1. ÔN TẬP TỔ HỢP
1)Tính tổng
Giải:
Ta có
.
2)Tìm số nguyên dương n sao cho
Giải:
Ta có
Đạo hàm 2 vế ta có
Thay ta có :
Theo giả thiết ta có
3)Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có:
lấy đạo hàm 2 vế.

2. Thay , ta có:
4)Chứng minh:
Giải:
Đặt:
Ta có: .
5)Chứng minh rằng
Giải:
Cộng lại ta được
Cho
6)Cho và là các số nguyên thỏa mãn .
CMR:
7)Tìm số tự nhiên n thỏa mãn đẳng thức sau :

3. Giải:
8)Tính giá trị của biểu thức :
, biết rằng
Giải:
Điều kiện :
Ta có :
Vì nguyên dương nên
9)CMR:
Giải:
Ta có

4. Trừ vế với vế của hai đẳng thức trên ta có:
10) các số nguyên dương x thỏa mãn:
Giải:
Điều kiện : nguyên ,
So sánh với điều kiện , ta được là nghiệm cần tìm .
11)Chứng minh rằng với mọi ,ta luôn có đẳng thức:

5. Giải:
Chứng minh rằng quy nạp theo n
- Với , đpcm đúng.
- Giả sử đẳng thức cần chứng minh đúng với
đẳng thức cần chứng minh đúng với (đpcm).
12)CMR:
(1)
Giải:
Đẳng thức
(*)
Ta có : (**)
Thay : vào (**) ta được (*) (đpcm)
13)Tìm sao cho:
Giải:
Cách 1 :

6. Vậy có
Cách 2 :
Đặt
thì
Vì nên
dãy tăng
Khi
Vậy
14)Cho là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng lớn nhất nếu là
một số tự nhiên không vượt quá .
Cho là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng lớn nhất nếu là một
số tự nhiên không vượt quá .
15) Chứng minh rằng: với không thể lập
thành cấp số cộng.
16)Tính tổng: , biết rằng: (n
là số nguyên dương).
Giải:
Vậy

7. Xét số hạng thứ k+1:
Ta có
Vậy
17)Cho m là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho
cũng là số nguyên dương với mọi n>m.
18)CMR:
Giải:
Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xan: (với mọi số nguyên n, k thỏa mãn
), ta có
Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
Xét khai triển: .
Lấy tích phân hai vế cận tù 0 đến 2 ta có:

8. Hay:
19)Tính tổng : , biết rằng :
20)Ttìm số tự nhiên n thỏa mãn đẳng thức sau
Giải:
Chọn ta có:
Chọn ta có:
Cộng (1) và (2) vế với vế ta có:
Vậy
21)Chứng minh rằng :
Giải:

9. Ta có
Suy ra vế trái của đẳng thức là
mà
Vậy ta có đáp số là:
Xét khai triển:
(đpcm)
22)Tính tổng :
Giải :
Có , lấy tích phân từ 0 tới 1
hai vế được

10. Vậy