1. POTENCIAS
LAS BACTERIAS

2. ¿Qué son las bacterias?
Son organismos que están
cotidianamente en nuestras vidas,
aunque muchas veces son invisibles a
nuestra capacidad de visión.

3. Crecimiento Exponencial de las
Bacterias
• La forma de reproducción es muy rápida.
• A partir de una bacteria progenitora, se
regeneran dos bacterias hijas, y así
sucesivamente.

4. Ejemplo
Escherichia Coli, es una bacteria que se
duplica cada 20 minutos. Habita
comúnmente en el intestino humano y
puede producir desde infecciones
intestinales y urinarias, hasta meningitis o
neumonías.

5. Exponente
8134
= Valor de la potenciaBase
Se lee “tres elevado a cuatro es ochenta y uno”
POTENCIAS

6. Si el exponente de una potencia es un
número natural, significa que la base de la
potencia se multiplica por sí misma tantas
veces como el exponente la indica.
81333334
=•••=
( ) 1255555
3
−=−•−•−=−
4 veces
3 veces

7. Potencias de exponente natural mayor que 1
En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 se repite el mismo factor 14
veces.
Para abreviar escribimos:
3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 314
314
es una potencia de base 3 y exponente 14: 314
base
exponente
314
= 4.782.969
La base es el factor que se repite.
El exponente indica el número de veces que se repite
234
= 23 · 23 · 23 · 23
23 cuatro veces
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados: 52
es el cuadrado de 5.
Las potencias de exponente 3 se llaman cubos: 103
es el cubo de 10. 103
= 1000
Otros ejemplos:
(a) 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 = 210
= 1.024 (b) 65
= 6 · 6 · 6 · 6 · 6

8. •la base es positiva y el exponente es par?
•la base es positiva y el exponente es impar?
•la base es negativa y el exponente es par?
•la base es negativa y el exponente es impar?
Actividad
Responde y comenta las siguientes preguntas:
•¿Qué sucede con el signo del valor de la potencia si:

9. Base Exponente Signo del
resultado
Positiva
Par Positiva
Impar Positiva
Negativa
Par Positiva
Impar Negativa

10. Potencias de base un número negativo
Si la base es un número negativo:
(–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)4
= 81
Pero (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)5
= –243
Si el exponente es 4, resulta un número positivo porque
hay un número par de signos negativos.
Recuerda que (–) · (–) = +
y que (–) · (–) · (–) = (–)
Si el exponente es 5, resulta un número negativo
porque hay un número impar de signos negativos.
Un número positivo.
Un número negativo.

11. En general:
Las potencias de base negativa y exponente par son positivas.
Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas.
Otros ejemplos:
Son positivas: (a) (–2)6
= 64 (b) (–4)2
= 16
(c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1) )·(–1)·(–1) = (–1)8
= 1
Son negativas: : (a) (–2)5
= –32 (b) (–4)3
= –64
(c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1 )·(–1)·(–1) = (–1)7
= –1

12. Potencia de un producto
En la expresión (3 · 2 · 5)3
Puede hacerse de dos modos:
la base de la potencia es un producto.
es la potencia de un producto
Modo 1º Efectuando antes el producto de la base y después la potencia:
= 303
Modo 2º Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente:
(3 · 2 · 5)3
= (3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5)
= (3 · 3 · 3) · (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) =
(3 · 2 · 5)3
33
· 23
· 53
27.000

13. Otros ejemplos:
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.
(b) (5 · (–4))3
= 53
· (–4)3
Luego, (3 · 2 · 5)3
= 33
· 23
· 53
= 42
· 82
= (–20)3
(c) (2+3)3
= 53
= 125, pero 23
+ 33
= 8 + 27 = 35 ¡Ojo!
Es falso que
(2+3)3
= 23
+ 33
(a) (4 · 8)2
= 322
= 1024

14. PROPIEDADES DE
LAS
POTENCIAS

15. ( ) ( )32
44 −•−
Multiplicación de potencias de igual base
( ) ( )44444 −•−•−•−•−
( )5
4−
Se conserva la base y se suman los exponentes.

16. Producto de potencias de la misma base
Los factores del producto
Ejemplos:
42
· 45
· 43
Puede hacerse de dos modos:
El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma
base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores.
2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3)3
· (–3)
son potencias que tienen la misma base.
Modo 1º Directamente, multiplicando: = 16 · 1024 · 64 = 1048576
Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después:
42
· 45
· 43
= (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) =42
· 45
· 43
42+5+3
= 410
Luego, 42
· 45
· 43
= 42+5+3
1. (–2)4
· (–2) · (–2)2
= (–2)4+1+2
= (–2)7
= –128, utilizando la propiedad vista.
Es un producto de potencias
de la misma base
2, 5 y 3 factores
–2 = (–2)1
o 61
= 6
También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias.
= (–3)2
· (–3)3
· (–3) = (–3)6
Igualmente: (b) 16 · (–2)3
= (–2)4
· (–2)3
= (–2)7

17. División de potencias de igual base
( ) ( )37
44 −•−
444
4444444
−•−•−
−•−•−•−•−•−•−
( )4
4−
Se conserva la base y se restan los exponentes.

18. Cociente de potencias de la misma base
El dividendo y el divisor de 65
: 63
Puede hacerse de dos modos:
El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con
exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.
son potencias de la misma base
Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo:
Modo 2º Desarrollando las potencias y simplificando:
65
: 63
Es un cociente de potencias
de la misma base
36
216
7776
6
6
3
5
==
252
3
5
666·6
6·6·6
6·6·6·6·6
6
6 −
===== 65
: 63
= 65–3
Se admite que:
50
= 1; (–7)0
= 1

19. Ejercicio:
(a) 27
: 24
= 27–4
= 23
Caso: El cociente 54
: 54
= 1
Pero si aplicamos la propiedad 54
: 54
= 54–4
= 50
Escribe en forma de potencia: (a) 27
: 24
(b) (–5)6
: (–5)3
(b) (–5)6
: (–5)3
= (–5)6-3
= (–5)3

20. Multiplicación de potencias de igual exponente
( ) ( ) ( ) ( )3333
84242 −=−•=−•
Se conserva el exponente y se multiplican las bases.

21. División de potencias de igual exponente
( ) ( ) ( ) ( )3333
42828 −=÷−=÷−
Se conserva el exponente y se dividen las bases.

22. Elevar una potencia a otra
( )34
2
Se conserva el exponente y se multiplican las bases
( ) ( ) ( )444
222 ••
12444
22 =++
4*3
2

23. Potencia de una potencia
La expresión (52
)4
es una potencia cuya base es otra potencia.
Puede hacerse de dos modos:
La potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican
los exponentes.
Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia:
Modo 2º Escribiendo como producto de potencias y agrupar después:
(52
)4
= 52
·52
· 52
· 52
= 52+2+2+2
= 52 · 4
= 58 (52
)4
= 52 · 4
Se llama potencia de una potencia
(52
)4
= (25)4
= 390625

24. Ejercicios
[(–2)4
]2
= (–2)4·2
= (–2)8
= 64
[(35
)4
]2
= 35·4·2
= 340
340
es un número
enorme: tiene
20 cifras.
{[(–1)3
]9
}7
= (–1)3·9·7
= (–1)189
= –1
1. Calcula: [(–2)4
]2
2. Calcula: [(35
)4
]2
3. Calcula: {[(–1)3
]9
}7

25. Elevar una potencia a un número negativo
44
2
3
3
2






=





−
Se invierte la base y se eleva al inverso aditivo del
exponente.