2. 1 Dédicace
Nos jours sont les jours de sang, d’injustice et des coeurs glacés, je dédie ce travail à tout homme
qui garde en lui le vrai sens d’humanité.
Dr. Mehdi, veuillez accepter mes remerciments et mon respect. Vous êtes toujours en train de nous
encourager et nous assurer le meilleur, c’est le critère d’une âme généreuse.
Dr. Habib, un grand remerciment pour votre aide et votre support qui m’ont aidée à accomplir ce
travail, et un grand respect pour votre modestie remarquable.
2
3. 2 Préface
Le but de ce papier rédigé par Jean-François Grosjean, et intitulé "Minimal Submanifolds with a
parallel or a harmonic p-form" est d’étudier la non existence d’une immersion minimale d’une va-
riété riemannienne M admettant une p-forme parallèle ou harmonique non triviale dans une autre
variété N.
Dans la première partie, on suppose que M admet une p-forme prallèle non triviale et on démontre
que sous une certaine condition sur les courbures, il n’existe pas une immersion minimale de M
dans N.
Dans la deuxième partie de cet article, on fait la même chose, mais on étudie le cas où M admet
une p-forme harmonique non triviale et un nombre de betti non nul.
3
4. 3 Définitions et préliminaires
On admet dans cet article que (Mm
, g) est une variété riemannienne de dimension m immergée
isométriquement dans une autre variété riemannienne (Nn
, h) de dimension n avec n > m. Soit
l’identité φ cette immersion et soit (ei)i=1,...,m une base orthonormale sur M. On note par la
connexion de Levi-Civita de M et par celle de N.
Le tenseur de courbure d’ une variété riemannienne (Mm
, g) est défini par :
R : χ(M)×χ(M) × χ(M) × χ(M) →C∞
(M)
(X, Y, Z, T) →R(X, Y, Z, T) = g(R(X, Y, Z), T)
avec R(X, Y )Z = [X,Y ]Z − [ X, Y ]Z. Dans la suite on notera R(∂i,∂j,∂k,∂l) par Rijkl.
Le tenseur de Ricci est un 2-tenseur symétrique donné par :
Riccip(Xp, Yp) = Xi
pY j
p gkl
p Rkijl(p).
Finalement, on définit la courbure scalaire comme étant la trace du tenseur de Ricci.
D’autre part, si on suppose que Π est un plan de TpM engendré par {Xp,Yp}, alors on définit la
courbure sectionnelle par :
kp(Π) =
R(Xp, Yp, Xp, Yp)
Xp
2 Yp
2− < Xp, Yp >2
.
De plus, si (Mm
, g) est isométriquement immergée dans une autre variété riemannienne (Nn
, h),
alors la courbure moyenne est donnée par :
H(x) =
1
m
m
i=1
ki(x),
où les ki sont les valeurs propres de la deuxième forme fondamentale de l’immersion B(X, Y ).
Le produit scalaire entre deux p-formes ω et θ est donné par :
< θ, ω >=
1
p!
m
i1,...,ip=1
θi1...ip ωi1...ip ,
où ωi1...ip , est la notation adaptée à ω(ei1 , ..., eip ).
Le produit intérieur d’un champ de vecteur X ∈ χ(M) par une p-forme ω est :
iXω(X1, ..., Xp−1) = ω(X, X1, ..., Xp−1),
4
5. avec X1, .., Xp−1 sont des champs de vecteurs sur M. De même, on définit le produit intérieur
d’une q-forme par ω comme étant :
(3.1) iX1∧...∧Xq ω(Y1, ..., Yp−q) = ω(Xq, ..., X1, Y1, ..., Yp−q),
pour tout Y1, .., Yp−q ∈ χ(M).
Pour une p-forme α sur M, on définit la dérivée covariante de α par :
( α)(X, X1, ..., Xp) = Xα(X1, ..., Xp) −
m
i=1
α(X1, ..., XXi, ..., Xp).
Une p-forme α est dite parallèle si α = 0.
Si (Mm
, g) est de plus orientée, alors on définit l’opérateur de Hodge par :
: ∧p
M → ∧m−p
M
ω → ( ω)(X1, ..., Xm−p)ϑg = ω ∧ X∗
1 ∧ ... ∧ X∗
m−p,
où ϑg est une forme volume sur ∧p
M.
Soient ω une p-forme sur M, θ une q-forme sur M et X ∈ χ(M). Alors on a :
(3.2) iX(ω ∧ θ) = iXω ∧ θ + (−1)p
ω ∧ iXθ.
Si on note par X∗
la forme duale de X, on aura :
(3.3) < iXω, θ >=< ω, X∗
∧ θ > .
Si M est orientée, alors l’opérateur de Hodge vérifie l’égalité suivante :
(3.4) iX( ω) = (−1)p
(X∗
∧ ω).
Soient α une 1-forme à valeur dans R et β une 1-forme à valeur dans un fibré vectoriel. On définit
le 2-tenseur α ∨ β par :
(α ∨ β)(X, Y ) = α(X)β(Y ) + α(Y )β(X),
où X et Y sont des champs des vecteurs sur M.
Si la variété riemannienne (Mm
, g) est compacte et ω une p-forme sur M, alors on définit le
laplacien de Hodge de Rham par : ∆ω = dd∗
ω + d∗
dω, où d∗
est l’adjoint de d pour le scalaire
suivant : (α, β) =
M
< α, β > 1 =
M
α ∧ β.
5
6. la proposition suivante va nous donner l’expression de ∗
α suivant une base orthonormale (ei)i.
Proposition 3.1 Soient (Mm
, g) une variété riemannienne compacte de dimension m et α une
p-forme sur M, alors on a :
∗
α = −
m
i=1
ei ei
α +
m
i=1
ei ei
α,
où ∗
est l’adjoint de pour le scalaire donné ci-dessus.
Preuve : Soient α et β deux p-formes, la compatibilité de avec la métrique nous donne :
< α, β >=
m
i=1
< ei
α, ei
β >=
m
i=1
(ei < α, ei
β > − < α, ei ei
β >).
On définit le champ de vecteurs X de χ(M) tel que g(X, ei) =< α, ei
β >, alors l’égalité
devient :
< α, β > =
m
i=1
eig(X, ei) −
m
i=1
< α, ei ei
β >
=
m
i=1
g( ei
X, ei) +
m
i=1
g(X, ei
ei)
−
m
i=1
< α, ei ei
β >
= div(X)+ < α,
m
i=1
ei ei
β −
m
i=1
ei ei
β > .
En intégrant sur M, et par la formule de Stokes, on trouve que :
M
< α, β > ϑg = 0 +
M
< α,
m
i=1
( ei ei
− ei ei)β > ϑg.
C’est ce qu’il fallait démontrer.
Proposition 3.2 (Formule de Weitzenböck) Soit (Mm
, g) une variété riemannienne compacte
de dimension m et α une p-forme sur M alors :
(3.5) ∆α = ∗
α + Rp(α),
où Rp(α) =
m
i,j=1
ej ∧ (iei
R(ej, ei)α).
Preuve : En utilisant le fait que dα =
m
i=1
ei ∧ ei
α et d∗
α = −
m
i=1
iei ei
α, on a :
6
7. ∆α = −d(
m
i=1
iei ei
α) + d∗
(
m
i=1
ei ∧ ei
α)
= −
m
i=1
d(iei ei
α) +
m
i=1
d∗
(ei ∧ ei
α)
= −
m
i,j=1
ej ∧ ej
(iei ei
α) −
m
i,j=1
iej ej
(ei ∧ ei
α)
= −
m
i,j=1
ej ∧ (i ej ei
( ei
α) + iei
( ej ei
α)) −
m
i,j=1
iej
( ei
ei ∧ ei
α + ei ∧ ej ei
α).
Ici, on a utilisé le fait que X(iY α) = i X Y α + iY ( Xα), pour tout p-forme α et pour tous
vecteurs X et Y . D’où :
∆α = −
m
i,j=1
ej ∧ (i ej ei
( ei
α)) −
m
i,j=1
ej ∧ iei
( ej ei
α)
−
m
i,j=1
iej
( ej
ei ∧ ei
α) −
m
i,j=1
iej
(ei ∧ ej ei
α)
= −
m
i,j=1
ej ∧ (i ej ei
( ei
α)) −
m
i,j=1
ej ∧ (iei
( ej ei
α))
−
m
i,j=1
(iej
( ej
ei)) ∧ ( ei
α) +
m
i,j=1
( ej
ei) ∧ (iej ei
α)
−
m
i,j=1
(iej
(ei)) ∧ ( ej ei
α) +
m
i,j=1
ei ∧ (iej
( ej ei
α)).
Puisque ( Xα)Y = Xα(Y ) − α( XY ) pour toute 1-forme α et vecteurs X et Y , alors :
∆α = −
m
i,j=1
ej ∧ (i ej ei
( ei
α)) −
m
i,j=1
ej ∧ (iei
( ej ei
α))
−
m
i,j=1
(ej(δj
i )− < ei, ej
ej >) ei
α +
m
i,j=1
( ej
ei) ∧ (iej ei
α)
−
m
i,j=1
ei ei
α +
m
i,j=1
ei ∧ (iej
( ej ei
α)).
Donc, on en déduit que :
7
8. ∆α = −
m
i,j=1
ej ∧ (i ej ei
( ei
α)) −
m
i,j=1
ej ∧ (iei
( ej ei
α))
+
m
i,j=1
< ej
ej, ei > ei
α +
m
i,j=1
( ej
ei) ∧ (iej ei
α)
−
m
i=1
ei ei
α +
m
i,j=1
ei ∧ (iej
( ej ei
α))
= ∗
α +
m
i,j=1
ej ∧ (iei
(R(ej, ei)α − [ej,ei]α))
+
m
i,j=1
( ej
ei) ∧ (iej ei
α) −
m
i,j=1
ej ∧ (i ej ei
( ei
α))
= ∗
α +
m
i,j=1
ej ∧ (iei
(R(ej, ei)α)) −
m
i,j=1
ej ∧ iei [ej,ei]α
+
m
i,j=1
( ej
ei) ∧ (iej ei
α) −
m
i,j=1
ej ∧ (i ej ei
( ei
α)).
Maintenant, on va estimer les trois derniers termes de l’égalité.
−
m
i,j=1
ej ∧ (iei [ej,ei]α) +
m
i,j=1
( ej
ei) ∧ (iej ei
α) −
m
i,j=1
ej ∧ (i ej ei
( ei
α))
= −
m
i,j=1
ej ∧ (iei [ej,ei]α) −
m
i,j,k=1
< ej
ek, ei > ek ∧ (iej ei
α)
+
m
i,j,k=1
ej ∧ (i< ej ek,ei>ek ei
α)
= −
m
i,j=1
ej ∧ (iei [ej,ei]α) −
m
j,k=1
ek ∧ (iej ej ek
α) +
m
j,k=1
ej ∧ (iek ej ek
α)
= −
m
j,k=1
ek ∧ (iej [ek,ej]α) +
m
j,k=1
ek ∧ (iej
( ek
ej
α − ej ek
α)) = 0
Conséquence du théorème de Weitzenböck :
Le théorème de Weitzenböck nous conduit au résultat suivant :
(3.6)
1
2
∆|α|2
=< ∆α, α > −| α|2
− < Rp(α), α > .
En effet : le scalaire de (3.5) par α nous donne que :
8
9. < ∆α, α > = −
m
i=1
< ei ei
α, α > + < Rp(α), α >
= −
m
i=1
(ei < ei
α, α > − < ei
α, ei
α >)+ < Rp(α), α >
= −
m
i=1
(ei(ei(< α, α >)− < ei
α, α >)− < ei
α, ei
α >)+ < Rp(α), α >
= −
m
i=1
ei(ei(|α|2
)) + | α|2
+
m
i=1
ei(< ei
α, α >)+ < Rp(α), α >
= −
m
i=1
ei(ei(|α|2
)) +
m
i=1
ei(
1
2
ei(|α|2
)) + | α|2
+ < Rp(α), α >
=
1
2
∆|α|2
+ | α|2
+ < Rp(α), α > .
Ce qui termine la preuve.
Maintenant, on va expliciter la valeur de < Rp(α), α > par la proposition suivante.
Proposition 3.3 On a l’égalité suivante :
(3.7) < Rp(α), α >=
m
i,j=1
Ricij < iei
α, iej
α > −
1
2
m
i,j,k,l=1
Rijkl < iei∧ej
α, iek∧el
α >,
pour toute p-forme α sur M.
Preuve : En utilisant le fait que R(ei, ej)α =
m
i,j=1
R(ei, ej)ek ∧ iek
α, on calcule :
< Rp(α), α > = −
m
i,j,k=1
< iei
(R(ei, ej)ek ∧ iek
α), iej
α >
= −
m
i,j,k=1
(< iei
(R(ei, ej)ek) ∧ iek
α, iej
α > − < R(ei, ej)ek ∧ iei
(iek
α), iej
α >)
= −
m
i,j,k=1
< R(ei, ej)ek, ei >< iek
α, iej
α >
+
m
i,j,k=1
<
m
l=1
< R(ei, ej)ek, el > el ∧ iei
(iek
α), iej
α >
=
m
i,j,k=1
Rkiji < iek
α, iej
α > +
m
i,j,k,l=1
Rijkl < iei
(iek
α), iel
(iej
α) >
=
m
i,j=1
Ricij < iei
α, iej
α > +
m
i,j,k,l=1
Rijkl < iei∧ek
α, iel∧ej
α > .
9
10. En applicant l’identité de Bianchi à la deuxième sommation, on aura
m
i,j,k,l=1
Rijkl < iei∧ek
α, iel∧ej
α > = −
m
i,j,k,l=1
Rjkil < iei∧ek
α, iel∧ej
α >
−
m
i,j,k,l=1
Rkijl < iei∧ek
α, iel∧ej
α >
= −
m
i,j,k,l=1
Rijkl < iei∧ek
α, iel∧ej
α >
−
m
i,j,k,l=1
Rijkl < iei∧ej
α, iek∧el
α > .
Donc m
i,j,k,l=1
Rijkl < iei∧ek
α, iel∧ej
α >= −
1
2
m
i,j,k,l=1
Rijkl < iei∧ej
α, iek∧el
α > .
Ce qui donne l’égalité désirée.
Soient X, Y, Z et T ∈ χ(M). On définit le tenseur Rφ(X, Y ) par :
Rφ(X, Y ) =
m
i=1
R(X, ei, Y, ei).
(dans la deuxième partie de l’ égalité X et Y sont vus dans χ(N) par dφ).
Le tenseur de courbure ρ est un 2-tenseur symétrique de ∧2
N dans ∧2
N défini par :
(3.8) < ρ(X ∧ Y ), Z ∧ T >= R(X, Y, Z, T),
où X,Y ,Z et T sont des champs de vecteurs sur N.
On notera dans la suite sur N, la plus grande valeur propre de ρ par ρ1
et la plus petite par ρ0
, la
plus grande courbure sectionnelle par k
1
et la plus petite par k
0
,la courbure scalaire de M par scal,
celle de N par scal.
Proposition 3.4 On a les inégalités suivantes en tout point de N :
ρ0
≤ k
0
≤ k
1
≤ ρ1
.
Preuve : Démontrons d’abord la partie gauche de l’inégalité. Du fait que ρ est un tenseur symé-
trique et ρ0
est la plus petite valeur propre de ρ on a : < ρ(X ∧ Y ), X ∧ Y >≥ ρ0
|X ∧ Y |2
. Ceci
est équivalent à dire que R(X, Y, X, Y ) ≥ ρ0
|X ∧ Y |2
, et parsuite k|X ∧ Y |2
≥ ρ0
|X ∧ Y |2
, qui
est -après simplification- l’inégalité désirée. On démontre de la même façon la deuxième partie de
l’inégalité.
10
11. Proposition 3.5 (Wingarten) Soient p un point de M, Xp et Yp deux vecteurs de TpM, et Sp un
vecteur normal de (TpM)⊥
. Si X, Y , et S sont respectivement les extensions locales de Xp, Yp sur
χ(M) et Sp sur (TM)⊥
, alors on a :
< S, B(X, Y ) >=< − XS, Y >,
où B est la deuxième forme fondamentale de l’immersion.
Preuve : En effet, du fait que XY est orthogonal à S on a :
< S, B(X, Y ) > =< S, XY − XY >
=< S, XY > .
Or, la compatibilité de la métrique h nous donne :
X < S, Y >=< XS, Y > + < S, XY > .
Donc, on obtient :
< S, XY >= X < S, Y > − < XS, Y >= − < XS, Y > .
Cela nous conduit à ce qu’il fallait démontrer.
Proposition 3.6 (Equation de Gauss) Soit (Mm
, g) une variété riemannienne isométriquement
immergée dans une autre variété riemannienne (Nn
, h), alors on a :
R(X, Y, Z, T) = R(X, Y, Z, T)+ < B(X, Z), B(Y, T) > − < B(X, T), B(Y, Z) >,
pour tout X, Y, Z et T dans χ(M), où B est la deuxième forme fondamentale de l’immersion.
Preuve : Du fait que M est immergée dans N, alors pour tout Y, Z dans χ(M) on a l’égalité
suivante :
Y Z = Y Z + B(Y, Z).
Soit X ∈ χ(M), alors en dérivant cette égalité par rapport à X, on aura :
X Y Z = X Y Z + B(X, Y Z) + XB(Y, Z).
Le produit scalaire par T, où T ∈ χ(M), donne :
(3.9) < X Y Z, T >=< X Y Z, T > +0+ < XB(Y, Z), T > .
De la même façon on démontre que :
(3.10) < Y XZ, T >=< Y XZ, T > + < Y B(X, Z), T > .
D’autre part on a :
[X,Y ]Z = [X,Y ]Z + B([X, Y ], Z).
11
12. Le produit scalaire par T nous donne :
(3.11) < [X,Y ]Z, T >=< [X,Y ]Z, T > +0.
Maintenant, retranchons (3.9) de (3.11) et ajoutons (3.10) pour avoir :
R(X, Y, Z, T) = R(X, Y, Z, T)− < XB(Y, Z), T > + < Y B(X, Z), T > .
Wingarten appliqué à cette égalité permet d’obtenir :
XB(Y, Z), T >= − < B(X, T), B(Y, Z) >
pour tout X, Y, Z et T dans χ(M). On en déduit le résultat demandé.
12
13. 4 Géometrie d’une sous variété admettant une p-forme paral-
lèle
Dans cette partie, on cherche des conditions sur les courbures de N pour avoir une immersion non
minimale d’une variété riemannienne M dans une autre variété riemannienne N, dans le cas où M
admet une p-forme parallèle non triviale qu’on va noter par ω.
4.1 Résultat principal
Theorème 4.1 Soit (Mm
, g) une variété riemannienne de dimension m admettant une p-forme
(1 ≤ p ≤ m) parallèle non triviale ω immergée isométriquement dans une autre variété rieman-
nienne (Nn
, h) de dimension n avec n > m. Si pour tout x dans N on a :
(4.12) (m − 1)k
1
< (p − 1)ρ0
,
alors il n’existe pas une immersion minimale de (Mm
, g) dans (Nn
, h).
Preuve : On suppose que l’immersion φ est minimale et l’inégalité (4.12) est satisfaite. Du fait
que ω est une p-forme parallèle, alors on a :
(4.13) 0 =< Rp(α), α >=
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω > −
1
2i,j,k,l
Rijkl < iei∧ej
ω, iek∧el
ω > .
En applicant Gauss (voir 3.6) à chaque sommation on aura :
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω > =
i,j,k
Rikjk < iei
ω, iej
ω >
=
i,j,k
(Rikjk+ < Bij, Bkk > − < Bik, Bjk >) < iei
ω, iej
ω >
=
i,j
(Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > +m
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω >
−
i,j
< Bik, Bjk >< iei
ω, iej
ω > .(4.14)
De même, on a :
i,j,k,l
Rijkl < iei∧ej
ω, iek∧el
ω > =
i,j,k,l
Rijkl < iei∧ej
ω, iek∧el
ω >
+
i,j,k,l
< Bik, Bjl >< iei∧ej
ω, iek∧el
ω >
−
i,j,k,l
< Bil, Bjk >< iei∧ej
ω, iek∧el
ω >
=
i,j,k,l
Rijkl < iei∧ej
ω, iek∧el
ω >
+ 2
i,j,k,l
< Bik, Bjl >< iei∧ej
ω, iek∧el
ω > .(4.15)
13
14. En remplaçant chaque sommation par sa valeur dans (4.13), on obtient :
0 =
i,j
(Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > +m
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω >
−
1
2i,j,k,l
Rijkl < iei∧ej
ω, iek∧el
ω > −
i,j
< Bik, Bjk >< iei
ω, iej
ω >
−
i,j,k,l
< Bik, Bjl >< iei∧ej
ω, iek∧el
ω > .(4.16)
Maintenant, on va introduire l’opérateur B+
(ω) =
m
i=1
iei
ω∧B(ei, .) pour estimer les deux derniers
termes. En effet, la norme de cet opérateur est égale à
|B+
(ω)|2
=
1
p!1≤i,j,i1,...,ip≤m
< (iei
ω ∧ B(ei, .))i1...ip , (iej
ω ∧ B(ej, .))i1...ip >
=
1
p! 1≤i1,...,ip≤m
i,j,s,t
< (−1)s+1
B(ei, eis )iei
ω(ei1 , ..., eis , ..., eip ),
(−1)t+1
B(ej, eit )iej
ω(ei1 , ..., eit , ..., eip ) >
=
1
p! 1≤i1,...,ip≤m
i.j,s,t
(−1)s+t
< Biis , Bjit > ωii1...is...ip
ωji1...it...ip
.
On décompose la dernière sommme aux cas où s = t et s = t pour obtenir :
14
15. |B+
(ω)|2
=
1
p! 1≤i1,...,ip≤m
i.j,s=t
< Biis , Bjis > ωii1...is...ip
ωji1...is...ip
+
1
p! 1≤i1,...,ip≤m
i.j,s=t
(−1)s+t
< Biis , Bjit > ωii1...is...ip
ωji1...it...ip
=
1
(p − 1)! 1≤i1,...,ip≤m
i.j,k
< Bik, Bjk > ωii1...ip−1 ωji1...ip−1
−
1
p! 1≤i1,...,ip≤m
i.j,s<t
< Biis , Bjit > ωiiti1...is...it...ip
ωjisi1...is...it...ip
−
1
p! 1≤i1,...,ip≤m
i.j,s>t
< Biis , Bjit > ωiiti1...it...is...ip
ωjisi1...it...is...ip
=
i,j
< Bik, Bjk >< iei
ω, iej
ω >
−
1
(p − 2)! 1≤i1,...,ip≤m
i.j,k,l
< Bik, Bjl > ωili1...ip−2 ωjki1...ip−2
=
i,j
< Bik, Bjk >< iei
ω, iej
ω >
+
1
(p − 2)! 1≤i1,...,ip≤m
i.j,k,l
< Bik, Bjl > ωiji1...ip−2 ωkli1...ip−2
=
i,j
< Bik, Bjk >< iei
ω, iej
ω > +
i,j,k,l
< Bik, Bjl >< iei∧ej
ω, iek∧el
ω > .
En remplaçant |B+
(ω)|2
par sa valeur dans (4.16), et tenant compte de la minimalité de l’immer-
sion, on aura :
0 =
i,j
(Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > +0 −
1
2i,j,k,l
Rijkl < iei∧ej
ω, iek∧el
ω > −|B+
(ω)|2
.
D’où on obtient :
(4.17) 0 ≤ |B+
(ω)|2
=
i,j
(Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > −
1
2i,j,k,l
Rijkl < iei∧ej
ω, iek∧el
ω > .
Dans le but d’estimer les deux termes à droite de l’égalité de (4.17), on définit le tenseur
Xi1...ip
=
m
i=1
ωii1...ip−1 ei et la 2-forme θi1...ip−2
= 1
2
m
i,j=1
ωiji1...ip−2 ei ∧ ej. D’une part, on a :
15
16. i,j
(Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > =
1
(p − 1)! i1,...,ip−1
i.j,k
R(ei, ek, ej, ek)ωii1...ip−1 ωji1...ip−1
=
1
(p − 1)! i1,...,ip−1
i.j,k
R(eiωii1...ip−1 , ek, ejωji1...ip−1 , ek)
=
1
(p − 1)!i1,...,ip
Rφ(Xi1,...,ip
, Xi1,...,ip
)
=
1
(p − 1)! i1,...,ip
k
k(Xi1,...,ip
, ek)[|Xi1,...,ip
|2
− < Xi1,...,ip
, ek >2
]
≤ k
1 1
(p − 1)!i1,...,ip
[
m
k=1
|Xi1,...,ip
|2
−
m
k=1
− < Xi1,...,ip
, ek >2
]
≤ k
1 1
(p − 1)!i1,...,ip
[m|Xi1,...,ip
|2
− |Xi1,...,ip
|2
]
≤
m − 1
(p − 1)!
k
1
i1,...,ip
|Xi1,...,ip
|2
≤
m − 1
(p − 1)!
k
1
(p!|ω|2
) = p(m − 1)k
1
|ω|2
≤ p(p − 1)ρ0
(φ(x))|ω|2
.
D’autre part, on a :
1
2i,j,k,l
Rijkl < iei∧ej
ω, iek∧el
ω > =
1
2(p − 2)!i,j,k,l
ρ(ei ∧ ej, ek ∧ el)(
i1,...,ip−2
ωiji1...ip−2 ωkli1...ip−2 )
=
1
2(p − 2)! i1,...,ip−2
i,j,k,l
ρ(ωiji1...ip−2 ei ∧ ej, ωkli1...ip−2 ek ∧ el)
=
2
(p − 2)!i1,...,ip−2
ρ(θi1...ip−2
, θi1...ip−2
)
≥
2
(p − 2)!
ρ0
i1,...,ip−2
|θi1...ip−2
|2
=
1
(p − 2)!
ρ0
i1,...,ip
ω2
i1,...,ip
=
p!
(p − 2)!
ρ0
|ω|2
= p(p − 1)ρ0
(φ(x))|ω|2
.
Enfin on constate que 0 ≤ |B+
(ω)|2
< 0, ce qui implique que B+
(ω) = 0, et ceci conduit à une
contradiction
Remarque 4.2 Ce théorème n’a d’interêt que si la coubure sectionnelle est négative. Sinon, et
d’après l’inégalité de la proposition 3.4, l’inégalité (4.12) ne peut plus être établie.
16
17. Exemple : (Espaces Hyperboliques Hn
) Il n’existe pas une immersion minimale d’une variété
riemannienne de dimension m admettant une p-forme parallèle non triviale dans Hn
tant que m >
p, puisque l’inégalité (4.12) est toujours satisfaite.
Dans la suite, on va trouver une autre condition de pincement sur les courbures en présence d’une
p-forme parallèle non triviale.
Theorème 4.3 Soit (Mm
, g) une variété riemannienne orientée de dimension m admettant une p-
forme (1 ≤ p ≤ m) parallèle non triviale ω et immergée isométriquement dans une autre variété
riemannienne (Nn
, h) de dimension n avec n > m. Si pour tout x ∈ N on a :
(4.18) scal(x) < (n − m)(n + m − 1)k
0
(x) + (p(p − 1) + (m − p)(m − p − 1))ρ0
,
alors il n’existe pas une immersion minimale de M dans N.
Preuve : On suppose que l’immersion φ est minimale, et l’inégalité (4.18) est satisfaite, alors
d’après la preuve du théorème 4.1, on a :
|B+
(ω)|2
≤
i,j
(Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > −p(p − 1)ρ0
(φ(x))|ω|2
.
Du fait que M est orientée, alors on peut parler de ω, qui est une (m − p)-forme parallèle car ω
l’est. D’où :
|B+
(ω)|2
+ |B+
( ω)|2
≤
i,j
(Rφ)ij(< iei
ω, iej
ω > + < iei
ω, iej
ω >)
− (p(p − 1) + (m − p)(m − p − 1))ρ0
(φ(x))|ω|2
.
On estime ensuite la sommation dans la partie droite de l’inégalité en s’aidant des égalités (3.3) et
(3.4) dans le calcul.
i,j
(Rφ)ij(< iei
ω, iej
ω > + < iei
ω, iej
ω >) =
i,j
((Rφ)ij < iei
ω, iej
ω >
+ (Rφ)ij < iei
ω, iej
ω >)
=
i,j
((Rφ)ij < iei
ω, iej
ω >
+ (Rφ)ij < (−1)p
(ei ∧ ω), (−1)p
(ej ∧ ω) >)
=
i,j
((Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > +(Rφ)ij < iej
(ei ∧ ω), ω) >)
=
i,j
((Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > +(Rφ)ij < iej
ei ∧ ω, ω >
− (Rφ)ij < ei ∧ iej
ω, ω >)
=
i,j
((Rφ)ij < iei
ω, iej
ω > +(Rφ)ij < δj
i ω, ω >
− (Rφ)ij < iej
ω, iei
ω >)
=
i
(Rφ)ii|ω|2
.
17
18. Maintenant, on va estimer la courbure scalaire de N. Pour cela, soit {e1, ..., em, em+1, ..., en} un
répère orthonormal sur N, tel que {e1, ..., em} forme une base de TM, alors on a :
scal =
m
i,k=1
R(ei, ek, ei, ek) +
n
i,k=m+1
k=i
R(ei, ek, ei, ek) + 2
i=1,...,m
k=m+1,...,n
R(ei, ek, ei, ek)
≥
i
(Rφ)ii + (n − m)(n − m − 1)k
0
+ 2m(n − m)k
0
=
i
(Rφ)ii + (n − m)(n + m − 1)k
0
.
D’où on obtient l’inégalité suivante :
(4.19)
m
i=1
(Rφ)ii ≤ scal − (n − m)(n + m − 1)k
0
.
Enfin, on va obtenir cette inégalité qui contradit l’hypothèse donné :
0 ≤ |B+
(ω)|2
+ |B+
( ω)|2
≤
m
i=1
(Rφ)ii|ω|2
− (p(p − 1) + (m − p)(m − p − 1))ρ0
≤ |ω|2
(scal − (n − m)(n + m − 1)k
0
− (p(p − 1) + (m − p)(m − p − 1))ρ0
).
Ceci finit la démonstration.
18
19. 5 Géométrie de sous variétés avec un nombre de betti non nul
On suppose dans cette partie, que M est compacte. On note par k(x) la plus petite valeur propre de
la courbure de Ricci de M au point x et par k0 le minimum de k(x) pour x dans M. D’autre part,
si k
1
est majorée alors on note par k
1
max le maximum de k
1
sur N, et par ρ1
max celle de ρ1
sur N.
5.1 Deuxième résultat
Dans cette partie, on donne des conditions de pincement sur la courbure d’une variété riemannienne
M isométriquement immergée dans N pour avoir la non minimalité de l’immersion.
Proposition 5.1 Soit (Mm
, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 isométri-
quement immergée dans une autre variété riemannienne (Nn
, h). Alors pour toute p-forme ω sur
M on a :
(5.20) < Rp(ω), ω >≥ p(pk(x)−(p−1)((m−1)k
1
+ρ1
)(φ(x))−m(
p − 1
√
p
)|H(x)||B(x)|)|ω|2
,
où H est la courbure moyenne de l’immersion.
Preuve : En utilisant la formule (3.7), on démontre facilement le cas p = 1.
Supposons maintenant que p ≥ 2. On définit l’opérateur B−
(ω) par :
(5.21) B−
(ω) =
1
(p − 2)!i,i1,...,ip−2≤m
((iei∧ei1
∧...∧eip−2
ω) ∨ B(ei, .)) ⊗ (e∗
i1
∧ ... ∧ e∗
ip−2
).
La norme de B−
(ω) est égale à :
(5.22) |B−
(ω)|2
=
1
(p − 2)!j,k,i1,...,ip−2≤m
|B−
(ω)jki1...ip−2 |2
.
Maintenant, on calcule
19
22. Par conséquence on aura :
1
2
|B−
(ω)|2
≤< Rp(ω), ω > −p
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω >
+ (p − 1)p(m − 1)k
1
(φ(x))|ω|2
+ p(p − 1)ρ1
(φ(x))|ω|2
+ m(p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω >
=< Rp(ω), ω > −p
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω >
+ p(p − 1)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))|ω|2
+ m(p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω > .
Dans la suite, on va estimer le dernier terme, pour cela on suppose que la base orthonormale
{ei}i=1,...m diagonalise le tenseur symétrique < B(X, Y ), H >, d’où on a le suivant :
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω > =
1
(p − 1)!i,i1,...,ip−1
ω2
i,i1,...,ip−1
< Bii, H >
=
1
p!i,i1,...,ip−1
ω2
i,i1,...,ip−1
×
(< Bii, H > + < Bi1i1 , H > +...+ < Bip−1ip−1 , H >)
≤
1
p!i,i1,...,ip−1
ω2
i,i1,...,ip−1
(|Bii| + |Bi1i1 | + ... + |Bip−1ip−1 |)|H|
≤
√
p
p! i,i1,...,ip−1
ω2
i,i1,...,ip−1
|B||H|.
Ce qui nous permet de déduire l’inégalité
(5.23)
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω >≤
√
p|B||H||ω|2
.
Or, la courbure Ricci est supérieure ou égale à sa plus petite valeur propre k multipliée par la
métrique, ceci nous donne :
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω > ≥
i,j
kδij < iei
ω, iej
ω >
≥ k
i
|iei
ω|2
= k(
1
(p − 1)!i,i1,...,ip−1
ω2
ii1...ip−1
)
= k
1
(p − 1)!
p!|ω|2
= kp|ω|2
22
23. Enfin, on en déduit que :
1
2
|B−
(ω)|2
≤< Rp(ω), ω > −p(pk)|ω|2
+ p(p − 1)((m − 1)k
1
(φ(x)) + ρ1
(φ(x)))|ω|2
+ m(p − 1)(
p
√
p
)|B||H||ω|2
.
Le fait que le terme à gauche est positif nous donne le résultat voulu.
Theorème 5.2 Soit (Mm
, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 telle que
bp(M) = 0 pour un entier naturel p ≥ 1. Alors il existe au moins un point x de M tel que :
(5.24)
m
√
p
(
p − 1
p
)|B(x)||H(x)| ≥ k(x) − (
p − 1
p
)((m − 1)k
1
+ ρ1
)(φ(x)),
pour toute immersion isométrique φ de (Mm
, g) dans une autre variété riemannienne (Nn
, h).
Preuve : Du fait que bp(M) = 0, alors il existe une p-forme harmonique non triviale telle que
∆ω = 0. En intégrant l’égalité (3.6) sur M, on déduit que
M
< Rp(ω), ω >≤ 0.
Enfin, la proposition précédente nous donne ce qu’il fallait démontrer.
Corollaire 5.3 Soit (Mm
, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 immergée
minimalement et isométriquement dans une autre variété riemannienne (Nn
, h) de dimension n
avec n > m. Si ρ1
est majorée et existe p , 1 ≤ p ≤ m
2
tel que
(5.25) k0 > (
p − 1
p
)((m − 1)k
1
max + ρ1
max),
alors bp(M) = 0 pour tout q ∈ {1, ..., p}.
Preuve : Du fait que l’immersin est minimale alors H = 0. L’opérateur ρ est majoré donc
ρ1
max existe, et comme ρ0
≤ k
0
≤ k
1
≤ ρ1
alors k est majorée aussi et k
1
max existe. Supposons
qu’il existe un entier q ∈ {1, ..., p} tel que bp(M) = 0 et que (5.25) est vérifiée. Alors d’après le
théorème précédent on a :
0 ≥ k(x) − (
p − 1
p
)((m − 1)k
1
+ ρ1
)(φ(x)).
Donc, on a l’inégalité suivante
k(x) ≤ (
p − 1
p
)((m − 1)k
1
+ ρ1
)(φ(x)),
et parsuite
k0 ≤ (
p − 1
p
)((m − 1)k
1
max + ρ1
max)(φ(x)).
23
24. Ce qui contredit l’hypothèse
Dans cette partie on pose des conditions sur le nombre de betti, la courbure scalaire de M, et la
courbure sectionnelle de N pour avoir la non minimalité de l’immersion.
Proposition 5.4 Soit (Mm
, g) une variété riemannienne compacte de dimension m immergée mi-
nimalement et isométriquement dans une autre variété riemannienne (Nn
, h) de dimension n avec
n > m. Alors pour tout p ∈ {1, ..., m − 1} et pour toute p-forme ω sur M on a :
< Rp(ω), ω > +
p
m − p
< Rm−p( ω), ω > ≥ (p(scal(x) − (m − 2)(m − 1)k
1
+ ρ1
)(φ(x))
− m(
p − 1
√
p
+
m − p − 1
√
m − p
)|H(x)||B(x)|)|ω|2
,(5.26)
pour tout x dans M.
Preuve : D’après la preuve de la proposition précédente, on a :
0 ≤
1
2
|B−
(ω)|2
≤< Rp(ω), ω > −p
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω >
+ p(p − 1)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))|ω|2
+ m(p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω > .
Ce qui donne que
< Rp(ω), ω > ≥ p
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω >
− p(p − 1)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))|ω|2
− m(p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω > .(5.27)
L’inégalité (5.27) appliquée à ω nous donne :
< Rm−p( ω), ω > ≥ (m − p)
i,j
Ricij < iei
( ω), iej
( ω) >
− (m − p)(m − p − 1)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))|ω|2
− m(m − p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
( ω), iej
( ω) > .(5.28)
On multiplie (5.28) par p
m−p
et lui ajoute (5.27) pour avoir le suivant :
24
25. < Rp(ω), ω > +
p
m − p
< Rm−p( ω), ω > ≥ p
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω >
− p(p − 1)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))|ω|2
− m(p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω >
+
p
m − p
((m − p)
i,j
Ricij < iei
( ω), iej
( ω) >
− (m − p)(m − p − 1)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))|ω|2
− m(m − p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
( ω), iej
( ω) >)
= p(
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω >
+
i,j
Ricij < iei
( ω), iej
( ω) >)
− p(m − 2)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))|ω|2
−
mp(m − p − 1)
p − 1 i,j
< Bij, H >< iei
( ω), iej
( ω) >
− m(p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω > .
Maintenant, on estime le premier terme à droite de l’inégalité précédente. En effet,
i,j
Ricij(< iei
ω, iej
ω > + Ricij < iei
( ω), iej
( ω) >)
=
i,j
Ricij(< iei
ω, iej
ω > +Ricij < ei ∧ ω, ej ∧ ω >
=
i,j
Ricij(< iei
ω, iej
ω > +Ricij < iej
(ei ∧ ω), ω >)
=
i,j
Ricij < iei
ω, iej
ω > +
i
Ricii|ω|2
−
i,j
Ricij < e∗
i ∧ iej
ω, ω >
=
i
Ricii|ω|2
= scal|ω|2
.
L’inégalité sera donc
25
26. < Rp(ω), ω > +
p
m − p
< Rm−p( ω), ω > ≥ pscal|ω|2
− p(m − 2)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))|ω|2
−
mp(m − p − 1)
p − 1 i,j
< Bij, H >< iei
( ω), iej
( ω) >
− m(p − 1)
i,j
< Bij, H >< iei
ω, iej
ω > .(5.29)
D’après les inégalité (5.23) et (5.29), on obtient :
< Rp(ω), ω > +
p
m − p
< Rm−p( ω), ω > ≥ p(scal(x) − (m − 2)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x))))|ω|2
− m(
p − 1
√
p
+
m − p − 1
√
m − p
)|ω|2
|B(x)||H(x)|.
Theorème 5.5 Soit (Mm
, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 telle que
bp(M) = 0 pour un certain entier p ≥ 1. Alors pour toute immersion isométrique φ de (Mm
, g)
dans une autre variété riemannienne (Nn
, h) de dimension n avec n > m, il existe au moins un
point x de M tel que :
m(
p − 1
√
p
+
m − p − 1
√
m − p
)|B(x)||H(x)| ≥ scal(x) − (m − 2)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x))).
Preuve : Du fait que bp(M) = 0, il existe une p-forme harmonique non triviale ω telle que
∆ω = 0. Mais l’opérateur de Hodge commute avec le Laplacien donc ω est aussi une (m − p)-
forme harmonique non triviale. En intégrant (3.6) sur M on obtient que :
M
< Rp(ω), ω >≤ 0,
et
M
< Rm−p( ω), ω >≤ 0.
D’après la proposition précédente, on aura :
0 ≥
M
< Rp(ω), ω > +
p
m − p M
< Rm−p( ω), ω >
≥
M
p(scal(x) − (m − 2)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x)))
− m(
p − 1
√
p
+
m − p − 1
√
m − p
)|H(x)||B(x)|)|ω|2
.
Ce qui donne l’inégalité désirée.
26
27. Corollaire 5.6 Soit (Mm
, g) une variété riemannienne compacte de dimension m ≥ 2 immergée
isométriquement et minimalement par φ dans une autre variété riemannienne (Nn
, h) de dimen-
sion n avec n > m. Si ρ est majorée et :
(5.30) min
M
(scal) > (m − 2)((m − 1)k
1
max + ρ1
max),
alors bp(M) = 0 pour tout p ∈ {1, ..., m}.
Preuve : Supposons que (5.30) est vérifiée et qu’il existe p ∈ {1, ..., m} tel que bp(M) = 0.
Alors d’après théorème 5.5 on a
m(
p − 1
√
p
+
m − p − 1
√
m − p
)|B(x)||H(x)| ≥ scal(x) − (m − 2)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x))).
En tenant compte de la minimalité de l’immersion, l’inégalité sera :
0 ≥ scal(x) − (m − 2)(ρ1
(φ(x)) + (m − 1)k
1
(φ(x))).
Ce qui contradit (5.30)
27
28. 6 Références
[1] Carlson J., Toledo D. : Harmonic mappings of Kaehlerian manifolds to locally symmetric
spaces, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 69, (1989), 173-201.
[2] Corlette K. : Archimedean superrigidity and hyperbolic geometry, Ann. of Math., (2), 135,
no.1, (1992), 165-182.
[3] Dajczer M., Rodriguez L. : Rigidity of a real Kaehler submanifolds, Duke Math. J., 53, 1,
(1986), 211-220.
[4] Abraham R., Marsden J.E., Ratiu T. : Manifolds, Tensor Analysis and applications,
Springer-Verlag, Applied Math. Sciences, 75, (1988).
[5] El Soufi A. : Géométrie des sous-variétés admettant une structure kaehlérienne ou un se-
cond nombre de Betti non nul, Publication de l’Université de Tours, n30, (1991).
[6] El Soufi A., Petit R. : Immersions minimales et immersions pluriharmoniques entre variétés
riemanniennes : résultats de non existence et de rigidité, Ann.Inst. Fourier, Grenoble, 50, 1, (2000),
235-256.
[7] Gallot S., Meyer D. : Opérateur de courbure et Laplacien des formes différentielles d’une
variété riemannienne, J. Math. pures et appl., 54, (1975), 259-284.
[8] Grosjean J.-F. : A new Lichnerowicz-Obata estimate in the presence of a parallel p-form,
Manuscr. Math., 107, (2002), 503-520.
[9] Hernandez L. : Kaehler manifolds and 1/4 Pinching, Duke Math. J., 62,3, (1991), 601-611.
[10] Leung P.F. : Minimal submanifolds in a sphere, Math. Z., 183, (1983), 75-86.
[11] Micallef M., Moore J. : Minimal two-spheres and the topology of manifolds with positive
curvature on totally isotropic two planes, Ann. of Math., 127, (1988), 199-227.
[12] Sampson J.H. : Harmonic maps in K¨ahler geometry, CIME Conf. ; 1984, Springer lecture
Notes in Math., 1161, (1985), 193-205.
28
