Tema: L´
       ımites y continuidad de funciones de una variable




     1 Generalidades sobre funciones
     2 L´
     ...
1. Generalidades sobre funciones

   Funci´n. Dominio y recorrido
        o
   Trabajaremos con funciones de tipo f : A → ...
Otros conceptos
    Funci´n definida a trozos
         o
    Gr´fica de una funci´n.
      a                o
    Recorrido ...
2 L´
   ımite de una funci´n en un punto
                     o

   Entornos de un punto
   Definici´n
          o
   Dado ...
Definici´n
       o
Sea f : A → R una funci´n y a ∈ R tal que existe E ∗ (a) ⊂ A.
                        o
Diremos que el ...
L´
 ımites laterales
    L´
     ımite por la izquierda de la funci´n f en el punto a: se
                                ...
L´
 ımites infinitos y l´
                    ımites en el infinito
L´
 ımites infinitos
 1. l´ f (x) = ±∞.
     ım
    x→a
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L´
 ımites en el infinito

                     l´ f (x)
                      ım              l´ f (x) .
                 ...
As´
  ıntotas oblicuas Si la recta y = mx + n, con m = 0 verifica que

               f (x)
             l´
              ı...
Propiedades de las funciones con l´
                                  ımite
Proposici´n
         o
Si existe el l´
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Proposici´n (Acotaci´n local)
         o          o
Sea f una funci´n tal que existe l´ f (x) = (en R). Entonces
         ...
Proposici´n (Propiedades algebraicas)
         o
Sean f y g dos funciones tales que existen los l´
                       ...
Proposici´n (Funci´n intermedia)
         o        o
Sean f , g , h tres funciones definidas en el entorno reducido de un
p...
Proposici´n
         o
Sea f una funci´n tal que
               o

                            l´ f (x) = 0
              ...
3. Funciones continuas


   Definici´n (Continuidad en un punto)
          o
   Sea f : A → R una funci´n definida en un ent...
Definici´n (Continuidad lateral)
       o
Si una funci´n f est´ definida en un intervalo de la forma [a, a + δ]
            ...
Ejemplo
                                  √
Las ra´
      ıces con ´
               ındice par f (x) = m x est´n definidas ...
Tipos de discontinuidades
    Evitable
    Inevitable: de primera especie (salto finito o infinito) y de
    segunda especie...
Son continuas en todos los puntos de su dominio las funciones
polin´micas, las trigonom´tricas (seno y coseno), las expone...
Propiedades de las funciones continuas
Muchas propiedades de las funciones continuas se deducen
directamente de las de l´
...
Proposici´n (Continuidad de la composici´n)
         o                              o
Sean A, B, C subconjuntos de R y f :...
4. Funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado

   En esta secci´n estudiaremos funciones continuas f : [a, b] →...
Ejemplos:
    Demostrar que la ecuaci´n
                           o
                                         1
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Teorema (de los valores intermedios)

Sea f : [a, b] → R una funci´n continua, y sea ξ un valor
                          ...
Extremos absolutos
Definici´n
       o
Sea f : A → R una funci´n. Se dice que f alcanza en a1 ∈ A un
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Teorema (Weierstrass)
Sea f : [a, b] → R una funci´n continua. Entonces se cumple:
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  1. 1. Tema: L´ ımites y continuidad de funciones de una variable 1 Generalidades sobre funciones 2 L´ ımite de una funci´n en un punto o 3 Funciones continuas en un punto 4 Funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado
  2. 2. 1. Generalidades sobre funciones Funci´n. Dominio y recorrido o Trabajaremos con funciones de tipo f : A → B, donde A, B ⊂ R. f : A −→ B Notaci´n: o Otra: y = f (x) x f (x) Terminolog´ funciones reales de variable real ıa: Para una funci´n f : A → B, se llama dominio de f a A y lo o representaremos por Dom (f ). Si una funci´n viene dada mediante una expresi´n anal´ o o ıtica o f´rmula, entenderemos por dominio de f al mayor subconjunto de o R donde dicha expresi´n tiene sentido como funci´n real. o o Ejemplo log x Dominio de f (x) = √ . x2 − 1
  3. 3. Otros conceptos Funci´n definida a trozos o Gr´fica de una funci´n. a o Recorrido o imagen de una funci´n (proyecci´n de la gr´fica o o a sobre el eje de ordenadas). Tipos generales de funciones: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Composici´n de funciones. o Inversa de una funci´n. Interpretaci´n geom´trica. o o e
  4. 4. 2 L´ ımite de una funci´n en un punto o Entornos de un punto Definici´n o Dado un n´mero a ∈ R, se llama entorno de a con radio r > 0 al u subconjunto de R E (a, r ) = { x ∈ R : |x − a| < r } . Llamamos entorno reducido de a con radio r > 0 al conjunto: E ∗ (a, r ) = { x ∈ R : 0 < |x − a| < r } . Se cumple E ∗ (a, r ) = E (a, r ) − {a} . Si no nos interesa el radio concreto del entorno, escribiremos simplemente E (a) y E ∗ (a).
  5. 5. Definici´n o Sea f : A → R una funci´n y a ∈ R tal que existe E ∗ (a) ⊂ A. o Diremos que el l´ ımite de la funci´n f en el punto a es ∈ R, (se o representa l´ f (x) = ) si se cumple: ım x→a ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − | < ε Utilizando la terminolog´ de entornos, la condici´n anterior puede ıa o expresarse como sigue: ∀ε > 0, existe E ∗ (a, δ) tal que x ∈ E ∗ (a, δ) ⇒ f (x) ∈ E ( , ε) . Interpretaci´n gr´fica o a Para cualquier franja horizontal comprendida entre las rectas y = + ε e y = − ε, existe un entorno reducido E ∗ (a) tal que los puntos de la gr´fica { (x, f (x)) : x ∈ E ∗ (a) } se encuentran dentro a de la franja anterior.
  6. 6. L´ ımites laterales L´ ımite por la izquierda de la funci´n f en el punto a: se o representa l´ f (x) = . En la definici´n de l´ ım o ımite se cambia x→a− 0 < |x − a| < δ por 0<a−x <δ L´ ımite por la derecha de la funci´n f en el punto a: se o representa l´ + f (x) = . En la definici´n de l´ ım o ımite se cambia x→a 0 < |x − a| < δ por 0<x −a<δ Proposici´n o Existe l´ f (x) = ım si, y s´lo si, existen l´ f (x) y l´ + f (x) y o ım ım x→a x→a− x→a ambos son iguales a . Ejemplos √ |x| l´ + x = 0 ; ım l´ e ım x ; la funci´n parte entera. o x→0 x→0
  7. 7. L´ ımites infinitos y l´ ımites en el infinito L´ ımites infinitos 1. l´ f (x) = ±∞. ım x→a 2. l´ + f (x) = ±∞ y l´ f (x) = ±∞. ım ım x→a x→a− Si se cumple cualquiera de las condiciones anteriores, se dice que la recta x = a es una as´ ıntota vertical. Ejemplos 1. f (x) = e −1/x en x = 0. (x − 1)2 2. f (x) = 2 en x = ±2. x −4 3. f (x) = x12 en x = 0.
  8. 8. L´ ımites en el infinito l´ f (x) ım l´ f (x) . ım x→+∞ x→−∞ Estos l´ımites pueden valer tanto un n´mero real , como infinito u ±∞. En el caso en que uno de estos l´ ımites sea finito, y valga , se dice que la recta y = es una as´ ıntota horizontal. A lo sumo existen dos as´ıntotas horizontales. Ejemplos 1 f (x) = en ±∞. 1 + e −x 1 f (x) = . 1 + x2
  9. 9. As´ ıntotas oblicuas Si la recta y = mx + n, con m = 0 verifica que f (x) l´ ım = m; l´ (f (x) − mx) = n ım x→+∞ x x→+∞ entonces se dice que dicha recta es una as´ ıntota oblicua de la funci´n para x → +∞. o An´logamente para el caso x → −∞. a x2 Ejemplo As´ ıntotas oblicuas de f (x) = √ . 2 x2 − 1
  10. 10. Propiedades de las funciones con l´ ımite Proposici´n o Si existe el l´ ımite de una funci´n en un punto, este es unico. o ´ Definici´n o Sea f : A → R una funci´n. Se dice que f est´ acotada en A si o a existen m1 , m2 ∈ R tales que: ∀x ∈ A m1 ≤ f (x) ≤ m2 Si f est´ acotada en A se llama supremo, ´ a ınfimo, m´ximo y a m´ınimo de f en A al supremo, ´ ınfimo, m´ximo y m´ a ınimo respectivos del conjunto { f (x) : x ∈ A } . Alternativamente, una funci´n f est´ acotada en A si existe una o a constante M ∈ R tal que ∀x ∈ A se cumple: |f (x)| ≤ M .
  11. 11. Proposici´n (Acotaci´n local) o o Sea f una funci´n tal que existe l´ f (x) = (en R). Entonces o ım x→a existe un entorno reducido de a donde la funci´n f est´ acotada. o a Proposici´n (Conservaci´n local de signo) o o Sea f una funci´n tal que l´ f (x) = > 0. Entonces existe un o ım x→a entorno reducido de a en el que la funci´n f toma s´lo valores o o positivos. Existe una proposici´n an´loga a la anterior en el caso en que el o a l´ ımite es negativo.
  12. 12. Proposici´n (Propiedades algebraicas) o Sean f y g dos funciones tales que existen los l´ ımites l´ f (x) = 1 y l´ g (x) = 2 . Entonces se cumple: ım ım x→a x→a l´ f (x) ± g (x) = ım 1 ± 2. x→a l´ f (x) · g (x) = ım 1 2. x→a En particular, l´ α · f (x) = α 1 , si α es un n´mero real. ım u x→a f (x) 1 Si 2 = 0, entonces l´ ım = . x→a g (x) 2 Indeterminaciones: al igual que en el caso de las sucesiones los l´ ımites del siguiente tipo son indeterminados: 0 ∞ ∞−∞ ∞·0 1∞ 00 ∞0 0 ∞
  13. 13. Proposici´n (Funci´n intermedia) o o Sean f , g , h tres funciones definidas en el entorno reducido de un punto a, E ∗ (a). Supongamos que se cumple: f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) ∀x ∈ E ∗ (a) Si adem´s l´ f (x) = l´ h(x) = , entonces a ım ım x→a x→a l´ g (x) = . ım x→a La proposici´n anterior es tambi´n v´lida, con cambios adecuados o e a en las condiciones, para l´ ımites laterales y para l´ ımites en ±∞. Tambi´n es v´lida si = ±∞ e a Ejemplo x 2 x l´ ım ; l´ ım x+ · sen x x→0 3 x x→+∞ 2
  14. 14. Proposici´n o Sea f una funci´n tal que o l´ f (x) = 0 ım x→a y g una funci´n que est´ acotada en un entorno reducido de a. o a Entonces se cumple: l´ f (x) · g (x) = 0 ım x→a 1 Ejemplo l´ x 2 · sen ım = 0. x→0 x
  15. 15. 3. Funciones continuas Definici´n (Continuidad en un punto) o Sea f : A → R una funci´n definida en un entorno de un punto a. o Diremos que f es continua en a cuando se cumpla: l´ f (x) = f (a) ım x→a Si A es un intervalo abierto, diremos que f es continua en A cuando sea continua en cada uno de los puntos de A. Ejemplo Las funciones polin´micas, las de tipo exponencial ax y el seno o y coseno son continuas en R. La funci´n logaritmo loga (x) es o continua en (0, +∞).
  16. 16. Definici´n (Continuidad lateral) o Si una funci´n f est´ definida en un intervalo de la forma [a, a + δ] o a con δ > 0, se dice que f es continua por la derecha en a si se cumple: l´ + f (x) = f (a) ım x→a De la misma forma, si una funci´n f est´ definida en un intervalo o a de la forma [a − δ, a] con δ > 0 diremos que f es continua por la izquierda en a si se cumple: l´ f (x) = f (a) ım x→a− Una funci´n f : [a, b] → R se dice continua en [a, b] si es continua o por la derecha en a, por la izquierda en b y es adem´s continua en a (a, b).
  17. 17. Ejemplo √ Las ra´ ıces con ´ ındice par f (x) = m x est´n definidas en [0, +∞). a Estas funciones son continuas por la derecha en 0, y en el sentido usual en (0, +∞). Nosotros diremos simplemente que son continuas en [0, +∞). Proposici´n o Una funci´n f es continua en un punto a si, y s´lo si, es continua o o por la derecha y por la izquierda en el punto a. Ejemplo La funci´n parte entera f (x) = [x], definida en R es continua en o cada punto x ∈ R − Z. En cada punto de Z es continua s´lo por o la derecha.
  18. 18. Tipos de discontinuidades Evitable Inevitable: de primera especie (salto finito o infinito) y de segunda especie. Ejemplo sen x x si x = 0 La funci´n f (x) = o es continua cada punto de 0 si x = 0 R − {0} y tiene una discontinuidad evitable en 0. Ejemplo La funci´n parte entera f (x) = [x] es continua en cada punto de o R − Z, y en cada punto entero tiene una discontinuidad inevitable de salto 1. Ejemplo 1 La funci´n dada por f (x) = sen x si x = 0 y f (0) = 0 tiene en 0 o una discontinuidad inevitable de segunda especie.
  19. 19. Son continuas en todos los puntos de su dominio las funciones polin´micas, las trigonom´tricas (seno y coseno), las exponenciales o e (ax ), las logar´ ıtmicas (loga x) y las ra´ de ´ ıces ındice natural. Tambi´n se supone conocido que la funci´n valor absoluto e o f (x) = |x| es continua en R.
  20. 20. Propiedades de las funciones continuas Muchas propiedades de las funciones continuas se deducen directamente de las de l´ ımites. Proposici´n (Acotaci´n local) o o Toda funci´n continua en un punto a est´ acotada en alg´n o a u entorno del punto a. Proposici´n (Conservaci´n local del signo) o o Si una funci´n f es continua en un punto a y f (a) es positivo, o entonces existe un entorno del punto a donde la funci´n f toma o s´lo valores positivos. Existe una propiedad an´loga para valores o a negativos. Proposici´n (Propiedades algebraicas) o Dadas dos funciones continuas f y g , son continuas las funciones f f ± g , f · g y el cociente (en este ultimo caso, en cualquier ´ g punto en el que g no se anule).
  21. 21. Proposici´n (Continuidad de la composici´n) o o Sean A, B, C subconjuntos de R y f : A → B, g : B → C dos funciones. Supongamos que f es continua en un punto a ∈ A y g es continua en el punto b = f (a). Entonces la funci´n compuesta o h = g ◦ f : A → C es continua en el punto a. En consecuencia se tiene: l´ g (f (x)) = g (f (a)) = g ( l´ f (x)) . ım ım x→a x→a Ejemplo La funci´n f (x) = sen(1/x) es continua en R − {0}. o La funci´n f (x) = 5sen x es continua en R. o 2 La funci´n f (x) = 2sen o x es continua en R.
  22. 22. 4. Funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado En esta secci´n estudiaremos funciones continuas f : [a, b] → R o definidas en un intervalo cerrado y acotado. Diferencia entre resultados locales y globales. Importancia del axioma de supremo en los resultados de esta secci´no El teorema de los valores intermedios. Teorema de Bolzano Teorema (Teorema de Bolzano.) Sea f : [a, b] → R una funci´n continua tal que f (a) · f (b) < 0. o Entonces existe alg´n punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. u Notas: Es posible que el punto cuya existencia asegura el teorema no sea unico. ´ M´todo de bisecci´n. e o
  23. 23. Ejemplos: Demostrar que la ecuaci´n o 1 | sen x| + = x2 2 tiene alguna soluci´n real en el intervalo (0, π). o Sea f (x) = a0 + a1 · x + · · · + an · x n un polinomio con coeficientes reales tal que a0 · an < 0. Probar que f tiene alguna ra´ positiva. ız Todo polinomio con coeficientes reales y grado impar tiene alguna ra´ real. El resultado no es cierto, en general, para ız polinomios de grado par. (Teorema del punto fijo) Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funci´n continua. Demostrar que o existe alg´n punto c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. ¿Es u necesariamente unico este punto c? ´
  24. 24. Teorema (de los valores intermedios) Sea f : [a, b] → R una funci´n continua, y sea ξ un valor o comprendido estrictamente entre f (a) y f (b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f (c) = ξ. El teorema anterior es una consecuencia directa del teorema de Bolzano, aunque su enunciado incluye como caso particular el de Bolzano. Ejemplo: Sea f : [0, 1] → R una funci´n continua que s´lo toma o o valores racionales. Probar que f es constante.
  25. 25. Extremos absolutos Definici´n o Sea f : A → R una funci´n. Se dice que f alcanza en a1 ∈ A un o m´ximo absoluto si a f (a1 ) ≥ f (x) ∀x ∈ A . Se dice que f alcanza en a2 ∈ A un m´ ınimo absoluto si f (a2 ) ≤ f (x) ∀x ∈ A . Notas: Importancia pr´ctica de los extremos absolutos. a Toda funci´n que alcanza el m´ximo (m´ o a ınimo) absoluto est´ acotada superiormente (inferiormente). a El rec´ ıproco no es cierto. No toda funci´n acotada alcanza sus o extremos absolutos. Por ejemplo f (x) = arc tg x, definida en R est´ acotada superior e inferiormente, pero no tiene a extremos absolutos.
  26. 26. Teorema (Weierstrass) Sea f : [a, b] → R una funci´n continua. Entonces se cumple: o 1. La funci´n f est´ acotada. o a 2. f alcanza sus valores m´ximo y m´ a ınimo absolutos en [a, b]. Notas: El teorema de Weierstrass es un resultado te´rico muy o importante, pero no da un m´todo para encontrar los e extremos absolutos. En la pr´ctica, la derivada y su utilidad en el estudio del a crecimiento y decrecimiento de una funci´n, es lo que se o utiliza para hallar los extremos absolutos (y relativos) de una funci´n. o

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