El documento trata sobre el trazado geométrico de conicas. Explica las propiedades y métodos de construcción de circunferencias, ovalos, elipses, hipérbolas y parábolas. También incluye información sobre tangentes, divisiones de circunferencias, rectificación de curvas y polígonos regulares e irregulares.

1. TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS

2. TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS -. CIRCUNFERENCIAS -. OVALOS Y OVOIDE -. ELIPSE -. HIPERBOLA -. PARABOLA  2º Ingeniería Química

3. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENCIAS Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro T La tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio) T Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros  2º Ingeniería Química 0

4. TEMA3 TANGENCIAS ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES O 1 O 2 R+r ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES O 1 O 2 r R R-r  2º Ingeniería Química R r

5. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA T A B  2º Ingeniería Química 0

6. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO C  2º Ingeniería Química A T B

7. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA O1 T2 T1 t2 t1  2º Ingeniería Química P O

8. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS T 1 2 T 1 1 T 2 1 T 2 2  2º Ingeniería Química O 2 O 1 r R R-r t 2 t 2

9. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS A B T 2 1 T 2 2 T 1 2 T 1 1 t 1 t 2  2º Ingeniería Química r O 1 O 2 R R+r

10. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO A R R O 1 O 2 T 1 T 2 R  2º Ingeniería Química P r

11. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, QUE CRUZAN DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS O 1 O 2 r s T 1 T 2 1 2 3 OT 1 OT 2  2º Ingeniería Química P

12. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS CUANDO AL MENOS DOS SE CRUZAN FUERA DEL DIBUJO r s t T r T s T t O  2º Ingeniería Química

13. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS ARCO DE CIRCUNFERENCIA TANGENTE EXTERIORMENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS O 3 O 4 N M 1 2 3 4  2º Ingeniería Química r R O 2 N O 1 M R r O 2 O 1

14. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS POLIGONOS POLIGONO IRREGULAR POLIGONO REGULAR Lados y ángulos diferentes Lados y ángulos iguales POLIGONO INSCRITO POLIGONO CIRCUNSCRITO Tiene los vértices sobre la circunferencia Tiene los lados tangentes a la circunferencia  2º Ingeniería Química

15. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA L A l 10 l 5 En seis partes En tres partes En cinco y diez partes  2º Ingeniería Química O R=l O

16. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA EN UN NUMERO CUALQUIERA DE PARTES IGUALES( método general) EJEMPLO : 11 PARTES A B D C E F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  2º Ingeniería Química O DC CD

17. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS CONSTRUCCION DE UN POLIGONO REGULAR INSCRITO CON UN NUMERO CUALQUIERA DE LADOS CONOCIENDO EL LADO DEL MISMO. EJEMPLO : 11 PARTES 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M O P A L Q B R  2º Ingeniería Química Lado A B ML LM OB

18. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS RECTIFICACION DE CURVAS Rectificar una curva es transformar el segmento curvilíneo en uno rectilíneo de igual longitud, con el fin de obtener dicha longitud de manera mas cómoda. Para rectificar una curva cualquiera se divide ésta en cuerdas lo más pequeñas posible y se van llevando sucesivamente una a continuación de la otra. A B A B  2º Ingeniería Química

19. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS RECTIFICACION DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA RECTIFICACION DE CURVAS A B O D C E F  2º Ingeniería Química AO OB BD CE

20. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS RECTIFICACION DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA RECTIFICACION DE CURVAS O A B C r r r RECTIFICACION DE UNA CIRCUNFERENCIA O  2º Ingeniería Química 1 2 3 4 5 6 7 D D D D/7

21. TEMA3 CIRCUNFERENCIAS RECTIFICACION DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA < 90º RECTIFICACION DE CURVAS O A B C E F  2º Ingeniería Química

22. TEMA3 OVALOS Y OVOIDES OVALO : Curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, iguales dos a dos, y que tiene dos ejes de simetría, llamados mayor y menor respectivamente OVOIDE : Curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, donde uno es una semicircunferencia y de los otros dos son simétricos, tiene un diámetro y un eje de simetría.  2º Ingeniería Química

23. TEMA3 OVALOS OVALO Y OVOIDE O 1 O 2 A B 2 1 4 3 E F CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MAYOR CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MENOR C D A B O 1 O 2  2º Ingeniería Química O 1 O 2 O 1 O 2 D D O 1 1 O 1 2

24. TEMA3 OVALOS OVALO Y OVOIDE CONSTRUCCION DE UN OVALO INSCRITO EN UN ROMBO DADO B A C D O 3 O 1 O 2 O 4 1 2 4 3  2º Ingeniería Química C4 C2 O 2 3 O 1 1

25. F G 1 2 3 4 5 6 TEMA3 OVOIDE OVALO Y OVOIDE CONSTRUCCION DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU EJE O 1 O 2 O 3 O 4 A B C D AO 1 O 1 B O 4 B O 3 F CONSTRUCCION DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU DIAMETRO D C E F O 1 O 2 O 3 O 4 CD DC O 2 E  2º Ingeniería Química

26. TEMA3 CURVAS CONICAS Curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica β = 90º α = β α < β α > β  2º Ingeniería Química

27. TEMA3 ELIPSE - Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real ( 2a ), y menor o virtual ( 2b ). CURVAS CONICAS - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor. - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.( r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a  2º Ingeniería Química A C B D F F' a c b r' N M a r

28. TEMA3 ELIPSE CURVAS CONICAS - Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor. - Distancia focal es la que hay entre los focos ( 2c ) - Se cumple que a 2 = b 2 + c 2 - Excentricidad e = c 2 /a se cumple que para la elipse e <1  2º Ingeniería Química

29. TEMA3 CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES ELIPSE CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES A B C D F F’ G a GB GA M N A B C D 4 3 2 1 1 2 3 4 O  2º Ingeniería Química

30. TEMA3 CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD ELIPSE A B C D E G H O  2º Ingeniería Química

31. TEMA3 TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA ELIPSE F’ F t TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR F F’ I G H J  2º Ingeniería Química P P 2a PF

32. TEMA3 HIPERBOLA - Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes, CURVAS CONICAS - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V 1 V 2 ( 2a ) - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.( r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a  2º Ingeniería Química F F’ V 1 V 2 A B r r’ O 2a 2c

33. TEMA3 HIPERBOLA CURVAS CONICAS - Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a. - Distancia focal es la que hay entre los focos ( 2c ), los focos están sobre el eje principal o real - Se cumple que c 2 = b 2 + a 2 - Excentricidad e = c 2 /a se cumple que para la elipse e >1  2º Ingeniería Química

34. TEMA3 HIPERBOLA CURVAS CONICAS - Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito. - Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O - Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.  2º Ingeniería Química

35. TEMA3 CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS HIPERBOLA F F’ V 1 V 2 A B O r’=V 2 A r =V 1 A r’=V 2 A r =V 1 A r =V 1 B r =V 1 B r =V 2 B r =V 2 B  2º Ingeniería Química

36. TEMA3 TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA ELIPSE TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR F V 1 F’ V 2 V 1 V 2 I P t O P F V 1 O F’ V 2 I J K L PF’ V 1 V 1  2º Ingeniería Química

37. TEMA3 PARABOLA - Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje. CURVAS CONICAS - Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco , y de una recta fija llamada directriz . - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz  2º Ingeniería Química V F d r r

38. TEMA3 CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ HIPERBOLA O V F A d AO  2º Ingeniería Química

39. TEMA3 ENLAZAR DOS RECTAS CUALESQUIERA POR MEDIO DE UNA CUVA PARABOLICA CONOCIENDO LOS DOS PUNTOS DE TANGENCIAS HIPERBOLA 1 2 3 4 5 6 7 Z 7 6 5 4 3 2 1 N M  2º Ingeniería Química