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Expresiones algebraicas, producto notable, factorizacion
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universidad Politécnica Territorial del estado Lara “Andrés Eloy Blanco” Expresiones algebraicas Alumno: Xavier Montilla CI: 30995862 Sección: 0104 Asignatura: matemáticas
- 2. Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y números unidos por medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación ó radicación, de manera finita. Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra cosa, representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden llamar parámetros. Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. El dominio de una variable en una expresión algebraica, es un subconjunto de números reales, que, al reemplazarlos en la expresión, siempre se obtiene un número real. Ejemplos: Suma de expresiones algebraicas En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que
- 3. están compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas: Suma de monomios: La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio. Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 2x + 4x = (2+4)x = 6x Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es necesario, escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x). Aplicando la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o negativo: 4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x. En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la suma algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la suma de su resultado, podemos escribir los sumandos entre paréntesis: (4x) + (3y) = 4x + 3y (a) + (2a2) + (3b) = a + 2a2 + 3b (3m) + (–6n) = 3m – 6n
- 4. Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma con los demás términos: (2a) + (–6b2) + (–3a2) + (–4b2) + (7a) + (9a2)= [(2a) + (7a)] + [(–3a2) + (9a2)] + [(–6b2) + (–4b2)] = [9a]+[ 6a2]+[ –10b2] = 9a + 6a2 – 10b2 Suma de polinomios: Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos: Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término: 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su signo en el resultado: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma vertical, alineando los términos comunes y realizando las operaciones:
- 5. Suma de monomios y polinomios: Como podemos deducir de lo ya explicado, para sumar un monomio con un polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el monomio se sumará al término; si no hay términos comunes, el monomio se agrega al polinomio como un término más: Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) + (–4x2) Alineamos los términos comunes y realizamos la suma: Resta Algebraica La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que están compuestas por términos numéricos, literales, y exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas: Resta de monomios: La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio. Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y
- 6. tiene el mismo grado (en este caso, 1, o sea, sin exponente). Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 2x – 4x = (2 – 4)x = –2x Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo negativo, cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a negativo. Para no tener confusión, escribimos los números con signo negativo, o incluso todas las expresiones, entre paréntesis: (4x) – (–2x).: (4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x. Debemos recordar, además, que, en la resta, el orden de los factores se debe de tener en cuenta: (4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x. (–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x. En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la resta algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo. Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre paréntesis: (4x) – (3y) = 4x – 3y (a) – (2a2) – (3b) = a – 2a2 – 3b (3m) – (–6n) = 3m + 6n Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas literales y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los demás términos:
- 7. (2a) – (–6b2) – (–3a2) – (–4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) – (7a)] – [(–3a2) – (9a2)] – [(–6b2) – (–4b2)] = [–5a]–[ –10b2]–[ –6a2] = –5a + 12a2 +2b2 Resta de polinomios: Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el polinomio. Para restar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos: Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término: 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–sustraendo: [(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(– 8b2) – (6b2)] – c Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian de signo: [4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c = 7a + 3a2 + b – 14b2 – c Para comprender mejor el cambio de signos en la resta, podemos hacerla en forma vertical, colocando el minuendo en la parte de arriba, y el sustraendo en la parte de abajo:
- 8. Como estamos realizando una resta, los signos del sustraendo cambiarán, por lo que, si lo expresamos como una suma en la que todos los signos del sustraendo se invierten, entonces quedará así y resolvemos: Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2 r r = 5 cm. L(5)= 2 · · 5 = 10 cm S(l) = l2 l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2 V(a) = a3 a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3 Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 Q(x) = x4 − 2x3 + x2 + x − 1 ; x = 1 Q(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0 R(x) = x10 − 1024 : x = −2
- 9. R(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0 Multiplicación de expresiones algebraicas La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador. Multiplicación de monomios A continuación, se muestra diferentes casos para comprender de mejor manera la multiplicación de monomios. Multiplicar 3a2 por 6a4. Se multiplican los coeficientes (+3) (+6) = +18 y a continuación se hace la multiplicación de las letras (a2) (a4) = a2 + 4 = a6, por lo tanto, el resultado será: (3a2) (6a4) = 18a6 Multiplicar 3ab por 3b2c. Se multiplican los coeficientes (+3)(+3) = +9 y a continuación, se hace la multiplicación de las letras (ab)(b2c) = ab(1 + 2)c= ab3c, por lo tanto, el resultado será: (3ab)(3b2c) = 9ab3c Multiplicación entre polinomios Para saber cómo resolver la multiplicación entre polinomios, tan solo debemos tener en cuenta la propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de la potenciación. La forma más
- 10. básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomios es la forma (a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd Ejemplo 1: Multiplicar: (?-3)(?+4) Solución: (x-3)(x+4)= x ·x+ x·4+(-3) ·x (-3) ·4= x2+4x+(-3x)+(- 12)=x2+4x-3x-12=x2+x-12 Ejemplo 2: (?+3)(?2+2?+1) Solución: (x+3)(x2+2x+1)=x·x2+x·2+x·1+3·x2+3·2x+3·1=x3+2x2+x+3x2 +6x+3=x·x División algebraica La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que la división aritmética, asi que hay 2 expresiones algebraicas, p(x) dividendo y q(y) siendo el divisor, de modo que el grado de p(x) sea mayor o iguale el 0 siempre hallaremos expresiones algebraicas dividiéndose. División de monomios La división de un monomio entre monomio es muy simple, la parte numérica se efectúa mediante una división común (visto en aritmética) y la parte de las letras se aplica la regla de los exponentes. Ejemplo 1: Multiplicar los siguientes monomios (5x³y) × (- 3y4 z) Recordando la propiedad de la potencia na × nb = na + b , tenemos:
- 11. (5x³y) × (- 3y4 z) = – 15x3 y5 z Ejemplo 2: Realizar la siguiente división de monomios (8x3 y3 z4 t) ÷ (-2xy2 z2 ) Recordando las propiedades de potencias na × nb = na + b y 1/na = n-a , tenemos: (8x3 y3 z4 t) ÷ (-2xy2 z2 ) = -4x2 yz2 t División de polinomios Para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario seguir los siguientes pasos. 1.-Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y alfabetico 2.-Se divide el primer termino del dividendo entre el primer término del divisor. 3.-Se multiplica el primer termino del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo. 4.-Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor exponente que el dividendo Ejemplo 1: Resutlado -15x2+22xy-8y2/ -3x+2y= 5x-4y Ejemplo 2: 2x3 +72 +10x+8 X+2
- 12. Producto Notable En matemáticas, un producto corresponde al resultado que se obtiene al realizar una multiplicación. Sabemos que algo es notable cuando nos llama la atención o destaca entre un grupo de cosas. Entonces, los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso. Ejemplo 1: Binomio al cuadrado m + n)² = m² + 2mn + n² Dicho producto notable refiere que el cuadrado de la suma de m y n es igual al cuadrado de m más dos veces m multiplicado por n más el cuadrado de n. Lo podemos comprobar reemplazando los términos por valores numéricos: (2 + 4)² = 2² + 2 x 2 x 4 + 4² 6²= 4 + 16 + 16 36 = 36 Ejemplo 2: Binomio al cubo Resolver (2x+3y)3(2x+3y)3 Solución: (2x+3y)3=(2x)3+3(2x)2 (3y)+3(2x)(3y)2 +(2x)3 =4x3+3(4x2 )(3y)+3(2x)(9y2 )+8y3 =4x3 + 36x2 y + 54xy2 + 8y3
- 13. Factorización por productos notables Factorización: Es el proceso algebraico por medio del cual se una suma o resta de términos algebraicos a un producto algebraico. También se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de producto notables. Reglas para obtener el factor común de un polinomio: 1. Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes 2. Se identifican las literales con menor exponente que se repitan en cada uno de los términos algebraicos del polinomio a factorizar. Ejemplo de factorización por agrupación: En la factorización por agrupación no todos los elementos del polinomio comparten un factor común, por lo que se debe identificar primero los grupos de elementos que si comparten términos comunes y después factorizar cada grupo de elementos. Ejemplo: