Sistema de unidades y análisis dimensional

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Sistema de unidades y análisis dimensional

  1. 1. SISTEMAS DE UNIDADES Y ANÁLISIS DIMENSIONAL Conceptos Básicos: Dimensión y magnitud. Sistemas de Unidades: Sistemas absolutos, gravitacionales y de ingeniería. Constantes dimensionales. El Sistema internacional de unidades. Factores de conversión. Ecuaciones dimensionales y adimensionales. Análisis dimensional: Método de Rayleigh PS4218: Química Industrial I Cap I: Introducción a los cálculos en sistemas de procesos químicos
  2. 2. Conceptos básicos:  Dimensión Propiedad o cualidad física observada en la naturaleza, susceptible de ser medida y expresada cuantitativamente. Magnitud Tamaño de la medición de una dimensión que se expresa por el número obtenido al comparar la variable física con una de referencia definida por el usuario mediante un sistema de unidades.
  3. 3.  Sistema de unidades Conjunto reducido de unidades elegidas arbitrariamente y que permite medir todas las dimensiones. Se considera que una unidad es el valor obtenido al fijar arbitrariamente la cantidad de cada una de las dimensiones de un sistema, que se utiliza como referencia para medir una variable cualquiera y de su misma naturaleza mediante comparación.
  4. 4. Todo Sistema de Unidades debe tener los siguientes componentes…  Unidades básicas:  Dimensiones fundamentales seleccionadas arbitrariamente para las que se definen unidades de referencia.  Su cantidad depende del sistema, pero hoy se acepta que se requiere un mínimo de siete (7) dimensiones fundamentales.  Unidades derivadas:  Unidades compuestas obtenidas por multiplicación y/o división de unidades básicas.  Múltiplos y submúltiplos de unidades:  Definidos más por comodidad que por conveniencia y siempre relaciondo con la unidad de referencia.
  5. 5. Según el número de dimensiones fundamentales Todas las dimensiones y unidades de las dimensiones físicas pueden ser expresadas a partir de un número reducido de dimensiones fundamentales escogidas arbitrariamente. Según la cantidad de dimensiones establecidas como fundamentales, los sistemas pueden agruparse en: Sistemas Coherentes - Absoluto (SI) - Gravitacional Si número de dimensiones fundamentales es mayor al mínimo requerido Sistemas Incoherentes - Ingenieril Si número de dimensiones fundamentales es igual al mínimo requerido
  6. 6. Sistemas absolutos CGS MKS FPS Longitud [L] Centímetro (cm) Metro (m) Pie (ft) Masa [M] Gramo (g) Kilogramo (kg) Libra (lb) Tiempo [t] Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s) Temperatura [T] Grado Celsius (°C) Grado Celsius (°C) Grado Farenheit (°F) Fuerza [MLt-2] Dina (g.cm.s-2) Newton (kg.m.s-2) Poudal (lb.ft.s-2) Trabajo [ML2t-2] Ergio (g.cm2.s-2) Joule (kg.m2.s-2) Poudal. Pie (lb.ft2.s-2) Presión [ML-1t-2] Dina.cm-2 Pascal (kg.m-1.s-2) Poudal.ft-2
  7. 7. Sistemas técnicos o gravitacionales Métrico Inglés Longitud [L] Centímetro (cm) Metro (m) Pie (ft) Fuerza [F] Gramo-fuerza (gf) Kilogramo-fuerza (kgf) Libra-fuerza (lbf) Tiempo [t] Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s) Temperatura [T] Grado Celsius (°C) Grado Celsius (°C) Grado Farenheit (°F) Masa [FL-1t2] U.T. M. (geokilo) (kgf.m-1.s2) Slug (lbf.ft-1.s2) Trabajo [FL] (kgf.m) (lbf.ft) Presión [FL-2] (kgf.m-2) (lbf.ft-2)
  8. 8. Sistemas ingenieriles Métrico Inglés Longitud [L] Metro (m) Pie (ft) Masa [M] Kilogramo (kg) Libra (lb) Fuerza [F] Kilogramo-fuerza (kgf) Libra-fuerza (lbf) Tiempo [t] Segundo (s) Segundo (s) Temperatura [T] Grado Celsius (°C) Grado Farenheit (°F) Calor [Q] Kilocaloría (kcal) British thermal unit (BTU) Trabajo [FL] (kgf.m) (lbf.ft) Presión [FL-2] (kgf.m-2) (lbf.ft-2)
  9. 9. Constantes dimensionales Su uso es imprescindible en los sistemas redundantes para hacerlos consistentes Constante dimensional Dimensiones Sistema de unidades Valor (unidades) gc F-1MLt-2 Ingenieril métrico Ingenieril inglés 9,807 (kg.m.s-2.kgf -1) 32,174 (lb.ft.s-2.lbf -1) J ML2t-2Q-1 CGS MKS FPS 4,184 107 (ergio.cal-1) 4,184 103 (julio.kcal-1) 25,02 103 (poudal.ft.BTU-1) J FLQ-1 Métrico técnico e ingenieril Inglés técnico e ingenieril 426,65 (kgf.m.kcal-1) 777,67 (lbf.ft.BTU-1)
  10. 10. “Equivalente mecánico del calor” en sistemas absolutos CGS (Cegesimal) MKS (Giorgi) FPS (Inglés) Longitud [L] Centímetro (cm) Metro (m) Pie (ft) Masa [M] Gramo (g) Kilogramo (kg) Libra (lb) Tiempo [t] Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s) Temperatura [T] Grado Celsius (°C) Grado Celsius (°C) Grado Farenheit (°F) Calor [Q] Calorías (cal) Kilocalorías (kcal) British thermical unit (Btu) Fuerza [MLt-2] Dina (g.cm.s-2) Newton (kg.m.s-2) Poudal (lb.ft.s-2) Trabajo [ML2t-2] Ergio (g.cm2.s-2) Joule (kg.m2.s-2) Poudal. Pie (lb.ft2.s-2) Presión [ML-1t-2] Dina.cm-2 Pascal (kg.m-1.s-2) Poudal.ft-2
  11. 11. “Equivalente mecánico del calor” en sistemas técnicos o gravitacionales Métrico Inglés Longitud [L] Centímetro (cm) Metro (m) Pie (ft) Fuerza [F] Gramo-fuerza (gf) Kilogramo-fuerza (kgf) Libra-fuerza (lbf) Tiempo [t] Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s) Temperatura [T] Grado Celsius (°C) Grado Celsius (°C) Grado Farenheit (°F) Calor [Q] Caloría (cal) Kilocaloría (kcal) British thermal unit (Btu) Masa [FL-1t2] U.T. M. (geokilo) (kgf.m-1.s2) Slug (lbf.ft-1.s2) Trabajo [FL] (kgf.m) (lbf.ft) Presión [FL-2] (kgf.m-2) (lbf.ft-2)
  12. 12. Sistema Internacional (SI)  Basado en el sistema MKSA (metro, kilogramo, segundo, amperio) incorporando el Kelvin como unidad de temperatura, la candela como unidad de intensidad luminosa y el mol como unidad de cantidad de sustancia.  Es el único no redundante, pues no incluye ni la fuerza ni el calor entre sus unidades fundamentales.  Utiliza el sistema métrico para definir los múltiplos y submúltiplos de sus unidades. Siete dimensiones fundamentales MASA LOGITUD TIEMPO TEMPERATURA INTENSIDAD DE CORRIENTE INTENSIDAD LUMINOSA CANTIDAD DE SUSTANCIA http://physics.nist.gov/cuu/Units/index.html
  13. 13. Sistema Internacional (SI)  Abreviado oficialmente SI en todos los idiomas, es una versión del sistema métrico decimal.  Establecido en la Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960 con la intensión de convertirlo en el sistema legal en todos los países.  Venezuela adoptó en SI como sistema legal de medidas en Gaceta Oficial N° 27919 del 25 de diciembre de 1964 y sus unidades de medida se publicaron en Gaceta Oficial N° 2823 Extraordinario del 14 de julio de 1981.
  14. 14. El Sistema Internacional de Unidades en las Naciones del mundo En negro los tres únicos países (Birmania, Liberia y Estados Unidos) que en su legislación no han adoptado el Sistema Internacional de Unidades como prioritario o único.
  15. 15. Breve historia de mejoras al SI
  16. 16. Dimensiones fundamentales Las siete unidades para las dimensiones mol básicas y la interdependencia de sus definiciones Dimensión fundamental Unidad Longitud [L] m Masa [M] kg Tiempo [T] s Temperatura [Q] K Intensidad de Corriente [I] A Intensidad luminosa [J] cd Cantidad de sustancia [N] mol s kg m A K cd Desde 1980 se discute que las dimensiones auxiliares para ángulo plano (radianes) y ángulo esférico (steroradianes) comprometen la coherencia interna del SI, por lo que en 1995 quedan eliminadas y se le pasa a considerar dimensiones derivadas adimensionales.
  17. 17. Dimensión fundamental: LONGITUD metro Inicialmente (1792) definido como la diezmillonésima parte de la distancia entre el ecuador y el polo norte, a lo largo del meridiano que pasa por París. Distancia entre dos líneas finas trazadas en una barra de aleación de platino e iridio. En 1960 se redefine como 1.650.763,74 longitudes de onda de la luz roja-anaranjada emitida por el isótopo Kr86. En 1983 se define como la longitud recorrida por la luz en el vacío en un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 de segundo. Montaje experimental de láser He-Ne estabilizado con una celda interna de yodo a una longitud de onda de 632 991 398,22 fm para establecer el patrón de longitud en el SI
  18. 18. Dimensión fundamental: MASA  kilogramo Unidad de masa en el SI (1875) correspondiente a la de un prototipo internacionalmente consisten en un cilindro de 39 mm de diámetro y altura construido con una aleación de platino (90%) e iridio (10%), definido en 1889 por la CGPM y conservado en el Bureau Internacional de los Pesos y Medidas (BIPM)
  19. 19. Dimensión fundamental: TIEMPO  segundo Inicialmente definido como 1/86.400 del día solar medio (tiempo de una rotación completa de la tierra sobre su eje en relación al sol) En 1967 se definió como la duración de 9.192.631.770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles energéticos hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Relojes atómicos donde se mantiene en operación los patrones de tiempo y frecuencia del SI
  20. 20. Dimensión fundamental: TEMPERATURA  Kelvin Es la unidad de temperatura en el SI, correspondiente a la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (1954-1957). Montaje experimental de la celda diseñada para mantener las condiciones del punto triple del agua.
  21. 21. Dimensión fundamental: INTENSIDAD DE CORRIENTE  amperio Intensidad constante de una corriente eléctrica que, mantenida entre dos conductores paralelos lineales infinitos, de sección circular despreciable, distantes un metro y ubicadas en el vacío, produjera entre estos conductores una fuerza igual a 2.10-7 newton por metro de longitud del conductor. (1946- 1948). Montaje experimental del sistema para mantener en operación el efecto Josephson, requerido para reproducir el patrón de tensión.
  22. 22. Dimensión fundamental: INTENSIDAD LUMINOSA  candela Es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente monocromática de frecuencia 540.1012 hertz y cuya intensidad energética en esta dirección sea de 1/683 watt por esteradían. (1979) Montaje experimental en laboratorio de fotometría para operar el patrón de intensidad luminosa.
  23. 23. Dimensión fundamental: CANTIDAD DE SUSTANCIA  mol cantidad de materia, igual a la cantidad de entes elementales equivalentes a la de átomos contenidos en exactamente 0,012 kilogramos de carbono 12 (1971) Al utilizar la definición de mol, han de especificarse los entes elementales, tales como átomos, moléculas, iones, electrones, etc.
  24. 24. Dimensiones derivadas RESULTADO DE LA APLICACIÓN DE LEYES O RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES DE UN FENÓMENO  Superficie [L2]  Volumen [L3]  Masa específica [ML-3]  Aceleración [Lt-2]  Fuerza [MLt-2]  Trabajo [ML2t-2]  Potencia [ML2t-3]  Presión [ML-1t-2]  Caudal [L3t-1]  Flujo másico [Mt-1]  Viscosidad dinámica [ML-1t-1]  Capacidad calórica [L2t-2T-1]
  25. 25. Algunas dimensiones derivadas tienen unidades con nombres propios Frecuencia hertz Hz [t-1] Fuerza newton N [MLt-2] Presión pascal Pa [ML-1t-2] Energía joule J [ML2t-2] Potencia vatio W [ML2t-3] Viscosidad dinámica poiseuille Pl [ML-1t-1] Carga eléctrica coulombio C [t] Potencial eléctrico voltio V [ML2t-3I-1] Capacidad eléctrica faradio F [M-1L-2t4I2] Inducción magnética tesla T [Mt-2I2] Inductancia henry H [ML2t-3I-1] Alumbramiento luminoso lux lx [L-2 E] áng sól. Flujo luminoso lumen lm [E] áng sól. Actividad de rayos becquerel Bq [t-1]
  26. 26. Prefijos para múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional No contribuyen a la coherencia del SI y se les tienden a reemplazar por potencias de 10, pero se consideran útiles para expresar orden de magnitud.
  27. 27. Unidades que no pertenecen al SI pero que se acepta su uso NO pertenecen al Sistema Internacional pero debido al uso extendido se opta por mantenerlas para usarlas conjuntamente.
  28. 28. Tampoco pertenecen al Sistema Internacional; pero se calculan experimentalmente por lo que se acepta mantenerlas para usarlas conjuntamente.
  29. 29. Factores de conversión Relación adimensional entre la magnitud de una propiedad física expresada en diferentes sistemas de unidades. (Diferente patrón de referencia para las dimensiones básicas) Ejemplos: Masa 1 lb = 0,453 kg Longitud 1 in = 2,54 cm Presión 14,7 psi = 1 atm Temperatura 1 DK = 1,8 DR Fuerza 1 lbf = 4,448 N
  30. 30. Uso de los factores de conversión  Conversión de valores numéricos Transformación del valor numérico expresado en distintas unidades o sistemas de unidades  Conversión de ecuaciones Modificación de ecuaciones dimensionales para ser utilizadas con unidades distintas a las dadas en la ecuación
  31. 31. Análisis Dimensional  Fundamentos  Todas las dimensiones físicas pueden expresarse como producto de potencias de un número reducido de dimensiones fundamentales  Las ecuaciones que representan fenómenos físicos deben ser dimensionalmente homogéneas.  Cualquier relación general entre dimensiones físicas puede expresarse en función de un conjunto de grupos adimensionales que contengan las variables que interviene en el fenómeno y las constantes dimensionales del sistema de unidades utilizado.  Estrategias y métodos:  Teorema de la productoria de Buckingham  Método de Rayleigh  Método de las ecuaciones diferenciales.
  32. 32. Consecuencias…  Toda ecuación válida debe ser dimensionalmente homogénea. V (m/s) = Vo (m/s) + g (m/s2) . t (s)  Sólo es posible sumar, restar o igualar cantidades si las unidades son las mismas.  Se puede multiplicar o dividir unidades a voluntad, pero no se pueden cancelar ni combinar unidades si no son idénticas.
  33. 33. Considere la ecuación: D (ft) = 3 t (s) + 4 Si la ecuación es válida, ¿Cuáles son las dimensiones de las constantes 3 y 4? Si es consistente en unidades, ¿Cuáles son las unidades de 3 y 4? Encuentre una ecuación para la distancia en metros en función del tiempo en minutos. Ecuación dimensionalmente homogénea, basada en leyes físicas.
  34. 34. Ecuaciones dimensionales Ecuación empírica para el tiempo de separación de dos líquidos inmiscibles   A B t    6,24 t: Tiempo para la separación (h) A; B: Densidad de líquidos a separar (lb/ft3) : Viscosidad de la fase continua (cp) Coeficiente transferencia de calor por convección natural en tubo horizontal 0,25  D T  0,50  D    h  h: Coeficiente convectivo (Btu/h.ft2.°F) DT: Diferencia de temperatura (°F) D: Diámetro exterior del tubo (in)
  35. 35. Estrategias y métodos del análisis dimensional Teorema de productoria de Buckingham En un problema físico en el que intervienen “n” variables y “p” dimensiones fundamentales, se pueden definir “n-p” grupos adimensionales. n variables p dimensiones fundamentales n-p grupos adimensionales
  36. 36. Estrategias y métodos del análisis dimensional Método de Rayleigh (1899) 1. Expresar la variable de interés como una función potencial de las restantes variables. 2. Sustituir las variables en la función potencial por sus dimensiones 3. Plantear ecuación de condición de homegeneidad para cada una de las magnitudes fundamentales. 4. Para “n” variables, el número de incógnitas a determinar será “n-1”, y dado que el sistema posee “p” magnitudes fundamentales (ecuaciones de condición), se fijan “n-p-1” incógnitas para resolver el sistema. 5. Sustituir los exponentes calculados en la función potencia y agrupar las variables elevadas a los mismos exponentes.
  37. 37. Algunas consecuencias importantes…  Si el exponente de una variable es cero, dicha variable no es significativa en el problema.  Si dos de las magnitudes fundamentales aparecen siempre en la misma combinación, se obtiene la misma ecuación para los exponentes de estas magnitudes, por lo que se reduce el número de magnitudes fundamentales efectivas y se incrementa el número de grupos adimensionales.  La forma de la ecuación final dependerá del método de resolución, pero los nuevos grupos adimensionales se pueden obtener multiplicando entre sí potencias de los grupos existentes.
  38. 38. Números adimensionales en Ing. Química Semejanza dinámica Nombre Símbolo Expresión Sentido físico Reynolds Re fuerzas de inercia  p D fuerzas de presión V 2 fuerzas de inercia 2 3  L g  D T (fuerzas de inercia)(fuerzas de convección térmica) 2 3  L g  A D  A (fuerzas de inercia)(fuerzas de convección concentración)  2 V L  fuerzas de inercia Números adimensionales que representan cocientes de fuerzas V  L fuerzas de rozamiento Euler Eu  V 2 fuerzas de inercia Froude Fr gL fuerzas de gravedad Grashof Gr 2  (fuerzas de rozamiento viscoso) 2 Grashof de concentración GrAB 2  (fuerzas de rozamiento viscoso) 2 Weber We s fuerzas de tensión superficia l
  39. 39. Números adimensionales en Ing. Química Semejanza térmica Nombre Símbolo Expresión Sentido físico Nusselt Nu hL k Calor transmitido por conducción y convección Calor transmitido por conducción Stanton St = Nu/Pe h C V Calor transmitido por conducción y convección  p Calor transmitido por convección Peclet Pe = Re. Pr CpVL k Calor transmitido por convección Calor transmitido por conducción H r L D  Calor transmitido por convección D 2 H rAL D Calor de reacción química CpV  Calor transmitido por convección 2  V D Calor generado por rozamiento Números adimensionales que representan cocientes de flujos o de términos de generación de calor Damköhler III DaIII   C V T p A D Calor de reacción química Damköhler IV DaIV=DaIII.Pe   k T Calor transmitido por conducción Thring Th 3 T  Calor transmitido por radiación Brinkman Br k T Calor transmitido por conducción
  40. 40. Números adimensionales en Ing. Química Semejanza de concentraciones Nombre Símbolo Expresión Sentido físico Sherwood Sh k L A D AB Transporte de A por convección y difusión Transporte de A pord ifusión Peclet másico Pe = Re.Sc VL DAB Transporte de A por convección Transporte de A pord ifusión Damköhler I DaI r L Generación o consumo de A por reacción química A  V Transporte de A porc onvección A Damköhler II DaII r L2 A ρ D A AB Generación o consumo de A por reacción química Transporte de A pord ifusión Números adimensionales que representan cocientes de transporte de materia y de términos de reacción química
  41. 41. Ejemplo de aplicación del análisis dimensional Transferencia de calor por convección forzada Determinar “h” para condicion de flujo a velocidad promedio v en conductor cerrado con diferencia de temperatura entre el fluido y la pared del tubo. Variables y sus respectivas dimensiones: Variable Símbolo Dimensión Diámetro del tubo D L Densidad del fluido  M/L3 Viscosidad del fluido  M/Lt Capacidad calorífica del fluido Cp Q/MT Conductividad térmica del fluido k Q/tLT Velocidad v L/t Coeficiente convectivo h Q/tL2T h = f(D, , , Cp, k, v) Método de Buckingham  3 grupos adimensionales hD Dv Re  Reynolds  Nusselt Prandtl k Nu  Cp k Pr  Nu = f (Re, Pr)
  42. 42. Ejemplo de aplicación del análisis dimensional Transferencia de calor por convección natural Determinar “h” para transferencia de calor por convección natural desde una pared plana hasta un fluido adyacente. Variables y sus respectivas dimensiones: Variable Símbolo Dimensiones Longitud significativa L L Densidad del fluido  M/L3 Capacidad calorífica del fluido Cp Q/MT Conductividad térmica del fluido k Q/LtT Coeficiente de expansión térmica del fluido  1/T Aceleración gravitacional g L/t2 Diferencia de temperatura DT T Coeficiente convectivo de transferencia de calor H Q/L2tT h = f(L, , , Cp, k, , g, DT) Método de Buckingham  4 grupos adimensionales Nusselt Prandtl hL k Nu  Cp k Pr  3 2 L g   Nu = f (Gr, Pr)  2 1    DT 2   2 3 2 . 1 2    L g DT Grashof 
  43. 43. Ejemplo de aplicación del análisis dimensional Ecuación para convección natural en superficie isotérmica Nu = a(Gr.Pr)m Geometría Gr.Pr (b) Régimen a m Placas y cilindros verticales (a) 104 – 109 Laminar 0,59 1/4 109 – 1013 Turbulento 0,10 1/3 Cilindros horizontales (a) 104 – 109 Laminar 0,53 1/4 109 – 1012 Turbulento 0,13 1/3 Placas horizontales calientes: Cara superior 2.104 – 8.106 Laminar 0,54 1/4 8.106 - 1011 Lam + Turb. 0,15 1/3 Cara inferior 105 – 1011 Lam + Turb. 0,58 1/5 2.104 – 8.106 Laminar 0,27 1/4 (a) Para cilindros, L = diámetro del cilindro (b) Número de Gr y Pr calculados a la temperatura de película de la capa límite, Tf = 0,5 (To + T)
  44. 44. Ejemplo aplicación análisis dimensional Diagrama para el cálculo del consumo de potencia en tanques agitados.
  45. 45. Bibliografía  Introducción a la Ingeniería Química – Calleja y colaboradores.  Magnitudes, dimensiones y conversiones de unidades – Ledanois & López  Principios básicos y cálculos en Ingeniería Química – Himmelblau.  Principios fundamentales de los procesos químicos – Felder & Rousseau.  El sistema internacional – Centro Nacional de Metrología de México

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