2. POLIGONO
En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una
secuencia limitada desegmentos rectos consecutivos que cierran
una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los
puntos en que se intersectan se llaman vértices. El interior del
polígono es llamado área.
3. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para
cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se
denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se denomina polícoro.
Dos definiciones
Conjunto unidimensional Sobre todo en los textos de geometría escolar algunos enfocan
como una unión de segmentos de recta:
Un polígono P en el plano es un conjunto de n puntos p1,
..., pn llamados vértices y n segmentos de recta llamados lados tales que:
Los puntos extremos de los lados son vértices del polígono.
Todo vértice del polígono está exactamente en la intersección de dos lados.
Dos lados que se intersecan en un vértice v se llaman lados consecutivos.
Un polígono P se llama polígono simple si dos lados no consecutivos no se intersecan.
4. La palabra polígono viene del griego polígono. De polys que significa muchos y de gonia
que significa ángulos.
Digamos que que la “traducción” mas precisa de la palabra polígono seria “figura que
tiene muchos ángulos”
Para nombrar los polígonos se nombran sus vértices en forma ordenada según el giro de
las manecillas del reloj, o bien, en sentido contrario. Otra forma de nombrar a los
polígonos es con la abreviación Poly seguido un numero.
E
F
D
C
Polígono ABCDEFA, o
Polígono AFEDCBA
1
Poly 1
5. NOTACION Y CLASIFICACION
NOTACIÓN: Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en lo vértices
del mismo, después de la palabra “Polígono”.
En un polígono hay que considerar:
LADOS: Son las rectas que limitan al polígono.
ÁNGULOS INTERNOS: Son los formados por los lados consecutivos.
ÁNGULOS EXTERNOS: Son los formados por un lado y la prolongación de lado adyacente.
VÉRTICES: Son los extremos comunes de cada dos segmentos consecutivos.
DIAGONALES: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos del polígono.
6. POLIGONAL, ABIERTA: Son los segmentos que no pertenece a una misma recta
POLIGONAL CERRADA: Es una poligonal en la que el extremo del último segmento y el
origen del primero coinciden.
7. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Según el carácter entrante o saliente de los ángulos del polígono se distingue lo siguiente:
a) POLÍGONOS CONVEXOS: Cuando tienen todos sus lados salientes, es decir, tienen todos
sus ángulos menores que 180°.
8. b) POLÍGONOS CONCAVOS: Cuando tienen algún ángulo entrante, es decir, uno ó más de
sus ángulos interiores son mayores de 180
Según la regularidad de sus elementos se distingue lo siguiente:
a) POLÍGONOS REGULARES: Son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales.
9. b) POLÍGONO IRREGULAR: Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales.
Según el número de lados, algunos polígonos reciben nombres específicos.
10.
11. Nombre Número de lados
No existe 1
No existe 2
Triángulo 3
Cuadrado 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octógono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Clasificación
Veamos ahora la clasificación de los polígonos regulares según su número de lados:
12. ANGULOS INTERIORES Y EXTERIORES
Ángulo interior
Un triángulo tiene tres ángulos interiores, denominados en la figura: α, β, γ.
En geometría, un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un
polígono que comparten un vértice común, está contenido dentro del polígono. Un polígono
simple tiene sólo un ángulo interno por cada vértice y está situado del lado opuesto del
polígono.
En el plano euclídeo, si todos los ángulos interiores de un polígono no superan los 180 grados
sexagesimales o radianes, se clasifican como polígonos convexos. Si existe por lo menos un
ángulo superior a 180 grados o radianes, se trata de un polígono cóncavo.
13. En el plano euclídeo, si todos los ángulos interiores de un polígono no superan los 180 grados
sexagesimales o radianes, se clasifican como polígonos convexos. Si existe por lo menos un ángulo
superior a 180 grados o radianes, se trata de un polígono cóncavo.
En un polígono de n lados, o n ángulos interiores :
Ángulo exterior de un polígono
Los ángulos β, β', δ y δ' son ángulos exteriores de
este hexágono irregular. Los ángulos α y β son suplementarios. Como β
= β', también son suplementarios α y β'.
En geometría, un ángulo exterior o ángulo externo a un polígono es
el ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado
adyacente.
14. En cada vértice de un polígono es posible identificar dos ángulos exteriores, que poseen la
misma amplitud. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior que comparte
el mismo vértice, por tanto solo tiene sentido cuando el ángulo interior es menor a . 180
grados
Dado un ángulo interior, , el valor del ángulo exterior adyacente será:
15. DIAGONALES.
Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
El número de diagonales (D) viene determinado por el número de lados (N) que tiene
el polígono. Su fórmula es:
16. Ejemplos
Un cuadrado tiene 4 lados. Se aplica la fórmula para comprobar el número de
diagonales:
El cuadrado tiene dos diagonales. Si la longitud de los lados son conocidos, se puede
calcular la longitud de las diagonales
17. Un hexágono tiene 6 costados. Si se aplica la fórmula se puede saber
el número de diagonales:
El hexágono tiene 9 diagonales
18. PERIMETROS Y AREAS.
1- Polígonos
En primer lugar veremos lo relacionado con los polígonos.
El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y su área es
la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.
19.
20. 2- Área y perímetro del triángulo
- Cálculo del perímetro
Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados.
P = a + b + c
Recuerda:
- El perímetro de un triángulo escaleno (todos los lados distinta medida) de lados a, b y c se
puede calcular utilizando la siguiente fórmula:
P = a + b + c
21. - El perímetro de un triángulo isósceles (dos lados igual medida) de lados a y base b se puede
calcular utilizando la siguiente fórmula:
P = a + a + b, es decir,
P = 2 • a + b
- El perímetro de un triángulo equilátero (todos los lados igual medida) de lado a se puede
calcular utilizando la siguiente fórmula:
P = a + a + a, es decir,
P = 3 • a
- Cálculo del área
Es el producto de uno de sus lados por la altura correspondiente a él, dividido por dos.
22. 3- Área y perímetro del cuadrado
- Cálculo del perímerto
Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados
P = a + a + a + a, es decir,
P = 4 • a
- Cálculo del área
Para calcular el área de un cadrado multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo
por su ancho.
A = lado x lado = lado2
A = a • a
A = a2 A = a2
23. TEOREMAS.
POLÍGONO.- Es una porción de plano limitada por una curva cerrada llamada “línea
poligonal”.
POLÍGONO CONVEXO.- Aquellos que tienen su línea poligonal respecto a una curva
exterior.
POLIGONO CÓNCAVO.- Esta formado por una línea cóncava que tiende a una curvatura
hacia adentro.
24. POLÍGONO REGULAR.- Es el que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales,
es equilátero y es equiángulo.
DIAGONAL.- Segmento determinado por dos vértices no consecutivos.
25. CENTRO.- Se refiere al punto central de las circunferencias circunscrita e inscrita en
polígonos regulares.
RADIO.- Segmento que une el centro del polígono con un vértice, es también el radio de la
circunferencia circunscrita.
26. APOTEMA.- Segmento que une el centro del polígono perpendicularmente con cualquier
lado, es también el radio de la circunferencia inscrita.
ÁNGULO CENTRAL.- Es el ángulo formado por los radios correspondientes (dos
vértices consecutivos).
27. FÓRMULAS SOBRE TEOREMAS DE POLÍGONOS”.
✿ Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2),
donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.
EJEMPLO:
• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular.
Suma de ángulos interiores = 180(n-2)
Suma de ángulos interiores = 180(5-2)
Suma de ángulos interiores = 180(3)
Suma de ángulos interiores = 540°.
28. Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser
regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de
los ángulos interiores entre “n”.
Ángulo interior = 180(n-2)
n
EJEMPLO:
• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular.
Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156°
n 15 15 15
✿ Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.
Ángulo exterior = 360°
n
