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Números Complejos
Circuitos Eléctricos II
Definición
La unidad imaginaria j se define como la solución positiva
de la ecuación j2
+ 1 = 0.
Es decir,
1−=j
De la defi...
Un número imaginario puro es el producto de un número real y
la unidad imaginaria.
Por ejemplo: j5, – j3.5, j7 x 10–5
.
Un...
Un número real es un número complejo cuya parte
imaginaria es cero.
Los número complejos se
pueden representar en el plano...
Definición de igualdad
Dos número complejos son iguales si y solo si las partes reales
son iguales y las partes imaginaria...
Operaciones con complejos
Suma: (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
Resta: (a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b –
d)
M...
El conjugado de un número complejo A = a + jb se define
como A* = a – jb.
Con esta definición podemos calcular el cociente...
Tarea #1
Sean A = –4 + j5, B = 3 – j2, C = –6 – j5; determine
a) C – B
b) –3B* +5C
c) j5
C2
(A + B)*
d) B Re[A] + A Re[B]
...
Identidad de Euler
Las funciones sen θ, cos θ y ez
, se pueden desarrollar en
series de potencias como:
...
!5!4!3!2!1
1
....
comparando con las series para seno y coseno se concluye
que
e jθ
= cos θ + jsen θ
es fácil mostrar que
cos θ = ½(e jθ
+ e...
Forma exponencial
Multiplicamos e jθ
= cos θ + jsen θ por C
Ce jθ
= Ccos θ + jCsen θ
La segunda parte de la igualdad repre...
Tarea #2
Exprese los siguientes números complejos en forma exponencial utilizando
un ángulo en el intervalo de –180° a 180...
La forma polar
La forma compleja A = Ce jθ
se puede abreviar como A= C∠θ.
Por ejemplo el número A = –2 + j5 puede escribir...
Relación entre las 3 formas
La siguiente fórmula resume las tres formas de complejos
)/(tan
]Im[]Re[
122
)/(tan22 1
abba
e...
Tarea #3
Exprese el resultados de cada una de esta manipulaciones de
números complejos en forma polar, utilizando seis cif...
Comandos de Matlab para complejos
complex(a,b) – regresa el complejo a
+jb
imag(c) – regresa Im[c]
conj(c) – regresa c*
an...
Ejemplos
Tarea #1
A = 4 + 5j, B = 3 – 2j, C = -6 – 5j;
% a) C - B
C - B
% b) -3B* +5C
-3*conj(B) + 5 * C
% c) j5
C2
(A + B...
Ejemplos
A = -18.5 - 26j
abs(A)
angle(A)*180/pi
A = 17.9 - 12.2j
abs(A)
angle(A)*180/pi
A = -21.6 + 31.2j
abs(A)
angle(A)*...
Tarea #4
1. Resuelva los siguientes problemas en Matlab
a) Z + 2j = 3/Z
b) Z = 2*ln(2 – 3j)
c) sen Z = 3
d) tan Z = 2j
2. ...
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Numeros complejos

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Numeros complejos

  1. 1. Números Complejos Circuitos Eléctricos II
  2. 2. Definición La unidad imaginaria j se define como la solución positiva de la ecuación j2 + 1 = 0. Es decir, 1−=j De la definición se tiene que, j2 = –1 j3 = j j2 = –j j4 = j2 j2 = (–1) (–1) = 1 etcétera
  3. 3. Un número imaginario puro es el producto de un número real y la unidad imaginaria. Por ejemplo: j5, – j3.5, j7 x 10–5 . Un número complejo es la suma de un número imaginario puro y un número real. En general será de la forma A = a + jb. Utilizaremos el tipo negrita para los números complejos, al escribirlos a mano se usará una barra sobre la letra. En el número A = a + jb, a es la parte real de A y b es la parte imaginaria de A. Estas se designan por a = Re[A] y b = Im[A].
  4. 4. Un número real es un número complejo cuya parte imaginaria es cero. Los número complejos se pueden representar en el plano utilizando el eje horizontal para la parte real y el vertical para la parte imaginaria. A esta representación se le llama diagrama de Argand. En la figura se representan los números complejos A = 3 – j2 y B = –4 + j3.
  5. 5. Definición de igualdad Dos número complejos son iguales si y solo si las partes reales son iguales y las partes imaginarias son iguales. Es decir, Si A = a + jb y B= c + jd A = B implica a = c y b = d
  6. 6. Operaciones con complejos Suma: (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) Resta: (a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b – d) Multiplicación: (a + jb)(c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad)
  7. 7. El conjugado de un número complejo A = a + jb se define como A* = a – jb. Con esta definición podemos calcular el cociente de dos complejos A = a + jb y B= c + jd como A/B = (AB*)/(BB*) División: (a + jb)/(c + jd) = ((ac + bd) + j(bc – ad))/(c2 + d2 )
  8. 8. Tarea #1 Sean A = –4 + j5, B = 3 – j2, C = –6 – j5; determine a) C – B b) –3B* +5C c) j5 C2 (A + B)* d) B Re[A] + A Re[B] e) (A + B)/(C – B)
  9. 9. Identidad de Euler Las funciones sen θ, cos θ y ez , se pueden desarrollar en series de potencias como: ... !5!4!3!2!1 1 ... !6!4!2 1cos ... !7!5!3 sen 5432 642 753 zzzzz ez +++++= + θ − θ + θ −=θ + θ − θ + θ −θ=θ haciendo z = jθ, se obtiene ... !4!3!2!1 1 432 θ + θ − θ − θ +=θ jje j
  10. 10. comparando con las series para seno y coseno se concluye que e jθ = cos θ + jsen θ es fácil mostrar que cos θ = ½(e jθ + e– jθ ) sen θ = −j ½(e jθ – e– jθ )
  11. 11. Forma exponencial Multiplicamos e jθ = cos θ + jsen θ por C Ce jθ = Ccos θ + jCsen θ La segunda parte de la igualdad representa un número complejo A = a + jb. Es fácil ver que a2 + b2 = C2 o 22 baC ++= También b/a = tan θ o θ = tan–1 b/a También A = Ce jθ
  12. 12. Tarea #2 Exprese los siguientes números complejos en forma exponencial utilizando un ángulo en el intervalo de –180° a 180° a) –18.5 – j26 b) 17.9 – j12.2 c) –21.6 + j31.2 Exprese cada uno de los números complejos en forma rectangular a) 61.2e–j111.1° b) –36.2ej108° c) 5e–j2.5 ojo el ángulo está en radianes
  13. 13. La forma polar La forma compleja A = Ce jθ se puede abreviar como A= C∠θ. Por ejemplo el número A = –2 + j5 puede escribirse como 5.39∠111.8º. La multiplicación y división de complejos es más simple utilizando la forma polar. Sea A = Ce jθ = C∠θ y B = De jφ = D∠φ, entonces (A)(B) = (C∠θ)(D∠φ) = CD ∠θ+φ (A)/(B) = (C∠θ)/(D∠φ) = C/D ∠θ−φ
  14. 14. Relación entre las 3 formas La siguiente fórmula resume las tres formas de complejos )/(tan ]Im[]Re[ 122 )/(tan22 1 abba ebaCejjba abjj − θ ∠+= +==+=+= − AAA
  15. 15. Tarea #3 Exprese el resultados de cada una de esta manipulaciones de números complejos en forma polar, utilizando seis cifras significativas, solo por disfrutar del cálculo: a) (3.44∠25°*8.04∠–46°)/4.5∠56° b) [2 – (1∠–41°)]/(0.3∠41°) c) 50/(2.87∠83.6°+5.16∠63.2°) d) 4∠18° – 6∠–75° + 5∠28°
  16. 16. Comandos de Matlab para complejos complex(a,b) – regresa el complejo a +jb imag(c) – regresa Im[c] conj(c) – regresa c* angle(c) – regresa el angulo de fase abs(c) – regresa la magnitud de c real(c) – regresa Re[c] isreal(c) – regresa 1 si la parte imaginaria de c es 0
  17. 17. Ejemplos Tarea #1 A = 4 + 5j, B = 3 – 2j, C = -6 – 5j; % a) C - B C - B % b) -3B* +5C -3*conj(B) + 5 * C % c) j5 C2 (A + B)* j^5*C^2*conj(A + B) % d) B Re[A] + A Re[B] B*real(A) + A*real(B) % e) (A + B)/(C - B) (A + B)/(C - B) Resultados -9.0000 - 3.0000i -39.0000 -31.0000i -3.8700e+002 +2.5700e+002i 24.0000 + 7.0000i -0.8000 - 0.0667i
  18. 18. Ejemplos A = -18.5 - 26j abs(A) angle(A)*180/pi A = 17.9 - 12.2j abs(A) angle(A)*180/pi A = -21.6 + 31.2j abs(A) angle(A)*180/pi complex(61.2*cos(-111.1*pi/180),61.2*sin(-111.1*pi/180)) complex(-36.2*cos(108*pi/180),-36.2*sin(108*pi/180)) complex(5*cos(2.5),5*sin(2.5)) 31.9100 -125.4333 21.6622 -34.2769 37.9473 124.6952 -22.0318 -57.0968i 11.1864 -34.4282i -4.0057 + 2.9924i
  19. 19. Tarea #4 1. Resuelva los siguientes problemas en Matlab a) Z + 2j = 3/Z b) Z = 2*ln(2 – 3j) c) sen Z = 3 d) tan Z = 2j 2. Escriba una función en Matlab que acepte un complejo y lo despliegue en forma polar. 3. Utilice la función que definió para mostrar los resultados del problema 1 en forma polar.

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