1. 1
Funções de Uma Variável
Derivação
Definição:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( )
5. ( )
6. ( )
7. ( )
8. ( )
9. ( )
10. ( )
11., ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12.0 ( )
1
, ( )-
13. Regra da Cadeia
Na notação de Newton:
( ) , ( ( )- ( ( )) ( )
Na notação de Leibniz:
Teorema sobre continuidade e derivabilidade
Se f for derivável em p, então f será contínua em p.
Ou, equivalentemente, a contra-positiva:
Se f não for contínua em p, então f não é derivável em p.
Integração
1. ∫ ( )
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC
2. 2
2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
7. ∫
8. ∫
9. ∫ ( ) ( )
10. ∫ ( ) ( )
11. ∫
12. ∫
13. ∫
√
Teorema fundamental do Cálculo
1. Se f é contínua em [a,b], então a função g, definida por
( ) ∫ ( ) ( )
é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e g’(x) = f (x).
2. Se f é contínua em [a,b], então
∫ ( ) ( ) ( )
onde F é qualquer primitiva de f, id est, uma função tal que F’ = f.
Áreas
A área S limitada pela região da reta x = b, x = a, y = 0 e y = f (x), onde f (x) é contínua
em [a,b], é
∫ ( )
A área S da região limitada pelas curvas y = f (x), y = g (x), e pelas retas y = b e y = a,
onde f e g são contínuas e f (x) ≥ g (x) para todo x em [a,b], é
∫ , ( ) ( )-
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC
3. 3
Integração por partes
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Exercícios
1. Seja ( ) . Prove que ( ) .
Pela definição de derivada temos:
( )
( )
Resolução do limite em vermelho:
Tomando: , temos então
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
( )
( ) ( )
Quando , então:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) [ ( ) ]
Portanto, ( )
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC
4. 4
2. Seja ( ) . Prove que ( ) .
Pela definição de derivada:
( ) . / . /
( )
( ) ( ) * ( ) +
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )
[ ] [ ]
( )
[ ]
3. Seja ( ) ( ) . f é contínua e diferenciável em 1?
f é contínua em 1 se
( ) ( )
Calculando o limite, utilizando os limites laterais:
( ) ( ) ( )
Portanto, existe ( ) e é igual a ( ), então a função é contínua no ponto 1.
( ) ( )
f é diferenciável no ponto 1 se o limite existir.
Para
( ) ( ) ( )( )
( )
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC
5. 5
Para
( ) ( )
Conclusão:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e portanto, f não é diferenciável no ponto 1.
4. Seja ( ) ( ) . f é contínua e derivável em 0?
( ) ( )
f é derivável no ponto 0 se o limite existir.
Para
( ) ( )
Para
( ) ( )
Conclusão:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e, portanto, f é diferenciável no ponto 0. Logo, se é diferenciável, é também contínua no
mesmo ponto.
5. Use as regras de derivação para calcular f’(x).
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1. ( ) ( ) , - , -
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
3. ( ) √ √ ( )
√ √
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
, ( )- ( ) ( ) (
)
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC