando ostentação à relação de elementos e
definições pertinentes a ambas, fazendo uma ponderação sobre a importância da
interdisciplinaridade nos ambientes de ensino, mais exatamente nas escolas da
macrorregião de Senhor do Bonfim, Bahia, onde foram colhidos e analisados dados
de maneira quantitativa e qualitativa proporcionando uma real visão quanto aos
elementos e definições comuns existentes entre a matemática e a física no estudo
das cônicas e os espelhos esféricos. O interesse em diagnosticar e relatar essa
prática interativa dentro de escolas públicas e privadas traduz a construção deste
trabalho, onde se busca conceber a prática de diversos profissionais que ministram
aulas de matemática e/ou física e confrontá-las com o discurso interdisciplinar.
Encontrar-se-ão elementos referentes ao estudo dos espelhos esféricos, cônicas e
interdisciplinaridade, fundamentados por diversos autores pertinentes à temática
citada.
Palavras-Chave: Cônicas. Espelho Esférico. Interdisciplinaridade.

6. ABSTRACT
The Interdisciplinarity can be interpreted as an innovative teaching tool for
teaching in the school community updated. This work involves the mutual influence
between mathematics and physics curriculum components, giving flaunt the
relationship of elements and definitions relevant to both, making a weighting on the
importance of interdisciplinarity in the teaching environments, more precisely in
schools of macro-Lord of Bonfim, Bahia, which were collected and analyzed data
from a quantitative and qualitative providing a real vision on the issues common
between mathematics and physics in the study of conical and spherical mirrors. The
interest in diagnosing and reporting this interactive practice within public and private
schools reflects the construction of this work, which is seeking to design the practice
of various professionals who MET classes in math and / or physical and confront
them with the interdisciplinary discourse. Will meet aspects of the study of spherical
mirrors, conical and interdisciplinary, anchored by several authors relevant to the
issue said.
Key words: taper. Mirror Sphere. Interdisciplinarity.

7. SUMÁRIO
Introdução ............................................................................................................... 09
Capítulo I ................................................................................................................ 13
1.1 Um Breve Relato da Óptica Geométrica .......................................................... 13
1.2 A Óptica Geométrica ........................................................................................ 14
1.3 Espelhos ........................................................................................................... 15
1.3.1 Os Espelhos Esféricos .................................................................................. 15
1.3.2 Análise dos Espelhos .................................................................................... 18
1.4 Um Breve Relato Sobre Cônicas ...................................................................... 19
1.4.1 O Estudo de Alguns Tipos de Cônicas .......................................................... 20
Capítulo II ............................................................................................................... 27
2.1 Interdisciplinaridade .......................................................................................... 27
2.2 Interdisciplinaridade: Matemática – Física ....................................................... 29
Capítulo III .............................................................................................................. 31
3 Metodologia ......................................................................................................... 31
3.1 Análise de Dados ............................................................................................. 33
3.2 A Entrevista ...................................................................................................... 35
3.3 Questionário ..................................................................................................... 35
Conclusão ............................................................................................................... 45
Referências ............................................................................................................ 47
Apêndice ................................................................................................................. 50

8. LISTA DE FIGURAS
Figura 01 – Ilustração Óptica ................................................................................. 13
Figura 02 – Propagação dos Raios de Luz ............................................................ 14
Figura 03 – Secção Feita Por Um Plano ................................................................ 16
Figura 04 – Elementos dos Espelhos Esféricos ..................................................... 17
Figura 05 – Direção do Raio no Espelho Côncavo ................................................ 17
Figura 06 – Direção do Raio no Espelho Convexo ................................................ 17
Figura 07 – Formação do Foco .............................................................................. 18
Figura 08 – Localização do Foco do Espalho côncavo .......................................... 18
Figura 09 – Localização do Foco do Espalho convexo .......................................... 19
Figura 10 – Raios não Paralelos ao Eixo ............................................................... 19
Figura 11 – Secção Feita no Cone ......................................................................... 20
Figura 12 – A Elipse Obtida na Secção ................................................................. 20
Figura 13 – Representação de um ponto da Elipse ............................................... 21
Figura 14 – Representação de pontos da Elipse.................................................... 21
Figura 15 – Esboço da Elipse ................................................................................. 22
Figura 16 – Os Pontos e as medidas da Elipse ..................................................... 22
Figura 17 – Elementos da Elipse ............................................................................ 23
Figura 18 – Secção Feita no Cone ......................................................................... 23
Figura 19 – A Hipérbole Obtida na Secção ............................................................ 24
Figura 20 – Esboço da Hipérbole ........................................................................... 24
Figura 21 – Esboço da Hipérbole ........................................................................... 25
Figura 22 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 25
Figura 23 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 25
Figura 24 – Elementos da Hipérbole ...................................................................... 26
Figura 25 – Raios Paralelos ................................................................................... 40
Figura 26 – Raios Dispersos .................................................................................. 40

9. INTRODUÇÃO
Sendo livre a abordagem do conteúdo a ser desenvolvido numa monografia, o
interesse, no desenvolvimento deste trabalho, foi motivado por um estudo na
componente curricular FÍSICA, com especificidade nos espelhos esféricos onde
percebemos uma singularidade com o conteúdo cônicas da componente curricular
MATEMÁTICA, e fora considerado abordá-las dentro da interdisciplinaridade, pois
essa traduz a integração de dois ou mais componentes curriculares na construção
do conhecimento que surge como uma das contestações à necessidade de uma
reconciliação epistemológica, processo necessário devido ao fracionamento dos
conhecimentos ocorrido com a revolução industrial e a necessidade de mão de obra
especializada. Busca-se conciliar os conceitos pertinentes às diversas áreas do
conhecimento físico-matemático a fim de promover avanços como a produção de
novos conhecimentos ou mesmo, novas subáreas.
A origem histórica da palavra MONOGRAFIA vem da especificação, ou seja,
a redução da abordagem a um só assunto, a um só problema. Seu sentido
etimológico significa: mónos (um só) e graphein (escrever): dissertação a
respeito de um assunto único. Ela tem dois sentidos: O estrito, que
determina identidade com a tese, cuja abordagem escrita de um tema
específico que provém de pesquisa científica com o intuito de apresentar
uma contribuição relevante ou original e pessoal à ciência. E o Lato, que se
ajusta com todo trabalho científico de primeira mão, sendo resultante de
pesquisa: acervos em geral, dissertações e memórias científicas, as antigas
exercitações e tesinas, os informes científicos ou técnicos e obviamente a
própria monografia no sentido acadêmico, ou seja, o tratamento escrito
aprofundado de um só assunto, de maneira descritiva e analítica, onde a
reflexão é a tônica (está entre o ensaio e a tese e nem sempre se origina de
outro tipo de pesquisa que não seja a bibliografia e a de documentação).
A primeira monografia que foi publicada é datada de 1855 (embora já viesse
empregando o método desde 1830), por Le Play (1806-1882), Les Ouvriers
eurpéens. O autor disserta com minúcias o estilo de vida dos operários e o
orçamento de uma família-padrão daquela classe. (extraído de:
http://br.geocities.com/marij_br/main_nasce.html).
Abordando a interdisciplinaridade na educação como processo de
especialização do saber, ela mostra-se como uma das respostas para os problemas
provocados pela excessiva compartimentação do conhecimento, segundo Fazenda
(1994). No final do século XX, surge a necessidade de mudanças nos métodos de
ensino, buscando viabilizar práticas interdisciplinares. A abordagem escolar difere da

10. científica em termos de finalidades, objetos de estudo, resultados, dentre outros,
sendo, portanto mais complexos as transformações neste espaço diversificado.
Considerando a interdisciplinaridade como uma reflexão aprofundada, crítica
e de benefício sobre o funcionamento do ensino, ela pode ser considerada segundo
Fazenda (1995, p. 32) como:
Meio de conseguir uma melhor formação geral, pois somente um enfoque
interdisciplinar pode possibilitar certa identificação entre o vivido e o
estudado, desde que o vivido resulte da inter-relação de múltiplas e variadas
experiências.
Analisando o conteúdo da obra como um todo e dando ênfase a essas
palavras da autora percebe-se que a necessidade de se conhecer mais de uma área
e, concomitantemente, associar esse conhecimento teórico ao dia a dia é de
fundamental importância para uma melhor aprendizagem e formação profissional. É
óbvio que tendo um amplo conhecimento não haverá garantia de o homem moderno
ter uma realização pessoal e um bem-estar favorável, pois isto depende das
aspirações as quais cada indivíduo possui. Contudo, esse maior conhecimento
diversificado com certeza irá somar-lhe e inseri-lo no topo de uma sociedade culta.
O interesse pela relação cônicas/espelhos esféricos e as práticas
pedagógicas interdisciplinares de profissionais cujas tarefas de ensino absorva as
áreas matemática e/ou física gerou o seguinte questionamento: todos os professores
das áreas de exatas percebem alguma relação entre os espelhos esféricos e as
cônicas? Para tanto, buscou-se referenciais em autores que analisam as questões
de existência isolada e far-se-á um parâmetro de acordo com os problemas e
dificuldades enfrentadas pelos docentes.
O objetivo geral deste trabalho é refletir sobre a importância da
interdisciplinaridade entre matemática-física, no estudo da relação cônicas-espelhos
esféricos. Os objetivos específicos, e não menos importantes, consistem em relatar
aspectos pertinentes à pesquisa sobre espelhos esféricos e cônicas, identificando

11. aplicações desses conteúdos em situações do cotidiano, e explanar a importância
do trabalho interdisciplinar dentro das escolas e seus reflexos na sociedade humana.
Para facilitar a compreensão e entendimento da presente monografia,
ocorrerá fracionamento do corpo textual da seguinte forma:
O Capítulo I traz considerações acerca dos espelhos esféricos e outros
conteúdos a ele interligados, subsidiando o trabalho dentro da física. Ele fora feito
com uma retomada histórica da óptica e em seguida, apresenta acepções a respeito
de luz, raio luminoso, espelhos, dentre outros. Outrossim, enfatiza o conteúdo
cônicas, pertencente especificamente à Matemática, restringindo-se ao estudo da
elipse e da hipérbole. De forma sucinta também traz citações relevantes de
matemáticos de séculos passados cujas características conservam-se até os dias
atuais.
O Capítulo II apresenta trechos sobre o surgimento da interdisciplinaridade no
mundo, bem como sua chegada ao Brasil, e todos os aspectos referentes a esta
ferramenta metodológica de grande valia para o sistema educacional, além de
elucidar a relação matemática-física na visão de alguns estudiosos.
A Metodologia desenvolvida tem como sustentáculo a pesquisa descritiva,
qualitativa e quantitativa, onde estas se entrelaçam no propósito de retratar todo o
trabalho desenvolvido de forma clara e detalhada.
A Análise de dados fora construída através das respostas apresentadas pelos
participantes diante do questionário (Apêndice 1) por eles desenvolvido. Relatos
importantes dos docentes entrevistados estão compondo este momento, bem como
citações de autores importantes ao presente estudo.
A Conclusão traduz todo o empenho e resultado obtidos após o
desenvolvimento da pesquisa. Nela encontram-se os objetivos atingidos e as
perspectivas geradas nesta produção.

12. As Referências e o apêndice revelam, respectivamente, as fontes de
pesquisas consultadas e o questionário utilizado. Vale salientar que o exame
simultâneo FÍSICO-MATEMÁTICO desenvolvido no âmbito da monografia teve
caráter teórico/revisional. Tal comparação contou, como principais fontes de dados,
com o Acervo da Biblioteca da Uneb/Campus-VII, acervo pessoal, sites de busca,
como: Geocities, Sciello e SBEM, tendo como indexadores: “Os elementos dos
espelhos esféricos”, “Os elementos das cônicas”, “As semelhanças entre eles”.

13. CAPÍTULO I
1 UM BREVE RELATO DA ÓPTICA GEOMÉTRICA
A óptica é uma ciência secular que há muito desperta o interesse das
pessoas. Alguns filósofos gregos, como Platão e Aristóteles, já se preocupavam em
encontrar respostas a vários questionamentos, tais como:
– Por que vemos um objeto?
– O que é a luz?
Figura 1: Ilustração Óptica (RAMALHO 2003, p. 180).
Platão chegou a supor que: “Nossos olhos emitiam pequenas partículas que
ao atingirem os objetos tornavam-nos visíveis” (RAMALHO 2003, p. 181). Isso é
totalmente absurdo, pois não se pode ver no escuro. Indiscutivelmente, concorda-se
também que os olhos não emitem tais partículas e Souza (1976, p. 12) afirma que
“Todos os corpos, transparentes ou opacos, refletem parte da luz que sobre eles

14. incide. Quer dizer, eles devolvem parte da luz para o mesmo lado do corpo de onde
ela proveio”. Portanto, a possibilidade de se perceber os objetos é o fato de eles
próprios refletirem a luz que recebem.
A óptica geométrica consiste em estudar tais fenômenos luminosos, usando
os conhecimentos de raio luminoso, alguns princípios fundamentais e considerações
da própria geometria.
1.1 A ÓPTICA GEOMÉTRICA
Raio de luz são linhas orientadas que representam, graficamente, a direção e
o sentido de propagação da luz, segundo Ramalho (2003). Isto tem a conseqüência
de que a luz sempre será propagada em linha reta e jamais fará curva. O que é
facilmente identificado na figura:
Figura 2: Propagação dos raios de luz (RAMALHO, 2003, p. 181).
Conhecida a definição de raio de luz, precisa-se saber agora sobre os
princípios fundamentais. Segundo Ramalho (2003), os princípios são:
• Princípio da propagação retilínea da luz (nos meios homogêneos e
transparentes, a luz se propaga em linha reta).
• Princípio da reversibilidade dos raios de luz (a trajetória seguida pela luz
independe do sentido de percurso).

15. • Principio da independência dos raios de luz (quando raios de luz se cruzam,
cada um deles segue seu trajeto como se os outros não existissem).
1.2 ESPELHOS
Investigando um pouco mais sobre a óptica, percebe-se que alguns objetos
não emitem a sua própria forma e sim a forma do objeto que está diante dele. Esses
objetos são os espelhos. Eles podem ser de dois tipos: O plano e o não-plano; a
nomeação do espelho não-plano varia de acordo com autor. Por exemplo, Amaldi
(1997) trata o espelho não-plano como parabólico, sendo diferente de Ramalho
(2003) que o denomina como esférico. Neste trabalho, a referência ao espelho não-
plano será de acordo com Ramalho (espelho esférico).
A definição para o espelho plano compreende uma superfície plana e polida,
o que não traz interesse específico para este estudo.
1.2.1 OS ESPELHOS ESFÉRICOS
Espelho esférico é uma superfície polida não plana formada pela intersecção
de um plano com uma calota esférica que a divide em duas partes, segundo
Ramalho (2003).
Assim:

16. Figura 3: Secção feita por um plano em uma calota esférica. (RAMALHO 2003, p. 222).
Segundo Mattos (1996) polir significa: “Desgastar e alisar as partes de alguma
coisa dura para ela ficar brilhante”. Isso quer dizer que, a calota sendo polida, ela
terá sua superfície lisa e brilhante, fazendo qualquer raio de luz que toque esta
superfície ser refletido, e não absorvido. Entretanto, nem toda superfície
arredondada pode ser considerada um espelho esférico. Existem alguns elementos
que são peculiares, segundo Ramalho (2003, p. 222):
Os elementos geométricos que caracterizam um espelho esférico são:
• Centro de curvatura do espelho (C): o centro da superfície esférica à
qual a calota pertence;
• Raio de curvatura do espelho (R): o raio da superfície esférica à qual
a calota pertence;
• Vértice do espelho (V): o pólo (ponto mais extremo) da calota
esférica;
• Eixo principal do espelho: a reta definida pelo centro de curvatura e
pelo vértice;
• Eixo secundário do espelho: qualquer reta que passa pelo centro de
curvatura, mas não pelo vértice;
• Abertura do espelho (α): o ângulo plano determinado pelos eixos
secundários que passam por pontos, A e B, diametralmente opostos, do
contorno do espelho;
• Plano frontal: qualquer plano perpendicular ao eixo principal;
• Plano meridiano: qualquer plano que contém o eixo principal.
Estes objetos estarão todos contidos no mesmo plano e podem ser
observados nesta figura 4:

17. Figura 4: Elementos dos espelhos esféricos. (RAMALHO 2003, p. 222).
Considerando que, após a intersecção do plano com a calota, as duas partes
serão polidas e portadoras desses elementos geométricos, teremos então dois
espelhos esféricos: ESPELHO ESFÉRICO CONCAVO e ESPELHO ESFÉRICO
CONVEXO.
O espelho esférico côncavo possui a parte interna refletora, fazendo com que
qualquer raio luminoso que venha de encontro a esta face seja refletido, assim:
Figura 5: Direção do raio de luz no espelho côncavo. (RAMALHO 2003, p. 223).
Já o espelho esférico convexo possui a parte externa refletora, então, nesse
caso, tem-se:
Figura 6: Direção do raio de luz no espelho convexo. (RAMALHO, 2003, p. 223).

18. 1.2.2 ANÁLISE DOS ESPELHOS
Como viu-se, a característica do espelho é sempre refletir os raios que vêm
de encontro a sua superfície polida. Mas, eles não serão refletidos aleatoriamente,
segundo Amaldi (1997, p. 233) “Todos os raios paralelos ao eixo óptico, ao se
refletirem na concavidade de um espelho parabólico, reúnem-se num mesmo ponto.
Esse ponto é chamado de foco do espelho”.
Figura 7: Formação do foco. (AMALDI 1997, p. 223).
Neste caso todos os espelhos côncavos possuem o seu foco diante da sua
face refletora. Contudo, o espelho convexo, também, possui foco. Discorrendo sobre
o assunto, Ramalho (2003, p. 224) afirma que:
Quando um feixe de raios paralelos incide sobre um espelho esférico
[...], ele origina um feixe refletido convergente, no caso do espelho
côncavo, e divergente, no do convexo. O vértice F de tal feixe situa-se
no eixo principal e é denominado foco principal do espelho esférico”.
Figura 8: Localização do foco do espelho côncavo. (RAMALHO 2003, p.. 224).

19. Para o foco no espelho convexo Ramalho (2003) diz que é a intersecção de
prolongamentos dos raios vão formá-lo. Assim, tem-se:
Figura 9: Localização do foco do espelho convexo. (RAMALHO 2003, p. 224).
Portanto, no espelho convexo o foco fica “atrás” da face refletora. Mas, só
existem raios paralelos ao eixo? Não. Existem, também, raios que chegam à face
refletora através do centro da circunferência. Esses raios, ao tocarem a parte
refletora, são refletidos e seu ponto de reflexão é sempre o próprio centro de
curvatura. Assim:
Figura 10: Raios não paralelos ao eixo.
1.3 UM BREVE RELATO SOBRE CÔNICAS:
Segundo Dante (2005, p. 421):
No período helenístico (séc. IV a.C. – séc. I a.C.), três matemáticos gregos
se destacaram: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora as
secções cônicas já fossem conhecidas, Apolônio escreveu um célebre

20. tratado sobre essas curvas, chamado As cônicas, que suplantava todos os
demais nesse campo. Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a
parábola eram conhecidas como secções de três tipos diferentes de cone
circular reto, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso.
Apolônio, em sua obra, mostrou que não é necessário tomar secções
perpendiculares a um elemento do cone e que, variando a inclinação do
ponto de seção, as três espécies de cônicas podiam ser obtidas de um
único cone.
Durante mais de um século, as curvas não tinham designação além das
descrições do modo pelo qual tinham sido descobertas: secções de cone
acutângulo (axytome), secções de cone retângulo (orthotome) e secções de
cone obtusângulo (amblytome). Foi Apolônio quem introduziu os nomes
elipse, parábola e hipérbole para essas curvas, termos que são usados até
hoje. Mostrando como obter todas as seções cônicas de um mesmo cone e
dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significativamente para
o desenvolvimento da geometria.
1.3.1 O ESTUDO DE ALGUNS TIPOS DE CÔNICAS:
Observe a figura abaixo:
Figura 11: Secção feita no cone. (DANTE 2005, p. 424).
A secção cônica obtida é chamada Elipse.
Figura 12: A elipse obtida na secção. (DANTE 2005, p. 424).
Pode-se perceber que uma elipse é a secção de um cone atravessado
obliquamente por um plano. Este plano não é paralelo à base do cone. Senão obter-

21. se-ia um círculo. A elipse possui dois eixos de diferentes tamanhos, ao oposto do
círculo os quais são iguais. Cada vez que fixa-se o comprimento do eixo maior e
diminuí-se o comprimento do eixo menor, obtém-se elipses cada vez mais próximas
de um segmento de reta. Mas, essa é a definição de Elipse?
Segundo Iezzi (2004, p. 165): “Dados dois pontos distintos F1 e F2,
pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre eles. Elipse é o conjunto dos
pontos de α cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a(2a > 2c)”.
Conhecendo a definição para a elipse e esses pontos fundamentais (F1 e F2),
percebe-se o fato de qualquer que seja outro ponto pertencente ao plano, poderá ser
um dos pontos formadores da elipse, desde que a soma de suas distâncias seja
constante e maior que 2c que é a separação dos focos F1 e F2. Portanto, tem-se
sempre na elipse (α): {P Є α | PF1 + PF2 = 2a}. Observe esta representação gráfica:
P
Figura 13: Representação de um ponto da Elipse. (DANTE 2005, p. 424)
Nota-se apenas a marcação de um ponto (P). Contudo, à medida que
acrescenta-se mais pontos, seguindo essa definição, observar-se-á que a figura
formada não será um círculo:
Figura 14: Representação de pontos da Elipse. (DANTE 2005, p. 424).

22. Sendo assim chega-se num determinado momento onde esses pontos
estariam muito próximos e formariam o contorno representando a elipse.
Figura 15: Esboço da elipse. (DANTE 2005, p. 424).
Analisando esta próxima figura vê-se que:
Figura 16: Os pontos e as medidas da Elipse. (IEZZI 2004, p. 165)
QF1 + QF2 = 2a RF1 + RF2 = 2a
SF1 + SF2 = 2a A1F1 + A1F2 = 2a
B1F1 + B1F2 = 2a A2F1 + A2F2 = 2a
B2F1 + B2F2 = 2a
Definida o que é a elipse, precisa-se agora conhecer seus principais elementos.
Segundo Dante (2005), eles são:
• F1 e F2 são os focos e a distância entre eles é a distancia focal (2c);

23. • A1A2 é o eixo maior e sua medida é a soma que consta da definição (2a);
• B1B2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b;
• O é o centro da elipse (intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de
F1F2, A1A2,B1B2).
a
• O número e = chama-se excentricidade da elipse e indica se a elipse é
c
mais, ou menos, “achatada”.
Assim:
Figura 17: Elementos da elipse.
Observando a parte destacada da figura e aplicando o teorema de Pitágoras,
pode-se ainda fazer a relação:
a 2 = b 2 + c2
Posicionando a secção do cone em outra posição, obtém-se:
Figura 18: Secção feita no cone. (DANTE 2005, p. 427).
Agora uma nova secção cônica foi desenvolvida: A HIPÉRBOLE:

24. Figura 19: A hipérbole obtida na secção. (DANTE 2005, p. 427).
Para Iezzi (2004, p. 172) a hipérbole é definida como:
Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja
2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos de α cuja
diferença (em valor absoluto) das distancias a F1 e F2 é a constante
2a(0 <2a < 2c).
Construindo uma seqüência de pontos com essa definição tem-se:
Figura 20: Esboço da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247).
O conjunto de todos os pontos que seguem a definição formará a figura
correspondente à hipérbole:

25. Figura 21: Esboço da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247).
Analisando a figura 21 e a definição acima ainda pode-se ter:
Figura 22: Elementos da hipérbole. (DANTE 2005, p. 247)
Assim, então, vê-se que:
Figura 23: Elementos da hipérbole. (IEZZI, 2004, p. 172)

26. QF2 - QF1= 2a RF2 - RF1= 2a
SF1 - SF2 = 2a A1F2 - A1F1 = 2a
A2F1 - A2F2 = 2a
Sempre que faz-se essas diferenças utilizando a menor distância para a maior
deve-se colocá-la em módulo, ou seja, na hipérbole α temos: {P Є α / |SF1 - SF2| =
2a}.
No caso da hipérbole, segundo Dante (2008), estes são seus principais
elementos:
• F1 e F2 são os focos da hipérbole, sendo F1 F2 = 2c a distância focal;
• A1 e A2 são os vértices da hipérbole, sendo A1A2 = A1F2 - A1F1 = 2a
(constante da definição);
• B1B2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b;
• O é o centro da hipérbole (ponto médio de F1F2 e de A1A2);
c
• O número e = chama-se excentricidade da hipérbole.
a
Figura 24: Elementos da hipérbole.
Nesse caso, a relação que pode-se fazer é: c2 = b2 + a2

27. CAPITULO II
2 INTERDISCIPLINARIDADE:
As evidências dadas ao aprendizado científico e aos pensamentos racionais,
direcionadas para as ciências ditas exatas, provocaram um enigma de concepção do
mundo dos cálculos. Fala-se do homem que é capaz de dissecar o elemento de sua
observação para julgá-lo e torna-se especialista em partes, mas incapaz em
analogia à totalidade. Nessa natureza inóspita, as componentes curriculares foram
se fragmentando, acontecimento que deve ser visto como marco do fracionamento
da realidade e do aparecimento de uma inteligência esquizofrênica, que se torna
empecilho do conhecimento abrangente do mundo.
Para a compreensão desse mundo, abandonado de valores, novos
acometimentos buscam superar a incompatibilidade entre conhecimento e elemento
a ser conhecido. Dentre esses acometimentos, surgiu a interdisciplinaridade, que é
contemplada como uma das mais recentes tendências da teoria do conhecimento.
Pode-se expor que os exercícios interdisciplinares divulgam um olhar do homem
(como um ser conectado à vida) e a necessidade do conhecimento pertinente com a
totalidade.
O surgimento da interdisciplinaridade foi concomitante na França e na Itália
em meados da década de 1960, num período marcado pelos movimentos estudantis
que, dentre outras coisas, reivindicavam um ensino mais sintonizado com as
grandes questões de ordem social, política e econômica da época. A mesma teria
sido uma resposta a tal reivindicação na medida em que os grandes problemas da
época não poderiam ser resolvidos por uma única disciplina ou área do saber,
segundo Fazenda (1994).

28. Entretanto, ainda no final da referida década, a interdisciplinaridade chegou
ao Brasil e logo exerceu influência na elaboração da Lei de Diretrizes e Bases Nº
5.692/71. Desde então, sua presença no cenário educacional brasileiro tem se
intensificado e, recentemente, mais ainda, com a nova LDB Nº 9.394/96 e com os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Hoje, tem-se que: “A interdisciplinaridade
é a articulação que existe entre as disciplinas para que o conhecimento do aluno
seja global, e não fragmentado”. (Extraído de:
http://revistaescola.abril.uol.com.br/edicoes/0188/aberto/mt_105133.shtml#topo)
E, segundo os próprios PCN:
A interdisciplinaridade supõe um eixo integrador, que pode ser o objeto de
conhecimento, um projeto de investigação, um plano de intervenção. Nesse
sentido, ela deve partir da necessidade sentida pelas escolas, professores e
alunos de explicar, compreender, intervir, mudar, prever, algo que desafia
uma disciplina isolada e atrai a atenção de mais de um olhar, talvez vários
(BRASIL, 2002, p. 88-89).
Porém, além do amplo mando na legislação e nas propostas de currículos, a
interdisciplinaridade teve mais eficácia nas escolas, principalmente na alocução e no
exercício de professores de diferentes níveis de ensino. Apesar disso, estudos têm
mostrado que a interdisciplinaridade ainda é de precário conhecimento, mas de
bastante importância, pois ela tem a finalidade de buscar a realização do ser
humano, solicitando uma meditação integradora do próprio indivíduo. Por isso,
reflete-se que ela não deveria ser considerada como um escopo obsessivamente
acossado no meio educacional simplesmente por sustento da lei, como vem
acontecendo em alguns casos. Pelo contrário, a mesma implica uma organização,
uma articulação espontânea e coordenada, guiadas por um mérito comum, das
ações disciplinares. Com este raciocínio, a interdisciplinaridade proporcionará
resultados positivos se for uma atitude eficaz de se alcançar objetivos educacionais
compartilhados e estabelecidos pelos componentes da unidade escolar.
Desfavoravelmente, ela seria uma iniciativa trabalhosa demais para atingir as
finalidades que poderiam ser obtidas de modo mais simples.

29. Os componentes da unidade escolar que são ligados diretamente aos
objetivos educacionais são os diretores, coordenadores e professores. Mas, no
âmbito de trabalho, o professor sempre é que vai empregá-la utilmente. Segundo
Nogueira (1997, p. 23): “Vale ressaltar que a tentativa de trabalho interdisciplinar é
um investimento somente apropriado àqueles que acreditam no trabalho dessa
natureza”.
Portanto, não é suficiente implantar a interdisciplinaridade sem a
compreensão dos próprios profissionais que vão fazer dela seu aliado de trabalho.
E, Nogueira (p. 23) ressalta: “Este tipo de trabalho é um desafio a todos, pois é difícil
começá-lo, mas após iniciado é difícil voltar atrás, ou seja, desenvolver qualquer
ação fragmentada”.
Vários autores incentivam a implantação da interdisciplinaridade. Defendem,
também, que será mais um artifício para o enriquecimento da educação e para a
desmistificação da complexidade coletiva a qual se faz presente no ato educativo.
2.1 INTERDISCIPLINARIDADE: MATEMÁTICA – FÍSICA
Considera-se, no ato educativo, componentes curriculares que trabalham os
cálculos como ciências exatas. Neste contexto, tem-se que a matemática e a física
estão entrelaçadas nessa ciência e segundo Nogueira (1997, p. 13-14):
A interdisciplinaridade é um termo utilizado para definir a colaboração
existente entre as disciplinas ou entre setores heterogêneos de uma
mesma ciência. Surge como crítica a uma educação fragmentada e
permite uma reflexão aprofundada sobre o conhecimento.

30. As palavras de Aragão (2006, p. 40) no seu estudo sobre as relações
existentes entre matemática e física, nos assuntos funções de matemática e
movimentos uniformes de física, diz que:
[...] estamos apenas visualizando um exemplo de um pequeno elo da
enorme corrente que une as disciplinas matemática e física. [...] podemos
começar a prestar mais atenção à relação estreita entre certos conteúdos
dessas disciplinas e aos ganhos pedagógicos que podemos obter com base
em um tratamento que assuma uma integração construtivista entre elas [...].
Nota-se um exemplo da colaboração entre as disciplinas que neste caso
específico, aborda as componentes curriculares matemática e física. E Japiassú
(1976, p. 74) ainda caracteriza a interdisciplinaridade pela: “Intensidade das trocas
entre os especialistas e pelo grau de integração real das disciplinas no interior de um
mesmo projeto”.
Partindo desses contextos, torna-se mais uma relação direta dessas
componentes citadas por Aragão, analisando as palavras da aluna do Instituto de
Matemática, Estatística e Computação Cientifica (IMECC) da UNICAMP, Tatiana
Lança, em seu artigo publicado em 2006 (p. 13) , no próprio site do IMECC, que diz:
[...] no Ensino Médio seria bastante interessante relacionar o ensino de
Geometria Analítica ao ensino de Física. A compreensão das cônicas pode
se tornar mais efetiva a partir da aplicação de suas propriedades em
assuntos relativos à Física.
Portanto, ao priorizar a construção do conhecimento de modo interdisciplinar,
o papel do professor, apesar de cada um ter sua maneira de conduzir a aula, é
utilizar recursos, os quais desenvolvem a autonomia do aluno, instigando-o a refletir,
investigar e descobrir, criando na sala uma atmosfera de busca e companheirismo,
onde o diálogo e a troca de idéias seja uma constante, quer entre professor e aluno,
quer entre os alunos. Uma aula expositiva partilhada e dialogada com os educandos
sempre será apropriada para sintetizar e organizar as descobertas, as idéias e os
resultados, e, também, para sistematizar os assuntos tratados em determinados
período por mais de uma componente curricular.

31. CAPITULO III
3 METODOLOGIA
Visando alcançar os objetivos traçados e proporcionar maior compreensão do
tema, o presente trabalho encontra-se fracionado em etapas de pesquisas.
Considerando-se que já havia um prévio conhecimento das componentes
curriculares Matemática e Física, buscou-se um levantamento bibliográfico com o
intuito de fundamentar a interação dos conteúdos Cônicas e Espelhos Esféricos e o
processo interdisciplinar. Então, a primeira etapa constitui-se na PESQUISA
BIBLIOGRÁFICA, que Segundo Amaral (2007, p. 1):
A pesquisa bibliográfica é uma etapa fundamental em todo trabalho
científico que influenciará todas as etapas de uma pesquisa, na medida em
que der o embasamento teórico em que se baseará o trabalho. Consiste no
levantamento, seleção, fichamento e arquivamento de informações
relacionadas à pesquisa.
Após o levantamento bibliográfico, procedeu-se a segunda etapa desta
pesquisa: A COLETA DE DADOS, desenvolvida através da pesquisa de campo, pois
este processo consiste em colher informações em diferentes ambientes com
menores chances de erro, sendo, portanto, o meio mais eficiente de adquirí-los.
Contudo, buscando-se a obtenção de melhores resultados através das pesquisas,
fora feito um planejamento e uma ponderação na elaboração e nos sujeitos que
iriam contribuir com a pesquisa, verificando possibilidades e limitações dentro da
problemática apresentada.
Segundo Padilha (2001, p. 63):

32. Planejar, em sentido amplo, é um processo que visa a dar respostas a um
problema, estabelecendo fins e meios que apontem para sua superação, de
modo a atingir objetivos antes previstos, pensando e prevendo
necessariamente o futuro.
Esta coleta de dados engloba aspectos quantitativos e/ou qualitativos, e foi
realizada entre professores de ensino médio de algumas escolas públicas e privadas
da macrorregião de Senhor do Bonfim, agenciando sempre uma visão real quanto
essas relações interdisciplinares, e, em conseqüência, o conhecimento dos próprios
docentes quanto ambos os assuntos.
Segundo Carneiro (2008, p. 38) pesquisa quantitativa “é a que envolve
cálculo, manipulação, ou conjunto de sistemas de quantidade de dados” e a
pesquisa qualitativa “é uma dinâmica entre pessoa e o mundo real, entre o sujeito e
o objeto, entre o mundo da objetividade e da subjetividade”.
A pesquisa qualitativa, assim como a pesquisa quantitativa, teve seus
antecedentes nas ciências naturais e na filosofia, segundo Dias (1999).
Gunther (2006, p. 202) relaciona melhor essas pesquisas afirmando que: “ao
revisar a literatura sobre a pesquisa qualitativa, o que chama atenção imediata é o
fato de que, frequentemente, a pesquisa qualitativa não esta sendo definida por si
só, mas em contraponto a pesquisa quantitativa”.
Então percebe-se que ambas as formas de pesquisas se completam. Verifica-
se isso também em Carneiro (2008, p. 37-38):
os métodos das duas pesquisas não se excluem, embora se diferencie
quanto à forma e a ênfase. Os métodos qualitativos retratam uma mistura
de procedimentos de cunho racional e intuitivo [...]. os enfoques qualitativos
e quantitativos diferem-se, porém não é correto afirmar que tenham
oposições em suas relações.

33. A fim de averiguar o conhecimento dos professores em relação a aspectos
interdisciplinares, dá-se mais ênfase na pesquisa qualitativa. Os colaboradores
dessa pesquisa correspondem a 11 professores que ensinam apenas física, 10
professores de física e matemática e 14 professores que lecionam apenas
matemática, perfazendo um total de 35 profissionais. A escolha dos sujeitos citados
se deu a partir da disponibilidade de atendimento.
Para o levantamento de dados, fora usado um questionário (Apêndice 1)
contendo perguntas relacionadas ao contexto da interdisciplinaridade entre a
matemática e a física nos aspectos cônicas - espelhos esféricos. Este questionário
contém 06 perguntas que foram elaboradas a partir de idéias ou citações de teóricos
que sugerem a implantação da interdisciplinaridade, com aplicação no período de 23
de setembro de 2008 a 30 de setembro de 2008, à relação dos professores citados.
O contato com os mesmos ocorreu gradativamente, visto que, foram entrevistados
em momentos diferentes, mas sempre através de uma conversa informal, onde se
relatou a cada um os objetivos da pesquisa.
A ANÁLISE DE DADOS é a terceira e ultima etapa sendo construída através
de questionamentos sobre o processo ensino-aprendizagem entre a matemática e a
física, em particular os conteúdos cônicas e espelhos esféricos, dando ostentação
na existência e/ou descaso da interdisciplinaridade fundamentando, assim, a
pesquisa.
3.1 ANÁLISE DE DADOS
Visando a obtenção de melhores resultados através das pesquisas, o
planejamento e a ponderação na elaboração do questionário e na seleção dos
sujeitos que iriam contribuir com este trabalho foram feitos a fim de adequar as
possibilidades e limitações dentro da problemática apresentada, visto que o
questionário foi elaborado diante de manifestações de autores os quais estimulam a

34. interdisciplinaridade, e com isso objetivava-se a opinião dos professores da
macrorregião de Senhor do Bonfim, no que diz respeito às vantagens e retornos
para sua prática pedagógica.
O planejamento fora necessário para evitar falseamento nos resultados bem
como facilitar a conclusão e estabelecer meios guiáveis, visto que almejava-se a
utilização da pesquisa qualitativa para análise de dados detalhados, levando-se em
conta todas as informações e/ou conhecimentos fornecidos pelos colaboradores,
com a finalidade de um real entendimento do objeto de estudo.
A pesquisa quantitativa foi utilizada para fornecer uma maior imagem da
realidade, tornando mais eficientes os processos de análise e interpretação dos
dados, expressando-os numericamente.
Azevedo (2006 apud Lopes, 1999, p.145) diz que:
Diante da complementaridade das técnicas de coleta, é igualmente possível
combinar técnicas de amostragem probabilística e não-probabilística. Por
exemplo: numa pesquisa seleciona-se uma amostra aleatória para a qual se
utiliza o questionário, devendo-se por isso dar conta da representatividade
estatística tanto da amostra como dos dados. Em seguida, seleciona-se
uma subamostra de caráter intencional com base no critério da
representatividade social (e não mais estatística), à qual se aplica a
entrevista. O perfil dessa segunda amostra é de sujeitos típicos, e os dados
são essencialmente qualitativos.
No proceder deste trabalho, deixou-se bem exposto que ao cooperar
respondendo o questionário, os colaboradores não precisariam se identificar, pois
não se tinha a intenção de avaliá-los individualmente. Contudo, precisava-se de
dados que possibilitassem uma averiguação real quanto aos aspectos
interdisciplinares existentes entre a matemática-física.
No decorrer deste relato, ao tratar-se de professores de física, eles serão
chamados, por exemplo: Professor de Física (PF), os de matemática (PM), e os
professores de ambas as componentes serão identificados como: PMF – Professor

35. de Matemática e Física e serão identificados ainda por um número arábico que
acompanhará as siglas para facilitar o entendimento.
3.2 A ENTREVISTA
A pesquisa foi realizada no fim do mês de setembro do corrente ano e a
aproximação com os sujeitos, os professores ocorreu gradualmente, pois foram
entrevistados em ocasiões diferentes, mas sempre através da utilização de uma
conversa informal, onde relatou-se a cada um que dentre os objetivos da pesquisa
havia a obtenção de informações acerca da interdisciplinaridade. É válido salientar a
inexistência de oposição na resolução do questionário por parte dos entrevistados.
Nesse primeiro contato eles tiveram acesso ao questionário (Apêndice 1),
contendo 6 questões, com resolução e desenvolvimento no presente momento.
Alguns professores justificaram a impossibilidade em respondê-lo no mesmo
instante. Então, recolheu-se o questionário e marcou-se uma nova ocasião. Com
isso, tinha-se a intenção de evitar que os sujeitos utilizassem materiais escritos ou
outros mecanismos de pesquisa. Todos os entrevistados utilizaram, em média, uma
hora para responder todas as questões.
3.3 O QUESTIONÁRIO
O questionário envolvia perguntas subjetivas, sem cálculos, de física ou
matemática e acerca da própria visão do educador a respeito da
interdisciplinaridade.

36. Quando se fala em interdisciplinaridade, refere-se a uma espécie de influência
mútua entre as componentes ou entre as áreas do saber. Contudo, essa interação
pode acontecer em níveis de complexidade diferentes. Com isso, espera-se
contribuir para um uso mais cuidadoso de termos e práticas no cotidiano escolar.
As análises apresentadas abaixo, referente ao questionário e a cada uma das
seis questões, são as mais transparentes possíveis e trarão citações de alguns
sujeitos.
Relativo à primeira questão: Pesquisas indicam que pessoas as quais
possuem facilidade com a física, também, possuem facilidade com a matemática,
pois, ambas fazem parte da mesma área, AS EXATAS. Você concorda que as
cônicas (matemática) têm relação com espelhos esféricos (física)? Por quê?
Analisando-se o capítulo I deste trabalho, principalmente os gráficos, nota-se
que esta relação fica bem nítida, principalmente nos elementos figurados.
Dentre os entrevistados, podemos constatar as seguintes opiniões:
1) PMF – 80% dos professores que ensinam matemática e física (8 professores):
tinham convicção na resposta e mostravam a relação que eles enxergavam, dando
ênfase, principalmente, a existência dos elementos, como se vê na resposta de
PMF1:
Ainda este ano trabalhei espelho esférico. Concordo plenamente, pois um
espelho esférico é uma calota esférica na qual uma das superfícies é
refletora, sendo assim, o seu estudo faz relação direta com as cônicas
(matemática), principalmente nas teorias e seus elementos: foco, vértice,
eixo, curvatura, parábola, raio, dentre outros.
Os demais, 20%, foram pouco enfáticos ao responderem que concordavam,
afirmando a existência da relação na estrutura. PMF3 afirmou: “Sim, por que a forma
dos espelhos esféricos é uma cônica e, portanto, há uma relação entre ambas”.

37. 2) PM – 35% dos professores (5) de matemática concordavam, mas não
justificaram o porquê. PM5 afirmou que: “Com certeza, tem! Mas, não conheço
espelho esférico para falar a relação”. 7% (1) conhecia partes dessa relação. PM1
chegou a afirmar: “Sim, não tenho grande conhecimento sobre espelhos esféricos,
mas a relação que existe pode ser a concavidade”. Os demais explanavam com
firmeza a cerca de seu respectivo conteúdo (cônicas), mas, em nenhum momento
fazia referência ao outro (espelho esférico). PM2 afirmou: “Sim, mas não sei”. Os
58% restantes não souberam opinar sobre a relação. PM9 afirmou: “Sei o que é um
espelho esférico (objeto), mas não sei falar se existe ralação”. PM7 colocou:
“Sinceramente, não sei”.
3) PF – Aproximadamente 50% desses professores (especificamente 6)
relacionavam a curvatura dos espelhos esféricos às cônicas e também os focos
presentes em ambos. PF1 afirmou que: “Sim, por que a forma dos espelhos
esféricos é uma cônica e, portanto, há uma relação entre ambas”. Dos professores
restantes, 20%, acreditavam na existência da relação, mas não conheciam as
cônicas para citá-las com detalhes. PMF11 afirmou: “Acho que sim. Só que não
conheço nada de cônicas, nem a estudei no meu ensino médio”.
Diante das respostas dos sujeitos, percebe-se uma maioria de conhecedores
da relação no grupo dos PMF os quais trabalham com ambas as componentes, o
que pode ser justificável pela necessidade e experiência de trabalhar com ambas as
componentes. PMF6, na conversa informal da primeira etapa, afirmou: “Pergunte
qualquer coisa dessas duas aí, eu já as conheço há anos”. E na folha de respostas
declarou: “[...] conheci das duas depois que comecei a ensinar matemática e física”.
Percebe-se também, que os PM e PF que conheciam a relação eram minorias,
tornando este fato preocupante, pois a dificuldade já esta sendo notada desde os
educadores, perpetuando-se para o ambiente de sala de aula.
A segunda questão traz: Qual referência você faz do assunto da primeira
componente para explicar o outro da segunda ou vice-versa?

38. Nesta questão visava-se conhecer a metodologia de ensino dos professores,
bem como descobrir se algum já utilizava a interdisplinaridade. Portanto temos:
1) PMF – 30% dos professores (3) faziam referências dos espelhos quando
estavam ensinando as cônicas. PMF2 respondeu que: “dentro de cônicas temos a
questão dos eixos, distância focal, foco, vértice, etc., termos estes que estarão
presentes em espelhos esféricos, daí a interação de ambas as disciplinas e
necessidade de explanação do conteúdo”. 40% (04) não abordavam as cônicas
como conteúdo no ensino médio. Como afirma PMF3: “Não introduzi as cônicas
como conteúdo de matemática no plano de curso para o ensino médio”. Os 30%
restantes solicitaram dos educandos uma síntese do conteúdo e não o explicou em
sala. PMF5 afirmou: “[...] acredito que passando um trabalho em forma de resumo
eles aprendem mais”.
2) PM – Como apenas 35% deles concordaram que existe a relação de
cônicas com espelhos esféricos, 60% (3) destes (ou 20% do total de PM) faziam
referencias aos elementos de ambas citando a relação direta das componentes
curriculares. Nota-se isto em PM9 que afirmou: “tem que fazer! Fica mais fácil pro
aluno entender, pois as cônicas são muito abstratas”.
3) PF – De acordo a primeira resposta onde percebe-se que 50% dos
professores de física conhecem ambos os assuntos, apenas 33% (2) deles fazem
referencias de cônicas quando ensinam espelhos. PF2 ressaltou que: “[...]
explicando espelhos esféricos, falo sobre a formação de imagens de objetos, então,
mostro a eles um exemplo de quando nossa imagem é refletida na lateral de um
carro. Ficamos baixos e gordos! Isso acontece por que a inclinação da lateral do
carro não é um círculo e sim uma hipérbole”.
Como esta questão é interligada a primeira, as respostas serão positivas
apenas para aqueles os quais relacionavam a física e a matemática. No entanto,
nem todos, apesar de conhecerem esta relação utilizam os mecanismos da
interdisciplinaridade como apoio das suas atividades escolares. A metodologia de

39. ensino desses sujeitos, professores, mesmo que de maneira tímida ou mesmo sem
muita expressão, já se constitui uma tentativa diferente de aplicação e aprendizagem
do conteúdo relacionando as componentes. Isso é uma característica da
interdisciplinaridade que precisa ser mais trabalhadas nas salas de aula.
A Terceira questão diz: Ao entrar num supermercado, percebi numa das
paredes laterais a existência de um espelho “redondo”. Então, conclui que seria pra
a moça do caixa ver as filas de prateleiras e perceber se alguém furtaria alguma
mercadoria. Mas, por que este espelho era “redondo”?
“O espelho convexo é usado como espelho retrovisor ou como instrumento de
observação em entradas de edifício porque aumenta o campo visual.” (Extraído de:
http://educar.sc.usp.br/otica/esferico.htm).
Dentre as respostas, a grande maioria continha este pensamento, inclusive
alguns que não conheciam a relação direta dos conteúdos citados anteriormente,
responderam com persuasão ao afirmar que os espelhos redondos possuem campo
de visão maior que o de um plano, mesmo sendo de tamanhos iguais. Vê-se isso na
citação de PF3: “Trata-se de um espelho convexo, que nos dá, no caso à moça, uma
visão mais ampla do ambiente ao seu redor, o que permite um campo de visão ideal
para vigiar as prateleiras...”. Muito diferente disto, o PM3 afirma: “Não sei”.
Verifica-se uma quantidade considerável de sujeitos os quais sabem
identificar as aplicações dos conteúdos, o que evidencia a existência de uma
interdisciplinaridade no dia-a-dia ultrapassando o ambiente escolar. Porém, em
alguns casos, não se verificou isto no ambiente escolar. PM7, que referente à
primeira questão, respondeu “Sinceramente, não sei”, afirmou nesta questão: “Por
que, quando o espelho é redondo, ele mostra mais espaços do ambiente”,
evidenciando o conhecimento informal não atrelado aos conteúdos específicos de
cônicas e espelhos esféricos. Segundo Fazenda (1992, p. 12): “uma coisa nos
parece certa: nenhuma opção crítica pode nascer, nos alunos, quando os

40. professores lhes ministram ou inculcam um conhecimento que seria a expressão da
verdade objetiva”.
A quarta questão: Por que os faróis dos carros, independente da montadora,
possuem a tendência de possuírem um formato “arredondado”?
Todo raio luminoso que incide no espelho esférico côncavo passando pelo
foco (ou em sua direção) é refletido paralelamente ao eixo principal (horizontal),
segundo Ramalho (2003). Isso ocasionaria um sentido e uma direção desses raios
(figura 25) e, assim, uma melhor iluminação já que se fala de raios luminosos. No
convexo, seria ocasionado uma dispersão desses raios, provocando um baixo
aproveitamento dos mesmos (figura 26).
Raios refletidos paralelamente Raios dispersos, sem direção.
ao eixo principal. Figura 25 Figura 26
Aqui obtive-se respostas curiosas. 100% dos professores, mesmo que as
respostas não condiziam com o questionamento, opinaram. Associa-se isto ao fato
desta se relacionar diretamente com a motivação do homem: O Automóvel! O PMF3
afirmou que: “Se dá pelo fato de espelhos abaulados poderem direcionar os vários
raios luminosos para a mesma direção (paralelos), após refletirem nos mesmos...”.
Contudo, o PM2 afirmou que: “acredito que seja para deixar a frente do carro mais
bonita, inovada! Pois os modelos antigos possuem a “cara de velho””. PM5 diz:
“Esses novos modelos de faróis são mais fortes e clareiam bem a frente do carro, os
outros modelos clareavam dos lados também e aí ficavam mais fracos”. PF2
questionou: “[...] quantos acidentes ocorridos durante a noite não poderiam ter sido

41. evitados, se os faróis dos carros de antigamente fossem potentes iguais os de hoje
em dia?”.
Diante do exposto percebe-se que esta interdisciplinaridade matemática-
física ultrapassa obstáculos que estão além da sala de aula. Isso demonstra o
próprio professor não conhecedor da relação teórica dos conteúdos, ou mesmo, que
não os contextualiza identificando-os. Segundo Fazenda (1992, p. 45) é válido:
“salientar que nos empreendimentos interdisciplinares, não é mais possível separar
o conhecimento da prática”.
A quinta questão requer do professor a sua postura quanto à afirmação de
Ivani Catarina Arantes Fazenda, com relação ao ensino médio nas escolas, quando
diz que:
é praticamente inexistente a prática interdisciplinar, tanto no campo do
ensino quanto no da pesquisa. O que existe, e assim mesmo numa escala
bastante reduzida e, freqüentemente de modo inteiramente escamoteado,
são certos encontros pluridisciplinares (FAZENDA, 1992, p. 15).
Abaixo estão citações, dos professores, que mereceram destaque, acerca da
afirmação da autora:
PF4: “Poderia atuar com a união dos professores em trabalhar juntos para a
melhoria do ensino em geral”.
“A interdisciplinaridade no ensino médio é quase zero; normalmente, não se
usa. O ensino se torna muito monótono, é muito tradicional!” (PMF10)
“A péssima possível, pois não existe nenhuma ligação entre as disciplinas,
apenas entre áreas, humanas e exatas, por exemplo” (PM12).
PF3 diz:

42. Creio que seja a mesma coisa ou pior. Os professores, por “n” fatores não
tem tempo de sentar e construir um projeto legal, que promova essa
interação entre as disciplinas. E aí, temos estas apesar de interligadas, no
caso de física e matemática, trabalhando isoladas.
PF5 diz que: “concordo com a escritora. Faço de suas palavras, as minhas!”.
Concordo com Fazenda e acrescento que no ensino médio a utilização da
pluridisciplinaridade é utilizada por alguns professores, e a maioria deles a
faz como se fosse interdisciplinaridade, e, no entanto, muitos deles pecam
com isto, pois a interdisciplinaridade não requer centro, todo conhecimento
é relevante a um saber universal, fazendo que haja uma comunicação entre
as disciplinas. Ela jamais deve ser vista como uma ferramenta que reduz a
um denominador comum, e sim como uma forma da criatividade, da
diversidade, sendo que a viabilização de programas interdisciplinares exige
um novo profissional, alguém que tenha uma visão abrangente do projeto e
de como e quando as disciplinas vão interagir. (PM5)
Todos os sujeitos que responderam essa questão concordaram com a
afirmação da autora. Considerando-se que essa citação foi feita no início da década
de 1990, este fato é mais preocupante ainda, já que, confirma assim, a pequena
evolução da interdisplinaridade ao longo desse período. PM1 afirmou: “já perdi as
contas de quantas semanas pedagógicas participei e ouvi falar disso, mas até hoje
não saiu de lá”. Segundo Fazenda (1992, p. 46):
É necessário o exercício de uma educação permanente que tenha se
iniciado numa prática interdisciplinar. Isto porque parte-se do princípio que o
papel da educação na formação cultural do homem é o de dar-lhe as
possibilidades e os instrumentos que lhe permitam ser culto, caso seja essa
sua opção.
Na sexta questão: O que você indicaria pra que ocorresse uma maior
aproximação dessas disciplinas no ensino médio?
A grande maioria dos entrevistados (90%) afirmaram que a primeira solução
seria aumentar o número de Aulas Complementares, fazer com que elas sejam
sempre concomitantes de componentes afins e consequentemente reduzir a carga
horária efetiva do professor, que neste caso, dispunharia de mais tempo para ele
próprio perceber as relações. Ainda apareceram sugestões como: “Formulação de
projetos e interação real não só entre os professores e sim, com todo o corpo que

43. compõe o universo escolar: diretores, professores, funcionários, alunos, pais...”
(PM2); Outras citações dos sujeitos são:
Para PF3:
Um planejamento eficaz, um projeto específico mas que não ficasse apenas
no papel, voltado para a integração destas disciplinas, visto que isso pode e
vai melhorar bastante o processo ensino-aprendizagem de ambas as
disciplinas. Além disso, o compromisso dos professores envolvidos no
projeto.
PM8: “Formulação de projetos e interação real não só entre os professores e
sim, com todo o corpo que compõe o universo escolar: diretores, professores,
funcionários, alunos, pais...”.
PMF7: “É simples! Selecionar apenas profissionais habilitados para lecionar
essas temidas disciplinas e parar com essa história de ta faltando hora, então pega
matemática ou física só pra preencher a carga horária”.
PMF10:
Aumentar as horas de planejamento e as ACs e diminuir as horas de efetivo
trabalho em sala de aula é uma boa medida para dar chances aos
professores para buscarem conteúdos que tenham relação com sua área
específica. Alem, de matemática e física, temos história, geografia,
química..., por exemplo..
Percebe-se nessas citações que os sujeitos são favoráveis as idéias de
Fazenda (1994, 1995, 2001), Japiassú (1976), Aragão (2006), entre outros citados.
Contudo, o êxito das intenções dos autores está encravado na disponibilidade do
próprio profissional atender as condições que a interdisciplinaridade requer
nomeadamente no que diz respeito ao tempo pra elaborar aulas e planos os quais
não saem do papel. Entretanto, almeja-se crescimento da interdisciplinaridade e
segundo Carneiro (2008, p. 53) apud JANTSCH; BIANCHETTI (1995):
A interdisciplinaridade... é necessária para mediar comunicação entre os
cientistas e entre eles e o mundo do senso comum. Para se comunicar com

44. outro cientista, o pesquisador precisa deslocar seu conjunto de proposições
para fora de sua linguagem específica: ele passa a abrir, por assim dizer,
sua “caixa preta” para o outro cientista, tornando-a acessível a este. Cria-se
uma linguagem comum entre os cientistas de diferentes campos ou
disciplinas ou especialidades, mediante a qual eles compreendem o
construto do outro e o seu próprio. Não se cria uma nova teoria, mas a
compreensão do que cada um está fazendo, bem como a descoberta de
estratégias de ação que lhes eram desconhecidas a ambos, tanto no interior
de sua própria ciência, como na relação às outras e ao mundo exterior do
cidadão comum.

45. Conclusão
O presente trabalho revela todo o trajeto desenvolvido para resolução do
questionamento inicialmente aclamado, que diz respeito à interação dos conteúdos
espelhos esféricos e cônicas efetuado por professores do ensino médio das escolas
públicas e privadas da macrorregião de Senhor do Bonfim, com uma visão voltada
para a interdisciplinaridade.
Através da análise de dados, podemos relatar alguns aspectos importantes
obtidos pelos procedimentos metodológicos desenvolvidos nesta pesquisa. Vejamos
cada um deles num comparativo aos objetivos traçados a priori.
Boa parte dos entrevistados, apesar de conhecer as relações entre os
conteúdos anteriormente citados, não desenvolve atitudes dentro do espaço escolar
capazes de expressar a interação matemática-física. A interdisciplinaridade destas
duas componentes é praticamente inexistente, pois o resquício que há desta
proposta de ensino só manifesta-se em professores ministrantes de ambas as
disciplinas, já que os demais desenvolvem suas propostas de trabalho de forma
singular. Percebe-se a manutenção de uma prática fragmentada e desprovida de
relações entre o espaço intra e extra-escolar, já que:
O que se pretende na interdisciplinaridade não é anular a contribuição de
cada ciência em particular, mas, apenas, uma atitude que venha a impedir
que se estabeleça a supremacia de determinada ciência, em detrimento de
outros aportes igualmente importantes (FAZENDA 1992, p. 31).
Em relação à postura dos entrevistados frente à interdisciplinaridade,
percebem-se diversas soluções para inclusão dessa grandiosa ferramenta
metodológica e justificativas para as práticas atuais não a contê-la. Todas as
sugestões dadas são importantíssimas, mas vale à pena ressaltar a disponibilidade
do professor em maior número de horas dentro da escola para que possa
desenvolver atitudes voltadas diretamente para aquele espaço. Devendo esta

46. possibilidade ser atrelada à melhor remuneração, e os encontros entre os
profissionais, de áreas afins ou não, com freqüência constante para que possam
expor seus conteúdos e interagir objetivando a construção de técnicas subsidiadas
pela interdisciplinaridade, tendo como conseqüência um trabalho contínuo e
integrado.
É cediça a importância da concepção a respeito da responsabilidade do
profissional em educação, pois o bom resultado da interação entre todas as áreas de
ensino depende essencialmente da sua compreensão de aprendizagem. Acreditar
na proposta interdisciplinar requer conhecer seu significado, para que não haja
confusão com outras práticas como a pluridisciplinaridade e a transdiciplinaridade.
A construção desta pesquisa não visa apenas o caráter conclusivo dos
trabalhos acadêmicos. Ela pretende trazer uma reflexão acerca do processo de
ensino e aprendizagem desenvolvido em boa parte das instituições de ensino, bem
como sugerir mecanismos solucionadores desta problemática cujos reflexos
traduzem num sistema educacional caótico e defasado. Como afirma Fazenda
(1992, p. 49): “A necessidade da interdisciplinaridade impõe-se não só como forma
de compreender e modificar o mundo, como também por uma exigência interna das
ciências que buscam o restabelecimento da unidade perdida do saber”.

47. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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50. Apêndice 1:
Este questionário terá como objetivo fornecer dados para analise referente à
pesquisa monográfica, para isso, conto com sua colaboração. * Não será
necessário identificar – se.
1 – Pesquisas indicam que pessoas as quais possuem facilidade com a física,
também, possuem facilidade com a matemática, pois, ambas fazem parte da mesma
área, AS EXATAS. Você concorda que as cônicas (matemática) têm relação com
espelhos esféricos (física)? Por quê?
2 – Qual referência você faz do assunto da primeira componente para explicar o
outro da segunda ou vice-versa?
3 – Ao entrar num supermercado, percebi numa das paredes laterais a existência de
um espelho “redondo”. Então, conclui que seria pra a moça do caixa ver as filas de
prateleiras e perceber se alguém furtaria alguma mercadoria. Mas, por que este
espelho era “redondo”?
4 – Por que os faróis dos carros, independente da montadora, possuem a tendência
de possuírem um formato “arredondado”?
5 – Ivani Catarina Arantes Fazenda diz isto que: “é praticamente inexistente a prática
interdisciplinar, tanto no campo do ensino quanto no da pesquisa. O que existe, e
assim mesmo numa escala bastante reduzida e, freqüentemente de modo
inteiramente escamoteado, são certos encontros pluridisciplinares”. (FAZENDA,
1992, P. 15). Qual sua posição sobre o que acontece em nosso ensino médio?

51. 6 – O que você indicaria pra que ocorresse uma maior aproximação dessas
disciplinas no ensino médio?