2. Sumario
•Relações Metricas na Circunferencia
- Introdução
•Funções do 1° Grau
- Introdução
- Aplicação
Equações 2° Grau
- Introdução
- Formula de Bhaskara
- Aplicação
Noções Financeiras
- Conceito
- Noções Basicas
Area das Figuras Planas e Volume
- Introdução
- Formulas
•Noções de estatistica
- Introdução
- Oque e estatistica
- Medidas de dispersão
- Amplitude total ou Range
- Desvio Relativo
- Desvio Medio Absoluto
- Desvio Padrão
- Variancia
- Coeficiente de variação
3. Introdução
A palavra Estatística vem de status e, na antigüidade,
referiam-se as informações sobre terras, proprietários, uso
da terra, empregados, animais, e etc., ou seja, o registro
de número de habitantes e riquezas individuais, servindo
aos interesses do Estado (base para o cálculo de
impostos). No início do século XVIII, a palavra estatística
foi cunhada pelo alemão Gottfried Achenwal, que definiu o
objeto material e formal da Estatística e, por essa razão,
foi denominado o “pai da Estatística”.
O que e estatistica
Estatística é um conjunto de métodos usados para se
analisar dados. A Estatística pode ser aplicada em
praticamente todas as áreas do conhecimento
humano e em algumas áreas recebe um nome
especial. Este é o caso da Bioestatística, que trata de
aplicações da Estatística em Ciências Biológicas e da
Saúde.
4. Medidas de dispersão
São medidas obtidas de uma amostra de números que caracterizam um afastamento ou uma
aproximação dos dados em torno da média.
Exemplo:
Às vésperas de uma partida decisiva, o técnico de uma equipe de basquetebol prepara a escalação da
equipe e depara-se com a seguinte dúvida: escalar o jogador A ou o jogador B, sendo que ambos estão
em boas condições físicas. Para decidir, estuda os últimos cinco jogos de que participou o jogador A e
os últimos cinco jogos de que participou o jogador B e percebe que A e B tem a mesma média de
pontos por jogo. A decisão do técnico pode ser tomada apenas com essa informação?
Veremos que tal informação não é suficiente para essa tomada de decisão, pois duas amostras de
números x1, x2, x3, ... , xn e y1, y2, y3, ..., yn podem ter a mesma média aritmética e, no entanto,
apresentar características muito diferentes.
As medidas de dispersão dividem- se em:
Amplitude Total ou Range de uma distribuição
Desvio Relativo
Desvio Médio Absoluto
Desvio Padrão
Variância
Coeficiente de variação
5. Funções do 1° Grau
A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b,
onde a e b são números reais e a é diferente de 0.
Lei da Função
Toda função é definida por
uma lei de formação, no
caso de uma função do 1º
grau a lei de formação será
a seguinte: y = ax + b, onde
a e b são números reais e
a ≠ 0.
Esse tipo de função deve
ser dos Reais para os
Reais.
Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma
dependente da outra, isto é, para cada valor
atribuído a x corresponde um valor para y.
Definimos essa dependência como função,
nesse caso, y está em função de x. O conjunto
de valores conferidos a x deve ser chamado de
domínio da função e os valores de y são a
imagem da função.
Exemplo
6. Funções do 1º Grau
Função Crescente Função Decrescente
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os
valores correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os
valores correspondentes de y diminuem.
Representação Gráfica
A representação gráfica de uma função do 1º
grau é uma reta. Analisando a lei de
formação y = ax + b, notamos a dependência
entre x e y, e identificamos dois números: a
e b. Eles são os coeficientes da função, o
valor de a indica se a função é crescente ou
decrescente e o valor de b indica o ponto de
intersecção da função com o eixo y no plano
cartesiano. Observe:
Exemplo
7. “
Raiz ou Zero da Função
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1
y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
8. Uma função para ser do 2º grau precisa assumir
algumas características, pois ela deve ser dos reais para
os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo
que a, b e c são números reais com a diferente de zero.
Concluímos que a condição para que uma função seja
do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode
ser igual a zero.
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c,
com a Є R* e b e c Є R.
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a
equação do segundo grau será considerada incompleta.
9. Exemplos
de
Funções
do 2º Grau
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e
contradomínio.
Exemplo :
A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada
por y = – x2 + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular
alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um
valor em y, veja
Exemplo 2
Dada a função y = 2x2 + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1,
2, 3, 4.
Exemplo 3
Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
10. Noções Financeiras
Conceito
A matemática financeira tem
por objetivo estudar as
diversas formas de evolução
do valor do dinheiro no
tempo, bem como as formas
de análise e comparação de
alternativas para
aplicação / obtenção de
recursos financeiros
Elementos
Capital: é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens
comercializáveis) disponível em determinada época. Referido
montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou
principal.
Juros: é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de
um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em
dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária,
por um certo período de tempo.
Taxa de Juros: é um coeficiente que corresponde à razão entre os
juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de
tempo e o capital inicialmente empatado.
11. Continuação
Exemplo:
Capital Inicial : $ 100
Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50
Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período
a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo
(dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual
ou unitária.
Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na
aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária
( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100: 5 % / 100 = 0.05
Montante: denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do
Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).
Capital Inicial = $ 100
+ Juros = $ 50
= Montante = $ 150
12. Continuação
Regimes de Capitalização: quando um capital é emprestado ou
investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo,
o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de
capitalização de juros: • capitalização simples; • capitalização
composta;
Capitalização Simples: somente o capital inicial rende juros, ou seja,
os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao
longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros.
Capitalização Composta: os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do
período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente. Comparando-
se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros
são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto; Salvo
aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.
No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente,
enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou
seja, exponencialmente.
Fluxo de Caixa: o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste
no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado
período.
13. Area das Figuras e Volume
No estudo da matematica calculamos áreas de figuras
planas e para cada figura a uma fórmula para calcular
a sua área.
As figuras mais conhecidas são:
Quadrado;
Retângulo;
Triângulo;
Paralelogramo;
Trapézio;
Losango;
Circunferência;
15. Relações
métricas na
circunferência
Introdução
A circunferência possui algumas importantes relações métricas
envolvendo segmentos internos, secantes e tangentes. Através dessas
relações obtemos as medidas procuradas.
Cruzamento entre duas cordas
O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos
proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma
corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda.
Observe:
AP * PC = BP * PD
Exemplo
x * 6 = 24 *
8
6x = 192
x = 192/6
x = 32
16. Continuação
Dois segmentos secantes partindo de um mesmo ponto
Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo
de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela medida de sua
parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de
sua parte externa. Observe:
RP * RQ = RT * RS
Exemplo
x * (42 + x) = 10 * (30 + 10)
x2 + 42x = 400
x2 + 42x – 400 = 0
17. Exemplo
x * (42 + x) = 10 * (30 + 10)
x2 + 42x = 400
x2 + 42x – 400 = 0
Continuação
Continuação
Aplicando a forma resolutiva de uma equação do 2º
grau:
Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como
estamos trabalhando com medidas, devemos
considerar somente o valor positivo x = 8.
18. Continuação
Continuação
Segmento secante e segmento tangente partindo de um mesmo ponto
Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à
multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte
externa.
(PQ)2 = PS * PR
Exemplo
x2 = 6 * (18 + 6)
x2 = 6 * 24
x2 = 144
√x2 = √144
x = 12
