3. Ю ні друзі!
Ви починаєте вивчати один з найцікавіших предметів —
геометрію. У перекладі з грецької слово геометрія означає
землемірство (гео — земля, метрео — міряти). Ця назва пояс
нюється тим, що виникнення геометрії пов’язане з практичною
діяльністю людини. Ще давні єгиптяни та греки близько
трьох тисяч років тому вміли виконувати різні вимірювання,
потрібні для розмічування ділянок, спорудження будівель,
прокладання доріг тощо. У процесі практичної діяльності зем
лемірів, будівельників, астрономів, мореплавців, художників
поступово складалися правила геометричних вимірювань,
побудов та обчислень.
Пізніше завдяки давньогрецьким ученим Фалесу, Піфагору,
Евкліду та іншим дедалі більшу роль у геометрії стали віді
гравати системи міркувань, які давали змогу доводити нові
формули і факти на основі раніше відомих. На початок нашої
ери геометрія вже сформувалася як наука, у якій властивості
геометричних фігур вивчають шляхом міркувань.
Отже, геометрія виникла на основі життєдіяльності людини.
Спочатку вона використовувалася суто практично, але згодом
сформувалася як самостійна математична наука.
Оволодіти матеріалом курсу вам допоможе цей підручник.
Він складається із чотирьох розділів, що містять 27 пара
графів. Під час вивчення теоретичного матеріалу зверніть
увагу на текст, надрукований жирним шрифтом. Його треба
запам’ятати.
У підручнику ви побачите умовні позначення. Ось що вони
означають:
— означення, важливі геометричні твердження (аксіоми,
теореми, властивості);
— запитання до вивченого теоретичного матеріалу;
А — закінчення доведення теореми або задачі;
— «ключова» задача, висновки якої використовуються
під час розв’язування інших задач;
— вправи для повторення;
— вправи підвищеної складності;
— рубрика «Цікаві задачі для учнів неледачих» та додат
ковий матеріал.
•#>
х :
т
з
4. Чорним кольором позначено номери вправ для розв’язування
у класі, а синім — для розв’язування вдома.
Усі вправи мають позначення залежно від рівня навчальних
досягнень, якому вони відповідають.
З позначки у починаються вправи початкового рівня;
З позначки починаються вправи середнього рівня;
З позначки починаються вправи достатнього рівня;
З позначки починаються вправи високого рівня.
Перевірити свої знання та підготуватися до тематичного
оцінювання ви зможете, якщо виконаєте завдання «Домаш
ньої самостійної роботи», які подано в тестовій формі, та
«Завдання для перевірки знань». Після кожного розділу
наведено вправи для його повторення, а в кінці підручника —
«Завдання для перевірки знань за курс геометрії 7 класу» та
«Задачі підвищеної складності». Учням, які цікавляться гео
метрією, варто розглянути вправи рубрики «Цікаві задачі для
учнів неледачих».
Автор намагався подати теоретичний матеріал підручника
простою, доступною мовою, проілюструвати його значною
кількістю прикладів. Після вивчення теоретичного матеріалу
в школі його обов’язково потрібно доопрацювати вдома.
Підручник містить велику кількість вправ. Більшість із
них ви розглянете на уроках і під час домашньої роботи; інші
вправи рекомендується розв’язати самостійно.
Бажаю успіхів в опануванні курсу!
4
5. Ш ановні вчителі!
Пропонований підручник містить велику кількість вправ;
вправи більшості параграфів подано «із запасом». Тож оби
райте їх для використання на уроках та як домашні завдання
залежно від поставленої мети, рівня підготовленості учнів,
ступеня індивідуалізації тощо. Вправи, що не розглядалися
на уроці, та додатковий матеріал (§ 27) можна використати
на факультативних та індивідуальних заняттях, під час під
готовки до математичних змагань.
Додаткові вправи у «Завданнях для перевірки знань» при
значено для учнів, які впоралися з основними завданнями
раніше за інших учнів. Правильне їх розв’язання вчитель
може оцінити окремо.
Вправи для повторення розділів можна запропонувати
учням, наприклад під час узагальнюючих уроків або під час
повторення і систематизації навчального матеріалу в кінці
навчального року.
Ш ановні батьки!
Якщо ваша дитина пропустить один чи кілька уроків у
школі, потрібно запропонувати їй самостійно опрацювати
цей матеріал за підручником удома. Спочатку дитина має
прочитати теоретичний матеріал, який викладено простою,
доступною мовою та проілюстровано значною кількістю при
кладів. Після цього вона повинна розв’язати вправи, що їй
посильні, з розглянутого параграфа.
Упродовж опрацювання дитиною курсу геометрії 7-го класу
ви можете пропонувати їй додатково розв’язувати вдома
вправи, які не розглянули під час уроку. Це сприятиме якнай
кращому засвоєнню навчального матеріалу.
Кожна тема закінчується тематичним оцінюванням. Перед
його проведенням запропонуйте дитині розв’язати завдання
«Домашньої самостійної роботи», які подано в тестовій формі,
та «Завдання для перевірки знань». Це допоможе пригадати
основні типи вправ та якісно підготуватися до тематичного
оцінювання.
5
6. ЕЛЕМЕНТАРНІ
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ
ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
У цьому розділі ви:
• пригадаєте елементарні геометричні фігури: точку, пря
му, промінь, кут, відрізок;
• дізнаєтеся про основні властивості елементарних гео
метричних фігур;
• навчитеся розв’язувати задачі, пов’язані з відрізками та
З уроків математики вам уже відомі деякі геометричні фігури:
точка, пряма, відрізок, промінь, кут (мал. 1 ), трикутник, пря
мокутник, коло (мал. 2). На уроках геометрії ви розширите
й поглибите знання про ці фігури, ознайомитеся з іншими
важливими фігурами та їх властивостями.
Геометрія — це наука про властивості геометричних фігур.
Найпростішою геометричною фігурою є точка. Уявлення
про точку можна отримати, якщо на аркуш паперу натиснути
добре загостреним олівцем або на шкільну дошку — добре
загостреним шматком крейди.
кутами.
1 ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ. ТОЧКА, ПРЯМА,
. ПРОМІНЬ
Мал. 1 Мал. 2
7. ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
С
Мал. З Мал. 4 Мал. 5
З точок складаються всі інші геометричні фігури. Отже,
будь-яка множина точок є геометричною фігурою.
Частина геометричної фігури теж є геометричною фігурою.
Геометричною фігурою є й об’єднання кількох геометричних
фігур. На малюнку 3 фігура складається з прямокутника і
двох трикутників.
Однією з основних геометричних фігур є площина. Уявлення
про частину площини дає поверхня стола, шибки, стелі тощо.
Площину в геометрії вважають рівною та необмеженою; вона
не має ані краю, ані товщини. У 7-9-х класах ви опрацьовува
тимете частину шкільного курсу геометрії — планіметрію.
Планіметрія вивчає властивості фігур на площині.
Основними геометричними фігурами на площині є точка
і пряма. Прямі можна проводити за допомогою лінійки
(мал. 4). При цьому ми зображуємо лише частину прямої, а
всю пряму уявляємо нескінченною в обидва боки. Прямі най
частіше позначають маленькими латинськими буквами а, Ь, с,
(і, ..., а точки — великими латинськими буквами А, В, С, X), ...
На малюнку 5 зображено пряму а і точки А, В, С. Точ
ки А і Б лежать на прямій а; кажуть також, що точки А
і В належать прямій а або що пряма а проходить через
точки А і В. Точка С не лежить на прямій а; інакше кажучи,
точка С не належить прямій а або пряма а не проходить
через точку С.
Яка б не була пряма, існують точки, які їй належать,
і точки, які їй не належать.
Для зручності замість слів «точка А належить прямій а*
використовують запис А є а, а замість слів «точка С не нале
жить прямій а* — запис С е а.
Зауважимо, що через точки А і Б не можна провести іншої
прямої, яка б не збігалася з прямою а.
Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того
ж тільки одну.
7
8. Розділ 1
п
Мал. 7
т
Тут і далі, говорячи про «дві точки», «дві прямі», вважати
мемо, що ці точки, прямі — різні.
Пряму, на якій позначено дві точки, наприклад А і В,
можна записати двома буквами: АВ або ВА. На малюнку 5
точка С не належить прямій АВ (це записують так: С і АВ),
кажуть також, що точки А, В і С не лежат ь на одній прямій.
Точки М, К і Р лежать на одній прямій (мал. 6 ), причому
точка К лежить між точками М ІР .
х'/І 3 трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між
двома іншими.
Якщо дві прямі мають спільну точку, то кажуть, що вони
перетинаються в цій точці. На малюнку 7 прямі а і Ь пере
тинаються в точці Т, а прямі т і п не перетинаються.
Проведемо пряму та позначимо на ній точку А (мал. 8 ). Ця
точка ділить пряму на дві частини, кожну з яких разом з
точкою А називають променем, що виходить з точки А. Точка
А називається початком кожного з променів. Промені позна
чають двома великими латинськими буквами, перша з яких
означає початок променя, а друга — деяку точку на промені
(наприклад, промінь ОК на малюнку 9).
Мал. 8 Мал. 9 Мал. 10
Два промені, що мають спільний початок і доповнюють один
одного до прямої, називають доповняльними. На малюнку 10
промінь ВС є доповняльним для променя BD, і навпаки, про
мінь В2) є доповняльним для променя ВС.
Перші відомості про властивості геометричних фігур люди отримували з практичної
діяльності та спостережень за навколишнім світом. Перший твір, що містить найпро
стіші геометричні відомості про знаходження площ деяких фігур та об’ємів тіл, дійшов
до нас із Давнього Єгипту. Він датується XVII ст. до н. е. Описані в цьому творі правила
обчислення площ та об’ємів були отримані з практики. Ніяких логічних доведень їх
8
9. ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
істинності не наводилося. Самі ж значення площ та
об'ємів, обчислені за такими правилами, були при
близними.
Про зародження геометрії у Давньому Єгипті дав
ньогрецький історик Геродот (V ст. до н. е.) писав:
«Сезострис, єгипетський фараон, розділив землю,
давши кожному єгиптянину ділянку за жеребкуванням,
та стягував відповідним чином податок з кожної
ділянки. Бувало, що Ніл заливав ту чи іншу ділянку,
тоді потерпілий звертався до фараона, а той посилав
землемірів, щоб установити, на скільки зменшилася
ділянка, і відповідно зменшував податок. Так виникла
геометрія в Єгипті, а звідти перейшла в Грецію».
Саме в Давній Греції і відбулося становлення гео
метрії як науки. Завдяки грецьким геометрам Фалесу,
Піфагору, Демокріту (бл. 460-370 рр. до н. е.) відбувся
поступовий перехід від практичної до теоретичної гео
метрії. Ці та інші вчені зробили кроки до строгого
обґрунтування геометричних фактів і теорем, збагати
ли науку численними теоремами, які ми використовує
мо й донині.
Таким чином, було створено науку, що вивчає
форми, розміри, властивості, взаємне розташування
геометричних фігур. Цю науку, як і раніше, називають
геометрією, хоча її зміст вийшов далеко за межі вчен
ня про вимірювання землі.
Фалес
Піфагор
(бл. 580-500 до н. е.)
0 Що вивчає геометрія? З Наведіть приклади геометричних
фігур. З Назвіть основні геометричні фігури на площи
ні. ^ Як позначають прямі та точки? і Скільки прямих
можна провести через дві точки? і Що таке промінь?
З Як позначають промені? } Які промені називають до
повняльними?
Ф і. Назвіть за малюнком 11:
1 ) точки, що належать прямій а;
2 ) точки, що належать прямій Ь;
3) точку, що належить і прямій а, і
прямій Ь;
4) точки, що належать прямій а, але
не належать прямій Ь;
5) точки, що не належать ані пря
мій а, ані прямій Ь. Мал. 11
9
10. Мал. 12
.Р
Мал. 13
2. Позначте в зошиті точки М і N та проведіть через них
пряму. Назвіть цю пряму. Позначте точку К, що належить
побудованій прямій, та точку Ь, яка їй не належить. Зробіть
відповідні записи.
3. Проведіть пряму а. Позначте дві точки, що належать цій
прямій, і дві точки, які їй не належать. Назвіть точки та запи
шіть взаємне розташування прямої і точок, використовуючи
символи є і
|^4. На малюнку 12 пряма АВ перетинає прямі МИ і КЬ у
точках СіХ). Запишіть:
1) усі промені з початком у точці С;
2 ) пари доповняльних променів, початок яких — точка £>.
5. 1) Запишіть усі промені, зображені на малюнку 13.
2) Чи є серед цих променів пари доповняльних променів?
ЦЗб. Позначте в зошиті точки М, ІУ, і*1 так, щоб через них можна
було провести пряму. Запишіть усі можливі назви цієї прямої.
7. Позначте в зошиті точки В, С і В так, щоб записи СВ і
СВ позначали одну й ту саму пряму. Як ще можна назвати
цю пряму?
8 . Використовуючи малюнок 14:
1 ) з’ясуйте, чи перетинаються прямі
т і СВ;
2 ) запишіть усі точки, які належать
прямій т;
3) запишіть усі точки, які належать
прямій БС; •-------- •
4) запишіть точки, які не належать т А ^ 1
ані прямій тп, ані прямій ВС. &
Мал. 14
10
11. Позначте в зошиті точки Б, Е, і*1, Р, як «-Е
на малюнку 15. ^
1) Через кожні дві точки проведіть пряму. *
Запишіть назви всіх цих прямих.
2) Скільки всього прямих утворилося?
3) На скільки частин ці прямі розбивають
площину?
10. Позначте в зошиті три точки А, В і С, Мал. 15
що не лежать на одній прямій.
1) Через кожні дві точки проведіть пряму. Запишіть усі утво
рені прямі.
2) Скільки всього прямих утворилося?
3) На скільки частин ці прямі розбивають площину?
11. Точка А ділить пряму тп на два промені. За якої умови
точки Б і С цієї прямої належать одному променю; різним
променям?
12. На площині проведено три прямі. На першій по
значено 2017 точок, на другій — 2018, а на третій —
2019 точок. Яку найменшу загальну кількість точок при цьому
може бути позначено?
ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА IX ВЛАСТИВОСТІ
ВІДРІЗОК. ВИМІРЮВАННЯ ВІДРІЗКІВ.
ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ
Л І Відрізком називають частину прямої, яка складається з
усіх точок цієї прямої, що лежать між двома її точками,
разом із цими точками. Ці точки називають кінцями від
різка.
На малюнку 16 зображено відрізок АВ (його також можна
назвати відрізком БА); точкиА і Б — його кінці. На малюнку 17
точка М належить відрізку СІ) (її ще називають внутрішньою
точкою відрізка), а точка Р йому не належить.
А В С М Б
Мал. 16 Мал. 17
11
12. Ш Розділ 1
На малюнку 18 відрізки КЬ і .РЛГ мають єдину спільну
точку О. Кажуть, що відрізки КЬ і ІГЛГ перетинаються в
точці О.
Мал. 18
На практиці часто доводиться вимірювати відрізки. Для
цього необхідно мати одиничний відрізок (одиницю вимірю
вання). Одиницями вимірювання довжини є 1 мм, 1 см, 1 дм,
1 м, 1 км.
Для вимірювання відрізків використовують різні вимірю
вальні інструменти. Одним з таких інструментів є лінійка з
поділками. На малюнку 19 довжина відрізкаАВ дорівнює 3 см.
Коротко кажуть: «Відрізок АВ дорівнює 3 см». На малюнку 20
довжина відрізка СО дорівнює 1 см 5 мм, або 1,5 см, або 15 мм.
Записують це так:
АВ = 3 см, СО = 1,5 см = 15 мм.
А В С Б
|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІ |ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІІІ|ІІ
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
Мал. 19 Мал. 20
Мал. 21 Мал. 22
Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.
Іншими інструментами, якими можна вимірювати відрізки,
є складаний метр (мал. 2 1 ), рулетка (мал. 2 2 ), клейончастий
сантиметр (мал. 23).
На малюнку 24 зображено відрізок АВ. Точка С ділить його
на два відрізки: АС і СВ (кажуть також, що точка С належить
13. ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА IX ВЛАСТИВОСТІ
А
*
Мал. 23
С
Мал. 24 Мал. 25
відрізку АВ). Бачимо, що АС = 4 см, СВ = 1 см, АВ = 5 см.
Отже, АС + СВ = АВ.
Маємо основну властивість вимірювання відрізків.
ФДовжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він
розбивається будь-якою його внутрішньою точкою.
Довжину відрізка називають також відст анню м іж його
кінцями. На малюнку 24 відстань між точками А і С дорівнює
4 см.
ФДва відрізки називають рівними, якщо рівні їх довжини.
З двох відрізків більшим вважають той, довжина якого
більша. На малюнку 25 довжина відрізка МІУ дорівнює
довжині відрізка АВ, тому ці відрізки рівні. Можна записати:
МИ = АВ. На цьому самому малюнку довжина відрізка МІV
більша за довжину відрізка РЬ. Кажуть, що відрізок МИ
більший за відрізок РЬ, записують це так: МИ > РЬ.
На малюнках рівні відрізки прийнято позначати одна
ковою кількістю рисочок, а відрізки неоднакової довжини —
різною кількістю рисочок.
Точку відрізка, яка ділить його навпіл, тобто на два рівні
відрізки, називають серединою відрізка.
На малюнку 26 АС = 2 см, СВ = ^ ^ д
= 2 см, тому точка С — середина від- •-------/-------•-------/-------•
різка АВ. Мал. 26
Задача. Точка К належить відрізку АВ, довжина якого
15 см. Знайдіть довжини відрізків АК і КВ, якщо АК більший
за КВ на 3 см.
13
14. Р о з в ’ я з а н н я . Розглянемо А_________ К______ В
малюнок 27, на якому точка К нале
жить відрізку АВ; АВ = 15 см. Мал. 27
Нехай КВ = х см, тоді АК = (х + 3) см.
Оскільки АК + КВ = АВ (за основною властивістю вимірю
вання відрізків), маємо рівняння:
(ж + 3) + х = 15.
Розв’яжемо отримане рівняння: 2х + 3 = 15; х = 6 (см).
Отже, КВ = 6 см, АК = 6 + 3 = 9 (см).
В і д п о в і д ь . КВ = 6 см, АК = 9 см.
Що називають відрізком? З Що таке кінці відрізка?
З Які одиниці вимірювання довжини ви знаєте? Яки
ми інструментами вимірюють довжини відрізків? З Що
називають відстанню між двома точками? 0 Сформу
люйте основну властивість вимірювання довжин відріз
ків. З Які відрізки називають рівними? З Яку точку
називають серединою відрізка?
фіз. Назвіть усі відрізки, зображені на малюнку 28. Виміряйте
довжини двох з них.
14. Запишіть усі відрізки, зображені на малюнку 29, та вимі
ряйте довжини трьох з них.
Розділ 1 ________________________________________________________
Мал. 28 Мал. 29
15. Позначте в зошиті точки С і X) та знайдіть відстань між
ними.
Ф іб . Накресліть відрізки АВ і МЛГ так, щоб АВ = 7 см 2 мм,
МИ = 6 см 3 мм. Порівняйте довжини відрізків АВ і МАГ.
17. Накресліть відрізки КЬ і РР так, щоб КЬ = 5 см 9 мм,
РР = 6 см 8 мм. Порівняйте довжини відрізків КЬ і РР.
18. Точка С лежить між точками А і В а С В
(мал. ЗО). Знайдіть: • • •
1) АВ, якщо АС = 5 см, СВ = 2 см; Мал. ЗО
2) ВС, якщо АВ = 12 дм, АС = 9 дм.
19. Точка К лежить між точками Р і( ) £ %____________^
(мал. 31). Знайдіть: Мал ^
14
15. ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
1) Р<3, якщо РК = 3 дм, К(2 = 7 дм;
2) РК, якщо Р(2 = 8 см, К(2 = 6 см.
20. Чи лежать точки К, Ь і М на одній прямій, якщо:
1) КЬ = 8 см, ЬМ = 3 см, КМ = 11 см;
2) КЬ = 5 см, ЬМ = 9 см, КМ = 8 см?
У разі позитивної відповіді вкажіть, яка з точок лежить між
двома іншими.
21. Чи лежать точки А, В і С на одній прямій, якщо:
1) АВ = 7 см, ВС = 3 см, АС = 9 см;
2) АВ = 5 см, ВС = 2 см, АС = 7 см?
У разі позитивної відповіді вкажіть, яка з точок лежить між
двома іншими.
Ф 2 2 . На прямій позначено точки Р, Ь і М, причому РЬ = 42 мм,
РМ = 3 см 2 мм, ЬМ - 0,74 дм. Яка з точок лежить між двома
іншими? Відповідь обґрунтуйте.
23. Чи лежать точки А, В і С на одній прямій, якщо АВ = 12 см,
ВС = 1,5 дм, АС = 40 мм?
24. На малюнку 32 довжини відрізків АВ А В С О
і СВ однакові. Обґрунтуйте, чомуАС = ВВ. • * • *~~
25. На малюнку 32 довжини відрізків АС і Мал. 32
ВВ однакові. Обґрунтуйте, чому АВ = СВ.
26. Точки С І В належать відрізку АВ. Знайдіть довжину від
різка СВ, якщо АВ = 40 см, АС = 25 см, ВВ = 32 см.
27. Точки М і N належать відрізку СВ. Знайдіть довжину
відрізка СВ, якщо ММ = 50 см, МС = 40 см, ІУВ = 16 см.
|р28. Точка С належить відрізку АВ = 7,6 дм. Визначте довжини
відрізків АС і ВС, якщо: 1) АС втричі менший від ВС; 2) АС
більший за ВС на 2,8 дм.
29. Точка М належить відрізку СВ = 8,4 см. Визначте довжини
відрізків СМ і ВМ, якщо: 1) СМ більший за ВМ на 0,6 см;
2) СМ : ВМ = 1 : 3 .
30. Точки С, В і М лежать на одній прямій. Знайдіть від
стань між точками С і В , якщо відстань між точками С і
М дорівнює 5,2 см, а відстань між точками В і М — 4,9 см.
Скільки розв’язків має задача?
31. На прямій позначено точки А, М і И, причомуАМ = 7,2 см,
МАГ = 2,5 см. Знайдіть відстань між точками А і N. Скільки
розв’язків має задача?
ТаГЇ-с 32. Розділіть трикутник двома прямими на:
1 ) два трикутники і один чотирикутник;
2 ) два трикутники, один чотирикутник і один п’ятикутник.
15
16. Розділ 1
ш
КУТ. ВИМІРЮВАННЯ КУТІВ.
БІСЕКТРИСА КУТА
Кут — це геометрична фігура, яка складається з двох
променів, що виходять з однієї точки.
Промені називають сторонами кута, а їх спільний
початок — вершиною кута.
На малюнку 33 зображено кут з вершиною О і сторонами
ОА і ОВ. Такий кут можна назвати по-різному: кут О, або
кут АОВ, або кут ВОА. У другому та третьому варіантах назви
кута буква О, що позначає його вершину, ставиться посередині.
Слово «кут» можна замінити знаком Z , записавши кут О так:
Z О, або Z АОВ, або Z ВОА.
Розгорнутий кут — це кут, сторони якого є доповняль
ними променями (мал. 34).
А О В
Мал. 34
Будь-який кут ділить площину на дві частини. Якщо кут
не є розгорнутим, то одну із частин називають внутрішньою
област ю кута, а іншу — зовніш ньою (мал. 35). На малюнку 36
точки А, В і С належать внутрішній області кута (лежать усе
редині кута), точки М і N належать сторонам кута, а точки
Р і Сі належать зовнішній області кута (лежать поза кутом).
Якщо кут є розгорнутим, то будь-яку з двох частин, на які він
ділить площину, можна вважати внутрішньою областю кута.
Мал. 35 Мал. 36
16
17. ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА IX ВЛАСТИВОСТІ
За одиницю вимірювання кутів
приймають градус — кут, який
1
становить 3-577 розгорнутого кута.
loi)
Позначають градус знаком °. Для
вимірювання кутів використо
вують транспортир — інстру
мент, який ви знаєте з молодших
класів.
На малюнку 37 градусна
міра кута АОВ дорівнює 50°, а
кута СОБ — 110°. Коротко кажуть: кут АОВ дорівнює 50°, кут
COD дорівнює 110°; записують так: ZAOB = 50°, Z COD = 110°.
II
Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль.
Розгорнутий кут дорівнює 180°.
60',
Дуже малі кути вимірюють у мінутах і секундах. Мінута —
це частина градуса, секунда — ^ частина мінути. Мінути
ЬО ЬО
позначають знаком ', секунди — знаком ". Отже, 1°
1 ' = 60".
На місцевості кути вимірюють астролябією
(мал. 38).
Будемо вважати, що промінь ОК прохо
дить м іж сторонами кут а АОВ, якщо він
виходить з його вершини і лежить у його вну
трішній області (мал. 39).
На малюнку 40 промінь ОМ проходить
між сторонами кута АОВ і ділить його на два
кути: ВОМ і МОА. Бачимо, що Z ВОМ = 40°,
ZMOA = 80°, ZAOB = 120°. Отже,
Z АОВ = Z ВОМ + Z МОА.
Мал. 38
Мал. 39
17
18. Розділ 1 ____
Маємо основну властивість вимірювання кутів.
Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на
які він розбивається будь-яким променем, що проходить
між його сторонами.
З’ясуємо, як порівнювати кути.
Два кути називають рівними, якщо в них однакові градус
ні міри.
З двох кутів більшим вважають той, градусна міра якого є
більшою. На малюнку 41 градусна міра кута М дорівнює 50°,
градусна міра кута К також дорівнює 50°. Тому ці кути рівні.
Можна записати: / М = Z К . На малюнку 42 градусна міра
кута Р дорівнює 70°, тому кут Р більший за кут М. Записують
це так: Z Р > А М. На малюнках рівні кути прийнято позна
чати однаковою кількістю дужок при вершині, а якщо кути
не є рівними, — різною кількістю дужок.
Мал. 42
Кут називають прямим, якщо його градусна міра дорівнює
90°, гострим, якщо він менший від прямого, тупим, якщо
він більший за прямий, але менший від розгорнутого (мал. 43).
Прямий кут на малюнках позначають знаком —|.
Прямий
Мал. 43
Бісектрисою кута називають промінь, який виходить з
його вершини і ділить кут навпіл.
18
19. ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА IX ВЛАСТИВОСТІ
На малюнку 44 промінь ОР — бісект
риса кута АОВ.
Задача. ZABC = 100°, ВК — бісектриса
кута АВС, а ВЬ — бісектриса кута КВС.
Знайти ZABL.
Р о з в ’ я з а н н я . Розглянемо мал. 45.
1) ^ КВС = = ^п- = 50°;
2) ^ ЬВС = = ^ = 25°;
’ 2 2
3) А АВЬ = А АВС - Z ЬВС = 100° - 25° =
= 75°.
В і д п о в і д ь . 75°.
Мал. 44
Яку фігуру називають кутом? З Як позначають кут?
^ Що таке вершина кута; сторона кута? З Який кут
називають розгорнутим? З Якими інструментами ви
мірюють кути? З У яких одиницях вимірюють кути?
^ Що означає вираз: «Промінь проходить між сторона
ми кута»? З Сформулюйте основну властивість вимірю
вання кутів. З Які кути називають рівними? ^ Який
кут називають прямим; гострим; тупим? З Який про
мінь називають бісектрисою кута?
Ір зз. Назвіть вершини і сторони кутів, зображених на малюнку 46.
К 2) Р
Ь Р
Мал. 46
34. Запишіть вершину і сторони кута: 1) МОР; 2) ВЬК.
35. Який з даних кутів гострий, тупий, прямий, розгорнутий:
1) ZA = 39°; 2) ZB = 90°; 3) ZC =91°;
4) ZD = 170°; 5) ZM = 180°; 6 ) ZQ = 79°;
7) АР = 1°3'; 8 ) Z^, = 173°12'?
19
20. 36. Випишіть, які з даних кутів гострі, тупі, прямі, розгорнуті:
1) А К = 121°; 2) АА = 90°;
3) АЬ = 12°; 4) АЕ = 180°;
5) АМ = 89°; 6 ) АИ = 93°12'.
37. (Усно) Чи є промінь ОК бісектрисою кутаАОВ (мал. 47-49)?
Розділ 1 ________________________________________________________
О
Мал. 48 Мал. 49Мал. 47
|р38. За малюнком 50:
1 ) запишіть усі зображені кути;
2 ) користуючись транспортиром,
деяких двох з них;
3) обчисліть градусну міру третього
39. Користуючись транспортиром, зна
йдіть градусні міри кутів, зображених
на малюнку 46. Визначте вид кожного
з них.
40. Накресліть кут градусної міри: Мал. 50
1) 30°; 2) 90°; 3) 115°; 4) 75°.
41. Накресліть кут, градусна міра якого:
1) 65°; 2) 100°; 3) 20°; 4) 155°.
42. Накресліть кут, градусна міра якогодорівнює 140°, та про
ведіть його бісектрису.
43. Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює 50°, та про
ведіть його бісектрису.
44. Виконайте дії:
1) 7°13' + 12°49'; 2) 52°17' - 45°27'.
45. 1) Виразіть у мінутах: 4°; 2°15
2) Виразіть у секундах: 5'; 2°; 1°3'.
46. Промінь ОК проходить між сторонами кута ВОС. Знай
діть градусну міру кута ВОС, якщо Z ВОК = 38°, Z КОС = 42°.
Виконайте малюнок.
знайдіть градусні міри
кута.
20
21. ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
47. Промінь PC проходить між сторонами кута АРВ. Знай
діть градусну міру кута СРВ, якщо Z АРВ = 108°, Z АРС = 6 8 °.
Виконайте малюнок.
fë48. Чи проходить промінь ВК між сторонами кута ABC, якщо
ZABC = 52°, ZA BK = 57°? Відповідь обґрунтуйте.
49. Знайдіть градусні міри кутів між годинною та хвилинною
стрілками годинника:
1 ) о 18 год; 2 ) о 3 год;
3) о 1 год; 4) о 20 год.
50. Знайдіть градусну міру кута між годинною та хвилинною
стрілками годинника:
1 ) о 2 1 год; 2 ) о 6 год;
3) о 19 год; 4) о 2 год.
51. Промінь ОС ділить кут АОВ на два кути. Знайдіть гра
дусну міру кута ВОС, якщо Z АОВ = 60° і Z АОС = ^ Z АОВ.
52. Промінь АВ ділить кут МАК на два кути. Знайдіть гра
дусну міру кута МАК, якщо Z МАВ = 70°, а кут ВАК складає
60 % від кута МАВ.
С-53. Кут між бісектрисою кута і продовженням однієї з його
сторін за вершину кута дорівнює 142°. Знайдіть градусну міру
цього кута.
54. Який кут утворює бісектриса кута 98° з продовженням
однієї з його сторін за вершину кута?
55. Z MQB = 120°. Між сторонами кута проходить промінь
QP так, що кут PQB у 4 рази менший від кута MQP. Знайдіть
кути PQB і MQP.
56. Промінь АС проходить між сторонами кута MAN, який
дорівнює 8 6 °. Знайдіть кути МАС і CAN, якщо кут МАС
більший за кут CAN на 14°.
57. Розгорнутий кут АОВ променями ОК і OL поділено на три
кути так, що ZAOK = 140°, ZBOL = 100°. Знайдіть градусну
міру кута LOK.
58. Прямий кут COD променями ОМ і ON поділено на три
кути так, що Z CON = 70°, Z MOD = 80°. Знайдіть градусну
міру кута MON.
TiÊrt. 59. 1) Пригадайте назви геометричних фігур, які ви роз-
глянули в цьому розділі, і фігур, які відомі вам з попе
редніх класів. Запишіть їхні назви в рядках (див. с. 22).
Якщо назви фігур записано правильно, то у виділеному
стовпчику можна прочитати прізвище видатного українського
математика.
21
22. 2) Знайдіть у літературі чи Інтернеті відомості про життєвий
і творчий шлях цього математика. Інформацію про цього
вченого можна знайти також і на сторінках підручника.
Розділ 1 ________________________________________________________
^ Вправи для повторення розділу 1
т
До § 1
60. За малюнком 51 укажіть:
1 ) точку перетину прямих а і Ь;
2 ) які точки належать прямій с;
3) чи належить точка М прямій РЬ;
4) як інакше можна назвати пряму Ь.
Ір бі. 1) Побудуйте промені ОК, ОМ і
(Ж так, щоб промінь ОМ був допов
няльним для променя ОЛГ.
2) Побудуйте промені ОА, ОВ і ОС
так, щоб серед побудованих променів Мал. 51
не було жодної пари доповняльних.
Ф 62. Позначте точки А, В і С так, щоб записи АВ і АС означали
дві різні прямі.
63. Одна з двох прямих, що перетинаються, проходить через
точку М, яка належить іншій прямій. Що можна сказати про
точку М і точку перетину цих прямих?
С б 4. Точки А і В належать прямій І. Пряма тп відмінна від
прямої І і проходить через точку А. Чи може точка В нале
жати прямій /71? Відповідь обґрунтуйте.
22
23. ЕЛЕМЕНТАРНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
До § 2
£*65. 1) Позначте в зошиті точки А, В і С, які не лежать на
одній прямій, та знайдіть відстані між кожною парою точок.
2) Позначте в зошиті точки Б, Е і 2^, які лежать на одній
прямій, та знайдіть відстані між кожною парою точок.
ф бб. Накресліть відрізок КЬ = 6 см 8 мм. Позначте на ньому
точку Р так, що КР = 43 мм. Знайдіть довжину відрізка ЬР за
допомогою обчислень.
67. Сумою яких двох відрізків є від
різок МИ (мал. 52)? Розгляньте всі
можливі випадки.
М NА В
Мал. 52
Ц368. 1) Три прямі перетинають відрізок АВ, причому жодна з
точок перетину прямих і відрізка не збігається з кінцями від
різка. На скільки частин ці точки можуть поділити відрізок?
2) На скільки частин поділиться відрізок, якщо кількість
прямих дорівнює 71?
69. Точка С — середина відрізка АВ, точка Б — середина від
різка АС. Знайдіть:
1) АС, СВ, АБ і БВ , якщо АВ = 20 см;
2) АВ, АС, АБ і БВ , якщо ВС = 12 дм.
Ц>70. Точки М ІЙ належать відрізку СБ. СВ = 15 см, СМ = 12 см,
БИ = 11 см. Знайдіть довжину відрізка NМ.
71. Точка Р належить відрізку АВ. На прямій АВ позначте
АР
таку точку С, що ВС = ---- . Скільки розв’язків має задача?
2
1^72. Точка К належить відрізку СБ, довжина якого а см. Знай
діть відстань між серединами відрізків СК і КБ.
До § З
ІЕЇ73. Знайдіть градусні міри кутів, зображених на малюнку 53.
23
24. Розділ 1
74. Два учні накреслили кути по 70°. Один з учнів сказав,
що в нього кут більший, оскільки сторони його кута мають
більшу довжину. Чи правий цей учень?
Ф 75. Використовуючи малюнок 54, укажіть усі можливі назви
кута з вершиною А з даних: КАС, ВАМ, САМ, КМА, ВАС,
АКМ, ABC, МАК, KAM, САК.
76. Накресліть один гострий кут і один тупий. Побудуйте
бісектриси цих кутів за допомогою транспортира.
Ц377. 1) На який кут повертається хвилинна стрілка годинника
протягом 15 хв; 7 хв; 23 хв?
2) На який кут повертається годинна стрілка годинника про
тягом 1 хв; 6 хв; 40 хв?
78. ОК — бісектриса кута АОВ, OL — бісектриса кута КОВ.
Знайдіть:
1) ZLOK, якщо ZAOB = 120°;
2) ZAOB, якщо ZLOB = 37°.
С*79. ZAOB = Z ВОС, Z COD = Z DOE (мал. 55). Знайдіть:
1) ZBOD, якщо ZAOE = 140°;
2) ZAOE, якщо ZBOD = 73°.
Мал. 55
80. ZAOB = 168°, промінь ОМ проходить між його сторонами.
ZAOM : Z МОВ = 3 : 4 . Знайдіть ці кути.
25. Ф га п і л Я т а є м н е
с/ Г РОЗМІЩЕННЯ
/ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
У цьому розділі ви:
• пригадаєте паралельні та перпендикулярні прямі;
• дізнаєтеся, що таке аксіома, теорема, означення, ознака,
наслідок; суміжні і вертикальні кути; кут між двома прями
ми; кути, що утворилися при перетині двох прямих січною;
• навчитеся зображувати паралельні та перпендикулярні
прямі за допомогою косинця і лінійки; застосовувати
властивості суміжних і вертикальних кутів та кутів, що
утворилися при перетині паралельних прямих січною, до
розв’язування задач; доводити теореми.
Ш
АКСІОМИ, ТЕОРЕМИ,
. ОЗНАЧЕННЯ
Аксіоми геометрії — це твердження про основні властивості
найпростіших геометричних фігур, прийняті як початкові
положення.
У перекладі з грецької слово аксіома означає прийняте
положення.
Нагадаємо деякі вже відомі вам аксіоми.
I. Яка б не була пряма, існують точки, які їй належать, і
точки, які їй не належать.
II. Через будь-які дві точки можна провести пряму і до
того ж тільки одну.
III. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між
двома іншими.
IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу за нуль.
V. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які
він розбивається будь-якою його внутрішньою точкою.
VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу за нуль.
Розгорнутий кут дорівнює 180°.
VII. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів,
на які він розбивається будь-яким променем, що про
ходить між його сторонами.
25
26. Розділ 2
Математичне твердження, справедливість якого встановлю
ється за допомогою міркувань, називають т еоремою, а саме
міркування називають доведенням теореми.
Кожна теорема містить умову (те, що дано) і висновок (те,
що необхідно довести). Умову теореми прийнято записувати
після слова «дано», а висновок — після слова «довести».
Доводячи теорему, можна користуватися аксіомами, а також
раніше доведеними теоремами. Ніякі інші властивості геоме
тричних фігур (навіть якщо вони здаються нам очевидними)
використовувати не можна.
Твердження, у якому пояснюється зміст певного поняття
(термін), називають означенням. Ви вже знаєте деякі озна
чення, наприклад означення відрізка, кута, бісектриси кута.
Давньогрецький учений Евкпід у своїй видатній праці
«Основи» зібрав і узагальнив багаторічний науковий
досвід. Головним здобутком Евкліда було те, що він
запропонував і розвинув аксіоматичний підхід до побудо
ви курсу геометрії. Цей підхід полягає в тому, що спо
чатку формулюються основні положення (аксіоми), а
потім на їх основі за допомогою логічних міркувань дово
дять інші твердження (теореми). Такий підхід до по
будови курсу геометрії використовують і досі, формулю
ючи деякі з аксіом Евкліда в більш сучасному вигляді.
«Основи» згодом було перекладено на більшість євро
пейських мов. У 1880 р. видатний український математик
Михайло Єгорович Ващенко-Захарченко опублікував
переклад «Основ», додавши пояснення інших питань гео
метрії (зокрема, геометрії Лобачевського).
Саму науку, викладену в «Основах», називають евкпі-
довою геометрією.
Значний внесок у розвиток геометрії зробили й інші
давньогрецькі вчені, зокрема Архімед (бл. 287-212 рр. до
н. е.) та Аполлоній (III ст. до н. е.).
Аналіз системи аксюм, запропонованих Евклідом, три
вав не одне століття. Його на межі XIX і XX ст. завершив
видатний німецький математик Давид Гільберт (1862—
1943). Він створив повну і несуперечливу систему аксіом
геометрії Евкліда.
Що таке аксіома? і Наведіть приклади аксіом. ^ Що
таке теорема; доведення теореми? ^ Що таке означення?
Евклід
(III ст. до н. е.)
М.Є. Ващенко-
Захарченко
(1825-1912)
26
27. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
»га г с у м іж н і
|3 О .КУТИ
Л І Два кути називають суміжними, якщо одна сторона в них
є спільною, а дві інші сторони цих кутів є доповняльними
променями.
На малюнку 56 кути АОК і КОВ — суміжні, сторона ОК у
них — спільна, а ОА і ОВ є доповняльними променями.
Мал. 56
Т е о р е м а (властивість суміжних кутів). Сума суміжних
кутів дорівнює 180°.
Д о в е д е н н я . Нехай ZAOK і ZKOB — суміжні кути
(мал. 56). Оскільки промені ОА і ОВ утворюють розгорнутий
кут, то ZAOK + ZKOB = ZAOB = 180°. Отже, сума суміжних
кутів дорівнює 180°. Теорему доведено. ▲
Твердження, які випливають безпосередньо з аксіом чи
теорем, називають наслідками. Розглянемо наслідки з дове
деної теореми.
Н а с л і д о к 1. Кут, суміжний з прямим кутом, —
прямий.
Н а с л і д о к 2. Кут, суміжний з гострим кутом, —
тупий, кут суміжний з тупим кутом, — гострий.
Задача. Знайти градусну міру кожного із суміжних кутів,
якщо один з них на 56° більший за другий.
Р о з в ’ я з а н н я . Для зручності записів позначимо
менший з даних кутів — Z 1, а більший — Z 2. Нехай Z 1 = х°,
тоді Z 2 = х° + 56°. Оскільки Z 1 + Z 2 = 180° (за властивістю
суміжних кутів), маємо рівняння: х + х + 56 = 180, звідки
х = 62°. Отже, один із шуканих кутів дорівнює 62°, а другий
62° + 56° = 118°.
В і д п о в і д ь . 62°; 118°.
Які кути називають суміжними? } Сформулюйте і до
ведіть теорему про властивість суміжних кутів.
27
28. ф 81. (Усно) На яких з малюнків 57-60 кути 1 і 2 є суміжними?
Розділ 2 ----------------------------------------------------------------------------------------------
Мал. 57 Мал. 59 Мал. 60
82. Чи можуть два суміжних кути дорівнювати:
1) 42° і 148°; 2) 90° і 90°;
3) 166° і 14°; 4) 23° і 156°?
83. Чи можуть два суміжних кути дорівнювати:
1) 13° і 167°; 2) 5° і 165°;
3) 11° і 179°; 4) 91° і 89°?
84. Знайдіть кут, суміжний з кутом:
1) 15°; 2) 113°.
85. Знайдіть кут, суміжний з кутом:
1) 127°; 2) 39°.
Накресліть за допомогою транспортира Z МОИ = 50°.
Побудуйте суміжний з ним кут за умови, що ОИ — їх спільна
сторона. Обчисліть його градусну міру.
87. Накресліть за допомогою транспортира ААРВ = 115°.
Побудуйте суміжний з ним кут за умови, що РА — їх спільна
сторона. Обчисліть його градусну міру.
8 8 . Промінь, що проходить між сторонами кута, ділить його
на кути, що дорівнюють 15° і 72°. Знайдіть градусну міру кута,
суміжного з даним.
89. Бісектриса кута М утворює з його стороною кут, що
дорівнює 36°. Знайдіть градусну міру кута, який суміжний
з кутом М.
90. Накресліть два суміжних кути так, щоб їх спільна сторона
була вертикальною, а градусні міри — неоднаковими.
91. Накресліть два суміжних кути різної градусної міри так,
щоб їх спільна сторона була горизонтальною.
' ^ 1 92. Якщо суміжні кути рівні, то вони прямі. Доведіть
1 ^ 1 це твердження.
93. Якщо кути рівні, то й суміжні з ними кути рівні. Доведіть
це твердження.
29. ф 94. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 18° менший
від іншого.
95. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них утричі більший
за інший.
З
96. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них складає у від
іншого.
97. Дано тупий кут А і гострий кут В , градусні міри яких
відносяться як 4 : 3. Знайдіть градусні міри цих кутів, якщо
кут, суміжний з одним з них, дорівнює 80°.
1^98. Знайдіть кут між бісектрисами суміжних кутів.
99. Два кути відносяться як 1 : 2, а суміжні з ними — як
7 : 5. Знайдіть дані кути.
100. Один з двох даних кутів на 20° більший за другий,
а суміжні з ними відносяться як 5 : 6 . Знайдіть дані кути.
|рю і. Один із суміжних кутів удвічі більший за різницю цих
кутів. Знайдіть ці кути.
ф 1 ^ 1 0 2 . Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює:
у - 1) 27°; 2) 119°.
ЦЗюз. Точки А, В і С лежать на одній прямій; АВ =
= 2,7 см, ВС = 3,6 см. Чи може відстань між точками А
і С дорівнювати:
1) 0,8 см; 2) 0,9 см; 3) 1 см;
4) 6,1 см; 5) 6,3 см; 6 ) 6,5 см?
104. Анаграми. У цій задачі треба розшифрувати кож-
ний запис, переставивши букви в ньому так, щоб отри
мати відоме слово. Такі перестановки називають анаграмами.
Наприклад, розв’язати анаграму ВДАКТАР означає знайти
слово, складене з даних букв, — це КВАДРАТ.
Розв’яжіть анаграми:
1) ТУК; 2) АРЯМП; 3) КЛЕІВД; 4) МОРТЕІЯГЕ.
ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
ВЕРТИКАЛЬНІКУТИ. КУТМІЖДВОМА ПРЯМИМИ,
ЩО ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ
ФДва кути називають вертикальними, якщо сторони одно
го з них є доповняльними променями сторін другого.
На малюнку 61 прямі АВ і С2) перетинаються в точці К.
Кути АКС і БКВ — вертикальні, кути АКИ і СКВ теж верти
кальні.
29
30. Розділ 2
Т е о р е м а (властивість вертикальних кутів). Вертикальні
кути рівні.
Д оведення. НехайАКС і 2ЖВ — вертикальні кути (мал. 61).
Оскільки кути АКС і АКБ суміжні, то /А К С + /АкЬ = 180°.
Також суміжні кути АК2) і БКВ, тому ZAKD + /Л К В = 180°.
Маємо:
/А К С = 180° - /А К Б і /Б К В = 180° - ААКБ.
Праві частини цих рівностей рівні, тому рівними є і ліві їх
частини. Отже, /А К С = /Б К В . Теорему доведено. А
Мал. 61 Мал. 62
Задача. Два із чотирьох нерозгорнутих кутів, що утвори
лися при перетині двох прямих, відносяться як 4 : 5. Знайти
градусну міру кожного з кутів, що утворилися.
Р о з в ’ язання. Кожні два кути, які утворилися в результаті
перетину двох прямих, є або суміжними, або вертикальними
(мал. 62). Оскільки вертикальні кути рівні: /А К Б = /С К В ,
/ АКС = /В К Б , то в задачі йдеться про суміжні кути. Напри
клад /А К Б і ААКС. За умовою ZAfiГZ>: /А К С = 4 : 5 , тому
можемо ввести позначення: /А К Б = Ах, /А К С = 5х. Оскільки
/А К Б + /.АКС = 180°, маємо рівняння: 4х + 5х = 180°, звідки
* = 20°. Тоді ZAKD = 4 •20° = 80°, /А К С = 5 •20° = 100°. Далі:
/С К В = /А К Б = 80°, /В К Б = /А К С = 100°.
В і д п о в і д ь . 80°, 100°, 80°, 100°.
Кутом між прямими, що перетинаються, називають
менший з кутів, що утворилися при перетині цих прямих.
Наприклад, кут між прямими АВ і Х)С з попередньої задачі
дорівнює 80°. Кут між прямими не може перевищувати 90°.
ЗО
31. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
Які кути називають вертикальними? З Яку властивість
мають вертикальні кути? З Який кут називають кутом
між двома прямими?
|р105. (Усно) Назвіть пари вертикальних кутів на малюнку 63.
106. (Усно) Чи є на малюнку 64 вертикальні кути?
А
Мал. 65
107. Один з вертикальних кутів дорівнює: 1) 15°; 2) 129°. Знай
діть другий кут.
108. Один з вертикальних кутів дорівнює: 1) 42°; 2) 139°. Знай
діть другий кут.
На малюнку 65 прямі AM, BL і СК перетинаються в
точці Р. Знайдіть усі пари вертикальних кутів.
110. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих,
дорівнює 40°. Знайдіть інші кути.
111. На малюнку 6 6 ZAM L = 120°. Знайдіть ZAMP, ZPM B і
ZBM L.
112. (Усно) Учень накреслив дві прямі, що перетинаються, та
вимірявши транспортиром один з кутів, які при цьому утво
рилися, отримав 130°. Чи може він стверджувати, що кут між
прямими дорівнює 130°? Відповідь поясніть.
113. Прямі АВ і PL перетинаються в точці О (мал. 67).
Z РОВ = 118°. Знайдіть кут між прямими АВ і PL.
114. Накресліть дві прямі, що перетинаються, та знайдіть за
допомогою транспортира кут між ними.
115. Накресліть кут MON, що дорівнює 110°. Побудуйте допов
няльні промені OL і ОК до його сторін ОМ і ON відповідно.
31
32. Обчисліть градусні міри трьох нерозгорнутих кутів, що утво
рилися, і порівняйте з результатами вимірювання.
116. Накресліть кут АОВ, що дорівнює 30°. Побудуйте допов
няльні промені ОР і OD до його сторін ОА і ОБ відповідно.
Обчисліть градусні міри трьох нерозгорнутих кутів, що утво
рилися, і порівняйте з результатами вимірювання.
117. Знайдіть градусну міру кожного з кутів, які утворилися
при перетині двох прямих, якщо:
1 ) усі кути рівні між собою;
2) сума двох з них дорівнює 178°.
118. Знайдіть градусну міру кожного з кутів, які утворилися
при перетині двох прямих, якщо:
1 ) сума двох з них дорівнює 16°;
2 ) три із чотирьох кутів рівні між собою.
Ф 119. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо:
1 ) різниця двох з утворених кутів дорівнює 18°;
2) сума трьох з утворених кутів дорівнює 293°.
120. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо
один з кутів, що утворилися, удвічі менший від іншого.
І&1 2 1 . На мал. 6 8 прямі АР, BL і СК перетинаються в точці М,
Z BMC = 20°, Z LMP = 60°. Знайдіть ZAMK.
122. На мал. 6 8 прямі АР, BL і СК перетинаються в точці М,
Z СМР = 105°, Z KML = 25°. Знайдіть ZAMB.
123. На малюнку 69 зображено три прямі, що перетинаються
в одній точці. Знайдіть суму кутів 1, 2 і 3.
Розділ 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------
|р124. Доведіть, що бісектриси вертикальних кутів є доповняль
ними променями.
f
ф l2 S . На прямій послідовно позначено 10 точок так, що
відстань між будь-якими двома сусідніми точками
дорівнює 2 см. Знайдіть відстань між двома крайніми
точками.
А
Е
Мал. 68 Мал. 69
32
33. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
ф 126. Відомо, що ZAБC = 70°, а ^ СВБ = 20°. Чи може
градусна міра кута АВ2) дорівнювати:
1) 40°; 2) 50°; 3) 60°;
4) 80°; 5) 90°; 6 ) 100°?
127. На малюнку 70 фігуру складено
з восьми сірників.
1) Скільки квадратів при цьому утвори
лося?
2) Як прибрати два сірники так, щоб зали
шилося лише три квадрати?
Домашня самостійна робота № 1 (§ 1 — § 6 )
Кожне завдання має чотири варіанти відповіді (А-Г), серед
яких лише один є правильним. Оберіть правильний варіант
відповіді.
* 1 . Яка з точок на малюнку 71 належить як прямій а, так і
прямій Ь1
А) К; Б) Ь; В) М; Г) N.
2. Який із запропонованих кутів є тупим?
А) / М = 129°; Б ^ Г = 90о; В) ZN = 180°; Г) ZL = 78°.
3. Пара суміжних кутів може дорівнювати...
А) 18° і 172°; Б) 27° і 153°; В) 25° і 145°; Г) 47° і 134°.
|р4. Промінь ОР проходить між сторонами кута АОВ. Знайдіть
градусну міру кута АОВ, якщо ^ АОР = 20°, Z РОВ = 50°.
А) 30°; Б) 70°; В) 110°; Г) неможливо визначити.
5. Точка Ь належить відрізкуАВ. Знайдіть АЬ, якщо ЬВ = 5 см,
АВ = 8 см.
А) 13 см; Б) 9 см; В) 4 см; Г) 3 см.
6 . Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих,
дорівнює 160°. Знайдіть кут між прямими.
А) 160°; Б) 100°; В) 80°; Г) 20°.
1 1------ І-----н
1 =
Мал. 70
33
34. Розділ 2
Мал. 72
ф 7. Відомо, що АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 3 см. Укажіть взаємне
розташування точок А, В і С.
A) точка А лежить між точками В і С;
Б) точка В лежить між точками А і С;
B) точка С лежить між точками В і А;
Г) жодна з точок не лежить між двома іншими.
8 . Промінь ОК є бісектрисою кута
СОВ, Z СОВ = 70° (мал. 72). Знайдіть
ZAOK.
А) 110°; Б) 135°; В) 145°; Г) 155°.
9. Один із суміжних кутів удвічі
менший за другий. Знайдіть більший
із цих кутів.
А) 60°; Б) 80°; В) 100°; Г) 120°.
<Зіо. На площині позначено п’ять точок так, що жодні три з них
не лежать на одній прямій. Скільки різних прямих, кожна з
яких проходить через деякі дві з даних точок, можна провести?
А) 5; Б) 8 ; В) 10; Г) 15.
11. Розгорнутий кут MON поділено променями ОА і ОВ на три
кути. Z МОА = 120°, Z NOB = 110°. Знайдіть градусну міру
кута АОВ.
А) 50°; Б) 60°; В) 70°; Г) 80°.
12. Дано два кути,градусні міри яких відносяться як 1 : 2 .
Різниця кутів, суміжних з ними, дорівнює 70°. Знайдіть
більший з даних кутів.
А) 70°; Б) 90°; В) 110°; Г) 140°.
Завдання для перевірки знань М 1 (§1—§6)
ф і Назвіть точки, що належать пря
мій а, та точки, що їй не належать
(мал. 73). Зробіть відповідні записи.
2. Який з даних кутів гострий,
тупий, прямий, розгорнутий:
1) Z А = 92°; 2) Z B = 180°;
3) Z С = 90°; 4) Z D = 31°?
3. За малюнком 74 назвіть пари вер
тикальних кутів.
Ф 4. Точка С належить відрізку MN.
Знайдіть довжину відрізка СМ, якщо
МАГ = 7,2 см, CN = 3,4 см.
Мал. 74
М
С
В D
Мал. 73
34
35. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
5. За допомогою транспортира накресліть кут, градусна міра
якого дорівнює 70°, та проведіть його бісектрису.
6 . Прямі АВ і С2) перетинаються в точці О, ЛАОС = 132°.
Знайдіть кут між прямими АВ і СТ>.
Ф 7. Точки М і ІУналежать відрізку АВ, довжина якого дорівнює
ЗО см. Знайдіть довжину відрізка МИ, якщо АМ = 20 см,
ВИ = 16 см.
8 . Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 12° менший від
другого.
4^9. Точки А, В і К лежать на одній прямій. Знайдіть довжину
відрізка АВ, якщо А К = 9,3 см, КВ = 3,7 см. Скільки розв’язків
має задача?
Додаткові вправи
С ю . Який кут утворює бісектриса кута 48° з променем, що є
доповняльним до однієї з його сторін?
11. Два кути відносяться як 1 : 3, а суміжні з ними — як
7 : 3. Знайдіть дані кути.
"7 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ. ПЕРПЕНДИКУЛЯР.
/ . ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ
Пехай при перетині двох прямих а і Ь один з кутів, що
утворилися, є прямим, наприклад Z 1 = 90° (мал. 75).
Z 1 і / 3 — вертикальні, тому Z З = Z 1 = 90°.
Z 1 і Z 2 — суміжні, тому Z 2 = 180° - Z 1 = 180° - 90° = 90°.
Z 2 і Z 4 — вертикальні, тому Z 4 = Z 2 = 90°.
Отже, якщо один із чотирьох кутів, що утворилися при
перетині двох прямих, дорівнює 90°, то решта кутів також
прямі. У такому випадку кажуть, що прямі перетинаються
під прямим кутом, або що вони перпендикулярні.
О
Дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони
перетинаються під прямим кутом.
На малюнку 75 прямі а і Ъ перпендику
лярні. Перпендикулярність прямих можна
записати за допомогою знака ±. Запис
а ± Ъ читають так: «пряма а перпендику
лярна до прямої Ь*.
Для побудови перпендикулярних
прямих використовують креслярський Мал. 75
а
1 2
ь Г
4 3
35
36. Розділ 2
косинець. На малюнку 76 через точку В, яка не належить
прямій а, проведено пряму Ь, перпендикулярну до прямої а.
На малюнку 77 точка С належить прямій а, і через неї перпен
дикулярно до прямої а проведено пряму с. В обох випадках
побудовано єдину пряму, яка проходить через задану точку і є
перпендикулярною до прямої а.
Мал. 76 Мал. 77
Отже,
через будь-яку точку площини проходить лише одна
пряма, перпендикулярна до даної прямої.
Задача. Прямі АВ, CD і KL перетина
ються в точці О, причомуA B L CD (мал. 78).
Знайти ZAOK, якщо ZCOL = 160°.
Р о з в ’ я з а н н я . 1) Оскільки АВ ± CD,
то ZCOB = 90°.
2) ZBOL = ZCOL - ZCOB = 160° - 90° =
= 70°.
3) ZAOK = ZBOL (як вертикальні), тому
ZAOK = 70°.
В і д п о в і д ь . 70°.
Відрізки або промені називають пер
пендикулярними, якщо вони лежать на
перпендикулярних прямих. Наприклад,
на малюнку 79 відрізок АВ перпендику
лярний до відрізка CD, на малюнку 80
промінь KL перпендикулярний до відрізка
MN, а на малюнку 81 промінь PQ перпен
дикулярний до променя OS. Для запису
перпендикулярності відрізків і променів
також використовують знак -L.
Мал. 79
С
D
36
37. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
О
Мал. 81 Мал. 82
Перпендикуляром до прямої, проведеним з даної точки,
називають відрізок прямої, перпендикулярної до даної,
один з кінців якого — дана точка, а другий — точка пе
ретину прямих. Довжину цього відрізка називають
відстанню від точки до прямої.
На малюнку 82 з точки А проведено перпендикуляр АВ до
прямої 77і. Точка В — основа перпендикуляра, а довжина від
різка АВ — відстань від точки А до прямої т.
Які прямі називають перпендикулярними? З Як побу
дувати пряму, перпендикулярну до даної прямої? З Що
називають перпендикуляром до прямої, проведеним з
даної точки? і Що називають відстанню від точки до
прямої?
£*128. На яких з малюнків 83-86 зображено перпендикулярні
прямі? У разі потреби використайте косинець. Виконайте від
повідні записи.
129. Накресліть пряму с та позначте точку А, що їй належить,
і точку Б, що їй не належить. Проведіть за допомогою косинця
прямі через точки А і Б так, щоб вони були перпендикуляр
ними до прямої с.
37
38. 130. Перенесіть малюнки 87 і 8 8 у зошит та для кожного
випадку за допомогою косинця проведіть пряму Ь, що прохо
дить через точку В перпендикулярно до прямої а.
. в
а
Мал. 87 Мал. 88
131. На малюнку 89 прямі а і Ь перпендикулярні. Чи перпен
дикулярні:
1) відрізки АВ і МАГ;
2) промінь ЕА і відрізок СМ;
3) відрізки АВ і БЕ ;
4) промені САГ і СЕ?
132. На малюнку 89 прямі а і Ь пер
пендикулярні. Чи перпендикулярні:
1) відрізки Б Е і САГ;
2) промені СМ і СА;
3) промінь СЕ і відрізок СА;
4) відрізки ВИ і МАГ?
ф із з . Накресліть пряму а, позначте точку А, що знаходиться
на відстані 2,5 см від прямої а, та точку В, що знаходиться на
відстані 4 см від прямої а.
134. Проведіть пряму т, позначте точку Р, що знаходиться
на відстані 3 см від прямої т, та точку К, що знаходиться на
відстані 1,5 см від прямої т.
135. Накресліть відрізки АВ і СБ так, щоб вони були перпен
дикулярними та не перетиналися.
136. Накресліть промені МИ і КЬ так, щоб вони були перпен
дикулярними та перетиналися.
137. Прямі АВ, КЬ і МИ перетинаються в точці О (мал. 90).
Чи є перпендикулярними прямі АВ і МАГ, якщо
1) ААОК = 25°, АКОИ = 6 6 °;
2) ZLOЛГ = 118°, АЬОВ = 28°?
138. Прямі АВ, КЬ і МАГ перетинаються в точці О (мал. 90).
Чи є перпендикулярними прямі АВ і МАГ, якщо
1) АМОК = 122°, ААОК = 31°;
2) АМОЬ = 59°, АЬОВ = 31°?
Розділ 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------
38
39. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
М
L
L
Мал. 90 Мал. 91 Мал. 92
||3139. (Усно) Чи є правильним означення: «Перпендикуляр до
прямої — це будь-який відрізок, перпендикулярний до даної
прямої»? Чому?
140. Прямі АВ, CD і MN перетинаються в точці О, причому
АВ _LCD (мал. 91). Знайдіть:
1) ZMOD, якщо ZNOB = 25°;
2) ZCON, якщо ZMOB = 150°.
141. Прямі KL, MN і PF перетинаються в точці О, причому
KL ± MN (мал. 92). Знайдіть:
1) ZKOP, якщо ZNOF = 140°;
2) ZKOF, якщо ZPON = 37°.
142. Кути ABC і СВМ прямі. Доведіть, що точки А, В і М
лежать на одній прямій.
143. Два суміжних кути, що утворилися врезультаті пере
тину двох прямих, рівні між собою.Доведіть, що цеперпен
дикулярні прямі.
144. АВ -L CD (мал. 93), Z EON = 110°. Знайдіть Z CON, якщо
ZAOE = 20°.
145. АВ 1 CD (мал. 93), ZCON = 135°, ZAOE = 25°. Знайдіть
ZEOD.
£Л 46. На малюнку 94 ZAOB = ZCOD, ZBOC = ZDOE. Дове
діть, що ОС ± АЕ і БО _LOD.
Мал. 93 Мал. 94
39
40. Розділ 2
147. Доведіть, що промінь, проведений через вершину кута
перпендикулярно до його бісектриси, є бісектрисою кута,
суміжного з даним.
148. Промені ОК і ОЬ є бісектрисами кутів АОВ і ВОС від
повідно, причому ОК ± ОЬ. Доведіть, що кути АОВ і ВОС —
суміжні.
|р149. На прямій послідовно позначено точки М, N і К.
- - - Знайдіть:
1) М К, якщо МЛГ = 3 см 2 мм, И К = 4,1 см;
2) МЛГ, якщо М К = 7,8 см, И К = 2 см 5 мм.
Ц3150. Знайдіть суміжні кути, різниця яких дорівнює 36°.
151. Периметр прямокутника дорівнює 32 см, а довжина
кожної з його сторін є цілим числом сантиметрів. Чи
може площа прямокутника дорівнювати:
Дві прямі на площині можуть мати спільну точку (пере
тинатися) або не мати спільних точок (не перетинатися).
Л І Дві прямі на площині називають паралельними, якщо
вони не перетинаються.
На малюнку 95 прямі а і Ь паралельні. Паралельність
прямих записують за допомогою знака ||. Запис а ||Ь читають
так: «пряма а паралельна прямій й».
Навколо нас є багато прикладів паралельних прямих: прямо
лінійні ділянки шляху залізниці, горизонтальні чи вертикальні
прямі зошита в клітинку, протилежні сторони рами тощо.
Для побудови паралельних прямих використовують кресляр
ський косинець і лінійку. На мал. 96 показано, як через точку
В, яка не належить прямій а, проведено пряму Ь, паралельну
прямій а.
1) 256 см2; 2) 220 см2; 3) 64 см2;
4) 60 см2; 5) 55 см2; 6 ) 54 см2?
Мал. 95
40
41. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
Мал. 96
Здавна істинною вважають таку аксіому, що виражає
основну властивість паралельних прямих.
VIII. Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить
тільки одна пряма, паралельна даній.
Цю аксіому називають аксіомою паралельності прямих.
Відрізки або промені називають паралельними, якщо
вони лежать на паралельних прямих. На малюнку 97 відрізок
АВ паралельний відрізку MN, на малюнку 98 відрізок CD
паралельний променю РК, а на малюнку 99 промінь GN пара
лельний променю FL. Для запису паралельності відрізків і
променів також використовують знак ||.
А_______В______ C D N G
М N Р К F L
Мал. 97 Мал. 98 Мал. 99
Задача. Доведіть, що коли пряма перетинає одну з двох
паралельних прямих, то вона перетинає і другу пряму.
Д о в е д е н н я . Нехай а і &— паралельні прямі і пряма с
перетинає пряму Ь в точці К (мал. 100).
Припустимо, що пряма с не пере
тинає пряму а, тобто с || а. Отже,
через точку К проходять дві прямі Ь
с і Ь, і обидві паралельні прямій а.
Це суперечить аксіомі паралельності
прямих.
Мал. 100
41
42. Н Розділ 2
Отже, наше припущення є хибним, значить правильним є
те, що пряма с перетинає пряму а. Твердження доведено. А
Зауважимо, що спосіб міркування, яким ми довели твер
дження попередньої задачі, називають доведенням від супро
тивного. Щоб довести, що прямі a i e перетинаються, ми при
пустили протилежне, тобто що а і с не перетинаються. У про
цесі міркувань, виходячи із цього припущення, ми прийшли
до протиріччя з аксіомою паралельності прямих. Це означає,
що наше припущення було хибним, отже, правильним є про
тилежне до нього припущення, тобто що пряма с перетинає
пряму а.
Суть доведення від супротивного полягає в тому, що на
початку доведення припускається істинність твердження,
протилежного тому, що треба довести. Доведення (міркування)
на основі цього припущення призводить до висновку, який
суперечить або умові теореми (задачі) або деякому з істинних
тверджень (аксіомі, теоремі тощо), а це означатиме, що при
пущення, протилежне тому, яке треба було довести, є хибним.
Отже, істинним є те, що вимагалося довести.
В «Началах» Евклід деякі з аксіом називав постулата
ми. Так, зокрема, з п'ятого постулату Евкпіда, який ще
називають аксіомою паралельності Евкпіда, фактично
випливає, що через точку, яка не лежить на даній прямій,
можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.
Протягом понад двох тисячоліть вчені намагалися
довести п’ятий постулат Евкпіда. На початку XIX ст. три
видатних учених: росіянин М.і. Лобачевський, німець
К.Ф. Гаусс (1777-1855) та угорець Я. Больяй (1802—
1860), - незалежно один від одного, прийшли до висновку,
що довести п’ятий постулат Евкпіда неможливо, оскільки
він є очевидним, тобто є аксіомою.
Микола Іванович Лобачевський пішов далі, і, замінивши
аксіому паралельності на таку: «через точку, що не лежить
на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній
площині і не перетинають її», побудував нову геометрію — неевклідову. її стали назива
ти «геометрією Лобачевського».
М.І. Лобачевський
(1792-1856)
Які прямі називають паралельними? З Які інструменти
використовують для побудови паралельних прямих?
.і Сформулюйте аксіому паралельності прямих. } Пояс
ніть, у чому полягає спосіб доведення від супротивного.
42
43. ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
£*152. Запишіть з використанням символів:
1 ) пряма а паралельна прямій т;
2) пряма СБ паралельна прямій РК.
153. На яких з малюнків 101-104 зображено паралельні прямі?
Мал. 101 Мал. 102 Мал. 103
154. Укажіть пари паралельних прямих на малюнку 105.
155. 1) Дано пряму b і точку К, що їй не належить (мал. 106).
Скільки можна провести через точку К прямих, паралельних
прямій &?
2) Скільки взагалі можна провести прямих, паралельних пря
мій Ы
. К
Мал. 106
ф і5 6 . Проведіть пряму І і позначте точку А, що їй не нале
жить. За допомогою косинця і лінійки через точку А проведіть
пряму, паралельну прямій І.
157. Позначте точку Р і проведіть пряму а, що не проходить
через цю точку. За допомогою косинця і лінійки через точку Р
проведіть пряму, паралельну прямій а.
158. Накресліть відрізки АВ і СБ та промінь КЬ так, щоб від
різок АВ був паралельний променю КЬ і перпендикулярний
до відрізка СБ.
159. Накресліть промені МЫ і КЬ та відрізок АВ так, щоб про
мінь МІV був паралельний променю КЬ і перпендикулярний
до відрізка АВ.
