O documento propõe uma atividade pedagógica para ensinar conceitos de potência e geometria fractal para alunos do 6o ano usando o software Geogebra. A atividade guiará os alunos na construção do Triângulo de Sierpinsky e da Curva de Koch em duas aulas, explorando conceitos matemáticos de forma lúdica e computacional.

1. A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE
POTÊNCIA COM A GEOMETRIA
FRACTAL
UFF – Universidade Federal Fluminense
Curso de Pós Graduação em Novas Tecnologias no
Ensino da Matemática
Disciplina: Informática Educativa I
Aluna: Alessandra Muniz da Silva

2. Introdução
Grande parte dos elementos naturais não pode ser representada por figuras costumeiramente
estudadas como retângulos, quadrados entre outros. No entanto, a construção manual de muitos
fractais pode ser uma atividade trabalhosa, exigindo tempo e precisão de medidas, processo que
pode ser facilitado com a utilização de um recurso computacional.
Propomos a realização de uma intervenção pedagógica que faz uma abordagem alternativa da
construção de fractais com uso de um recurso computacional o software Geogebra , explorando
conteúdos geométricos e algébricos.

3. Objetivos
Propor uma abordagem alternativa da construção de fractais usando como principal
ferramenta de apoio o software Geogebra de modo a propiciar o desenvolvimento de
conteúdos geométricos e conceitos de potência.
Público alvo:
Alunos do 6º ano
Pré-requisitos
Conceitos de triângulo equilátero, ponto médio, segmentos de reta, circunferência,
multiplicação dos números naturais.
Tempo previsto para as atividades
Tempo previsto em duas horas aula.
Desenvolvimento: na sala de aula e na sala de computadores.

4. 1ª aula
Na sala de aula
Sugere-se uma breve revisão sobre um problema que induziria os alunos a construírem o conceito
de potência.

5. Atividade proposta 1
Breve introdução sobre o Triângulo de Sierpinsky.
O Triângulo de Sierpinsky (descoberto pelo matemático Waclav Sierpinsky 1882-1969), construir
a partir de um triângulo inicial e uma regra: dividir o triângulo em 4 partes iguais e retirar a parte
central. A cada triângulo restante é aplicada a mesma regra, infinitas vezes. Veja o desenho abaixo:
Deixe os alunos observarem os desenhos por alguns minutos. Após essa observação, induzir
os alunos a perceberem que o triângulo da fase 1 possui todos os lados iguais, ou seja, que é
um triângulo equilátero. Induzir, também, a notarem o triângulo da fase 2 como sendo
formado por três triângulos equiláteros, uma vez que o triângulo central foi “retirado”.
Nesse momento propor comentários sobre as figuras.

6. Atividade proposta 2
Solicitar aos alunos que construam o triângulo de Sierpinsky até a fase quatro, ou seja, que os
alunos desenham triângulos equiláteros dentro de triângulos equiláteros e retirarem a parte central
até formar triângulos em que um dos seus lados fosse a oitava parte do lado do triângulo original
que eles haviam desenhado. Utilizando régua, lápis e folha A4 .
Sugestão: pedir aos alunos que pintem com o próprio lápis os triângulos que estão formando.
Com os alunos em sala após essa atividade, o professor lança a seguinte pergunta:
Quantos triângulos estão pintados?
A contagem será igual para todos, porém eles irão perceber que essa atividade facilitou a
interpretação do conteúdo.

7. Atividade proposta 3
Pedir aos alunos para preencher a tabela abaixo.
Nesta atividade o professor pode intervir ao surgir dificuldades.
Na sala de computadores
2ª aula
Preparação
Organizar os alunos em grupos conforme o número de computadores no laboratório.
Recomenda-se que o trabalho seja realizado em duplas de alunos, para que ocorra a troca de
ideias e de estratégias.
Requerimentos técnicos
Software Geogebra

8. Apresentam-se aos alunos os passos operacionais de acesso ao software Geogebra.
* Acessando o Geogebra pela área de trabalho
* Conhecendo o Geogebra

9. A Barra de Ferramentas está dividida em 12 janelas como a que apresentamos na Figura 2.
Figura 2 – Janelas do Geogebra
Fonte: Interface do software Geogebra (2014).
Cada janela possui várias ferramentas que podem ser visualizadas com um clique na
parte inferior do ícone. Assim, o programa abrirá as opções referentes à janela. Cada ícone tem
um desenho e um nome para ajudar a lembrar o que a ferramenta faz.
O Campo de Entrada fica no rodapé da janela do Geogebra. Por meio dele é possível operar o
programa usando comandos escritos, que desempenham praticamente as mesmas funções da
Barra de Ferramenta. Dependendo do objetivo que se tem, este recurso pode apresentar
algumas vantagens como, por exemplo, a precisão de um ponto ao digitarmos suas
coordenadas, que com um clique no mouse pode não sair no local desejado.
A Janela da Álgebra, que geralmente aparece quando iniciado o Geogebra, pode ser
ocultada a partir da Barra de Menu, em exibir e marcando a opção janela de
álgebra. Uma das funções desta Janela é exibir as informações algébricas dos objetos que estão
na Janela de Visualização, sendo possível editar as suas respectivas propriedades. Para tanto, é
preciso clicar com o botão direito do mouse sobre a informação algébrica do objeto e escolher
a opção propriedades, ou então, fazer essa edição com um duplo clique sobre a informação
algébrica.
Depois de apresentado o software aos alunos, deixa um tempo livre para que possam se
familiarizar com as funções e possibilidades de trabalho com uso o programa.

10. Atividade proposta 4: Construção da Curva de Koch com o software Geogebra
A Curva de Koch, foi proposta para ser construída no Geogebra com o objetivo de identificar a
regra de construção do referido fractal e em seguida mobilizar conhecimentos acerca de
segmentos de reta e circunferência para a sua construção. Também objetiva-se fazer uso da
potenciação para representar os comprimentos dos segmentos em cada iteração.
Abaixo estão os passos para a construção da Curva de Koch.
Abrir uma janela no Geogebra e ocultar os eixos caso esteja visível clicando com o botão direito
dentro da janela de visualização e no menu rápido selecionar a opção eixos .
Primeira iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento com dois pontos, A e B.
Segunda iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento com dois pontos, C e D.
Digita-se no campo de entrada E=(2C+D)/3, enter e também F=(C+2D)/3 e enter, assim
dividimos o segmento CD em três segmentos congruentes. Agora, seleciona-se a ferramenta
círculo dados centro e um se seus pontos e clica-se primeiro no ponto E e depois no ponto F,
originando a circunferência c; em seguida repete-se o processo, mas agora considerando F como
centro e E o outro ponto, obtendo a circunferência d. Depois selecionamos a ferramenta interseção
de dois objetos, clica-se nas circunferências c e d, obtendo os pontos G e H. Ocultar as
circunferências e o ponto H, clicando com o botão direito sobre as circunferências e escolha
opção exibir objeto e depois no ponto H, clique novamente com o botão direito e escolha a opção
exibir objeto. Para obter o estágio final basta selecionar a ferramenta segmento, e traçar os
segmentos CE, EG, GF e FD.

11. Criar uma ferramenta: Selecionar o menu Ferramentas, criar uma nova ferramenta
Ferramenta 1:
Objetos finais: pontos E, G e F e segmentos CE, EG, GF e FD.
Objetos iniciais: pontos C e D.
Nome da ferramenta: Curva de Koch
Ferramenta 2:
Objetos finais: pontos E, G e F.
Objetos iniciais: pontos C e D.
Nome da ferramenta: Curva de Koch 2
Terceira iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento IJ. Selecione a ferramenta 2 criada(curva de
Koch 2) e clique sobre os dois pontos, obtendo os pontos K, L e M. Em seguida seleciona a ferramenta 1 (curva de
Koch 1) criada e clique sobre os pontos I e K, K e L, L e M, M e J; obtendo a terceira iteração da Curva de Koch..
Material necessário
Régua, lápis e papel A4
Sequência de atividades
1ª aula:
Trabalho individual em sala de aula – revisão sobre os conceitos de potencia e atividades propostas. (Uma hora
aula).
2ª aula:
Construção da Curva de Koch no laboratório de informática e exercícios de aplicação sugeridos. (Uma hora aula)

12. Avaliação
Analisar os conceitos construídos e/ou aprimorados pelos alunos após a realização da atividade, esclarecendo
dúvidas ainda existentes.
Durante toda a atividade o professor poderá avaliar o empenho dos alunos na medida em que observa e interage
com os grupos e no momento de discussão analisar as diferentes estratégias, bem como, solicitar um relatório
por escrito da atividade, que também pode ser orientado a partir das questões sugeridas anteriormente, ou outras
que o professor julgar interessante para avaliação da mesma.
Ainda no laboratório de informática, poderá propor as seguintes atividades para complementar a avaliação.
Abaixo, apresentamos dois exercícios.
A construção da Curva de Koch realizada no software Geogebra, podemos observar a sequência de figuras
fractais. Quantas linhas formam cada uma das figuras?
Expresse os números do primeiro exercício na forma de potências, indicando a que figura correspondem.

13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
http://lounge.obviousmag.org/por_tras_do_espelho/2012/07/os-fractais-da-natureza---a-perfeicao-no-caos.html.
Acesso em: 25 de junho de 2014
Fractais no Ensino Fundamental: explorando essa nova geometria. s/d. Disponível em:
<http://www.leoakio.com/cariboost_files/fractais_20no_20ensino_20fundamental.pdf>. Acesso em: 15 de fev.
2012.