Linea de pobreza

1. Curso Técnico de Medición Multidimensional de la Pobreza y sus Aplicaciones
CEPAL, Naciones Unidas. 06 y el 15 de diciembre de 2010
Indicadores para
la Medición de la Pobreza
Xavier Mancero
CEPAL

2. Medición de la pobreza
La medición de la pobreza contempla dos
etapas diferentes: Identificación y Agregación
(Sen, 1981).
Identificación
Seleccionar quiénes son los pobres.
Bajo el método del ingreso, los pobres son quienes
viven en hogares con un ingreso per cápita inferior a
la línea de pobreza.
Agregación
Sintetizar la información en un solo valor (índice) que
permita evaluar la extensión de la pobreza y hacer
comparaciones de distinto tipo.
No todo índice es adecuado para medir la pobreza en
todas las situaciones. Existen ciertas propiedades o
“axiomas” que determinan los usos de un índice.
Axiomas de invarianza, dominancia y subgrupos.

3. Individuo Ingreso
A 10,000
B 20,000
C 30,000
z = 36,000
D 40,000

4. Propiedades deseables de los índices de
pobreza: Axiomas de invarianza
Axioma de simetría: El indicador es insensible a
permutaciones o intercambio de ingresos.
Individuo Ingreso Individuo Ingreso
A 10,000 B 10,000
B
C
20,000
30,000
= A
C
20,000
30,000
D 40,000 D 40,000
Axioma de foco: Insensibilidad a ingresos de no-pobres
Individuo Ingreso Individuo Ingreso
A 10,000 A 10,000
B
C
20,000
30,000
= B
C
20,000
30,000
D 40,000 D 45,000

5. Propiedades deseables de los índices de
pobreza: Axiomas de invarianza
Axioma de población (“replication invariance”): El
indicador no cambia ante replicaciones idénticas de la
población.
Individuo Ingreso
A1 10,000
Individuo Ingreso A2 10,000
A 10,000 B1 20,000
B
C
20,000
30,000
= B2
C1
20,000
30,000
D 40,000 C2 30,000
D1 40,000
D2 40,000

6. Propiedades deseables de los índices de
pobreza: Axiomas de invarianza
Axioma de escala (“scale invariance”): El indicador no
cambia ante transformaciones lineales de los ingresos y
la línea.
Individuo Ingreso Individuo Ingreso
A 10,000 A 20
B
C
20,000
30,000
= B 40
C 60
D 40,000 D 80

7. Propiedades deseables de los índices de
pobreza: Axiomas de dominancia
Axioma de monotonicidad
Indicador de pobreza debe crecer si el ingreso de un
pobre disminuye.
Individuo Ingreso Individuo Ingreso
A 10,000 A 5,000
B
C
20,000
30,000
< B
C
20,000
30,000
D 40,000 D 40,000

8. Propiedades deseables de los índices de
pobreza: Axiomas de dominancia
Axioma de transferencia:
Indicador de pobreza debe crecer si el ingreso de un
pobre disminuye, aún si simultáneamente se produce
un aumento de ingreso en el mismo monto para una
persona más rica.
El axioma de transferencia se preocupa de la
“distribución del ingreso” entre los pobres.
Individuo Ingreso Individuo Ingreso
A 10,000 A 5,000
B
C
20,000
30,000
< B 20,000
C 35,000
D 40,000 D 40,000

9. Propiedades deseables de los índices de
pobreza: Axiomas de dominancia
Axioma de sensibilidad a transferencias:
Si se tiene dos pares de individuos, uno relativamente
más rico y el otro más pobre, separados por la misma
distancia de ingresos, una transferencia progresiva
reducirá la desigualdad más en el segundo par que en el
primero.
Individuo Ingreso Individuo Ingreso Individuo Ingreso
A 10,000 A 10,000 A 8,000
B
C
20,000
30,000
< B
C
18,000
32,000
< B
C
22,000
30,000
D 40,000 D 40,000 D 40,000

10. Propiedades deseables de los índices de
pobreza: Axiomas de subgrupos
Consistencia (monotonicidad) en subgrupos
La pobreza total debe aumentar si (i) la pobreza aumenta en
un subgrupo, (ii) la pobreza no varía en el resto de
subgrupos, y (iii) no hay migración entre subgrupos.
Subgrupo pobreza Subgrupo pobreza
1 0.20 1 0.25
2 0.18 2 0.18
3 0.35 3 0.35
Total 0.27 Total 0.29
Axioma de descomposición aditiva
El indicador agregado (P) corresponde a la suma de los
indicadores de pobreza (Pi) de los subgrupos i, ponderada por
el porcentaje de población de cada subgrupo (wi).
P = PA x wA + PB x wB + … + Pn x wn

11. Indice de Recuento (H)
El Indice de Recuento (“Headcount index”) indica la
proporción de personas pobres.
Toma valores entre 0 y 1.
q
1 q
H = ∑1 = n = población total
n i =1 n q = población pobre
Individuo Ingreso
A 10,000
B 20,000
C 30,000
D 40,000
n = 4, q = 3
H = 3 / 4 = 0.75

12. Indice de Recuento (H)
Es el indicador de pobreza más conocido.
Facilidad de cálculo y difusión.
No satisface axiomas de monotonicidad y transferencia.
Resulta limitado para el análisis, ya que ignora el
grado de privación de los pobres.
El indicador H es insensible al efecto de políticas
públicas que mejoren las condiciones de vida de los
pobres, si éstos no cruzan la línea de pobreza.
Puede conllevar un “incentivo perverso” a
preocuparse sólo de aquellos que están cerca de la
línea.

13. Brecha media de ingresos (I)
“Brecha media de ingresos” = promedio de las
brechas normalizadas de ingreso con respecto
a la línea de pobreza.
Donde:
1  z − yi  z − y
q
I = ∑ = z = línea de pobreza
q i =1  z  z y = ingreso medio
de los pobres
Valor 0 cuando z.
Valor = 1 cuando = 0.

14. Brecha media de ingresos (I)
Satisface la propiedad de monotonicidad.
Resultado contraintuitivo: Cuando un pobre con ingreso
mayor a la media deja de ser pobre, aumenta la
pobreza, ya que la distancia promedio de los pobres
respecto de la línea aumenta.
Individuo Ingreso Ingreso
A 10,000 10,000
B 20,000 20,000
C 30,000
C 38,000
D 40,000 40,000
z= 36,000 36,000
media = 20,000 15,000
I= 0.44 0.58 => Pobreza aumenta

15. α
1  z − yi 
q
FGTα = ∑  
n i =1  z 

16. Familia de Indices “FGT”
Foster, Greer y Thorbecke (1984) propusieron una
familia de índices que cumple con todos los axiomas
deseables: α
1  z − yi 
q
FGTα = ∑  
n i =1  z 
Parámetro α indica la “aversión a la pobreza”:
α = 0, no satisface axiomas de dominancia (FGT = H)
α = 1, satisface axioma de monotonicidad
α = 2, satisface axioma de transferencias
α ≥ 3, satisface axioma de sensibilidad a transferencias
Si α → ∞, solo es relevante la condición del más pobre
Toman valores en el rango [0,1]
(0 = ausencia de pobreza; 1 = pobreza máxima).
FGT0 ≥ FGT1 ≥ FGT2 ...
Si todos los pobres tienen ingreso cero, FGTα = H.

17. Indice de Brecha de Pobreza (PG)
1 q  z − yi 
PG = ∑   = H ×I
n i =1  z 
Indice que da cuenta de la “profundidad” de la pobreza.
Puede interpretarse de la siguiente manera:
Cuál es el monto mínimo necesario para erradicar la
pobreza?
Cuánto costaría erradicar la pobreza si no puedo
identificar a los pobres?
Insuficiencia agregada del ingreso de los pobres como
proporción del ingreso total necesario para garantizar
que todos los hogares están sobre la línea de pobreza.
q
∑ (z − y ) i
PG = i =1
nz

18. Indice de Brecha de Pobreza (PG)
Individuo Ingreso Ingreso
A 10,000 5,000
B 20,000 20,000
C 30,000 30,000
D 40,000 40,000
z= 36,000 36,000
I= 0.44 0.49
H= 0.75 0.75
PG = 0.33 0.37

19. Indice de Brecha de Pobreza (PG)
Individuo Ingreso Ingreso
A 10,000 10,000
B 20,000 20,000
C 30,000
C 38,000
D 40,000 40,000
z= 36,000 36,000
media = 20,000 15,000
H= 0.75 0.50
I= 0.44 0.58
PG = 0.33 0.29

20. “Brecha de pobreza al cuadrado” (FGT2)
2
 z − yi 
q
1
FGT2 =
n ∑ 
i =1 
z 

Se relaciona este índice con la Individuo Ingreso Ingreso
“severidad” de la pobreza. A 10,000 6,000
α = 2 es suficiente para dar B 20,000 20,000
pesos distintos a la distancia C 30,000 34,000
entre los ingresos y la línea. D 40,000 40,000
FGT-2 es el indicador más H 0.75 0.75
usado que cumple con todos PG 0.32 0.32
los axiomas relevantes. FGT-2 0.18 0.23

21. Indice de Sen
En los índices FGT, la brecha normalizada de ingresos
actúa como medida de privación.
Sen (1981) propuso una medida basada en el rango
(posición en el ordenamiento) como medida de
privación.
[
S = H I + (1 − I )G p ]
El índice de Sen utiliza el coeficiente de Gini:
Si todos los pobres tienen el mismo ingreso (máxima
igualdad) G=0 S=HxI S = PG.
Si un pobre tiene todos los ingresos y los demás cero
(máxima desigualdad), G=1 S = H.
Limitación: no cumple axioma de consistencia en
subgrupos

22. Ejemplo de consistencia en subgrupos con el coeficiente de Gini
Este Oeste Nacional
2000 2010 2000 2010 2000 2010
60 60 30 10 60 60
70 60 30 60 70 60
80 90 130 120 80 90
30 10
30 60
130 120
media 70.0 70.0 63.33 63.33 66.67 66.67
Gini 0.063 0.095 0.351 0.386 0.275 0.267
Entre 2000 y 2010 varió la distribución del ingreso, sin cambios
en el ingreso medio.
Al interior de cada región aumentó la desigualdad.
Sin embargo, la desigualdad nacional disminuyó.
(Cowell (2000), Measuring inequality)

23. El FGT-2 también puede expresarse en
componentes distintos para la incidencia,
profundidad y distribución de la pobreza:
[
FGT2 = H I + (1 − I ) C p
2 2 2
]
Donde Cp2 es el coeficiente de variación al cuadrado
n
∑ (y − µ)
2
i
V
C =2
= i =1
µ2 nµ 2
p

24. Descomposición aditiva en subgrupos
Individuo Ingreso Zona A Zona B Zona C
1 10.000 10.000 20.000 30.000
2 20.000 40.000 80.000 50.000
3 30.000 70.000 60.000
LP
4 40.000
5 50.000 H= 0,67 0,50 0,33
6 60.000 PG = 0,33 0,30 0,13
7 70.000 FGT-2 = 0,23 0,18 0,05
8 80.000
Indice agregado = Suma de los
H = 0,5 índices de cada grupo ponderados
por proporción de personas
PG = 0,25
FGT-2 = 0,15
LP = 50.000 Ej: H = 0,67 x 3/8 + 0,50 x 2/8 +
0,33 x 3/8

25. Análisis de los indicadores
Si bien el índice H tiene una interpretación simple, no
sucede lo mismo con los demás indicadores.
Se utilizan en la comparación entre grupos o en el
tiempo.
Tener presente que:
PG = H x I
FGT2 considera la “distribución de los ingresos entre los
pobres”, pero no solamente eso.

26. Antes de Después de Variación
Indicador
transferencias transferencias porcentual
Norte del país
H 0.367 0.300 -18%
PG 0.275 0.265 -4%
FGT2 0.241 0.238 -1%
Sur del país
H 0.500 0.500 0%
PG 0.375 0.339 -10%
FGT2 0.329 0.266 -19%

27. En la práctica, los tres indicadores tienden a
presentar panoramas similares …
AMÉRICA LATINA (18 PAÍSES): ÍNDICES DE POBREZA, ALREDEDOR DE 2009
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
ven
slv
per
arg
bra
pan
rdo
ecu
hnd
chl
cri
col
bol
gtm
ury
mex
pry
nic
H PG FGT-2

28. … y varían en el mismo sentido (aunque con
magnitudes diferentes)
AMÉRICA LATINA (18 PAÍSES): VARIACIÓN ANUAL DE LOS ÍNDICES DE POBREZA, 2002 - 2009
(En porcentajes)
0.00
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.10
-0.12
-0.14
-0.16
-0.18
-0.20
ven
slv
rdo
hnd
ecu
pan
bra
per
arg
cri
col
bol
chl
gtm
pry
mex
nic
ury
H PG FGT-2