Clase 6 ecuaciones de maxwell

Ecuaciones de Maxwell
Clase 06

Ley de Faraday
 Faraday manifestó su creencia de que si una corriente podía producir un campo
magnético, entonces un campo magnético debería ser capaz de producir una
corriente.
 El concepto de “campo” no existía en ese entonces y el éxito de Faraday consistió
en demostrar que una corriente podía producirse por “magnetismo”
 En términos del campo, ahora se puede decir que un campo magnético que varía
con el tiempo produce una fuerza electromotriz (fem) capaz de producir una
corriente en un circuito cerrado adecuado.

Ley de Faraday
 Una fuerza electromotriz no es otra cosa que un voltaje procedente de los
conductores que se mueven en un campo magnético o de campos magnéticos
variantes, que serán definidos mas adelante. Se acostumbra expresar la ley de
Faraday como
 La ecuación anterior implica una trayectoria cerrada, aunque no necesariamente
conductora; la trayectoria cerrada, por ejemplo puede incluir un capacitor o ser
solamente una línea imaginaria en el espacio.
𝑓𝑒𝑚 =
𝑑∅
𝑑𝑡
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 (𝑉)

Ley de Faraday
 El flujo magnético es el flujo que cruza a través de cualquier superficie cuyo perímetro
sea una trayectoria cerrada y 𝑑∅/𝑑𝑡 es la razón de cambio de dicho flujo con respecto al
tiempo.
 Un valor diferente de cero de 𝑑∅/𝑑𝑡 puede ser el resultado de cualquiera de las
siguientes situaciones
1. Un flujo que cambia con el tiempo circundando una trayectoria cerrada fija.
2. El movimiento relativo entre un flujo estable y una trayectoria cerrada.
3. Una combinación de las dos.
𝑓𝑒𝑚 =
𝑑∅
𝑑𝑡

Ley de Faraday
 El signo menos indica que la fem tiene una dirección tal que produce una corriente,
cuyo flujo si se suma al flujo original, reducirá la magnitud de la fem. Este
enunciado que establece que el voltaje inducido actúa para producir un flujo
opuesto se conoce como la ley de Lenz.
 Si la trayectoria cerrada es un filamento conductor enrollado de N vueltas, por lo
general es suficientemente preciso considerar las vueltas como coincidentes y
hacer
 Donde ∅ se interpreta como el flujo que pasa a través de cualquiera de las N
trayectorias coincidentes.
𝑓𝑒𝑚 = −𝑁
𝑑∅
𝑑𝑡

Ley de Faraday
 Además también la podemos definir de la siguientes manera a través de una
trayectoria cerrada especifica
𝑓𝑒𝑚 = −𝑁
𝑑∅
𝑑𝑡
𝑓𝑒𝑚 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = −
𝑑
𝑑𝑡
𝑆
𝐵 ∙ 𝑑𝑆

Ley de Faraday
 Ademas consideraremos el concepto de fem de movimiento. La fuerza sobre una
carga 𝑄 que se mueve a la velocidad 𝑣 en el campo magnético 𝐵 es
 Y la fuerza por unidad de carga, se llama intensidad del campo eléctrico móvil 𝐸 𝑚
𝐸 𝑚 = 𝑣 × 𝐵
𝐹 = 𝑄𝑣 × 𝐵

Problema
 Problema 0
 Dado 𝐻 = 300𝑎 𝑧 𝑐𝑜𝑠 3 × 108
𝑡 − 𝑦 𝐴/𝑚 en el espacio libre, encontrar la fem
desarrollada en la dirección 𝑎∅ alrededor de la trayectoria cerrada que tiene sus
esquinas en:
 𝑎) 0,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 𝑦 0,1,0 ; 𝑏) 0,0,0 , 2𝜋, 0,0 , 2𝜋, 2𝜋, 0 , (0,2𝜋, 0)

Problema
 Solución Inciso a
 El flujo del campo magnético ∅ 𝑚 a través de una superficie se define:
 Pero sabemos que la cantidad de flujo magnético es 𝐵 = 𝜇𝐻
∅ 𝑚 =
𝑆
𝐻𝑑𝑠
∅ 𝑚 =
0
1
0
1
300𝜇0 𝑐𝑜𝑠 3 × 108 𝑡 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 300𝜇 𝑜 𝑠𝑒𝑛 3 × 108 𝑡 − 𝑦
1
0
∅ 𝑚 = 300𝜇 𝑜 𝑠𝑒𝑛 3 × 108
𝑡 − 1 − 𝑠𝑒𝑛 3 × 108
𝑡 𝑊𝑏

Problema
 Solución
 Entonces la fem es la siguiente
𝑓𝑒𝑚 = −
𝑑∅
𝑑𝑡
= 300 3 × 108
4𝜋 × 10−7
𝑠𝑒𝑛 3 × 108
𝑡 − 1 − 𝑠𝑒𝑛 3 × 108
𝑡
𝑓𝑒𝑚 = −1.13 × 105
𝑐𝑜𝑠 3 × 108
𝑡 − 1 − 𝑐𝑜𝑠 3 × 108
𝑡 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

Problema
 Solución Inciso b
 Por lo tanto la fem es 0
∅ 𝑚 =
0
2𝜋
0
2𝜋
300𝜇0 𝑐𝑜𝑠 3 × 108
𝑡 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝜋 × 300𝜇 𝑜 𝑠𝑒𝑛 3 × 108
𝑡 − 𝑦
2𝜋
0
∅ 𝑚 = 0 𝑊𝑏

 El comportamiento de la intensidad del campo eléctrico 𝐸 y de la densidad de flujo
eléctrico 𝐷 a través de dos materiales se examino que los campos eran estáticos.
Un tratamiento similar se dará ahora a la intensidad del campo magnético 𝐻 y a la
densidad de flujo magnético 𝐵, de nuevo con campos estáticos.
 También se trato el concepto de densidad de corriente de desplazamiento 𝐽 𝐷 y se
examino la ley de Faraday. Esas mismas ecuaciones y otras desarrolladas antes se
agrupan para formar un conjunto conocido como las ecuaciones de Maxwell.
 Estas ecuaciones son le fundamento de toda teoría de los campos
electromagnéticos.

 Un campo estático E puede existir en ausencia de un campo magnético 𝐻. Un
condensador con carga estática 𝑄 constituye un ejemplo. De la misma manera, un
conductor con una corriente constante 𝐼 tiene un campo magnético 𝐻 sin que haya
un campo 𝐸. Sin embargo, cuando los campos son variables con el tiempo 𝐻 no
puede existir sin 𝐸 ni 𝐸 puede existir sin 𝐻.
 En tanto que mucha valiosa información puede derivarse de la teoría de campos
estáticos, la teoría completa de los campos electromagnéticos solo puede ser
demostrada con campos variables en el tiempo.
 Los experimentos de Faraday y Hertz y los análisis teóricos de Maxwell involucran
todos los campos variables en el tiempo.

 Las ecuaciones agrupadas abajo, llamadas ecuaciones de Maxwell, se presenta la
forma mas general donde tanto cargas como corriente de conducción pueden
estar presentes en la región.

Forma Puntual Forma Integral
𝛻 × 𝐻 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡 𝐻 ∙ 𝑑𝐼 =
𝑆
𝜕𝐷
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆
𝛻 × 𝐸 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡 𝐸 ∙ 𝑑𝐼 =
𝑆
−
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆)
𝛻 ∙ 𝐷 = 0
𝑆
𝐷 ∙ 𝑑𝑆 = 0
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
𝑆
𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 0

 Obsérvese que las formas puntual e integral de las primeras dos ecuaciones son
equivalentes bajo el teorema de Stokes, mientras que la forma mas puntual e
integral de las ultimas dos ecuaciones son equivalentes bajo el teorema de
divergencia.
 Para espacio vacío, donde no hay cargas (𝜌 = 0) y no hay corrientes 𝐽𝑐 = 0 , las
ecuaciones de Maxwell toman la forma siguiente:

Forma Puntual Forma Integral (sobre una superficie y
aplicando el Teorema de Stoke
𝛻 × 𝐻 = 𝐽𝑐 +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
A través de la ley de ampere
𝐻 ∙ 𝑑𝐼 =
𝑆
𝐽𝑐 +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒)
𝛻 × 𝐸 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
A través de la ley de Faraday, esta ecuación
muestra que un campo variante en el tiempo
produce un campo eléctrico.
𝐸 ∙ 𝑑𝐼
=
𝑆
−
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦; 𝑆 𝑓𝑖𝑗𝑜)
𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜌
Establece que la densidad de carga es una
fuente (o sumidero) de líneas de flujo
eléctrico.
𝑆
𝐷 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑣
𝜌𝑑𝑣 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠)
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
Reconoce el hecho de que se desconoce la
existencia de “cargas magnéticas” o polos.
𝑆
𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 0 (𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜)
Ecuaciones de Maxwell, conjunto de espacio libre

 La primera y segunda ecuación de forma puntual en espacio pueden usarse para
mostrar que los campos 𝐸 y 𝐻 variables con el tiempo no pueden existir
independientemente.
 La forma puntual de las ecuaciones de Maxwell se usa mas frecuentemente en los
problemas. Sin embargo la forma integral es importante porque despliega las leyes
físicas básicas.

 Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar las condiciones en la
frontera de 𝐵, 𝐷, 𝐻 𝑦 𝐸 , las cuales son necesarias para evaluar las constantes
obtenidas al resolver las ecuaciones de Maxwell en forma de ecuaciones
diferenciales parciales. Estas condiciones de frontera no cambian en general la
forma que tienen para los campos estáticos o estables y se pueden utilizar los
mismos métodos para obtenerlas.

 Estas cuatro ecuaciones son la base de toda la teoría electromagnética. Son
ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el campo magnético el campo
eléctrico y el magnético entre sí y con sus fuentes, cargas y densidades de
corriente.
 Las ecuaciones auxiliares que relacionan 𝐷 𝑦 𝐸
 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐻
𝐷 = 𝜖𝐸 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜
𝐵 = 𝜇𝐻 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎

 Que define la densidad de corriente de conducción
 Y que define la densidad de corriente de convección en términos de la densidad de
carga volumétrica 𝜌 𝑣
 Son necesarias para definir y relacionar las cantidades que aparecen en las
ecuaciones de Maxwell
𝐽 = 𝜌 𝑉 𝑉
𝐽 = 𝜎𝐸

 Problema 1
 Dado 𝐸 = 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦 en el espacio vacío, halle 𝐷, 𝐵 𝑦 𝐻. Dibuje 𝐸 y 𝐻 en
𝑡 = 0.

 Solución
 𝐷(𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜) = 𝜖 𝑜 𝐸 = 𝜖 𝑜 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦
 La ecuación de Maxwell 𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝐵/𝜕𝑡 da
𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
0 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0
= −
𝜕𝐵
𝜕𝑡

 Solución
 𝑎 𝑥
𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧
𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0
+ 𝑎 𝑧
𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦
0 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧
= −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
 𝑎 𝑥 −
𝜕
𝜕𝑧
𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝑎 𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
 𝛽𝐸 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡

 Solución
 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
 Donde la constante de integración, que es un campo estático, ha sido despreciada.
Entonces
−
𝜕𝐵
𝜕𝑡
= 𝛽𝐸 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 ⟹
𝜕𝐵
𝜕𝑡
= − 𝛽𝐸 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
𝐵 = −
𝛽𝐸 𝑚
𝜔
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 Densidad de flujo Magnético
𝐻(𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜) = −
𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥

 Solución
 Obsérvese que 𝐸 𝑦 𝐻 son mutuamente perpendiculares.
 En 𝑡 = 0, 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = −𝑠𝑒𝑛𝛽𝑧. La figura muestra que los dos campos a lo largo
del eje 𝑧, suponiendo que 𝐸 𝑚 𝑦 𝛽 son positivos.

 Problemas 2
 Demuestre que los campos 𝐸 𝑦 𝐻 del problema anterior constituyen una onda
que viaja en dirección 𝑧. Verifique que la velocidad de la onda y 𝐸/𝐻 dependen
sólo de las propiedades del espacio vacío.
 𝐻 = −
𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥
 𝐸 = 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦

 Solución
 𝐸 𝑦 𝐻 varían ambos como 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 . Un estado dado de 𝐸 𝑦 𝐻 se caracteriza
entonces por
 Pero ésta es la ecuación de un plano que se mueve con velocidad
𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝜔𝑡 ó 𝑧 =
𝜔
𝛽
𝑡 − 𝑡 𝑜
𝑐 =
𝜔
𝛽

 Solución
 En la dirección de su normal, 𝑎 𝑧. Se supone que tanto 𝛽, como 𝜔, son positivos.
Para 𝛽 negativo, la dirección del movimiento seria −𝑎 𝑧). De esta manera el patrón
completo de la figura anterior se mueve por el eje 𝑧 con velocidad 𝑐.
 La ecuación de maxwell 𝛻 × 𝐻 = 𝜕𝐷/𝜕𝑡 da
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
−𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0 0
=
𝜕
𝜕𝑡
𝜖 𝑜 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦

 Solución
 La ecuación de maxwell 𝛻 × 𝐻 = 𝜕𝐷/𝜕𝑡 da
−𝑎 𝑦
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
−𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0
+ 𝑎 𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
−𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0
=
𝜕
𝜕𝑡
𝜖 𝑜 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦

 Solución

𝛽2 𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝐵𝑧 𝑎 𝑦 = 𝜖 𝑜 𝐸 𝑚 𝜔𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦

1
𝜖 𝑜 𝜇 𝑜
=
𝜔2
𝛽2
 Por lo tanto
 𝑐 =
1
𝜖 𝑜 𝜇 𝑜
=
1
8.8541878176×10−12 4𝜋×10−7 = 3 × 108 𝑚/𝑠
 Mas aún

𝐸
𝐻
=
𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡−𝛽𝑧
𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡−𝛽𝑧
=
𝜔𝜇 𝑜
𝛽
= 𝑐𝜇0 =
1
𝜖 𝑜 𝜇 𝑜
𝜇0 =
𝜇 𝑜
𝜖 𝑜
= 120𝜋
𝑉
𝐴
= 120𝜋Ω

 Problemas 3
 Sean 𝐻 = 𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧)
𝑎 𝑥 en el espacio vacío. Halle 𝐸.

 Solución
 𝛻 × 𝐻 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡

𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑦 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0
=
𝜕𝐷
𝜕𝑡
⟹ −𝑎 𝑥
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0
+ 𝑎 𝑦
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧)
0

 Solución
 𝛻 × 𝐻 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡

𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑦 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
⟹ 𝑗𝛽𝐻 𝑚 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑦 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0
=
𝜕𝐷
𝜕𝑡

 Solución
 Integramos
 𝑗𝛽𝐻 𝑚 𝑎 𝑦 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑑𝑡 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
⟹
 𝐷 =
𝛽𝐻 𝑚
𝜔
𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑦
 Y por lo tanto
 𝐸 =
𝐷
𝜖 𝑜
⇒ 𝐸 =
𝛽𝐻 𝑚
𝜔
𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑎 𝑦
𝜖0

 Problemas 4
 Dado
 E = 30π𝑒 𝑗 108𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑥 𝑉/𝑚 𝐻 = 𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(108 𝑡+𝐵𝑧) 𝑎 𝑦 𝐴/𝑚
 en el espacio vacío. Halle 𝐻 𝑚 𝑦 𝐵 𝛽 > 0 .

 Problemas 4
 Solución
 Esta es una onda plana, esencialmente la misma del problema 1 (excepto que allí 𝐸
estaba en la dirección de 𝐻 en la dirección de 𝑥). El resultado del problema 2 para
cualquier onda como esa en el espacio vacío fue:

𝜔
𝛽
=
1
𝜖0 𝜇0
= 3 × 108 𝑚
𝑠
𝐸
𝐻
=
𝜇0
𝜖0
= 120𝜋
 Por lo tanto dela primera ecuación despejamos 𝛽
 𝛽 =
𝜔
3×108 =
108
3×108 =
1
3
𝑟𝑎𝑑/𝑚 𝐻 𝑚 = ±
𝐸 𝑚
120𝜋
= ±
1
4
𝐴/𝑚

 Problemas 4
 Solución
 Para fijar el signo de 𝐻 𝑚, aplicamos 𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝐵/𝜕𝑡:

𝑖 𝑗 𝑘
𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧
30𝜋𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧 0 0
= −𝜕/𝜕𝑡
1
4
𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧
 −𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
30𝜋𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧 0
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
30𝜋𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧
0
= −
108
4
 𝑗 30𝜋𝛽𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧
= −
108
4

 Problemas 4
 Lo que demuestra que 𝐻 𝑚 debe ser negativo.

Potencia y Vector Poyting
 Se escribe la primera ecuación de Maxwell para una región de conductividad 𝜎 y
luego se toma el producto escalar de 𝐸 con cada término:
 Donde, como es usual, 𝐸2
= 𝐸 ∙ 𝐸. E utiliza la identidad vectorial
 𝛻 ∙ 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝛻 × 𝐴 − 𝐴 ∙ 𝛻 × 𝐵 para cambiar el lado izquierdo de la
ecuación.
𝛻 × 𝐻 = 𝜎𝐸 + 𝜖
𝜕𝐸
𝜕𝑡
𝐸 ∙ 𝛻 × 𝐻 = 𝜎𝐸2
+ 𝐸 ∙ 𝜖
𝜕𝐸
𝜕𝑡

 Por la segunda ecuación de Maxwell, tenemos
 Similarmente,
𝐻 ∙ 𝛻 × 𝐸 − 𝛻 ∙ 𝐸 × 𝐻 = 𝜎𝐸2
+ 𝐸 ∙ 𝜖
𝜕𝐸
𝜕𝑡
𝐻 ∙ 𝛻 × 𝐸 = 𝐻 ∙ −𝜇
𝜕𝐸
𝜕𝑡
= −
𝜇
2
𝜕𝐻2
𝜕𝑡
𝐸 ∙ 𝜖
𝜕𝐸
𝜕𝑡
=
𝜖
2
𝜕𝐸2
𝜕𝑡

 Sustituyendo y reordenando términos,
 Si esta igualdad es valida, entonces la integración de sus términos sobre un
volumen general 𝑣 debe ser valida también
 Donde el ultimo término ha sido convertido a una integral sobre la superficie de 𝑣
mediante el teorema de divergencia.
𝜎𝐸2
= −
𝜖𝜕𝐸2
𝜕𝑡
−
𝜇
2
𝜕𝐻2
𝜕𝑡
− 𝛻 ∙ 𝐸 × 𝐻
𝑣
𝜎𝐸2 = −
𝑣
𝜖𝜕𝐸2
𝜕𝑡
−
𝜇
2
𝜕𝐻2
𝜕𝑡
−
𝑆
𝐸 × 𝐻 ∙ 𝑑𝑆

 La integral de la izquierda tiene unidades watts y es el termino óhmico conocido
para representar la energía disipada en calor por unidad de tiempo. Esta energía
disipada tiene su fuente en las integrales de la derecha. Como
ϵ𝐸2
2
𝑦
𝜇𝐻2
2
son las
densidades de energía almacenadas en los campos eléctrico y magnético
respectivamente, las derivadas negativas respecto del tiempo pueden considerarse
como una disminución en esta energía almacenada. Por consiguiente, la integral
final (incluyendo el signo menos) debe ser la tasa de energía que penetra el
volumen desde fuera. Un cambio de signo produce el valor instantáneo de energía
que abandona el volumen:
𝑃 𝑡 =
𝑆
𝐸 × 𝐻 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑆
℘ ∙ 𝑑𝑆

 Para ondas planas, la dirección del flujo de energía es la dirección de propagación.
De esta manera, el vector Poynting ofrece una forma una forma útil y libre del
sistema de coordenadas de hallar la dirección de propagación es conocida. Esto
puede tener mucho valor cuando se examinan ondas incidentes, transmitidas y
reflejadas.
℘ 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
1
2
𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻∗

 Donde ℘ = 𝐸 × 𝐻 es el vector de Poyting, tasa instantánea de flujo de energía por
unidad de área en un punto.
 En el producto vectorial que define el vector de Poyting, los campos se suponen
reales. Pero si, 𝐸 𝑦 𝐻 se expresan en forman compleja y dependen en común del
tiempo, 𝑒 𝑗𝑤𝑡, entonces el promedio de tiempo de ℘ esta dado por
 Donde 𝐻∗ es la conjugada compleja de H.
 De esto se sigue la potencia compleja del análisis de circuitos, 𝑆 =
1
2
𝑉𝐼∗, de la que
la potencia es la parte real, 𝑃 =
1
2
𝑅𝑒𝑉𝐼∗
℘ 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
1
2
𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻∗

 Problema 5
 Una onda viajera está descrita por 𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑧 − 𝜔𝑡 . Dibuje la onda en 𝑡 = 0 y
en 𝑡 = 𝑡1, cuando ha avanzado 𝜆/8, si la velocidad es de 3 × 108 𝑚/𝑠 y si la
frecuencia angular 𝜔 = 2 × 106
𝑟𝑎𝑑/𝑠 y el mismo tiempo 𝑡1.

 Solución
 La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto
 𝑡1 =
𝑇
8
=
𝜋
4𝜔

𝜆
8
= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋
4 106 = 236𝑚

 Solución
 La onda se muestra en 𝑡 = 0 𝑦 𝑡 = 𝑡1 en la figura a. A una distancia de dos veces la
frecuencia, la longitud de onda 𝜆 es la mitad y la constante de de fase 𝛽 es dos
veces el valor anterior. En la figura b, en toda 𝑡1 la onda avanzo también 236 m
pero esta distancia es ahora
𝜆
4

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