Un planimètre est un instrument permettant de mesurer des aires sur un plan. Pour ce faire il mesure la circulation d'un vecteur autour de la courbe entourant l'aire à mesurer. Cet article décrit le planimètre d'Amsler. Après quelques rappels de géométrie vectorielle son fonctionnement est démontré et des exemples sont présentés.

1. Le planimètre d'AMSLER (1854)
Description
Un planimètre est un instrument permettant de mesurer des aires sur un plan.
Pour ce faire il mesure la circulation d'un vecteur autour de la courbe entourant l'aire à mesurer.
Le planimètre d'Amsler du génial Jakob Amsler-Laffon est d'une simplicité enfantine.
Il est constitué de deux bras articulés :
⃗OP de norme r=‖⃗OP‖ tourne autour d'un axe fixe O
⃗PM de norme L=‖⃗PM‖ est articulé autour de l'axe mobile P
Ce mécanisme possède donc deux degrés de liberté permettant au point M de parcourir toute la
couronne circulaire de centre O et de rayons⎮L – r⎮ et L + r.
Aucun point de la courbe Γ entourant l'aire Σ à mesurer ne doit donc se situer en dehors de cette
couronne.
La longueur L du bras ⃗PM est réglable.
Soit
• O=(0,0) , ⃗ı =(0,1) , ⃗ȷ=(1,0) un repère orthonormé du plan
• α = (
^
⃗ı ,⃗OP) et θ = (
^
⃗ı ,⃗PM ) les angles constituant les deux degrés de liberté
• ⃗u le vecteur unitaire le long du bras ⃗PM : ⃗u=cos θ⃗ı +sinθ⃗ȷ
• ⃗v le vecteur unitaire directement orthogonal à ⃗u : ⃗v=−sinθ⃗ı +cosθ⃗ȷ
Une roulette de centre R et d'axe parallèle à PM est fixée rigidement au bras ⃗PM au point
R=M +λ ⃗u+μ⃗v .
Cette roulette enregistre la projection δR du déplacement du point R sur le vecteur unitaire ⃗v
perpendiculaire à ⃗PM lorsque le point M parcourt la courbe fermée Γ entourant l'aire Σ à mesurer.
Lorsque la roulette glisse sans tourner dans la direction du bras ⃗PM représentée par le vecteur
unitaire ⃗u , aucun déplacement n'est enregistré.
Pour un déplacement élémentaire de R, cette projection n'est donc autre que le produit scalaire :
δR=⃗v.⃗dR .
⃗v
⃗u
⃗ȷ
⃗ı
Jakob Amsler-Laffon
(1823-1912)
O
P
r
L
Γ
Σ
R
Mλ
μ
α
θ
ΓΓΓ
C

2. Soit
• Σ l'aire à mesurer et Γ la courbe fermée entourant cette aire.
• ∆R le déplacement total enregistré par la roulette R lorsque M a fait un tour complet de Γ.
Propriétés
1. Quand la roulette ne fait pas un tour complet du plan et
quand le point P ne fait pas le tour du cercle C
Σ=L⋅∆ R (1)
qui ne dépend ni de r ni de la position de la roulette définie par λ et μ
quand le point P fait le tour du cercle C
Σ=L⋅∆ R+πr2
(2)
qui ne dépend pas de la position de la roulette définie par λ et μ
2. Quand la roulette fait un tour complet du plan et
quand le point P ne fait pas le tour du cercle C
Σ=L⋅∆ R−π L(L+2λ) (3)
qui ne dépend ni de r ni de μ
Dans ce cas, on observera que si l'on choisit λ = - L/2, c'est à dire que la roulette se trouve à égale
distance des extrémités P et M du bras ⃗PM
Σ=L⋅Δ R
quand le point P fait le tour du cercle C
Σ=L⋅∆ R+πr2
−π L(L+2λ) (4)
qui ne dépend pas de μ
Dans ce cas, on observera que si l'on choisit λ = (r2
-L2
)/2L
Σ=L⋅Δ R
2
Richard G. Terrat Le planimètre d'Amsler 08/05/2020

3. Preuve
Soit
• SP l'aire décrite par le point P lorsque le point M parcourt la courbe fermée Γ
• SPM l'aire décrite par le vecteur ⃗PM lorsque le point M parcourt la courbe fermée Γ
• Σ l'aire décrite par le point M lorsqu'il parcourt la courbe fermée Γ
Alors (cf. Annexe 2 : Aire décrite par un vecteur)
Σ=SP+SPM
Soit un déplacement infinitésimal du vecteur ⃗PM dont
• le point M se déplace sur la courbe Γ M '=M+⃗dM
• le point P se déplace sur le cercle C P'=P+⃗dP
Calcul de SP
d SP=r2 d α
2
Calcul de SPM
La roulette R se déplace d'une quantité δR=⃗v⃗dR
L'aire algébrique dSPM du quadrilatère PMM'P' s'écrit donc
dSPM = Lδ R+λ
2 d θ
2
−(L+λ)
2 dθ
2
= Lδ R−L(L+2λ)
dθ
2
(noter que dans la figure ci-dessus λ < 0)
⃗v
O
r
L
Γ
P
dθ
δR
M
P'
M'
λ
R
dα
μ
C
3
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4. Soit
• ∆R le déplacement enregistré par la roulette R lorsque le point M parcourt la courbe fermée Γ
• Δα l'angle décrit par le point P lorsque le point M parcourt la courbe fermée Γ
• Δθ l'angle décrit par le point M lorsqu'il parcourt la courbe fermée Γ
Alors
Σ = L⋅Δ R+r
2 Δα
2
−L(L+2λ) Δθ
2
Noter que la distance μ de l'axe de la roulette R au bras ⃗PM ne modifie en rien les résultats.
Il en résulte quatre cas :
Δθ = Δα = 0
• La roulette R et le point P ne font que des allers et retours sur le plan.
• SP=0 et Σ=SPM .
• C'est le cas d'utilisation le plus fréquent.
• Alors Σ=L⋅Δ R (1)
Δθ = 0 et Δα = 2π (cf. Exemple 1)
• La roulette R ne fait que des allers et retours sur le plan.
• Le point P fait le tour du cercle C.
• SP=π r
2
et Σ=SPM +πr
2
.
• Alors Σ=L⋅Δ R+πr
2
(2)
Δθ = 2π et Δα = 0 (cf. Exemple 2)
• La roulette R fait le tour du plan.
• le point P ne fait que des allers et retours sur le plan.
• SP=0 et Σ=SPM .
• Alors Σ=L⋅Δ R−π L(L+2λ) (3)
Δθ = Δα = 2π (cf. Exemple 3)
• La roulette R fait le tour du plan.
• Le point P fait le tour du cercle C.
• SP=π r
2
et Σ=SPM +πr
2
.
• Alors Σ=L⋅Δ R+πr
2
−π L(L+2λ) (4)
❑
Généralisation
Dans le planimètre d’Amsler, le point P décrit tout ou partie d’un cercle.
Il est aisé de le généraliser en assujettissant le point P à parcourir n’importe quel chemin ouvert ou
fermé.
La seule différence porte sur le calcul de l’aire SP (d’ailleurs toujours nulle sur un chemin ouvert).
C’est par exemple le cas des planimètres linéaires dont le point P parcourt un segment de droite.
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5. EXEMPLES
1. Mesure de l'aire d'un cercle de centre O' et de rayon r
ΔR = 0
Σ = L.ΔR + π r2
= π r2
❑
2. Mesure de l'aire d'un cercle de centre P et de rayon L
ΔR = 2 π (L + λ)
Σ = L.ΔR – π L( L+ 2λ)
= π L2
❑
3. Mesure de l'aire d'un cercle de centre O et de rayon r + L
ΔR = 2 π (r + L + λ)
Σ = L.ΔR + π r2
- π L (L + 2λ)
= π (r + L)2
❑
Δθ = 0
Δα =2π
Δθ = 2π
Δα = 0
Δθ = 2π
Δα = 2π
O
r
L
Γ
M
O'
r
P
λ
R
O
r
L
Γ
M
P
λ
R
r
O
M
L
Γ
λ
P
R
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6. ANNEXES
1. Géométrie vectorielle
Scalaire : Élément de ℜ
Avec les opérations usuelles + et × et les éléments neutres 0 et 1, ils forment un corps.
Point et Vecteur : Couple de deux éléments de ℜ appelés ses coordonnées.
Notations : M=(x , y)ou M
{x
y
pour un point et ⃗V =(x , y)ou ⃗V
{x
y
pour un vecteur.
Avec l'opération usuelle d'addition et l'élément neutre O=(0,0) , ils forment un groupe.
Espace vectoriel
Avec l'opération usuelle de produit externe, les vecteurs et scalaires forment un espace
vectoriel.
Repère orthonormé : défini par le point O=(0,0) et les vecteurs unitaires ⃗ı =(0,1) et
⃗ȷ=(1,0) formant une base. Un couple (x,y) peut alors s'écrire (x , y) = x⃗ı + y ⃗ȷ
Produit scalaire
Application : ( ⃗U=(a ,b), ⃗V =(c ,d)) ↦ a.c + b.d . Notation ⃗U⋅⃗V .
Avec cette opération l'espace vectoriel devient un espace vectoriel euclidien.
Norme d'un vecteur ‖V‖ = √⃗V⋅⃗V
Champ de vecteurs
Application F : M
{x
y
↦ ⃗F(M)
{Fx (x, y)
F y(x , y)
Chemin
Application Γ (a,b) : t ↦ M(t) où M est un point du plan, t un paramètre, a et b les bornes de
l'intervalle de définition de t. Notation : M (t) t∈[a,b]
Circulation d'un vecteur
le long d'un chemin ouvert
Application (⃗V ,Γ(a,b)) ↦ ∫
a
b
⃗V⋅⃗dM où ⃗dM = M (t+dt)−M (t)
le long d'un chemin fermé
Circulation sur un chemin dont les deux extrémités sont identiques : M (a)=M (b)
On montre qu'elle est indépendante de cette extrémité. Notation : ∮Γ
⃗V⋅⃗dM
Rotationnel d'un vecteur d'un champ de vecteurs
Application ⃗V (x , y)
{V x (x , y)
V y (x , y)
↦ ⃗rot ⃗V = (∂V y(x , y)/∂x−∂V x (x , y)/∂ y)⃗k
où ⃗k est le vecteur unitaire normal au plan du champ, orienté dans le sens direct
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7. Théorème de Stokes
Il établit la relation entre la circulation d'un vecteur ⃗V (M) d'un champ
de vecteurs sur un chemin fermé Γ et l'aire Σ entourée par ce chemin.
∮
Γ
⃗V .⃗dM = ∯
Σ
⃗rot ⃗V .⃗dσ
où
• ⃗dM est le déplacement élémentaire de M le long de Γ
• ⃗dσ l'élément d'aire élémentaire de Σ orienté dans le sens direct
• ⃗rot ⃗v est le rotationnel du vecteur ⃗v
Pour mesurer directement une aire, il suffit de définir un champ de
vecteurs dont la norme du rotationnel est égale à 1, comme par exemple
M=(x , y) ↦ ⃗V (M )=(−y /2, x/2) .
Alors Σ=∮Γ
⃗V⋅⃗dM
2. Aire décrite par un vecteur
Soit
• SAB l'aire engendrée par le déplacement d'un vecteur ⃗AB dont
◦ le point A se déplace sur une courbe fermée ΓA entourant une aire SA
◦ le point B se déplace sur une courbe fermée ΓB entourant une aire SB
• t∈[0,T ] un paramétrage de ce déplacement (qui peut être vu comme un temps de parcours)
• ⃗V (x , y) un champ de vecteurs dont le rotationnel est constant de norme 1
Alors SAB=SB−SA
⃗V
George Gabriel Stokes
(1819-1903)
Γ
Σ
M
ΓA ΓB
SA
SB
SAB
(t)
A(0) = A (T)
A(t)
B(0)= B(T)
B(t)
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8. Preuve
Soit
• SAB (t) l'aire engendrée par le déplacement du vecteur ⃗AB entre 0 et t
• t = T lorsque le vecteur ⃗AB aura fait un tour complet de ΓA et ΓB
• SAB = SAB (T) l'aire engendrée par le déplacement du vecteur ⃗AB entre 0 et T
◦ donc A (T) = A(0) et B(T) = B(0)
D'après le théorème de Stokes
SAB(t)= ∫
A(0)
B(0)
⃗V ⃗dM + ∫
B(0)
B(t)
⃗V ⃗dM− ∫
A(t)
B(t)
⃗V ⃗dM− ∫
A(0)
A(t)
⃗V ⃗dM
Donc
SAB=∮ΓB
⃗V ⃗dM−∮ΓA
⃗V ⃗dM=SB−SA
❑
SITOGRAPHIE
Planimètres
en.wikipedia.org/wiki/Jakob_Amsler-Laffon
lecompendium.com/dossier_math_06_planimetre_amsler_morin/planimetre_amsler.htm
http://substantifique.eu/documents/Planimètre.pdf
numerisation.univ-irem.fr/WH/IWH02002/IWH02002.pdf
linealis.org/wp-content/uploads/2015/08/ANACNAM-1864-Laboulaye-Planimetre-Amsler.pdf
fr.wikipedia.org/wiki/Planimètre
ub.fnwi.uva.nl/computermuseum//planimeter.html
numdam.org/article/NAM_1880_2_19__212_0.pdf
whistleralley.com/planimeter/planimeter.htm
tleise.people.amherst.edu/Planimeter/part1.html
persweb.wabash.edu/facstaff/footer/Planimeter/HowPlanimetersWork.htm
lmb.univ-fcomte.fr/IMG/pdf/baebischer_explications-planimetre.pdf
https://fr.qwe.wiki/wiki/Planimeter
Champs de vecteurs
fr.wikipedia.org/wiki/Scalaire_(mathématiques)
ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/pe/node3.html
fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel
fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire
fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel_euclidien
fr.wikipedia.org/wiki/Base_orthonormée
fr.wikipedia.org/wiki/Norme_(mathématiques)
fr.wikipedia.org/wiki/Champ_de_vecteurs
fr.wikipedia.org/wiki/Chemin_(topologie)
fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnel
fr.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes
fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Stokes
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