1. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Uno de los problemas que posibilitan el surgimiento del Cálculo
Diferencial, fue el relacionado con las rectas tangentes a una curva
cualquiera. Más precisamente, el relacionado con las rectas
tangentes a una curva cualquiera, encontrar una buena definición
de recta tangente, y hallar un método que permitiera trazarla con
exactitud.
¿Cuál es esa buena definición de recta tangente a una curva, en un
punto dado de ella, y cómo trazarla?
De acuerdo a tus conocimientos de geometría euclidiana contesta
las preguntas:
A
Figura 1.
¿Cuál es la definición de recta tangente a una circunferencia, en
unos de sus puntos?
¿Cómo trazas esa recta tangente?
Ambas preguntas son fáciles de responder, si se considera el
problema de definir recta tangente a una curva cualquiera, en unos
de sus puntos y, más aún si se pide un método de trazarla.
El Cálculo diferencial respondió estas dos preguntas.
El objetivo es hacer un análisis, desde el punto de vista matemático,
de los conceptos involucrados en ella.
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2. ¿Qué es ángulo de inclinación de una recta?
¿A qué es igual la tangente del ángulo de inclinación?
¿A qué se le llama pendiente de una recta?
¿Cómo determinas la pendiente de una recta?
¿Cómo son las pendientes de dos rectas perpendiculares?
¿Qué expresión simbólica indica el hecho de que dos rectas sean
perpendiculares entre ellas?
¿Qué diferencia hay entre el concepto de recta secante y el de recta
tangente, a una curva dada?
Interpretación geométrica de la derivada de una función.
De la Figura 2, se sabe lo siguiente: las rectas S y T se llaman
secante (que pasa por los puntos A y B) y tangente en el punto A,
respectivamente, a la curva dada por y=f(x).
Apóyate en esta Figura para responder las siguientes preguntas.
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3. Figura 2.
Figura 2. Rectas secante y tangente a una curva
¿Cómo defines recta secante a una curva?
¿Cómo defines recta tangente en un punto A de una curva?
La definición que diste de recta tangente, es este caso, ¿coincide
con la definición de recta tangente a una circunferencia?
¿Por que?
¿Crees que haya algún método geométrico para trazar la recta
tangente a una curva?
¿Cuál es?
Interpretación geométrica de la derivada de una función,
continuación
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4. Apóyate en la Figura 2 para seguir el siguiente razonamiento y
contestar las preguntas planteadas en seguida.
Tal como está la Figura 2, el ángulo de inclinación de la recta
secante S es mayor que el ángulo de inclinación de la recta
tangente T ¿Por qué?
Considera que la recta secante S se mueve alrededor del punto A,
siguiendo el sentido del movimiento de las manecillas del reloj.
Esto implica que el punto B tiende al punto A.
Explica el sentido que tiene la expresión: B tiende al punto A.
Considera que el ángulo de inclinación de la recta secante S es α α
y el de la recta tangente T es θ. ¿Qué significado geométrico tiene
la expresión: ∆x →0 α = θ ?
lim
De la expresión lim α = θ
∆x →0 se sigue ∆x →0 tan α = tan θ ¿Qué
lim
significado geométrico tiene esta última expresión simbólica?
Explica, desde el punto de vista geométrico, la afirmación:
lim tan α = tan θ = pendiente de la recta tangente en A.
∆x →0
∆y
En símbolos: tan α = ∆x→0
lim , Explica, desde el punto de vista
∆x
geométrico, esta afirmación.
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5. Por otro lado: ∆y = f ( x +∆x) − f ( x) , de aquí que la expresión
simbólica precedente se convierte en
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
tan θ = lim
∆x →0 ∆x
= ∆lim0
x→ ∆x
.
Explica esta afirmación:
f ( x + ∆x) − f ( x)
Si ∆x = h , entonces la expresión simbólica ∆lim0
x→ ∆x
=
lim f ( x + h) − f ( x )
h→ 0
h
¿Por qué?
Información adicional sobre la interpretación geométrica de la
derivada:
f ( x + h) − f ( x )
La expresión simbólica lim
h→ 0 h
= tan θ representa la
derivada de la función.
y=f(x) en el punto (x, f(x)). Las notaciones más comunes, en los
libros de Cálculo Diferencial, para simbolizar el concepto de
d ∆y d ∆y
derivada son (y), f’(x), ∆x
. Así las siguientes
dx ∆ x dx
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6. expresiones simbólicas son equivalentes, pues representan
exactamente lo mismo
lim f ( x + h) − f ( x ) d lim f ( x + h) − f ( x )
a) h→ 0
h
= f’ (x), b) dx
y= h→ 0
h
,
c) Tang. del ángulo de inclinación de la recta tangente m(x)=f’(x).
De hecho, esta información puede ser resumida de la manera
siguiente: el valor numérico de la derivada en algún punto
(x0, f(x0)) de la curva dada por la función y= f(x) es igual a la
pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. O en
símbolos: f’ (x0)= m(x0)
f ( x + h) − f ( x )
m (x)= f’(x) = lim
h→ 0 h
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7. SOLUCIÓN A LA SITUACIÓN PROBLEMA PLANTEADA
CON ANTERIORIDAD:
Consideremos una función real continua con regla de
correspondencia y = f(x), su gráfica y los puntos P1(x1, y1) y P2(x2,
y2) que se encuentran sobre la gráfica:
En la gráfica se considera lo siguiente:
• Por el punto P1(x1, y1) se traza una recta tangente T a la curva
y = f(x).
• Por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) se traza una recta secante
S a la curva y = f(x).
• θ denota el ángulo de inclinación de la recta secante a la curva
y = f(x).
• Se marca el incremento de la variable independiente Δx, donde
Δx= x2 - x1
• Se marca el incremento de la variable dependiente Δy, donde
Δy= f(x2) – f( x1)
• Se marca el triángulo rectángulo P1QP2.
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8. Del triángulo rectángulo P1QP2.
La tangente trigonométrica del ángulo θ es:
∆f (x)
tanθ =
∆x
Representa la pendiente ms = de la recta secante a la curva y = f(x)
en los puntos P1 y P2. Esto es:
∆f (x) f (x + ∆x) − f (x)
ms = tan θ = =
∆x ∆x
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9. Si el punto P1 se mantiene fijo y se hace variar el punto P2 hacia el
punto P1 sobre la curva, el ángulo de inclinación θ de la recta
secante varía en cada una de las posiciones de la recta del punto P2.
Sí el punto P2 se aproxima cada vez más al pinto P1, el valor de la
tangente trigonométrica del ángulo θ también variará.
Como la curva y = f(x) es continua, el punto P2 se puede aproximar
al punto P1 tanto como se quiera, de tal manera que:
Sí Δx →
0, entonces Δf (x) →
0
En consecuencia la recta secante S a medida que Δx →
0 se
aproxima a la recta tangente T, esto es:
Sí Δx →
0, entonces mS →
mT
Por lo tanto, en el límite cuando Δx →
0
f ( x + ∆x ) − f ( x)
mT = ∆lim0
x→ ∆x
= Dx f(x)
Por lo tanto la derivada de una función evaluada en un punto,
geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la
curva en ese punto.
En general, la derivada de una función es cualquiera de sus
puntos, geométricamente representa la pendiente de las rectas
tangentes a la curva en esos puntos. Esto es:
mT = Dx f(x)
OBTENER LA DERIVADA DE f(x)= 4x2 -6x -8
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10. Aplicando la definición de la derivada:
f ( x + h) − f ( x )
Dx f(x)= lim0
h→
h
Resulta:
4( x + h)2 − 6( x + h) −8 − (4 x 2 − 6 x −8)
= lim
h→ 0 h
Elevando el binomio (x + h) al cuadrado y realizando los productos
indicados, se tiene:
4( x 2 + 2 xh + h 2 ) − 6 x − 6 h − 8 − 4 x 2 + 6 x − 8
= lim
h→ 0 h
4 x 2 + 8 xh + 4h 2 ) − 6 x − 6h − 8 − 4 x 2 + 6 x − 8
= lim
h→ 0 h
Simplificando:
8 xh + 4 h 2 − 6h
= lim
h→ 0 h
Realizando la división:
= lim (8 xh +4h −6)
h→ 0
Finalmente, calculando el límite cuando h 0 se obtiene la →
derivada de la función:
Dx f(x)=8x – 6
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