Este documento introduce el concepto de porcentajes y cómo se aplican en diferentes cálculos y situaciones. Explica que un porcentaje es una parte de 100, y que para calcular un porcentaje se toma la parte dividida por 100 y se multiplica por el total. También cubre cómo calcular porcentajes sucesivos de aumentos y descuentos, y que estos no son simplemente la suma de los porcentajes individuales. El documento usa varios ejemplos numéricos para ilustrar estas ideas.

2. Escuela de Talentos- Porcentajes
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INTRODUCCIÓN
En el quehacer cotidiano muchas veces nos encontramos con
frases que dicen:
“…hoy mejoré en 50%...”
“…el candidato Ollanta encabeza la lista de…quien será el
presidente las próximas elecciones, con 75% de intención de
voto…”
Todo esto nos indica cuánto tomamos de una cantidad
referencias igual a 100, pero tantas aplicaciones ya sea en
cálculos matemáticos o en el comercio y es por ello que se
desarrolla ampliamente, cuidando claro el enfoque razonado y
lógico que debemos dar al alumno en general.
No olvidemos que el concepto de tanto por ciento surgió por el
comercio y al igual que el tanto por mil (0/00) se usaban de
manera cotidiana en la aritmética elemental, pero con el
transcurrir del tiempo y por la versatilidad de su uso y
aplicaciones prevaleció hasta nuestros días como herramientas
en los cálculos comerciales e interpretaciones estadísticas.

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Es importante también recalcar que cuando no se
tiene muy claro el concepto se puede dejar de
engañar por y manipular por rótulos comunes :
“¡Hoy! descuento 40% + 40% en ropas”
“…estamos liquidando a la competencia…75% de
nuestros alumnos ingresan a San Marcos…”
(No se dice respecto a que cantidad se está
aplicando, “nuestros” alumnos pudieron ser
10000 e ingresaron 7500 y de la competencia sus
alumnos fueron 5 e ingresaron 5, y el 100% de
sus alumnos ingresó)
Por ello debemos comprender con claridad que
es el tanto por ciento y como se aplica en los
diversos cálculos, pero para eso primero
desarrollaremos el concepto de “Tanto por
cuanto” pues el tanto por ciento es un caso
particular de él.

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PORCENTAJES
Consideremos el siguiente ejemplo:
Panchito al agrupar sus pelotitas de 7 en 7, nota que 3 de cada grupo son de color rojo.
Esto significa que:
3 de cada 3 por cada El 3 por 7 3/7 del total
7 son de color <> 7 son de color <> es de color <> es de color
rojo rojo rojo rojo
El 3 por 7 <>
3
7
Luego:
El 3 por 7
Total <> 7 partes iguales
3 partes iguales
Es decir:
TANTO POR CUANTO

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En general:
Si tuviéramos una cantidad dividida en “n” partes iguales y tomáramos “m” de sus partes;
estaríamos tomando el “m” por “n” de dicha cantidad.
“n” partes iguales
“m” partes iguales
𝑬𝒍 𝒎 𝒑𝒐𝒓 𝒏 <>
𝒎
𝒏
𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒐
EJEMPLO N° 1
Calcule
I. El 5 por 9 de 72
II. El 2,5 por 20 de 80
III. El 2 por 9 del 3 por 20 del 15 por 7 de 70
Solución:
I. 𝐸𝑙 5 𝑝𝑜𝑟 9 𝑑𝑒 72 =
5
9
. 72 = 40
II. 𝐸𝑙 2,5 𝑝𝑜𝑟 20 𝑑𝑒 80 =
2,5
20
. 80 = 10
III. 𝐸𝑙 2 𝑝𝑜𝑟 9 𝑑𝑒𝑙 3 𝑝𝑜𝑟 20 𝑑𝑒𝑙 15 𝑝𝑜𝑟 7 𝑑𝑒 70 =
2
9
.
3
20
.
15
7
. 70 = 5

6. TANTO POR CIENTO %
Escuela de Talentos- Porcentajes
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Se denomina así a un caso particular del tanto por cuanto y se da cuando el total se divide en 100
partes iguales y tomamos cierto número “m” de estas partes:
El m por ciento
(%)
Total <> 100 partes iguales
“m” partes iguales
Entonces las m partes equivalen al m por
100 del total o la m por ciento del total, es
decir
𝑚
100
del total.
𝒎 𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 <> 𝒎% <>
𝒎
𝟏𝟎𝟎
Ejemplo:
 𝐸𝑙 8 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 <> 8% <>
8
100
 𝐸𝑙 25 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 <> 25% <>
25
100
 𝐸𝑙 300 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 <> 300% <>
300
100

7. Escuela de Talentos- Porcentajes
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 15%𝑁 + 60%𝑁 = 75%𝑁
 80%𝑃 − 25%𝑃 = 55%𝑃
 𝐴 + 10%𝐴 = 100%𝐴 + 10%𝐴 = 110%𝐴
 𝑋 − 35%𝑋 = 100%𝑋 − 35%𝑋 = 65%𝑋
Observación:
Como 100% <> 1; el todo equivale a la
unidad y como tal equivale al 100%.
Nota:
RELACIÓN PARTE – TODO APLICADO AL TANTO POR CIENTO
Se denomina así a la relación:
es, son representa ...
de, del, respecto de ...
Ejemplo:
 ¿Qué tanto por ciento de 80 es 12?
𝐸𝑠
𝐷𝑒
:
12
80
𝑥100% = 15%
 ¿Qué tanto por ciento más es 60 respecto de 40?
Aquí lo que se está comparando es el exceso
respecto de 40; entonces la parte es: 60 −
40 = 20 y el todo es 40.
Luego;
20
40
𝑥100% = 50%

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DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
Veamos algunos ejemplos ilustrativos:
Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y el 40%?
Solución:
¡Cuidado!... la respuesta no es 60%. Veamos cómo se resuelve. Considerando la cantidad inicial 100,
tenemos:
100 80 48
DESCUENTO DE
20%(100)= 20
DESCUENTO:
40%(80)=32
SE DESCONTÓ 52 <> 52%
Por lo tanto el descuento único <> 52%

9. Escuela de Talentos- Porcentajes
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EJEMPLO N° 2
¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 40%?
Solución:
Consideramos la cantidad inicial 100 y luego:
100 120 168
AUMENTO DE
20%(100)= 20
AUMENTO DE
40%(120)=48
AUMENTÓ 68 <> 68%
Por lo tanto el aumento único <> 68%

10. Escuela de Talentos- Porcentajes
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EJEMPLO N° 3
¿A qué aumento o descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 50%
seguido de dos aumentos sucesivos del 20% y 50%?
Solución:
Sea la cantidad inicial 100