Ejercicios propuestos de dependencia e independencia lineal

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Ejercicios propuestos de dependencia e independencia lineal

  1. 1. Ejercicios propuestos<br />Dado S = {(2,4) , (1,0) , (4,3)}. Determinar si S es LI o LD.<br />Primero realizamos la combinación lineal de S con el cero vector:<br />(0,0) = α(2,4) + β(1,0) + γ(4,3)<br />(0,0) = (2α,4α) + (β,0) + (4γ,3γ)<br />(0,0) = (2α+β+4γ ; 4α+3γ)<br />A continuación planteamos un sistema de ecuaciones:<br />2α+β+4γ = 0<br />4α+3γ = 0<br />Resolvemos este sistema de ecuaciones por el método de gauss; es decir, colocando el sistema de ecuaciones en una matriz y escalonamos dicha matriz, para ver si esta tiene única o infinitas soluciones:<br />2 1 4 00 -2 -5 02 1 4 04 0 3 0 ≈<br /> F2 = F2 – 2F1 Э ∞ soluciones<br />Como existen infinitas soluciones, entonces S es linealmente dependiente (LD).<br />Dado B = {(1,1,0) , (0,1,1) , (1,0,1) , (1,2,2)}. Determinar si B es LI o LD.<br />Primero realizamos la combinación lineal de B con el cero vector:<br />(0,0,0) = α(1,1,0) + β(0,1,1) + γ(1,0,1) + δ(1,2,2)<br />(0,0,0) = (α,α,0) + (0,β,β) + (γ,0,γ) + (δ,2δ,2δ)<br />(0,0,0) = (α+γ+δ; α+β+2δ ; β+γ+2δ)<br />A continuación planteamos un sistema de ecuaciones:<br />α+γ+δ = 0<br />α+β+2δ = 0<br />β+γ+2δ = 0<br />Resolvemos este sistema de ecuaciones por el método de gauss; es decir, colocando el sistema de ecuaciones en una matriz y escalonamos dicha matriz, para ver si esta tiene única o infinitas <br />soluciones:<br />1 0 1 1 0 0 1 -1 1 0 0 0 2 1 01 0 1 1 00 1 0 2 0 0 1 1 2 0<br /> ≈<br /> F2 = F2 – F1 Э ∞ soluciones <br /> F3 = F3 – F2<br />Como existen infinitas soluciones, entonces B es linealmente dependiente (LD).<br />Dado C = {(1-x-x2 , 1+x+x2 , -1+x+x2)}. Determinar si C es LI o LD.<br />Primero realizamos la combinación lineal de C con el cero vector:<br />(0,0,0) = α(1-x-x2) + β(1+x+x2) + γ(-1+x+x2)<br />(0,0,0) = (α-αx-αx2) + (β+βx+βx2) + (-γ+γx+γx2)<br />(0,0,0) = (α+β-γ , -αx+βx+γx , -αx2+βx2+γx2)<br />A continuación planteamos un sistema de ecuaciones:<br />α+β-γ = 0<br />-α+β+γ = 0<br />-α+β+γ = 0<br />Colocamos las ecuaciones en una matriz; como es una matriz cuadrada, encontramos el determinante por el método de la estrella:<br /> 1 1 -1 0-1 1 1 0-1 1 1 0<br />|C| = |C| = 0<br />Como el determinante de C es igual a cero, entonces existen infinitas soluciones; esto quiere decir que D es linealmente dependiente (LD).<br />Dado S = {(1,1,0) , (0,1,1) , (1.0.1)}. Determinar si S es LI o LD.<br />Primero realizamos la combinación lineal de S con el cero vector:<br />(0,0,0) = α(1,1,0) + β(0,1,1) + γ(1,0,1)<br />(0,0,0) = (α,α,0) + (0,β,β) + (γ,0,γ)<br />(0,0,0) = (α+γ ; α+β ; β+γ)<br />A continuación planteamos un sistema de ecuaciones:<br />α+γ = 0<br />α+β = 0<br />β+γ = 0<br />Colocamos las ecuaciones en una matriz; como es una matriz cuadrada, encontramos el determinante por el método de la estrella:<br />1 0 1 01 1 0 00 1 1 0<br /> <br />|A| = |A| = 2<br /> Э ! solución <br />Como el determinante de A es diferente de cero , entonces existe única solución; esto quiere decir que S es linealmente independiente (LI).<br />Dado A = {(1,1,0) , (3,4,2)}. Determinar si A es LI o LD.<br />Primero realizamos la combinación lineal de A con el cero vector:<br />(0,0,0) = α(1,1,0) + β(3,4,2)<br />(0,0,0) = (α,α,0) + (3β,4β,2β)<br />(0,0,0) = (α+3β ; α+4β ; 2β)<br />A continuación planteamos un sistema de ecuaciones:<br />α+3β = 0<br />α+4β = 0<br />2β = 0 <br />Resolvemos este sistema de ecuaciones por el método de gauss; es decir, colocando el sistema de ecuaciones en una matriz y escalonamos dicha matriz, para ver si esta tiene única o infinitas soluciones:<br />1 3 00 1 00 0 01 3 01 4 00 2 0<br /> ≈<br /> F2 = F2 –F1 Э ! solución <br /> F3 = F3 – 2F2<br />Como existe única solución (la trivial), entonces A es linealmente independiente (LI).<br />Dado D = {t2+1 , t-2 , t+3 }. Determinar si D es LI o LD.<br />Primero realizamos la combinación lineal de D con el cero vector:<br />(0,0,0) = α(t2+1) + β(t-2) + γ(t+3)<br />(0,0,0) = (αt2+α) + (βt-2β) + (γt+3γ)<br />(0,0,0) = (α-2β+3γ ; βt+γt ; αt2)<br />A continuación planteamos un sistema de ecuaciones:<br />α-2β+3γ = 0 <br />β+γ = 0<br />α = 0<br />Resolvemos este sistema de ecuaciones por el método de gauss; es decir, colocando el sistema de ecuaciones en una matriz y escalonamos dicha matriz, para ver si esta tiene única o infinitas soluciones:<br />1 -2 3 00 1 1 00 0 -5 01 -2 3 00 1 1 00 2 -3 01 -2 3 00 1 1 01 0 0 0<br /> ≈ ≈ <br /> F3 = F3 – F1 F3 = F3 – 2F2<br /> Э ! solución. Como existe única solución (la trivial), entonces D es linealmente independiente (LI). <br />

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