razones y proporciones

1. RAZONES Y PROPORCIONES

2. RAZÓN PROPORCIÓN
 Es el resultado de
comparar dos
cantidades por medio
de una diferencia o por
medio de un cociente.
 Ejemplo:
 Es la comparación de
dos razones iguales ya
sean aritméticas o
geométricas.
 Ejemplo:
136
4
20
136 114
12
4
6
2


3. RAZÓN ARITMÉTICA RAZÓN GEOMÉTRICA
 Es la diferencia de dos
cantidades.
 Ejemplo:
La razón aritmética de
6 y 4 es:
 Donde:
6 es el antecedente
4 es el consecuente
 Es el cociente de dos
cantidades.
 Ejemplo:
La razón geométrica
de 8 y 4 es:
8
4
 Donde:
8 es el antecedente
4 es el consecuente
64

4.  Es la igualdad de dos
razones aritméticas.
 Ejemplo:
 Donde:
9 y 8 son extremos
7 y 10 son medios
 Es la igualdad de dos
razones geométricas.
 Ejemplo:
3
1
 Donde:
1 y 6 son extremos
2 y 3 son medios
PROPORCIONALIDAD
ARITMÉTICA
PROPORCIONALIDAD
GEOMÉTRICA
97 108
6
2


5.  En toda proporción
aritmética la suma de
los extremos es igual a
la suma de los medios.
 En el ejemplo anterior:
9 – 7 = 10 - 8
9 + 8 = 7 + 10
 En general:
Si a - b = c – d
Entonces: a + d = b + c
 En toda proporción
geométrica el producto
de los extremos es igual
al producto de los
medios.
 En el ejemplo anterior:
3
6
1
16 23
 En general:
Si
a
Entonces:
c
d
b

ad   bc
2


6. Proporciones aritméticas Proporciones geométricas
 Pueden ser:
• Discretas: cuando sus
medios no son iguales.
Ejemplo:
15 – 10 = 12 – 7
• Continuas: cuando sus
medios son iguales.
Ejemplo:
28 – 21 = 21 - 14
 Pueden ser:
• Discretas: cuando sus
medios no son iguales.
 Ejemplo:
• Continuas: cuando sus
medios son iguales.
 Ejemplo:

7. MEDIA PROPORCIONAL:
 Es cada uno de los términos medios de una
proporción geométrica continua.
 En el ejemplo anterior:
4 es la media proporcional
 La media proporcional es igual a la raíz cuadrada
del producto de los extremos.
Si entonces:
116  14 4
Si entonces

8. CUARTA PROPORCIONAL:
 Es cualquiera de los cuatro términos de una
proporción geométrica discreta.
 Ejemplo:
Halla una cuarta proporcional entre 4; 8 y 5
x 10

9. TERCERA PROPORCIONAL:
 Es el primer o cuarto término de una proporción
geométrica continua.
a y c son tercera proporcional
 Ejemplo:
Halla una tercera proporcional entre 9 y 4

10. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES
 Primera propiedad:
En una serie de razones iguales la suma de los
antecedentes dividida entre la suma de los
consecuentes es igual a la razón de la
proporcionalidad.
k
a
   ...  n 
b
a
3
b
a
b
a
1
b
n
3
2
2
1
k
a  a  a  ...

a
1 2 3
b b b b
n 
n
   

...
1 2 3

11. SERIE DE GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
 Segunda propiedad:
La razón geométrica entre el producto de los
antecedentes y el producto de los consecuentes posee
un valor igual a la constante de proporcionalidad
elevada a un exponente igual al número de razones que
conforman la serie.
k
a
   ...  n 
b
a
3
b
a
b
a
1
b
Si
n
3
2
2
1
n
n k
a . a . a . ... .
a
1 2 3
 
b b b b
n
. . . ... .
1 2 3

12. SERIE DE GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
 Tercera propiedad :
La razón geométrica entre la suma de las potencias de
exponente “m” de los antecedentes y la suma de las
potencias de exponente “m” de los consecuentes posee
un valor igual a la constante de proporcionalidad
elevada al exponente “m”.
k
a
   ...  n 
b
a
3
b
a
b
a
1
b
Si
n
3
2
2
1
m
a a a a
m
n
   
1 2 3
m m m
m
n
m m m
k
...
b b b b

   

...
1 2 3