Polinomios y fracciones algebraicas IES Carlos Cano 1º BCS

1. Polinomios
y
Fracciones algebraicas

2. Introducción.
Polinomios.
Un polinomio en una indeterminada x es una expresión algebraica
formada por la suma o diferencia de dos o más monomios .
Ejemplo
P(x )=−7 x3+4 x2−5
Términos Grados Coeficientes
El Grado de un polinomio es el mayor de los grados de los términos que lo
forman.

3. Introducción.
Igualdad de Polinomios.
Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de
los términos semejantes son iguales
Suma y resta de Polinomios.
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos
Semejantes. Para restar se suma el minuendo con el opuesto del
Sustraendo
Ejemoplo: P ( x )=2 x 4− x 2+ 3 y Q ( x )= x 3 + 2 x 2 − x + 1
P ( x )+ Q ( x )=2 x 4 + x 3 +(−1 + 2) x 2− x + ( 3 + 1)=2 x 4 + x 3 + x 2 − x + 4
P ( x )−Q ( x ) =2 x 4 − x 3 + (−1− 2 ) x 2 − x + ( 3 − 1) = 2 x 4 − x 3 − 3 x 2 + x + 2

4. Introducción.
Producto de Polinomios.
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada termino del primer
polinomio por todos los términos del segundo polinomio y se agrupan los
términos semejantes.
Ejemoplo: P ( x )= 2 x 4 − x 2 + 3 y Q ( x )= x 3 + 2 x 2− x + 1
P ( x )⋅Q ( x )= 2 x 4⋅( x 3 + 2 x 2− x + 1)− x 2⋅( x 3 + 2 x 2− x + 1 )+ 3⋅( x 3 + 2 x 2− x +1 )=
=2 x 7 + 4 x 6 −2 x 5+ 2 x 4− x 5−3 x 2 −2 x 4 x − x 3− x 2 + 3 x 3 +6 x 2 −3 x + 3 =
=2 x 7 + 4 x 6 −3 x 5 + 3 x 3 + 2 x 2− 3 x +3

5. Introducción.
Potencias de polinomios.
[p(x)]n
[p(x)]n=p(x)⋅p(x)⋅…⋅p(x) n veces
La potencia de base un polinomio y de exponente n natural se
define como:
Productos notables.
(a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2
(a−b)2=a2−2⋅a⋅b+b2
(a+b)⋅(a−b)=a2−b2
(a+b)3=a3+3⋅a2⋅b+3⋅a⋅b2+b3
(a−b)3=a3−3⋅a2⋅b+3⋅a⋅b2−b3

6. Introducción.
División de polinomios
La división de dos polinomios llamados dividendo y divisor, consiste en
encontrar otros dos polinomios llamados cociente y resto que cumplen:
● Dividendo = divisor · Cociente + Resto
● Grado del Resto < Grado del divisor.
Además el Grado del cociente será la diferencia entre los grados del
dividendo y del divisor.
Dividendo divisor
3 x4−4 x3+5 x2−2 x+12 x2−3 x+5
−3 x4+9 x3−15 x2 3 x2+5 x+5
5 x3−10 x2−2 x
−5 x ³+15 x2−25 x
5 x2−27 x+12
−5 x2+15 x−25
−12 x−13
Cociente
Resto

7. 1 Regla de Ruffini
La regla de Ruffini nos permite calcular los coeficiente del cociente
y el resto de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma
(x-a) donde “a” es un número real.
Ejemplo: (2 x3+3 x2+x−4):(x−1)
= Resto
2 3 1
-4
1
2 x2Cociente = +5 x+6
2
2
2
5
56
6

8. 2 Teorema del resto y
el Factor
Valor numérico de un polinomios.
Llamamos Valor numérico de un polinomio al resultado de
sustituir la indeterminada por el número dado:
P(x )=x3−3 x2+2 x−5
si x=0 P(0)=03−3⋅02+2⋅0−5=−5
si x=2 P(2)=23−3⋅22+2⋅2−5=−5
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio P(x) por (x-a) es igual al valor
numérico del polinomio para x=a
Teorema del factor
un polinomio P(x) tiene como factor (x-a) , o es divisible por el
monomio (x-a), si el valor numérico del polinomio para x=a es cero.
Luego el polinomio puede escribirse como P(x)=(x-a) · C(x)

9. 3 Factorización de polinomios
Llamamos Raíz de un polinomio P(x) , a cada uno de los
números “a” para los cuales el valor numérico del polinomio
es cero .
a es raíz de P(x )⇔P(a)=0
Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término
independiente, siempre que este no sea nulo
● Descomposición factorial de un polinomio
El polinomio de grado n
P(x )=an xn+an−1 xn−1+…+a1 x+a0
Con n raíces x1, x2, … xn queda descompuesto de la forma
siguiente:
P(x )=an⋅(x−x1)⋅(x−x2)⋅…⋅(x−xn)

10. 4 Fracciones Algebraicas
Llamamos Fracción algebraica al cociente de dos polinomios
P(x )
Q(x )
● Fracciones Algebraicas Equivalentes
Son Equivalentes
P(x )
Q(x )
y R(x)
T ( X)
⇔P( x)⋅T( x)=R(x )⋅Q( x)
Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador de una
fracción algebraica por un mismo polinomio, obtenemos una fracción
equivalente a la original.

11. 5 Operaciones con
Fracciones Algebraicas
● Fracciones Algebraicas irreducibles.
Son aquellas cuyo numerador y denominador son primos entre sí.
● Simplificación de Fracciones Algebraicas.
Para simplificar Fracciones algebraica se divide numerador y
denominador por el MCD.
● Suma y resta de Fracciones Algebraicas.
Se reducen a común denominador y se suman o restan los
numeradores. Finalmente se transforma en una fracción irreducible.
● Producto de Fracciones Algebraicas.
Se multiplican los numeradores y denominador. Finalmente se
transforma en una fracción irreducible.
● Cociente Fracciones Algebraicas.
Se multiplica la primera por la inversa de la segunda. O bien, se
multiplican los términos cruzados. Finalmente se transforma en una
fracción irreducible.