Download to read offline
'#SciChallenge2017' Diószegi
- 1. MATEMATIKA A TERMÉSZETBENÉS A MŰVÉSZETEKBEN
- 2. • A matematikánaka természeti jelenségek magyarázatával foglalkozó ága még meglehetősen felderítetlen terület. • Nyitott szemmel járva a természetet, megfigyelve a növények szerkezetét, állatok viselkedését, szokásait, számtalan érdekes jelenségnek lehetünk tanúi. • Ezek magyarázatával töb tudományág (fizika, kémia, biológia, etológia stb.) foglalkozik, különböző szempontok alapján. Sok esetben a ,,Miért éppen így…?,, kérdésre a matematika adja meg a választ, például egy jól körvonalazott optimum számítási feladat megoldásával.
- 3. MÉHKAS ELMÉLET • Haszemügyre vesszük egy méhkasban a lépek szerkezetét,úgy találjuk, hogy ezek egybevágó,szabályos hatszög alapú viaszhasábokból épülnek fel, amelyek hézag nélkül illeszkednek egymáshoz. • Egy ilyen hasábot három egybevágó rombusz fed le melynek tompaszöge 109° 28’.
- 4. MIÉRT ILYEN ALAKÚSEJTEKET ÉPÍTENEK A MÉHEK? Nyílván a lehető legpraktikusabb módon szeretnék kihasználni a teret. Ehhez olyan síkidom szükséges, mellyel szabályosan, légmentesen lefedhető a sík. Ilyen szabályos sokszög csak 3 van: - szabályos háromszög - négyzet - szabályos hatszög Ezek közül azért választják éppen a hatszöget, mert a szabályos háromszög , a négyzet és a hatszög alapú hasábok közül azonos térfogat mellett a hatszög alapúnak a legkisebb a felszíne, vagyis ahhoz kell a legkevesebb viasz.
- 5. RÉAUMUR ÉS KÖNIG •Réaumur(1680-1757) francia fizikus feltételezte,hogy a sejtek befedésénél is hasonló gazdaságossági szempontok vezetik a méheket, és megkérte König német matematikust ,hogy számolja ki, milyen rombuszok esetén lesz ugyanakkora térfogat mellett a legkisebb a ‚kupak’ felszíne. • König kiszámította,hogy a 109° 26’-es rombusz lesz a legmegfelelőbb. A kapott szög majdnem megegyezett a méhek által alkalmazott rombusz szögével. Néhány évvel később egy skót matematikus kimutatta, hogy az eltérést a függvénytáblázat hibája okozta. Újra elvégezte a számítást, így már pontosan a méhekével megegyező eredményre jutott.
- 6.
- 7. • Az aranymetszésvagy aranyarány egy olyan arányosság, ami a természetben és művészetben is gyakran megjelenik, természetes egyensúlyt teremtve a szimmetria és az aszimmetria között. • Aranymetszési arányok találhatók számos ókori épületen, középkori és reneszánsz képzőművészeti alkotásokon • Az aranymetszés arányait tartalmazó formák máig nagy esztétikai értékkel bírnak, számos területen (például a tipográfiában vagy a fényképészetben) alkalmazzák őket.
- 8.
- 9. Dürer képein gyakranfelbukkanak az aranymetszés arányok, ismert önarcképén például a fej magassága, szélessége,a szemek szélessége, a száj és az orr szélessége aranymetszés-sorozatot alkotnak. Tőle származik a következő eljárás, mellyel közelítőleg szabályos ötszöget lehet szerkeszteni:
- 10. •A korszak egyesmatematikusaira nagy hatással volt a pitagoreánus számmisztika. Rendkívül érdekes,ahogy Kepler(1572-1630) műveiben az általa felfedezett óriási jelentőségű fizikai törvények keverednek a platóni elképzelésekkel és vallásos számmisztikával. Nagy elismeréssel beszél az aranymetszésről, a geometria legnagyobb kincsének tartotta a Pitagorasz-tételt és az aranymetszést.
- 11. • Egy szakaszvagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztásakor a keletkezõ kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez • Képlettel felírva: a/b=b/(a+b) • Könnyen igazolható, hogy ez csak egyféle felosztás esetén állhat elõ • a·(a+b)=b·b • A kifejezést másodfokú egyenletté alakítva a következõt kapjuk: a2+a·b-b2=0
- 12. AZ ARANYSZÖG • Aranyszögneknevezik azt a szöget, melynek koszinusza az aranymetszés hányadosa: cos"alfa"=0,618034. . . • Az "alfa" szög értéke a táblázatok alapján: 51°49’43” • Az aranyszög körzővel és vonalzóval való megszerkesztése visszavezethető az aranymetszésre
- 13.
- 14. • A Fibonacciszámok története igen messzire nyúlik vissza. A XII.- XIII. században élt olasz matematikus, Leonardo Fibonacci nevéhez fűződnek a számok, amint arra a nevéből is lehet következtetni. A matematikai szakkönyvek szerint Fibonacci az egyiptomi piramisok tanulmányozásakor fedezte fel azt a számsorozatot, amely azóta is a matematikus nevét viseli. Egyes források szerint azonban Fibonacci ezt a számsorozatot a házinyulak szaporodása során figyelte meg, s tapasztalata szerint egy házinyúl párból egy év alatt 233 pár ivadék származik.
- 15. • "Hány párnyúl származhat egy évben egyetlen pártól, ha minden pár havonta új párnak ad életet, amely a második hónaptól lesz tenyészképes, és feltételezzük, hogy egy ivadék sem pusztul el?" • A válasz a következő sorozat: 1, 1, 2, 3, 5, stb. Azaz h1=1, h2=1, h3=2, h4=3, h5=5, stb. tehát az első két hónapban (h1, h2) még csak a "kezdő" párunk van, a harmadik hónapban születik meg az első új pár. A negyedik hónapban ez az új pár még nem ellik, de szülei igen, így már három pár nyúlunk van. És így tovább. • Általánosítva: Fibonacci sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyeknél az első két tag adott, ezt követően minden tag az őt megelőző két tag összege.
- 16. A SOROZAT SZEMLÉLTETÉSÉRESZOKTÁK MÉG A KÖVETKEZŐ PÉLDÁT MONDANI: • Egy fa az ültetést követő második évben hoz először új ágat. Minden ág a keletkezését követő évben csak gyarapszik, és az azt követő évektől kezdve minden évben egy újabb ágat hoz. • Megjegyzés: Ez a példa természetesen nem jeleni azt, hogy bármely konkrét fafajtánál az ágak ilyen szabály szerint hajtanának.
- 17. FENYŐTOBOZ ELMÉLET Fibonacci-spirálba rendeződnekpéldául a fenyőtoboz és az ananász pikkelyei, a napraforgó magjai, a málna szemei, a karfiol rózsái és egyes kaktuszok tüskéi. A nautiluszok háza is hasonlít a Fibonacci-spirálhoz, de nem egy negyed, hanem egy teljes kör alatt nő meg a sugár x-szeresére.
- 18. KÉSZÍTETTÉK: Májinka Barbara 10.E TóthRebeka Sára 10.E Tóth Viktória 11.C Király Koppány 11.C Diószegi Sámuel Baptista Szakközépiskola és Szakgimnázium Debrecen, Böszörményi út 23-27.