Transformada de Laplace y Función de Transferencia

1. TEMA 2:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Y
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Departamento de Tecnología Industrial
TI-2233 Sistemas de Control
Sede Litoral
Prof. Asdrúbal Aguilera

2. Procesos automatizados
• Un moderno avión comercial

3. Ejemplos de procesos
automatizados
• Satélites

4. Ejemplos de procesos
automatizados
• Control de la concentración de un producto en
un reactor químico

5. Ejemplos de Procesos
Automatizados
• Control en automóvil

6. El Proceso de Diseño del Sistema de
Control
• Para poder diseñar un sistema de control
automático, se requiere
– Conocer la ecuación diferencial que
describe el comportamiento del proceso a
controlar.
– A esta ecuación diferencial se le llama
modelo del proceso.
– Una vez que se tiene el modelo, se puede
diseñar el controlador.

7. Conociendo el Proceso …
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
f(t)
z(t)
k
b
m
Fuerza de
entrada
Desplazamiento,
salida del sistema
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
dt
t
z
d
m
dt
t
dz
b
t
kz
t
f
ma
F






8. Conociendo el Proceso…
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Nivel en un tanque
qo(t)
Flujo de
salida
R
(resistencia
de la válvula)
h(t)
qi(t)
Flujo de
entrada
dt
t
dh
A
t
h
R
t
q
t
q
t
h
R
dt
t
dh
A
t
q
t
q
i
o
o
i
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(





Flujo que entra – Flujo que sale =
Acumulamiento
A
(área del
tanque)

9. Conociendo el Proceso…
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
t
e
dt
t
i
C
dt
t
i
C
t
Ri
dt
t
di
L
t
e
o
i







10. El Rol de la Transformada de Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Suspensión de un automóvil
 
k
bs
ms
s
F
s
Z
k
bs
ms
s
Z
s
F
s
Z
ms
s
bsZ
s
kZ
s
F
dt
t
z
d
m
dt
t
dz
b
t
kz
t
f












2
2
2
2
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
cero)
a
igual
iniciales
s
condicione
ndo
(considera
término
cada
a
Laplace
de
ada
transform
la
Aplicando
)
(
)
(
)
(
)
(
Función de
transferencia

11. El Rol de la Transformada de Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Nivel en un tanque
1
1
1
)
(
)
(
)
1
)(
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
Laplace
de
ada
transform
la
Aplicando
)
(
)
(
1
)
(










ARs
R
R
As
s
Q
s
H
R
As
s
H
s
Qi
s
AsH
s
H
R
s
Qi
dt
t
dh
A
t
h
R
t
q
i
i
Función de
transferencia

12.      
 
1
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
E
)
(
1
)
(
)
(
)
(
E
I(s))
para
o
(despejand
ecuaciones
las
Combinando
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
E
Laplace
de
ada
transform
la
Aplicando
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2
2
i
i
i
















 

RCs
LCs
s
E
s
E
RCs
LCs
s
E
s
s
CsE
Cs
s
CsE
R
s
CsE
Ls
s
s
E
s
I
Cs
s
I
Cs
s
RI
s
LsI
s
t
e
dt
t
i
C
dt
t
i
C
t
Ri
dt
t
di
L
t
e
o
o
o
o
o
o
o
o
i
El Rol de la Transformada de Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Circuito eléctrico
Función de
transferencia

13. La función de transferencia
• Nos indica como cambia la salida de un proceso
ante un cambio en la entrada
• Diagrama de bloques
forzante
Función
proceso
del
Respuesta
)
(
)
(
proceso
del
entrada
la
en
Cambio
proceso
del
salida
la
en
Cambio
)
(
)
(


s
X
s
Y
s
X
s
Y
Proceso
Entrada del proceso
(función forzante o
estímulo)
Salida del proceso
(respuesta al
estímulo)

14. La Función de Transferencia
Diagrama de bloques
• Suspensión de un automóvil
Entrada
(Bache)
Salida
(Desplazamiento del
coche)
k
bs
ms 

2
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 10
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x 10
-3

15. La Función de Transferencia
Diagrama de bloques
• Nivel en un tanque
Qi(s)
(Aumento del flujo de
entrada repentinamente)
H(s)
(Altura del nivel en el
tanque
1

ARs
R
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
-10
-5
0
5
10
15
20
25

16. La Función de Transferencia
Diagrama de bloques
• Circuito eléctrico
Ei(s)
(Voltaje de entrada)
Eo(s)
(Voltaje de salida)
1
1
2

 RCs
LCs
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 10
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

17. Propiedades y Teoremas más
Significantes
• TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)
• TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)
• TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN
(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo
(tiempo muerto))

18. Se tiene un proceso como el mostrado en la figura. El flujo de entrada cambió
repentinamente de 5 m3/min a 15 m3/min
a) Cuál es la altura final del tanque una vez que alcanzó la estabilización?
b) Cuál es la altura del tanque 4 minutos después de que se aplicó el
escalón.
c) Cuánto tiempo tardará el sistema en estabilizarse?
(al 98.2% de la respuesta final)
5 m3/min
5 m3/min
R = 2 min/m2
10 m
A = 2 m2
Ejemplo Aplicado

19. 5 m3/min
5 m3/min
R = 2 min/m2
10 m
A = 2 m2
Ejemplo Aplicado
inicial.
su valor
a
respecto
con
m,
20
de
cambio
un
tendrá
altura
la
10,
magnitud
de
entrada
de
flujo
el
en
escalón
cambio
un
ante
que
decir,
quiere
Esto
2)
(R
20
)
2
(
10
10
)
(
Lim
)
(
Lim
10
1
Lim
)
(
Lim
)
(
Lim
final
valor
de
Teorema
10
1
)
(
10
)
(
Q
15)
a
5
de
cambio
flujo
el
10,
magnitud
de
(escalón
10
)
(
1
)
(
)
(
0
s
t
0
s
0
s
t
i

































R
s
sH
t
f
s
ARs
R
s
s
sH
t
f
s
ARs
R
s
H
s
s
t
q
ARs
R
s
Q
s
H
i
i

20. Cambio en el Flujo de Entrada
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20

21. Cambio en la Altura (Salida)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
5
10
15
20
25
30
35
40

22. La Respuesta del Proceso en el Tiempo
TRANSFORMADA INVERSA
DE LAPLACE
   
   
 
 
 
 
   
hss
e
t
h
hss
e
t
h
s
s
s
s
s
H
s
s
s
b
s
s
s
a
s
b
s
a
s
s
s
H
s
s
s
s
s
s
s
ARs
R
s
H
s
s
ARs
R
s
Q
s
H
t
t
s
s
i






 








































































4
1
4
1
4
1
1
20
)
(
tanque)
del
inicial
altura
(hss
20
20
)
(
20
20
5
)
(
20
5
5
20
5
5
5
)
(
parciales
fracciones
en
Expansión
1
4
20
10
1
)
2
)(
2
(
2
10
1
)
(
10
)
(
Q
1
)
(
)
(
4
1
4
1
4
1
0
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
20
i

23. La Respuesta del Proceso en el Tiempo
 
 
   
 
 
estable
estado
nuevo
un
a
llegar
proceso
al
tomará
le
que
tiempo
el
Es
min
06
.
16
0.973
-
1
ln
1
20
0.982(20)
1
20
)
(
982
.
0
ción)
estabiliza
de
final
valor
del
(98.2%
estable
estado
al
llegará
tiempo
cuanto
en
calcular
Para
6424
.
22
10
1
20
)
4
(
4
en t
evaluamos
escalón
el
aplicó
se
que
de
después
minutos
4
altura
la
calcular
Para
1
20
)
(
4
1
4
4
1
4
1
4
1
4
1








 






 









 








 





t
t
e
e
hss
t
h
m
e
h
hss
e
t
h
t
t
t

24. Cambio en la Altura (Salida)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
0
5
10
15
20
25
30
35
X: 14
Y: 22.65
X: 26.06
Y: 29.64
El cambio en el flujo de
entrada se aplicó aquí

25. El Sistema de Control Automático
Nivel en un tanque – Lazo abierto (sin control)
(tiempo de estabilización = 16.06 min de acuerdo al ejemplo anterior)
Nivel en un tanque – Lazo cerrado (con control)
Qi(s)
(Aumento del flujo de
entrada repentinamente)
H(s)
(Altura del nivel en el
tanque
1

ARs
R
Controlador
1

ARs
R
+
-
Valor
deseado Acción
de
control
Variable
controlada

26. La Ecuación del Controlador
• ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN
CONTROLADOR PID
(error)
real
valor
el
y
deseado
valor
el
entre
diferencia
la
es
E(s)
Donde
1
1
Kc
)
(
)
(
)
(
)
(
1
E(s)
Kc
)
(
)
(
)
(
)
(
1
E(s)
Kc
M(s)
Laplace
de
ada
transform
la
Aplicando
)
(
)
(
1
)
(
)
(



































 
s
s
s
E
s
M
s
sE
s
E
s
s
E
s
M
s
sE
s
E
s
dt
t
de
dt
t
e
t
e
Kc
t
m
d
i
d
i
d
i
d
i









27. El Sistema de Control Automático
Nivel en un tanque – Lazo cerrado (con control)
(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del
cambio en la entrada)
1

ARs
R
+
-
Valor
deseado Acción
de
control
Variable
controlada





 
 s
Kc d
s
i


1
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
0
5
10
15
20
25
30
35
X: 14.01
Y: 29.64
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
5
10
15
20
25
30
35

28. La Respuesta del Sistema de Control
de Nivel
• Comparación del sistema en lazo abierto (sin
control) y en lazo cerrado (con control)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
0
5
10
15
20
25
30
35
X: 26.03
Y: 29.64
X: 14.01
Y: 29.64
Con
control
Sin
control

29. Principales Funciones a Obtener de una
Ecuación Diferencial: G(s) y Y(s)
Y(s)
U(s)

c.i.=
0
2) G(s)
Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos
expresiones son de gran interés:
1) Y(S): La función respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la
función forzante)
; Función de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y
no se sustituye la función forzante.
n(s)
n(s) 0;ceros
K( K
K :ganancia
:
d
s a)...
;
(s b)(s (s)
d(s) 0;p
c)...
olos
(o)
: (X)






jw

x
o o x
x
Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:

30. G(s) y Y(s)
0
.,
.
2
)
(
;
.
.
8
.
0
)
0
(
);
(
2
.
1
)
(
)
(
10





t
para
i
de
u
t
u
i
de
u
y
t
u
t
y
dt
t
dy
cia
Transferen
de
Función
s
s
s
G
s
U
s
Y
s
U
y
s
s
Y
s
U
s
Y
y
s
sY
t
u
t
y
dt
t
dy
i
c
:
1
.
0
12
.
0
1
10
2
.
1
)
(
)
(
)
(
);
(
)
0
(
10
]
1
10
)[
(
);
(
)
(
)
0
(
10
)
(
10
)}
(
{
)}
(
)
(
10
{
| 0
.
.














L
L
jw

X
-0.1
Para la ecuación diferencial
Solución:
Respuesta
Función
:
)
1
.
0
(
)
3
.
0
(
8
.
0
)
1
10
(
4
.
2
8
)
(
4
.
2
8
8
2
2
.
1
]
1
10
)[
(
;
2
2
.
1
)
8
.
0
(
10
]
1
10
)[
(
);
(
2
.
1
)
(
)
0
(
10
)
(
10
)}
(
2
.
1
{
)}
(
)
(
10
{































s
s
s
s
s
s
s
Y
s
s
s
s
s
Y
s
s
s
Y
s
U
s
Y
y
s
sY
t
u
t
y
dt
t
dy
L
L
jw

o X X
-0.3 -0.1 0
Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)

31. Obtención del valor inicial y final de y(t)
Respuesta
Función
:
)
1
.
0
(
)
3
.
0
(
8
.
0
)
1
10
(
4
.
2
8
)
(






s
s
s
s
s
s
s
Y
1
.
0
6
.
1
4
.
2
1
.
0
)
(






s
s
s
b
s
a
s
Y
0.8
















 1
8
.
0
)
1
.
0
(
)
3
.
0
(
8
.
0
)
1
.
0
(
)
3
.
0
(
8
.
0
.
)
(
.
)
0
(
:
lim
lim
lim
lim
s
s
s
s s
s
s
s
s
s
s
Y
s
y
inicial
valor
del
Teorema
jw

o X X
-0.3 -0.1 0
4
.
1
.
0
)
3
.
0
)(
8
.
0
(
)
1
.
0
(
)
3
.
0
(
8
.
0
)
1
.
0
(
)
3
.
0
(
8
.
0
.
)
(
.
)
(
:
final
valor
del
Teorema
lim
lim
lim
0
0
0
2












 s
s
s
s
s
s
s
Y
s
y
s
s
s
2.4
0.8
t
Polo dominante

32. Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)
1
200
1600
)
(
1600
]
1
200
)[
(
;
0
)
(
)
0
(
200
)
(
200
80
)
0
(
;
0
)
(
)
(
200











s
s
Y
s
s
Y
s
Y
y
s
sY
C
y
t
y
dt
t
dy
80
200
1600
1
200
1600
)
(
)
0
( lim
lim 







 s
s
s
sY
y
s
s
0
1
200
1600
)
(
)
( lim
lim
0
0






 s
s
s
sY
y
s
s
Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento.
Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada
por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y()
Teorema de valor inicial:
Teorema del valor final:
t
80 ºC
0 ºC