El documento describe la función de onda para el átomo de hidrógeno. Explica que la función de onda se puede expresar como el producto de un factor radial y uno angular. Luego muestra cómo estos factores dan lugar a diferentes orbitales atómicos como 1s, 2s, 2p, etc. y cómo se pueden representar gráficamente.
4. La función de onda, 𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
𝑟, 𝜃, 𝜑 , que sirve para describir a los átomos hidrogenoides se puede expresar
como el producto de un factor radial, que solo depende de 𝑟, y un factor angular, que depende de y :
𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑅 𝑛,𝓁 𝑟 𝑌𝓁
𝑚 𝓁
𝜃, 𝜑 [1]
Cuando se aplica dicha función de onda a la ecuación de Schrödinger se llega a estas soluciones para los
factores radial y angular (MacQuarrie, Donald A.; Simon, John D.: Physical Chemistry: a molecular approach,
University Science Books, 1997):
𝑅 𝑛,𝓁 𝑟 = −
𝑛−𝓁−1 !
2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3
2𝑍
𝑛𝑎
2𝓁+3
𝑟 𝓁
𝑒−
𝑍𝑟
𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁
2𝓁+1 2𝑍𝑟
𝑛𝑎
[2’]
𝑌𝓁
𝑚 𝓁
𝜃, 𝜑 =
2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 !
4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 !
𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁
𝑚 𝓁
cos 𝜃 [2”]
(En la expresión anterior, 𝑎 =
ℎ2 𝜀0
𝜋𝜇𝑒2, siendo 𝜇 la masa reducida y 𝑒 la carga del electrón).
Cada solución particular de los factores radial y angular puede obtenerse dando valores a 𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁 en [2’] y
[2”]. Los resultados se multiplican y así se obtiene cada orbital. En la tabla 1 se muestra cómo se obtienen así
algunos orbitales.
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6. Como se puede observar, algunas de estas soluciones son complejas, pues contienen el número imaginario 𝑖
(= −1). No obstante, según un teorema de la mecánica cuántica, se pueden combinar dos soluciones de la
ecuación de Schrödinger para átomos hidrogenoides correspondientes al mismo número cuántico 𝑛 (es decir,
que tengan la misma energía) para obtener nuevas soluciones de la ecuación de Schrödinger. Por ejemplo, con
los orbitales 2p-1 y 2p1 se pueden realizar dos combinaciones lineales (una basada en la suma de ambos y otra
en su diferencia) que sí son funciones de onda reales a las que se les llama 2px y 2py. (El orbital 2p0 es real; se le
denomina 2pz). La tabla 2 modifica la anterior mostrando las funciones de onda reales 2px, 2py y 2pz. No se han
modificado las expresiones para las funciones correspondientes a 𝑛, 𝓁, 𝑚 𝓁 = (1,0,0) (orbital 1s) y
𝑛, 𝓁, 𝑚 𝓁 = (2,0,0) (orbital 2s) porque son reales.
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ÍNDICE
8. La función de onda no se puede representar gráficamente porque depende de tres variables, lo que supone
que se necesitarían cuatro dimensiones para dibujarla. No obstante, se puede adquirir una idea de su forma
estudiando por separado los factores radial (que depende de una sola variable) y angular (que depende de
dos). Se considera esto a continuación.
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9. Representación del factor radial de la función de onda
Como hemos dicho, el factor radial solo depende de r, es decir, de la distancia desde el núcleo, razón por la
cual aporta información sobre el tamaño del orbital. En todos los puntos de una superficie esférica de radio 𝑟 y
centro el núcleo la función 𝑅(𝑟) tendrá el mismo valor.
Al depender la función de una sola variable, se puede representar en un plano. En la figura 1 se muestran
representaciones de 𝑅 𝑟 frente a la distancia desde el núcleo en cualquier dirección del espacio y expresada
en unidades de distancia atómica (𝑟/𝑎0) para distintos orbitales.
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Fig. 1. Variación del factor radial de la función de
onda con la distancia desde el núcleo expresada
en unidades atómicas, 𝑟/𝑎0. (En el eje de
ordenadas, en vez de 𝑅(𝑟) se ha representado
𝑎0
3/2
𝑅(𝑟) por convenio).
11. De la observación de las gráficas anteriores se pueden obtener dos conclusiones interesantes sobre la parte
radial de la función de onda:
1. Para un mismo tipo de orbital (s, p, d, f), este –y el electrón al que representa– ejerce influencia más lejos
del núcleo cuando mayor es el número cántico principal. Por ejemplo, el factor radial del orbital 1s
prácticamente ha caído a 0 a unas 5 unidades de distancia atómica mientras que el del 2s cae a una distancia
aproximadamente el triple. Análogo comportamiento tienen los orbitales p, d y f.
2. Para determinados valores de 𝑟/𝑎 (sin contar el 𝑟 = 0 y 𝑟 → ∞) en los que el factor radial es cero. Se trata
de los puntos en los que la función corta al eje de abscisas. Esto supone que existen superficies esféricas a
ciertas distancias del núcleo en las que el factor radial (y, por lo tanto, la función de onda) es nulo. Se llaman
nodos radiales y siempre son esféricos. Se puede demostrar que cada orbital tiene 𝑛 − 𝓁 − 1 nodos radiales.
Así, el orbital 1s no tiene nodos radiales (1 – 0 – 1 = 0), pero el 2s tiene uno; el 3s, dos; el 4s, tres… No es
difícil averiguar el valor exacto de 𝑟/𝑎 que corresponde a un nodo radial; basta igualar el factor radial a 0.
Por ejemplo, tomando la función radial del orbital 2s (tabla 2) e igualándola a 0 se llega a 1 −
𝑍𝑟
2𝑎
= 0, de
donde 𝑟/𝑎 = 2. Por tanto, para un orbital 2s, una superficie esférica de radio 2 unidades atómicas de
distancia constituye un nodo radial.
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12. Representación del factor angular de la función de onda
A diferencia de la parte radial de la función de onda, que proporciona información sobre el tamaño del orbital,
la parte angular, 𝑌 𝜃, 𝜑 , indica la forma aproximada y la orientación del orbital, ya que depende de dos
ángulos, y estos, combinados, pueden señalar cualquier dirección del espacio. La parte angular es función de
dos coordenadas (los ángulos 𝜃 y 𝜑), por lo que su representación requiere tres dimensiones.
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Factor angular de los orbitales s
La representación del factor angular de los orbitales
s es muy sencilla porque, como se ve en la tabla 2,
𝑌0
0
𝜃, 𝜑 =
1
4𝜋
, es decir, es un valor constante,
independiente de los ángulos y . Para hacer la
representación conviene utilizar coordenadas
esféricas, que son: (1) la distancia hasta el centro de
coordenadas; (2) el ángulo entre el eje 𝑍 y el vector
que une el centro de coordenadas con el punto; (3)
el ángulo entre el eje 𝑋 y la proyección de dicho
vector en el plano 𝑋𝑌. Se indican en la figura 2. Fig. 2. Coordenadas polares esféricas.
13. Haremos primero una representación en el plano, es decir, empleando solo dos
coordenadas: la (1), que se reserva a la función angular 𝑌 𝜃, 𝜑 , y la (2), que es el
ángulo 𝜃. Es decir, se trata de hacer la representación para 𝜑 = 0. Se obtiene es
circunferencia de radio
1
4𝜋
, como se indica en la figura 3.
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Para obtener la representación tridimensional basta
considerar que 𝑌 𝜃, 𝜑 tiene el mismo valor para cualquier
𝜑. En la figura 3 se ha representado 𝑌 𝜃, 𝜑 para 𝜑 = 0; para
otros valores de 𝜑 se obtendrían también circunferencias,
pero giradas 𝜑 grados respecto a la anterior respecto al eje
vertical. Por ello, la forma espacial del factor angular puede
generarse girando mentalmente desde 0 hasta 360o el perfil
de la figura 3 alrededor del eje vertical. El resultado es la
superficie esférica que puede verse en la figura 4.
Fig. 3. Representación en el plano del factor angular, 𝑌 𝜃, 𝜑 , de la
función de onda de los orbitales s manteniendo constante el valor de
𝜑 (𝜑 = 0). El radio es la medida del valor constante 𝑌 𝜃, 𝜑 =
1
4𝜋
.
Fig. 4.
Representación
en el espacio del
factor angular
𝑌 𝜃, 𝜑 de la
función de onda
de los orbitales
s.
14. Factor angular de los orbitales p
De forma análoga se puede obtener la forma del factor angular de los orbitales p. Lo haremos con los pz, cuya
expresión analítica, según se puede ver en la tabla 2, es
3
4𝜋
cos 𝜃. Se empieza representando en un plano el
factor angular 𝑌 𝜃, 𝜑 mediante la coordenada (1) indicada en la figura 2 frente al ángulo 𝜃 (este, mediante la
coordenada 2) para un valor constante 𝜑 = 0. Para ello construimos la tabla de valores 3 (página siguiente).
Representando estos valores y otros hasta 𝜃 = 360 se obtienen las dos circunferencias tangentes de la figura 5
(página siguiente).
Si se hacen representaciones análogas para valores de 𝜑 entre 0 y 360o se lograrán los mismos perfiles que en la
figura 5 pero girados 𝜑 grados en torno al eje Z. El resultado tridimensional es dos superficies esféricas
tangentes como se muestra en la figura 6 (página siguiente).
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Tabla 3. Valores de 𝑌 𝜃, 𝜑 para orbitales
pz en función de 𝜃.
𝜃 / grados 𝑌 𝜃, 𝜑 =
3
4𝜋
cos 𝜃
0 0,239
30 0,2067
45 0,1688
60 0,1194
90 0
120 –0,1194
135 0,1688
Fig. 5. Representación en el plano del factor
angular 𝑌 𝜃, 𝜑 de la función de onda para los
orbitales pz manteniendo constante el valor de 𝜑
(𝜑 = 0). Las líneas dentro de los círculos
representan los valores de la tabla (la línea
continua es el valor de 𝑌 𝜃, 𝜑 para 𝜃 = 30
grados; las discontinuas son los otros valores de
𝑌 𝜃, 𝜑 de la tabla 3). Se han dibujado de
colores distintos (gris y naranja) las partes
positiva y negativa de la función.
Fig. 6.
Representa-
ción en el
espacio del
factor
angular
𝑌 𝜃, 𝜑 de la
función de
onda de los
orbitales pz.
16. En la figura 7 se dibujan los factores angulares correspondientes a los orbitales s, p y d. Todos los factores
angulares de los orbitales s tienen la misma forma esférica independientemente de que sean 1s, 2s, 3s… ya que,
como se ha visto, 𝑌 𝜃, 𝜑 solo depende de los números cuánticos 𝓁 y 𝑚 𝓁. Lo análogo sucede con los p, los d y
los f. Ahora bien, en los p hay que distinguir tres orientaciones posibles que dependen del valor de 𝑚 𝓁. Los d
responden a 5 tipos (cuatro de ellos iguales entre sí pero con distinta orientación). Los f (no dibujados) son 7.
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Fig. 7. Representación del factor
angular de la función de onda
según el tipo de orbital. Para los
orbitales s el factor angular tiene
simetría esférica; para los p
consiste en dos superficies
esféricas tangentes; para los d,
en cuatro lóbulos mutuamente
perpendiculares, excepto el dz
2,
formado por dos lóbulos y un
toroide central. No se han
dibujado los factores angulares
de los orbitales f, de los cuales
hay 7 diferentes, pero guardan
cierto parecido con los de los
orbitales d. Los colores se
refieren al signo algebraico de la
función.
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Nodos angulares
Los factores angulares de la función de onda también tienen nodos (excepto la función de onda 1s). Es
razonable que sea así. Como se ve en la figura 7, las funciones tienen una parte positiva y una negativa,
representadas por distintos colores. Estos signos son algebraicos, se denominan fases y no tienen nada que ver
con las cargas eléctricas. Entonces, tiene que existir una región del espacio (o más de una) en la que la función
valga cero. Estas regiones son los nodos angulares. Por ejemplo, en el caso de los orbitales pz, el nodo angular
es el plano XY, como se ha dibujado en la figura 8. Todos los orbitales p tienen un solo nodo angular. Los d
tienen dos. Así, los dos nodos angulares de los orbitales dxy son los planos 𝑋𝑍 e 𝑌𝑍 (ver la figura 7 para
comprobarlo). Los de dz2 son dos conos cuyos vértices están en el origen, como se ilustra en la figura 8.
Fig. 8. Superficies nodales angulares del orbital pz
(izquierda) y el orbital dz
2.
Se sabe que el número de superficies nodales
angulares viene dado por 𝓁. Como el número de nodos
radiales es 𝑛 − 𝓁 − 1, el número total de nodos
(planos, conos, esferas) de cualquier orbital es 𝑛 − 1.
18. Representación parcial de la función de onda
Como se dijo anteriormente, la función de onda no se puede representar porque depende de tres variables.
Para una función de una variable, 𝑓(𝑥), se necesita un plano, en uno de cuyos ejes se representa la función y
en el otro la variable (𝑥). Si la función es de dos variables, entonces se requiere el espacio de tres dimensiones.
En uno de los tres ejes se representa la función, 𝑓(𝑥, 𝑦), y en los otros dos las variables 𝑥 e 𝑦.
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Fig. 9. Representación de tres funciones matemáticas. A la izquierda, en verde, función de una variable del tipo 𝑓 𝑥 =
𝑚𝑥 + 𝑛 (ecuación de una recta de pendiente 𝑚 y ordenada en el origen 𝑛); y, en rojo, función de una variable 𝑓(𝑥) =
𝑟2
− 𝑥2 1/2
(ecuación de una circunferencia de radio 𝑟); para representarlas basta el plano. A la derecha, función de dos
variables del tipo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑟2
− 𝑥2
− 𝑦2 1/2
(ecuación de una superficie esférica de radio 𝑟). Se requiere el espacio de
tres dimensiones. En uno de los ejes (por ejemplo, el vertical) se representa 𝑧 ≡ 𝑓 𝑥, 𝑦 ; en los otros, las variables 𝑥 e 𝑦.
19. Ahora bien, si se quiere representar la función de onda 𝑥, 𝑦, 𝑧 se necesitaría un espacio de cuatro
dimensiones, ya que es preciso un eje para la función y tres más para las variables de las que depende. Esto es
imposible.
No obstante, existen varios procedimientos para tener una idea de cómo es la forma de la función de onda.
Uno de ellos es hacer constante una de las variables. Con ello se obtendría una proyección en un espacio de
tres dimensiones de la función de onda de cuatro dimensiones. Sería como ver la sombra de un árbol
proyectada en la pared; la sombra, desde luego, no es el árbol, pero da una idea de la forma tridimensional del
árbol. Un ejemplo matemático lo proporciona la superficie esférica. Su ecuación es: 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( 𝑟2
− 𝑥2
−
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20. Orbitales 1s
Como se ve en la tabla 1, el orbital 1s completo tiene prácticamente la misma forma analítica que su parte
radial, diferenciándose solo en un factor numérico. Es decir, la función de onda 1,0,0 𝑟, 𝜃, 𝜑 solo depende de
𝑟, y no de 𝜃 ni 𝜑. Por lo tanto, la representación frente a 𝑟 de la función de onda correspondiente al orbital 1s
será prácticamente igual que la de la parte radial. Si consideramos un plano en cuyo origen de coordenadas
estuviera el núcleo del átomo de hidrógeno, una visión bidimensional de cómo varía el valor de la función de
onda con la distancia sería la que aparece en la figura 10, a la izquierda. A la derecha se muestra la imagen
tridimensional que se obtiene girando el perfil alrededor del eje vertical. De ambas representaciones se
deduce que la función de onda alcanza el valor máximo en el núcleo, decayendo rápidamente en todas las
direcciones radiales.
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Fig. 10. Representación de los valores de la función de onda 1s en función de la distancia al núcleo.
A la izquierda, representación bidimensional; a la derecha, tridimensional.
21. Orbitales 2p
El mismo tratamiento se le puede dar a los orbitales 2pz, cuya expresión analítica (tabla 2) es
1
32𝜋
𝑍
𝑎
5/2
𝑟𝑒−
𝑍𝑟
2𝑎 cos 𝜃. Como se ve, la función no depende de 𝜑. Si se hace 𝜃 = 0, el orbital solo depende de
𝑟. La representación del orbital frente a 𝑟 es la gráfica que se ve en la figura 11 a la izquierda. Si se van dando
valores a 𝜃 entre 0 y 360o se obtiene la representación tridimensional de la derecha.
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Fig. 11. Valores de la función de onda 2p en función de la distancia al núcleo. A la izquierda, representación
bidimensional para 𝜃 = 0; a la derecha, tridimensional para todos los valores de 𝜃 entre 0 y 360o.
22. Representación gráfica de la función de distribución radial de
los orbitales s, p, d y f
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Fig. 12.
Capa
esférica
de
espesor
d𝑟 a
distancia 𝑟
del
núcleo.
Considérese la imagen de la figura 12. El centro de coordenadas
representa al núcleo de un átomo hidrogenoide. La capa
esférica dibujada, de espesor infinitesimal d𝑟, se encuentra a
una distancia del núcleo comprendida entre 𝑟 y 𝑟 + d𝑟.
Llamaremos probabilidad radial, Pr 𝑟→𝑟+d𝑟, a la “fracción” del
electrón que se halla en esa delgada capa. Esta probabilidad se
puede calcular así:
Pr 𝑟→𝑟+d𝑟 = 𝑅 𝑟 2 𝑟2
d𝑟 [3]
siendo 𝑅 𝑟 el factor radial de la función de onda y 𝑅 𝑟 2
𝑟2
la llamada función de distribución radial, que es
la densidad de probabilidad asociada con la parte radial de la función de onda. La fórmula es válida para todos
los tipos de orbitales (s, p, d, f) (Levine: Physical Chemistry, p. 646).
La figura 13 (página siguiente) contiene representaciones gráficas de 𝑅 𝑟 2
𝑟2
frente a 𝑟/𝑎0 de varios tipos de
orbitales (𝑎0 es la unidad de distancia atómica; se le llama radio de Bohr).
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Fig. 13. Variación de la función de
probabilidad radial, 𝑅 𝑟 𝑟2
, en función
de la distancia al núcleo expresada en
unidades atómicas.
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La densidad de probabilidad radial guarda cierta analogía con 2
, que es la densidad de probabilidad de la
función de onda completa. Es sabido que, para los orbitales s, 2 tiene su valor máximo en el núcleo. Sin
embargo, la densidad de probabilidad asociada solo al factor radial, 𝑅 𝑟 2
𝑟2
, es nula en el núcleo, como
puede verse en la figura anterior. La aparente paradoja queda resuelta al observarse que la expresión
matemática de la función de distribución radial incluye el factor 𝑟2
. Lógicamente, este factor es 0 en el núcleo.
Pero, además, ambas densidades se refieren a
elementos de volumen diferentes, y eso impide que
sean comparables. Mientras 2
se refiere a un
elemento de volumen d𝜏 que siempre es del mismo
tamaño infinitesimal; 𝑅 𝑟 2
𝑟2
se refiere a una capa
de volumen infinitesimal 4𝜋𝑟2d𝑟 que se va haciendo
mayor al aumentar 𝑟. En el núcleo, 4𝜋𝑟2d𝑟 es 0, por lo
que en dicho punto la densidad de probabilidad radial
es nula. Tras alcanzar un máximo para cierto valor de 𝑟,
la función 𝑅 𝑟 2
𝑟2
empieza a decaer porque,
aunque el volumen de la capa sigue aumentando, la
densidad electrónica va disminuyendo conforme nos
alejamos del núcleo. Son, pues, dos efectos
contrapuestos los que explican los perfiles de
𝑅 𝑟 2
𝑟2
de la figura anterior. Para el orbital 1s, todo
esto se puede esquematizar mediante la figura 14.
Fig. 14. Variación con la distancia (representada en el eje
de abscisas) de la densidad electrónica de los orbitales
1s ( 𝜓2
, en rojo) comparada con la variación con la
distancia de la función de distribución radial, 𝑅(𝑟) 2
𝑟2
,
del mismo orbital 1s (en azul).
25. Triplenlace.com
Fuentes
• MacQuarrie, Donald A.; Simon, John D.: Physical Chemistry: a molecular approach, University Science Books,
1997.
• Atomic orbitals, Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital, (vista en agosto de 2019).
• Levine, Ira: Química cuántica, Editorial AC, 1977.
• Levine, Ira: Physical Chemistry, 6ª ed. McGraw-Hill, 2009.
• McRobbie, Porscha, Geva, Eitan: Hydrogen Atom Radial Functions,
http://demonstrations.wolfram.com/HydrogenAtomRadialFunctions/, Wolfram Demonstrations Project, 2010
(vista en agosto de 2019).
• Chang, Raymond: Physical Chemistry for the Chemical Sciences, University Science Books, 2014
• Blinder, Sy M.: Introduction to Quantum Mechanics: in Chemistry, Materials Science, and Biology, Elsevier
Academic Press, 2004.
