Stara prezentacja moja i Karola opublikowana przez Alicję Pachocki, z czasów studiów. http://slideplayer.pl/slide/60910/ Old preso done during my studies, introducing multicriteria optimization. Thanks to Alicja Pachocki for digging it out: http://slideplayer.pl/slide/60910/

1. Wprowadzenie
do optymalizacji
wielokryterialnej.
Modelowanie i symulacja systemów
mgr inż. Leszek Siwik
Karol Cichosz
Tomasz Borek

2. Plan prezentacji
 Zarys problemu
 Podstawowe pojęcia
 Podstawowe problemy
 Wybrane metody
 Literatura
 Pytania i odpowiedzi

3. Zarys problemu

4. Zarys problemu
Optymalizacja wielokryterialna
Najbardziej naturalna metoda
wnioskowania
Polega na znalezieniu optymalnego
rozwiązania, które jest akceptowalne
z punktu widzenia każdego kryterium

5. Plan prezentacji
 Zarys problemu
 Podstawowe pojęcia
 Podstawowe problemy
 Wybrane metody
 Literatura
 Pytania i odpowiedzi

6. Podstawowe pojęcia
Optymalizacja wielokryterialna
próba znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych:
x = [x1
,x2
,...,xk
],
który spełnia określone warunki:
gi
(x) ≥ 0 (i = 1... m),
hi
(x) = 0 (i = 1 ... p)
oraz optymalizuje wektor funkcyjny, którego elementy reprezentują
funkcje celu:
f(x) = (f1
(x),f2
(x),...,fk
(x))

7. Podstawowe pojęcia
Optymalizacja wielokryterialna

8. Podstawowe pojęcia
Optymalizacja wielokryterialna

9. Podstawowe pojęcia
Funkcje celu reprezentują matematyczny opis danego kryterium
oraz najczęściej pozostają w konflikcie miedzy sobą. (przykład
ceny i mocy obliczeniowej).
Optymalizacja polega na znalezieniu takiego rozwiązania, które
byłoby akceptowalne dla każdej funkcji celu. Jest pierwszym
krokiem w stronę znalezienia rozwiązania. Oczywiście
rozwiązanie byłoby idealne, gdyby było rozwiązaniem
najlepszym z punktu widzenia, każdej funkcji celu. Możliwe
rozwiązania zadania optymalizacyjnego klasyfikuje się jako
zdominowane
i niezdominowane (paretooptymalne – ang. Parento optimal).

10. Podstawowe pojęcia
Dla zadania maksymalizacji zestawu k funkcji celu:
f(x)=(f1
(x),f2
(x),...,fk
(x));
Rozwiązanie x jest zdominowane, jeśli istnieje dopuszczalne
rozwiązanie y nie gorsze od x, tzn. dla każdej funkcji celu fi
:
fi
(x)≤ fi
(y); (i=1,... k);
W przeciwnym wypadku x jest rozwiązaniem niezdominowanym

11. Podstawowe pojęcia
Dla zadania minimalizacji zestawu k funkcji celu
f(x)=(f1
(x),f2
(x),...,fk
(x))
rozwiązanie x jest zdominowane, jeśli istnieje dopuszczalne
rozwiązanie y nie gorsze od x, tzn. dla każdej funkcji celu fi:
fi
(y)≤ fi
(x) (i=1,... k)
W przeciwnym wypadku x jest rozwiązaniem niezdominowanym

12. Podstawowe pojęcia
Algorytm ewolucyjny

13. Plan prezentacji
 Zarys problemu
 Podstawowe pojęcia
 Podstawowe problemy
 Wybrane metody
 Literatura
 Pytania i odpowiedzi

14. Podstawowe problemy
 dopasowania wartości skalarnych do
poszczególnych kryteriów
i obudowanie ich regułami matematycznymi
 zachowania różnorodności rozwiązań przy
dobieraniu klasyfikacji rozwiązań jako
zdominowanych i niezdominowanych
 utraty rozwiązań niezdominowanych
 przechowywania i egzystencji constraintów

15. Plan prezentacji
 Zarys problemu
 Podstawowe pojęcia
 Podstawowe problemy
 Wybrane metody
 Literatura
 Pytania i odpowiedzi

16. Wybrane metody
Metoda ważonych celów:
gdzie:
k – ilość funkcji;
x – wektor rozwiązań;
wi
– wagi takie, że:
oraz
∑=
=
k
i
ii xfwxF
1
)()(
]1,0[∈iw ∑=
=
k
i
iw
1
1

17. Wybrane metody
Metoda VEGA
Użyte oznaczenia:
t – numer pokolenia
Pt – populacja w t-tym pokoleniu
P ′ – populacja tymczasowa
k – ilość kryteriów
Algorytm
Parametry wejściowe: N – rozmiar populacji
T – maksymalna ilość pokoleń
pc – prawdopodobieństwo krzyżowania
pm –prawdopodobieństwo mutacji
Wynik: A – zbiór rozwiązań niezdominowanych

18. Wybrane metody
Krok 1: Inicjalizacja (wygenerowanie populacji początkowej)
Niech P0 = Ø oraz t = 0. Dla i=1, ..., N wykonaj:
Wylosuj osobnika i.
Dodaj osobnika i do zbioru P0.
Krok 2: Wyznaczenie dopasowania i selekcja:
Pt ′= Ø. Dla i = 1, ..., k wykonaj:
Dla każdego osobnika oblicz jego dopasowanie w oparciu o funkcję celu fi
Dla j=1, ..., N/k wybierz osobnika i z Pt i dodaj go do P ′.
Krok 3: Rekombinacja:
Niech P ′′= Ø. Dla i=1, ..., N/2 wykonaj
Wybierz dwa osobniki ′ i usuń je z P ′.
Skrzyżuj osobniki: i j; wynik: osobniki k i l.
Dodaj k, l do P ′′ z prawdopodobieństwem pc (w przeciwnym wypadku do P ′′ dodaj
osobniki i, j).

19. Wybrane metody
Krok 4: Mutacja:
Niech P′′′ = Ø Dla każdego osobnika wykonaj:
Zmutuj osobnika i z prawdopodobieństwem pm. Wynik: osobnik j.
Dodaj osobnika j do zbioru P ′′′.
Krok 5: Zakończenie:
Niech Pt+1 = P ′′′ i t=t+1. Jeżeli t ≥T to zakończ
(Wynik: A = rozwiązanie niezdominowane z populacji Pt), w przeciwnym wypadku
powrót do roku 2.

20. Wybrane metody
Metoda SPEA
Użyte oznaczenia:
t – numer pokolenia
Pt – populacja w t-tym pokoleniu
Pt – zbiór zewnętrzny
P′ – tymczasowy zbiór zewnętrzny
P ′ – populacja tymczasowa
Algorytm
Parametry wejściowe: N – rozmiar populacji
Nm – maksymalny rozmiar zbioru zewnętrznego
T – maksymalna ilość pokoleń
pc – prawdopodobieństwo krzyżowania
pm – prawdopodobieństwo mutacji
Wynik: A – zbiór rozwiązań niezdominowanych

21. Wybrane metody
Krok 1: Inicjalizacja:
Wygeneruj populację początkową P0 (patrz krok pierwszy algorytmu VEGA)
oraz pusty zbiór zewnętrzny P0 = Ø.
Niech t = 0.
Krok 2: Uzupełnienie zbioru zewnętrznego.
Niech P′ = Pt.
Skopiuj do P′ osobniki z populacji Pt, niezdominowane przez inne osobniki z
populacji Pt. Usuń z P′ osobniki zdominowane przez inne osobniki z P′.
Zredukuj liczność zbioru P′ do N przez clustering; wynik: Pt+1.
Krok 3: Wyznaczenie dopasowania:
Oblicz wartość dopasowania F osobników w Pt i Pt przy użyciu algorytmu
opisanego dalej.

22. Wybrane metody
Krok 4: Selekcja:
Niech P ′= Ø. Dla i=1, ..., k wykonaj:
Wybierz losowo dwa osobniki Pt .
Jeżeli F(i)<F(j) to P ′= P ′ +{i}, w przeciwnym wypadku P ′= P ′ +{j}
(wartość przystosowania jest tu minimalizowana).
Krok 5: Rekombinacja: patrz krok 3 algorytmu VEGA (wynik: P ′′).
Krok 6: Mutacja: patrz krok 4 algorytmu VEGA (wynik: P ′′′).
Krok 7: Zakończenie:
Niech Pt+1 = P ′′′ i t = t+1. Jeżeli t ≥ T to zakończ
(Wynik: A = rozwiązanie niezdominowane z populacji Pt), w przeciwnym
wypadku powrót do kroku 2.

23. Plan prezentacji
 Zarys problemu
 Podstawowe pojęcia
 Podstawowe problemy
 Wybrane metody
 Literatura
 Pytania i odpowiedzi

24. Literatura
 Kalyanmoy Deb, Lother Thiele, Marco Laumanns, Eckart Zitzler – “Scalable
Multi-Objective Optimization Test Probems” 2002
 Eckart Zitzler – “Evolutionary Alghorithms for Multiobjective Optimalization”
2001
 Kalyanmoy Deb, Lother Thiele, Marco Laumanns, Eckart Zitzler, Emo Welzl –
“Running time analysis of a multi-objective evolutionary algorithm on a simple
discrete optimalization problem” 2002
 Eckart Zitzler – “Evolutionary algorithms for multiobjective optimalization”
2002
 Eckart Zitzler, Marco Laumanns, Stefan Bleuler – “A Tutorial on Evolutionary
Multiobjective Optimalization” 2003
 Halina Kwaśnicka – “Ewolucyjna optymalizacja wielokryterialna” 2000
 Katedra Automatyki AGH – „Optymalizacja wielokryterialna” 1999
 Carlos A. Coello – „An Updated Survey of GA-Based Multiobjective
Optimalization Techniques”
 http://sound.eti.pg.gda.pl/rekonstrukcja/algorytmy_genetyczne.html
 http://www.tik.ee.ethz.ch/~zitzler/

25. Plan prezentacji
 Zarys problemu
 Podstawowe pojęcia
 Podstawowe problemy
 Wybrane metody
 Literatura
 Pytania i odpowiedzi

26. Dziękujemy !!