Segunda versión del documento de ecuación de continuidad para fenómenos de transporte

1. Balance de ecuación de movimiento
En un coordenado cartesiano podemos considerar cada componente de la velocidad como un escalar,
así para la dirección x:
𝜕(𝜌𝑣 𝑥)
𝜕𝑡
+ (𝑣̅ ∙ ∇)(𝜌𝑣 𝑥) = (𝑝̇ 𝑣) 𝑥 + 𝑉∇2(𝜌𝑣 𝑥) − (𝜌𝑣 𝑥)(∇ ∙ 𝑣̅)
Acumulación Transp. Generación
convectivo Transporte molecular
y podríamos escribir el análogo para las ecuaciones en y y z.
Ecuación de continuidad
Un de las propiedades más importantes que se conserva en un sistema es la masa total, y este hecho
permite realizar simplificaciones en los balances de otras propiedades, ya que tanto momentum como
calor se asocian a la masa de los sistemas.
En procesos ordinarios –en velocidades menores a la velocidad de la luz y sin reacciones nucleares– la
masa no se genera y si se considera al continuo como un “continuo homogéneo”, entonces no habrá
fenómenos difusivos.
Esto significa que de ambos flux, se elimina el transporte molecular.
∇ ∙ 𝜑 = ∇ ∙ (ӕ𝑣̅) + ∇ ∙ (−𝛿∇ӕ)
También eliminamos el término de generación por lo que el balance global queda:
𝐷ӕ
𝐷𝑡
=
𝜕ӕ
𝜕𝑡
+𝑣̅ ∙ (∇ӕ) = ӕ̇ 𝐺 + 𝛿∇2
ӕ − ӕ(∇ ∙ 𝑣̅)
Derivada material Transp. Molec.
𝜕ӕ
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (ӕ𝑣̅)= 0
Para el caso de masa usaremos ӕ = 𝜌, por lo tanto:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (𝜌𝑣̅)= 0 (1)
Desarrollando el producto punto:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ (𝑣̅ ∙ ∇)𝜌 + 𝜌 (∇ ∙ 𝑣̅)= 0
Los casos más frecuentes que nos permiten hacer simplificaciones son:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 (𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜)

2. Si además trabajamos con fluido incompresible, ρ = ctte. La densidad sale como constante del producto
punto y nuestra ecuación (1) termina siendo:
𝜌(∇ ∙ 𝑣̅) = 0
Terminamos entonces únicamente con la igualdad relevante:
(∇ ∙ 𝑣̅) = 0
En cartesiano, esto se escribe:
𝜕𝑣 𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
Ecuación de continuidad para fluidos incompresibles homogéneos (densidad constante), sin generación
en estado estacionario.
(Buscar las ecuaciones de continuidad para distintos sistemas coordenados)
Ejemplo: Consideremos un flujo unidireccional en un coordenado cartesiano, tal que tenga lugar entre
dos láminas paralelas, de modo que el ancho de las mismas y su longitud sean mucho mayores que la
distancia entre ellas (L>>2B, A>>2B); así los efectos en los extremos pueden despreciarse. La figura
siguiente pretende ilustrar el caso.
Flujo en dirección x y z
2B
L x
2B
vx y
x
Utilizaremos la ecuación de continuidad:
𝜕𝑣 𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
Como sólo hay velocidad en dirección x, vy = vz = 0 (además son constantes)
Por lo tanto,
𝜕𝑣 𝑥
𝜕𝑥
= 0
Esto significa que la velocidad en x es constante y no una función vx ≠ vx(x)
por lo tanto vx = vx (y, z)
A

3. Como se especificó que las dimensiones del ejemplo son tales que no hay ejemplo en los extremos, la
velocidad en dirección x sólo dependerá de y:
vx = vx(y)
Ejemplo 2:
Para un coordenado cilíndrico con flujo axial (en sentido z), aplique la ecuación de continuidad para
identificar la simplificación de términos posibles.
z
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
vr = vθ = 0 y son constantes
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
La integral de vz con respecto z es constante:
vz = vz (r, θ, z)
si no está girando el flujo, entonces la conclusión es vz = vz (r)
Ejemplo 3
Considere ahora el caso de una esfera con flujo únicamente radial.
1
𝑟2
𝜕(𝑟2
𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕(𝑣 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
+
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑣 𝜑
𝜕𝜑
= 0
1
𝑟2
𝜕(𝑟2
𝑣𝑟)
𝜕𝑟
= 0
𝜕(𝑟2
𝑣𝑟)
𝜕𝑟
= 0
r2
vr = constante