1. Módulo 3:
Teoria dos Conjuntos
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
•Professor Ulrich Schiel

2. Teoria dos Conjuntos
Conjunto
Uma coleção não-ordenada de objetos.
Ex.:
A = {Ana, Paulo, Maria, Jorge}
B = {5, 7, 3}
C = {buchada, anjinho, tapioca}
Z = {..., -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Notação:
letras maiúsculas para denotar conjuntos: A, B, Z
letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos:
Ana ∈ A, x ∈ B, 5 ∈ B e 5 ∈Z, 4 ∉B.

3. Como descrever conjuntos?
1. Listando (total ou parcialmente) os elementos:
B = {5, 7, 3} Z = {..., -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
2. Usando indução (recursão) para descrever como gerar os elementos do
conjunto:
1. 2 ∈ P
2. se n ∈ P, então n+2 ∈ P 2. se n ∈ N, então n+1 ∈ N
3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize seus elementos:
C = {x : x é uma sequência de duas letras do alfabeto}
P = {x : x é inteiro e divisível por 2}
A = {x : x é aluno de Matemática Discreta no período corrente}
T = {x : x é um nome de mês com exatamente 30 dias}
E = {x: x ∈ N e x < 0}
F = {x : x ≠ x}

4. Um conjunto singular
• Os conjuntos E e F abaixo têm uma característica
comum interessante:
E = {x: x ∈ N e x < 0}
F = {x : x ≠ x}
• Não têm elementos.
• E = F = {} = ∅ (o conjunto vazio)

5. Um paradoxo e suas consequências
• Existem coleções que não são conjuntos?
• Cantor/Frege: C = {x / P(x)}
• Paradoxo de Russel (1901): C = {x / x ∉ x)}
Consequências:
• Russel & Whitehead Principia Mathematica
• Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel: “Nenhum conjunto contém a si
mesmo”
• Gödel: Incompletude da matemática “Não existe uma teoria completa e
consistente da aritmética elementar”
• Turing: Indecidabilidade do problema da parada
• Church/Turing: Decidabilidade (Entscheidungsproblem): “Não existe um
algoritmo para decidir se uma expressão lógica qualquer é verdadeira ou falsa”
• Paradoxo do barbeiro: Um barbeiro que faz a barba de todos de
seu bairro que não se barbeiam a si mesmo

6. Cardinalidade
• Os conjuntos abaixo diferem radicalmente com relação à
“quantidade” de seus elementos:
T = {x : x é um nome de mês com exatamente 30 dias}
P = {x : x é par}
• T é finito e P é infinito.
→ A cardinalidade de um conjunto A, denotada por |A|, expressa
o número de elementos do conjunto (se ele é finito) ou sua
“ordem de grandeza” (se ele é infinito).
Ex.: |T| = 4 |∅| = 0
|P| = |Z| = |Q| = ℵ0
|R| = 2 ℵ0
= c

7. Relações entre conjuntos
• Que relação existe entre os seguintes conjuntos:
A = {2, 3, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 7} ?
• R.: todo elemento de A é elemento de B.
• Um conjunto A é dito ser subconjunto de um conjunto B, denotado
por A⊆ B, se, e somente se, todo elemento de A também é elemento
de B. Diz-se que A está contido em B
• Se A ⊆ B e |A| < |B| então A é um subconjunto próprio de B (A⊂B)
• Qual a relação entre o número 2, o conjunto {2} e o conjunto A
acima?
• Pertinência: 2 ∈ A (2 pertence a A) e 2 ∈ {2} (2 pertence a {2})
• Continência: {2} ⊆ A ({2} está contido em a A)

8. Relações entre conjuntos
• DISTINÇÃO ENTRE pertinência E continência
• Em um ambiente de classes e instâncias.
• Uma classe A é uma subclasse de B, (A ⊆ B)
• Um objeto o é uma instância de uma classe A (o ∈ A)
• EXERCÍCIO: quais as relações entre
- ‘Brunna’, Alunos de MD, Alunos do CCC e
Frequentadores da sala CAA304.

9. Exercício
Sejam A, B e C os seguintes conjuntos:
A = {∅, 1, 7, 9, 15}
B = {7, 9}
C = {7, 9, 15, 20, {9}, B}
Verifique que:
B ⊆C
B ⊆A
A ⊄C
{9,{9}} ⊆ C
∅ ⊆A ∅ ∈ A

10. Igualdade de Conjuntos
→ Dois conjuntos A e B são iguais, A = B, se, e
somente se, A ⊆ B e B ⊆ A.
• Exercícios:
1. Mostre que as relações = e ⊆ são transitivas.
2. Mostre que as relações = e ⊆ são reflexivas.
3. Mostre que a relação = e ⊆ não é simétrica.
4. Mostre que a relação = é simétrica.

11. Conjunto das partes
Conjunto das partes (potência)
→ Seja S um conjunto qualquer. Então, o conjunto das partes de S,
denotado por P(S) ou 2S
, é o conjunto formado por todos os
subconjuntos de S.
Ex.: Seja S = {1, 2}. Então, P(S) = {{1}, {2}, {1,2}, ∅}
→ Seja S um conjunto qualquer com cardinalidade |S| = n. Então, |P(S)| =
2n
.
Ex.: S = {1, 2} P(S) = {{1}, {2}, {1,2}, ∅}
|S| = 2 |P(S)| = 4 = 22
.
S = ∅ P(S) = P(∅) = {∅}
|S| = 0 |P(S)| = 1 = 20
.
OBSERVAÇÃO: Para todo conjunto C, |P(C)| > |C| (diagonalização de Cantor)
Logo |P(Z)| > |Z| e ℵ0 < 2 ℵ0
= c = |R|

12. Operações sobre Conjuntos
• Seja S o conjunto de todos os alunos da UFCG.
• Então, qualquer conjunto de alunos da UFCG é um
elemento de P(S).
• Seja A = {alunos do curso de computação} e
• seja B = {alunos do curso de engenharia elétrica}
• Seja MD = {alunos do curso de Matemática Discreta}
• Então, A, B e MD pertencem a P(S),
• Temos MD ⊆ A, A ⊆ S e B ⊆ S e
• MD ∈ P(S), A ∈ P(S) e B ∈ P(S).
• O conjunto S é chamado de conjunto universo

13. Operações sobre Conjuntos
→ O conjunto formado por todos os alunos que fazem
computação (A) mais os que fazem elétrica (B) também
pertence à P(S) e é dito ser o conjunto união de A com B,
denotado por A∪B.
A∪B = {x: x ∈A ou x ∈B}
→ O conjunto formado por todos os alunos que fazem computação
(A) e elétrica (B) também pertence a P(S) e é dito ser o
conjunto interseção de A com B, denotado por A∩B.
A ∩ B = {x: x ∈A e x ∈B}.
→ O conjunto de todos alunos que não fazem computação (A), é o
complemento de A, denotado por A’:
A’ = {x: x ∈S e x ∉ A}

14. Operações sobre Conjuntos
→ Sejam A e B conjuntos quaisquer. A diferença de A com
relação a B, denotada por A-B, é o conjunto formado por todos
os elementos que pertencem a A e não pertencem a B
(pertencem a B’).
A-B = {x: x ∈A e x ∉B}
→ Se A e B são conjuntos e A∩B = ∅, então, A e B são ditos
serem disjuntos.
→ Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A com B,
denotado por A x B, é definido como:
A x B = {(x, y): x ∈ A e y ∈ B}
Obs. (x,y) é um par ordenado. Nota: (x,y) ≠ (y,x)
Definições de par ordenado: (x,y) = {x, {x,y}} ou (x,y) = {{x,1}, {y,2}}
Existe {x,x} ? e (x,x)? Como seria o par (2,1) na segunda notação?

15. Produto Cartesiano
A x A = A2
= {(x,y): x ∈A e y ∈A}
A x A x A = A3
= {(x,y,z): x ∈A, y ∈A e z ∈A}
A x A x...x A = {(x1,x2,...,xn): xi∈A, 1≤ i ≤n}
Ex.: Sejam A = {1,2} e B = {2,4}
A2
= {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
A x B = {(1,2), (1.4), (2,2), (2,4)}

16. Identidades Básicas
• A∪B = B∪A A∩B = B∩A
• (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B )∩C = A∩(B∩C
• A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
• A∪∅ = A A∩U = A
• A∪A’ = U A∩A’ = ∅

17. Exercício
Sejam o universo S=N (os naturais) e A, B
e C os seguintes conjuntos:
A = {x: x ≥ 5}
B = {10, 12, 16, 20}
C = {x: existe y ∈N e x = 2.y}
Quais das seguintes sentenças
são falsas (mostrar porque)?
1. B ⊆ C
2. A ⊆ C
3. {11, 12, 13} ⊆ A
4. {∅} ⊆ B
5. {x: x ∈ N e x < 20} ⊆ B
6. ∅ ∉ A
7. ∅ ⊆ A
•Calcule:
• A-B
• B-A
• P(B)
•(B ∪ C) – A
• B ∪ (C – A)
• (A’ ∪ B) - C

18. Exercício
Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que:
(A∩B’) ∪ (A’∩B) = ∅ se, e somente se, A = B.

19. Classes de Objetos ≈ Conjuntos
→ as instâncias de uma
Classe C, |C|
→ Uma classe C
→Uma generalização
CG de C1 e C2
→Uma agregação
A de A1, A2,..., An
→ Um agrupamento
AG de AE
≈
• Um conjunto CI
• Um conjunto universal C
• CG = C1 ∪ C2, e Ci ⊆ C
• A ⊆ A1 x A2x...xAn
• AG ⊆P(AE)

20. Conjuntos ≈ Classes de Objetos
→ Uma Classe C com
os atributos A1,..,An
→Uma associação
rel entre C1 e C2
→ Um método m de C
≈
• C ⊆ A1 x A2x...xAn
• rel ⊆ C1 x C2
• Uma função
m: UC → UC, tal que
m(C) = C’

21. Conjuntos Contáveis e Incontáveis
• Todo conjunto finito é contável.
• ou seja, podemos sempre designar um elemento
como o primeiro, s1, outro elemento como o segundo,
s2, e assim por diante.
• ou seja, podemos listar seus elementos na ordem
escolhida:
s1, s2, s3, ..., sn
• Esta lista representa todo o conjunto.
• Um conjunto contável é um conjunto em que
podemos associar a cada elemento um inteiro
• 1,2,3,...

22. Conjuntos Contáveis e Incontáveis
• Um conjunto infinito, também pode ser contável:
s1, s2, s3, ...
• representa todo o conjunto.
• Ex.: o conjunto dos naturais, N. Podemos indicar o
primeiro elemento, o segundo elemento, o terceiro
elemento, etc. :
0, 1, 2, 3,...
• A operação sucessor(x) = x+1

23. Conjuntos Contáveis e Incontáveis
→Um conjunto infinito contável chama-se enumerável
(ou denumerável).
• Assim, para se mostrar que um conjunto é
enumerável precisamos exibir um esquema de
listagem ou enumeração de todos os seus
elementos.
• Ex.: o conjunto Q+ dos números racionais positivos é
enumerável.

24. Q+ é enumerável
• Sabemos que todo racional positivo pode ser escrito como uma
fração de inteiros positivos.
• Podemos listar todas essas frações da seguinte forma:
• as que têm numerador 1 na primeira linha, as que têm
numerador 2 na segunda linha, e assim por diante:
1/1 1/2 1/3 1/4...
2/1 2/2 2/3 2/4...
3/1 3/2 3/3 3/4...
4/1 4/2 4/3 4/4...
. . . . ...
. . . . ...
• Podemos traçar uma linha que passe por toda a matriz,
começando no 1/1; e em seguida fornecer uma enumeração de
todo o conjunto. Ex.: 1/3 seria o 4o. elemento da enumeração.

25. Conjuntos Contáveis e Incontáveis
• Existem conjuntos infinitos que não podem ser
enumerados : são incontáveis/não-contáveis.
• Exemplo: o conjunto de todos os reais entre 0 e 1.

26. Prova: Os reais entre 0 e 1 não é contável
• Qualquer número real entre 0 e 1 pode ser escrito
como um número decimal: 0.d1d2d3...
onde di ∈ {0,...9}.
• Vamos assumir que o conjunto é contável. Então,
existe uma enumeração do conjunto e tal que
podemos descrevê-la da seguinte forma:
• dij é a j-ésima casa decimal do í-ésimo número da
enumeração:
0.d11d12d13... = n1
0.d21d22d23... = n2
0.d31d32d33... = n3

27. Reais entre 0 e 1 não é contável
• 0.di1di2di3... dij .. = ni
• Agora, construamos um número real p da seguinte forma:
p = 0.p1p2p3...
• pi = 5 se dii ≠ 5 e pi = 6 se dii = 5
• Portanto, p é um número real entre 0 e 1.
No entanto, p não está na enumeração!!!,
pois p ≠ ni, para todo i já que pois pi ≠ dii
• Método da diagonalização de Cantor.
• P.ex. para i=3
- se d33 = 5, p3 = 6
- Se d33 ≠ 5, p3 = 5, logo, em ambos os casos: p ≠ n3

28. Problemas de Contagem
- Quanto espaço um programa consome?
- Quantos usuários um servidor pode suportar?
- Quantas operações um determinado algoritmo
envolve? => COMPLEXIDADE DE ALGORITMOS
Se resumem em determinar quantos elementos
existem em um conjunto finito.
Parece fácil mas nem sempre se pode determinar
com facilidade uma resposta:

29. Exemplo
A uma criança é permitido escolher um entre dois confeitos (vermelho e
preto) e um entre três chicletes (amarelo, lilás e branco) diferentes. Quantos
pares diferentes de doces a criança pode ter?
Solução: decompor tarefa de escolha em duas etapas seqüenciais: a
escolha do confeito e a escolha do chiclete. A árvore abaixo ilustra a
seqüência e as possibilidades:
#pares diferentes = 2 (#confeitos diferentes) x 3 (#chicletes diferentes) = 6

30. Princípio da Multiplicação
• Se dois eventos são seqüenciados e independentes, o número
de possibilidades pode ser obtido por meio da multiplicação do
número de possibilidades do primeiro evento pelo número de
possibilidades do segundo evento, ou melhor:
• Se existem
• n1 possibilidades para um primeiro evento,
• n2 possibilidades para um segundo evento,...,
• nk possibilidades para um k-ésimo evento, então
• existem n1xn2x...xnk possibilidades para a sequência dos
eventos.

31. Exemplo
A última parte dos números dos telefones contêm 4 dígitos.
Quantos números de 4 dígitos existem?
Solução:
Podemos imaginar um número de 4 dígitos como resultado de 4
escolhas sucessivas e independentes: escolha do 1o., escolha
do 2o., escolha do 3o. e, por fim, escolha do 4o. dígito.
A escolha de qualquer desses dígitos envolve 10
possibilidades: 0, 1, 2, ..., 9.
Portanto, há 10.10.10.10 = 10.000 escolhas possíveis,
indicando que existem 10.000 números de 4 dígitos.

32. Exercícios
1. Com relação ao exemplo anterior, quantos números de 4
dígitos sem repetição existem?
1. Um jogo de computador é iniciado fazendo-se seleções em
cada um de três menus. O primeiro menu (número de
jogadores) tem quatro opções, o segundo menu (nível de
dificuldade) tem oito opções e o terceiro menu (velocidade)
tem seis opções. Com quantas configurações diferentes o jogo
pode ser iniciado?
1. Uma senha de usuário em um computador consiste em três
letras seguidas de dois dígitos. Quantas senhas diferentes são
possíveis? Considere um alfabeto de 26 letras.

33. Princípio da Adição
Suponha que desejamos escolher uma sobremesa
dentre três tortas e quatro bolos. De quantas formas
isto pode ser feito?
• Solução: Existem dois eventos: escolher uma torta
(com três possibilidades) e escolher um bolo (com
quatro possibilidades). No entanto, esses eventos são
disjuntos, ou seja, um ou outro deve acontecer, pois
desejamos apenas uma sobremesa. Então, o número
de possibilidades é o número total de opções que
temos: 3 + 4 = 7.

34. Princípio da Adição
• Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2
possibilidades, respectivamente, então o número
total de possibilidades para o evento A ou B é
n1 + n2.

35. Exemplo
• Um cliente deseja comprar um veículo de uma
concessionária que dispõe de 23 carros e 14
caminhonetas em estoque. Quantas possíveis
escolhas o cliente pode ter?
• Solução: o cliente deseja escolher um carro ou uma
caminhonete. São eventos disjuntos com 23
possibilidade de escolha de um carro e 14 de uma
caminhonete. Pelo Princípio da Adição, a escolha de
um veículo tem 23 + 14 = 27 possibilidades.

36. Exemplo composto
• Quantos números de 4 dígitos começam com 4 ou com 5?
• Solução: podemos considerar dois conjuntos disjuntos:
números que começam com 4 e números que começam com 5.
• Para a contagem do primeiro conjunto, usamos o Princípio da
Multiplicação: existe uma forma de escolher o primeiro dígito (4)
e dez maneiras de escolher cada um dos outros dígitos.
Portanto, são 1.10.10.10 = 1000 formas de escolher um número
de 4 dígitos começando com o 4.
• Para a contagem do segundo conjunto se aplica o mesmo
raciocínio dando o mesmo resultado: 1000.
• Usando agora o Princípio da Adição, podemos deduzir que
existem 1000+1000 = 2000 resultados possíveis ao todo.

37. Exercícios
1. A, B, C e D são nodos (nós) de uma rede de computadores.
Existem dois caminhos entre A e C, dois entre B e D, três
entre A e B e quatro entre C e D. Por quantos caminhos uma
mensagem de A para D pode ser enviada?
1. Um identificador em BASIC precisa ser uma letra simples ou
uma letra seguida de outra letra ou dígito. Quantos
identificadores são possíveis de serem formados?
1. Em um jantar especial existem dois aperitivos a serem
escolhidos, três entradas, o menu principal e três bebidas.
Quantos menus diferentes são possíveis se todos se servirem
do menu principal e uma bebida mas os aperitivos e entradas
são opcionais?

38. Princípio da Inclusão e da Exclusão
Seja S o conjunto universo e sejam A e B subconjuntos quaisquer de
S:
Obs.: A-B, B-A e A∩B são conjuntos mutuamente disjuntos e
A ∪B = (A-B) ∪(B-A) ∪(A∩B)
Sabemos, pelo Princípio da Adição, que se C1 e C2 são conjuntos
disjuntos então |C1∪C2| = |C1| + |C2|.
Estendendo para três conjuntos disjuntos, temos:
|A ∪B | = |(A-B) ∪(B-A) ∪(A∩B)| = |A-B| + |B-A| + |A ∩B|

39. Princípio da Inclusão e da Exclusão
|A ∪B| = |A-B| + |B-A| + |A ∩B|
Sabemos também que se A e B são conjuntos finitos, então |
A-B| = |A| - |A∩B| e |B-A| = |B| - |A∩B|.
Então, |A ∪B| = |A| - |A ∩B| + |B| - |A ∩B| + |A ∩B|
Então,
| A ∪B| = |A| + |B| - |A ∩B|
Analogamente pode-se mostrar que também vale
|A ∩B| = |A| + |B| - | A ∪B|
Ou seja, quando contamos o número de elementos da união de A com
B, precisamos contar o número de elementos em A e o número de
elementos em B, mas devemos “excluir” (subtrair) os elementos que
pertencem a A ∩B para evitar contá-los duas vezes.

40. Exemplo
• Um vendedor oferece 2 produtos e 35 pessoas compraram.
Destes 14 compraram o produto 1 e 26 o produto 2. Quantos
compraram ambos?
• Solução: Seja A o conjunto das pessoas que escolheram o
produto 1 e B o conjunto dos que escolheram o produto 2:
• | A ∪B | = 35, |A| = 14, |B| = 26
• Mas, |A∩B| = |A| +|B| - | A ∪B | = 14 + 26 – 35 = 5
• Portanto, 5 entrevistados escolheram ambos os produtos.

41. Princípio da Inclusão e da Exclusão
Estendendo para 3 conjuntos:
|A ∪B ∪C| = | A ∪ (B ∪C)|
= |A| + |B ∪C| - |A ∩ (B ∪C)|
= |A| + |B| + |C| - |B ∩C| - |(A ∩B) ∪(A ∩ C)|
= |A| + |B| + |C| - |B ∩C| - (|A ∩B| + |A∩C| - |A ∩B ∩C|)
= |A| + |B| + |C| - |A ∩B| - |A ∩C| - |B∩C| + |A ∩B ∩C|
|A ∪B ∪C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩B| - |A ∩C| - |B∩C| + |A ∩B ∩C|

42. Princípio da Casa de Pombo
Se mais do que k itens são distribuídos entre k caixas,
então pelo menos uma caixa conterá mais de um ítem.
Ex.: Quantas pessoas precisam estar nesta sala para
que pelo menos duas pessoas têm seus nomes
iniciados pela mesma letra?
Solução: Existem 26 letras no alfabeto (caixas). Se
tiverem 27 pessoas, então haverá 27 letras iniciais
(itens) que devem ser distribuídas entre as 26 caixas.

43. Exercícios
1. Quantas vezes dois dados precisam ser lançados
para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes? (Sugestão: divida as soluções em dois casos:
1. Quando os dados tiverem o mesmo valor
2. Quando os valores forem diferentes)
2. Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 são
proprietários de carros, 97 possuem bicicletas, 28 têm
motocicletas, 53 são donos de carros e bicicletas, 14 têm carros e
motocicletas, sete possuem bicicletas e motocicletas, e dois têm
todos os três.
Quantos estudantes possuem apenas bicicletas?
Quantos estudantes não têm qualquer dos três?

44. Exercícios em sala
1. Quantas vezes dois dados precisam ser lançados
para termos certeza que obtivemos algum par duas
vezes?
(Sugestão: divida as soluções em dois casos:
• Quando os dados tiverem o mesmo valor
• Quando os valores forem diferentes)
2. Em um jantar especial existem dois aperitivos,
seguidos por três entradas, o menu principal e três
bebidas. Quantos menus diferentes são possíveis
se todos se servirem do menu principal e uma
bebida mas os aperitivos e entradas são opcionais?

45. Seqüências
→ Uma seqüência ou sucessão (ou conjunto ordenado) S é
uma lista de objetos que são enumerados segundo alguma
ordem:
S = S(1), S(2), ..., S(n), S(n+1), ...
onde S(k), k≥1, denota o k-ésimo elemento de S.
Ex.: S = 2, 4, 8, 16, 32, ... e S(1) = 2 , S(2) = 4
→ As seqüências podem ser finitas ou infinitas.
Ex.: A = 1,2,3,4,5,... B = 2,4 ou (2,4)
C = b,a,n,a,n,a D = b,o,l,a ou (b,o,l,a)
→ O comprimento de uma seqüência é o número de elementos
da seqüência:
Ex.: |C| = 6 |B| = 2 |D| = 4

46. Seqüências
→ DEFINIÇÃO:
→ Uma seqüência (S, I, ρ) é dada por
→ Um conjunto S, chamado de tipo,
→ I = N ou I = [1,2,..,n] para um dado n
→ Uma função ρ: I ->S que determina a ordem dos termos
em S.
→ Notação: (s1, s2 ,.., sn, ..), com si ∈ S e ρ(i)= si
• ρ é injetiva?
• Os números reais R são uma sequência?

47. Seqüências
→ EXEMPLO:
→ Dada a sequência b a n a n a, temos
→ S = {b,a,n}
→ I = [1,2,3,4,5,6]
→ ρ: I ->S é dada por:
→ ρ(1)= bi ρ(2)= ai ρ(3)= ni ρ(4)= ai ρ(5)= ni ρ(6)= ai

48. Seqüências
→ Duas seqüências A e B são iguais, A = B, se e
somente se, seus termos respectivos são iguais, ou
seja A(1)=B(1), A(2)=B(2), ..., A(n) = B(n).
→A seqüência nula é a seqüência sem elementos ou
de comprimento igual a 0 e denotada por λ (|λ| = 0).
→Um par ordenado (de números) é uma seqüência
de comprimento igual a 2. I = [1,2] .

49. Operações com sequências/palavras
→Se u = a1a2...an e v = b1b2...bm então a concatenação
de u com v, u.v ou u||v, é definida como:
u.v = a1a2...anb1b2...bm
→Obs1.: |u.v| = |u| + |v| = n+m
→Obs2.: u0
= λ
u1
= u
u2
= u.u
un
= u.u...u

50. Operações com palavras
→ A inversa (ou reversa ou transposta) de uma
palavra é definida como:
1. λR
= λ
2. (u,a)R
= (a.u)
→ Exemplo: ‫מאטימאטיקא‬R
= ‫יטאמ‬‫יטאמ‬‫ק‬‫א‬
→ Exercício: Mostre que para todo u ∈Σ*:
1. (uR
) R
= u,
2. |uR
| = |u|
• Como seria definida uma sub-cadeia (substring)?
• E outras operações de extração, inserção de termos ou
subcadeias?

51. Seqüências – aplicações
→Teoria dos conjuntos: produto cartesiano
→Geometria analítica: para representar pontos no
plano ou no espaço.
→ Álgebra vetorial – um vetor é uma sequência de
componentes
→ Bancos de dados – uma instância de um banco de
dados é uma sequência de valores de atributos.
→ Linguística –
→Palavra = seq. de letras
→Frase = seq. de palavras
→Parágrafo = seq. de frases
→Texto = seq. de parágrafos

52. Alfabeto e Palavras
→ Um alfabeto (geralmente denotado por Σ) é qualquer conjunto
finito não vazio de símbolos (ou letras).
→ Ex.: Σ1 = {a,b,c,...,z} Σ 2 = {0,1}
→ Σ3 = Σ1 ∪ Σ 2 ∪ {!, @, #, $, %, &, *, (, ), +, ^, ~, ´, `, <, >, :, ...}
→ Ex.: Σ4 = { ‫א‬,‫ב‬,‫ג‬,‫ד‬,..,‫ש‬,‫ת‬ } =
{Aleph, Beth, Gimel , .. , Schin, Taw}
→ Uma palavra (ou cadeia de caracteres, ou string) é qualquer
seqüência finita de símbolos de um alfabeto.
→ ‫מאטימאטיקא‬ = akitamitaM (= Matimatika-1
) em Σ4
→ Ex.: b,a,n,a,n,a ou (b,a,n,a,n,a) ou banana
1,0,1 ou (1,0,1) ou 101

53. Linguagens
→ Sejam Σ0
, Σ1
, Σ2
, ..., Σk
, Σk+1
, ..., os seguintes conjuntos de
palavras no alfabeto Σ:
∀ Σ0
= { palavras w em Σ : |w| = 0}
∀ Σ1
= {palavras w em Σ : |w| = 1}
∀ Σ2
= {palavras w em Σ : |w| = 2}
∀ Σk
= {palavras w em Σ : |w| = k}
∀ Σk+1
= {palavras w em Σ : |w| = k+1}
Então, podemos definir Σ*
= Σ0
∪ Σ1
∪ Σ2
∪ ... ∪ Σk
∪ Σk+1
∪ ...
ou seja, Σ*
é o conjunto de todas as palavras em Σ.

54. Linguagens
Ex.: Σ = {0, 1}. Então, Σ*= {λ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,...}
→ Uma linguagem L em um alfabeto Σ é qualquer sub-
conjunto de Σ*, ou seja, L⊆Σ*.
→ Ex.: para Σ = {0, 1}, podemos ter
L1 = {00, 11}
→ L2 = {1, 01, 11, 001, 011, 101, 111, 0001,...}
→ L3 = {λ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,...}

55. Gramáticas
→ Uma linguagem é usada para formar frases ou
sentenças.
→ Uma sentença é uma sequência válida de palavras de
acordo com uma gramática
→ uma gramática é uma estrutura G = < Σ, L, P>
→de frases de uma linguagem L,
→de um alfabeto Σ = Σt∪Σnt de símbolos terminais (Σt) e
não-terminais (Σnt).
→definidas por um conjunto P de regras
α →β
que substituem símbolos não terminais em α por β
OBS.: As palavras em L só contém símbolos terminais

56. Gramáticas
Exemplo:.
→Sentença → frase-subst frase-verbo
→ frase-subst → artigo substantivo
→ frase-verbo → verbo advérbio
→ artigo → a
→ substantivo → vaca-marinha
→ verbo → fala
→ advérbio → espalhafatosamente | λ
• Quem seríam Σ e L neste exemplo?

57. Gramáticas
Exemplo:.
Seja a gramática G = < Σ, L, P>, com
Σ = Σt∪Σnt , Σt = {0,1}, Σnt= {S},
L= Σt* e as produções
P = { S → 0S, S → 1}
a) Quais sentenças válidas são produzidas por esta gramática?
b) E se acrescentarmos a produção S → S0?
a) As sentenças válidas são 1, 01, 001, 0001, 00001, ...
b) Agora temos 1, 01, 001, 0001, ...
e 10, 100, 1000, ...
e 010, 0010, 00010, ...
Ou seja, todas cadeias com um ‘1’ e restante ‘0’s.

58. Gramáticas
Exemplo:.
Seja a gramática G = < Σ, L, P>, com
Σ = Σt∪Σnt , Σt = {a,b,c}, Σnt= {S,B,C},
L= Σt* e as produções
P = { 1.S → aSBC, 2.S → aBC, 3.CB → BC,
4.aB →ab, 5.bB →bb, 6.bC →bc, 7.cC →cc}
As sentenças válidas em G são an
bn
cn
?
• Verificar se a2
b2
c2
é uma sentença válida
Verificação se uma cadeia pertence à linguagem

59. Gramáticas - Exercício
Exemplo:.
Seja a gramática G = <Σ , L, P>, com Σ = Σnt ∪ Σt
Σt = {0,1}, Σnt={S} e
as produções {P1: S → 0S, P2:S → S0 e P3: S → 1}
Quais sentenças válidas são produzidas por esta
gramática?
temos 1, 01, 001, 0001, ...
e 10, 100, 1000, ...
e 010, 0010, 00010, ...
Ou seja, todas cadeias com um ‘1’ e restante
‘0’s.

60. Gramáticas - Exercício
Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde:
Σ = {+, -, .,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} U {B, S, I, P, F}, sendo B
o símbolo inicial.
R = {(1) B → SIPF;
(2) S → +|-| λ;
(3) I → ID | D;
(4) P → . ;
(5) F → DD ;
(6) D → 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9 }
•Qual a linguagem que esta gramática define?
•Mostre como ela reconhece o número -459.33
•Modifique a gramática para que os números não tenham zeros a
esquerda.

61. Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde:
Σ = {+, -, .,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} U {B, S, I, P, F}, sendo B o símbolo inicial.
R = {B → SIPF,
S → +|-| λ
I → ID | D
P → .
F → DD
D → 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9 }
•Qual a linguagem que esta gramática define?
RESP: esta gramática reconhece números com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente ou não. Os
números poderão começar com um ou mais dígitos ‘0’. Em outras palavras, reconhece sequencias da forma +nn...n.nn
ou –n...n.nn ou nn...n.nn.
•Mostre como ela reconhece o número -459.33
RESP: para testar, basta seguir, em ordem inversa, as regras até chegar a B. Ou seja, temos:
-459.33 → -459.DD →-459.F → -459PF → -45DPF → -4DDPF → -DDDPF → SDDDPF → SIDDPF →
SIDPF → SIPF → B (N.B. também pode-se percorrer o caminho inverso)
•Modifique a gramática para que ela reconheça números inteiros, sem frações.
RESP:Para reconhecer só números inteiros, deve-se alterar a primeira regra para B→SI e excluir as regras P → . e
F → DD
Para reconhecer também números inteiros, a primeira regra fica sendo B→SIPF | SI