Geometrianociclodealfabetizacao

ISSN 1982 - 0283
GEOMETRIA
NO CICLO DE
ALFABETIZAÇÃO
Ano XXIV - Boletim 7 - SETEMBRO 2014

Geometria no ciclo de alfabetização
SUMÁRIO
Apresentação........................................................................................................................... 3
Rosa Helena Mendonça
Introdução............................................................................................................................... 4
Nelson Antonio Pirola
Texto 1: Objetivos do ensino de Geometria no processo de alfabetização .............................. 9
Mônica Mandarino
Texto 2: Práticas de ensino de Geometria: algumas experiências com o desenvolvimento da
movimentação e da localização de pessoas/objetos no mundo físico ...................................16
Texto 3: Figuras planas e espaciais: como trabalhar com elas nos anos iniciais do Ensino
Fundamental? .......................................................................................................................23
Odalea Aparecida Viana

3
Geometria no ciclo de alfabetização
Apresentação
A publicação Salto para o Futuro comple-
menta as edições televisivas do programa
de mesmo nome da TV Escola (MEC). Este
aspecto não significa, no entanto, uma sim-
ples dependência entre as duas versões. Ao
contrário, os leitores e os telespectadores
– professores e gestores da Educação Bási-
ca, em sua maioria, além de estudantes de
cursos de formação de professores, de Fa-
culdades de Pedagogia e de diferentes licen-
ciaturas – poderão perceber que existe uma
interlocução entre textos e programas, pre-
servadas as especificidades dessas formas
distintas de apresentar e debater temáticas
variadas no campo da educação. Na página
eletrônica do programa, encontrarão ainda
outras funcionalidades que compõem uma
rede de conhecimentos e significados que se
efetiva nos diversos usos desses recursos nas
escolas e nas instituições de formação. Os
textos que integram cada edição temática,
além de constituírem material de pesquisa e
estudo para professores, servem também de
base para a produção dos programas.
A edição 7 de 2014 traz o tema Geometria
no ciclo de alfabetização, e conta com a
consultoria de Nelson Antonio Pirola, Pro-
fessor Adjunto do Departamento de Edu-
cação da UNESP (Bauru) e Consultor desta
Edição Temática.
Os textos que integram essa publicação são:
1. Objetivos do ensino de Geometria no pro-
cesso de alfabetização
2. Práticas de ensino de Geometria: algumas
experiências com o desenvolvimento da mo-
vimentação e da localização de pessoas/obje-
tos no mundo físico
3. Figuras planas e espaciais: como traba-
lhar com elas nos anos iniciais do Ensino
Fundamental?
Boa leitura!
Rosa Helena Mendonça1
1 Supervisora Pedagógica do programa Salto para o Futuro (TV Escola/MEC).

4
O Pacto Nacional pela Alfabetização
na Idade Certa (PNAIC) faz parte de uma
ação do Governo Federal, com adesão de
estados e municípios, em prol da formação
continuada de professores alfabetizadores
nas áreas de Língua Portuguesa e Matemá-
tica. O PNAIC foi lançado em novembro de
2012 e as ações preveem cursos oferecidos
por universidades, cujo material pedagógi-
co é disponibilizado pelo Ministério da Edu-
cação. Além disso, é previsto um sistema
de avaliação para o acompanhamento da
aprendizagem dos alunos. O objetivo maior
do Pacto é que todas as crianças brasileiras
estejam alfabetizadas em Língua Portugue-
sa e em Matemática até o terceiro ano do
Ensino Fundamental. Em 2013, teve início o
PNAIC de Língua Portuguesa e a previsão é
que o de Matemática se inicie em 2014.
Para subsidiar as ações do PNAIC, fo-
ram elaborados os Elementos Conceituais e
Metodológicos para Definição dos Direitos
e Objetivos de Aprendizagem e Desenvolvi-
mento do Ciclo de Alfabetização das crian-
ças brasileiras.2
Na área da Matemática, esse docu-
mento traz, de maneira geral, o entendimen-
to sobre o que é alfabetização matemática:
A alfabetização matemática é o pro-
cesso de organização dos saberes que a
criança traz de suas vivências anterio-
res ao ingresso no Ciclo de Alfabetiza-
ção, de forma a levá-la a construir um
corpo de conhecimentos matemáticos
articulados, que potencializem sua atu-
ação na vida cidadã. Esse é um longo
processo que deverá, posteriormente,
permitir ao sujeito utilizar as ideias ma-
temáticas para compreender o mundo
no qual vive e instrumentalizá-lo para
resolver as situações desafiadoras que
encontrará em sua vida na sociedade.
(BRASIL, 2012, P. 60).
Introdução
Ensino e aprendizagem da Geometria no contexto
da alfabetização matemática
Nelson Antonio Pirola1
1 Professor Adjunto do Departamento de Educação da UNESP/Bauru e Consultor desta Edição Temática.
Email: npirola@uol.com.br
2 Disponível em http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&task=doc_
download&gid=12827&Itemid=.

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A alfabetização não se limita somente
ao campo dos números, mas também se es-
tende aos campos da Geometria, das grande-
zas e medidas e do tratamento da informação.
Um dos eixos estruturantes a ser
trabalhado no PNAIC é o de Espaço e For-
ma/Geometria. No ciclo de alfabetização,
as crianças deverão:
1- Construir noções de localização e movi-
mentação no espaço físico para a orienta-
ção espacial em diferentes situações do co-
tidiano. Por meio de brincadeiras, registros
orais e escritos, construção de maquetes,
trabalho com mapas e croquis, entre ou-
tras atividades, as habilidades de orientação
espacial podem ser desenvolvidas. Noções
como direita, esquerda, para cima, para bai-
xo, ao lado de, bem como as noções topológi-
cas como dentro, fora e fronteira podem ser
trabalhadas em conexão com outras discipli-
nas, como a Educação Física e a Geografia.
2- Reconhecer formas bidimensionais e
tridimensionais. O trabalho com as figuras
geométricas planas e espaciais possibilita às
crianças o desenvolvimento da percepção
geométrica que, segundo Sternberg (2000),
se refere a um conjunto de processos psico-
lógicos pelos quais as pessoas reconhecem,
organizam, sintetizam e dão significado às
sensações e estímulos recebidos pelos ór-
gãos dos sentidos. Essa percepção geométri-
ca pode ser desenvolvida por meio de várias
ações, como as de: a) montar e desmontar
embalagens para observar a planificação; b)
contornar as faces do sólido geométrico em
um papel, com uma caneta, para observar
as figuras planas que formam aquele sólido;
c) compor e decompor figuras planas e es-
paciais utilizando sucatas e quebra-cabeças
; d) ampliar e reduzir figuras em um papel
quadriculado; d) explorar simetrias em dife-
rentes contextos; e) desenhar vistas de obje-
tos tendo como referência diferentes pers-
pectivas, entre muitas outras.
No ciclo de alfabetização, é de fun-
damental importância que o professor alfa-
betizador saiba ouvir os relatos das crianças,
suas hipóteses, seus argumentos e o que
estão pensando sobre uma determinada si-
tuação. A experimentação nas aulas de Ge-
ometria é um recurso que pode levar os alu-
nos à construção de conceitos e princípios
(relações entre conceitos) e à resolução de
problemas. Materiais simples, como emba-
lagens, sucatas e etc., podem se transformar
em recursos interessantes para a aprendiza-
gem da Geometria. A visita a sites de mu-
seus, como o Museu de Arte de São Paulo –
MASP –( http://masp.art.br/masp2010/) pode
despertar a curiosidade sobre a vida e a obra
de determinados artistas, bem como sobre
os recursos geométricos utilizados na com-
posição de suas pinturas.
Há escolas que desenvolvem proje-
tos interessantes, como o projeto “recrian-
do obras de arte” que consiste em estudar
um artista, sua vida e obra. Depois, os alu-

6
nos, em um trabalho interdisciplinar en-
volvendo Arte e Geometria, recriam a obra
de acordo com o seu olhar. Trabalhos fan-
tásticos são produzidos!!!
O PROGRAMA
Para tratar do tema gerador “Ensi-
no e aprendizagem de Geometria no con-
texto da alfabetização matemática” foi
elaborado um programa que se divide em
três blocos que não são disjuntos, mas
complementares, e que fornecem escopo
para o entendimento sobre a amplitude do
trabalho com a Geometria nessa etapa da
escolaridade que envolve os três primeiros
anos do Ensino Fundamental.
O primeiro bloco intitula-se “Objeti-
vos do ensino de Geometria na alfabetiza-
ção”. A ideia é mostrar os diferentes con-
textos em que podemos explorar conceitos
e propriedades geométricas, como a nature-
za, arquitetura e obras de arte. Pretende-se
mostrar a importância da Geometria para
diferentes profissões, como a de engenhei-
ro, biólogo, matemático, etc.
A entrevista com especialistas na
área da Educação Matemática visa elucidar
o porquê, o como e o quando trabalhar com
a Geometria no ciclo de alfabetização. Ao
apresentar escola(s) em que o ensino de
Geometria se processa de forma diferen-
ciada, temos como objetivo mostrar que é
possível, utilizando diferentes tipos de re-
cursos didáticos, motivar a aprendizagem
das crianças, levando-as a construir concei-
tos de forma significativa e interdisciplinar.
O segundo bloco, denominado “Lo-
calização e Movimentação” pretende abor-
dar um dos eixos do ensino da Geometria
no ciclo de alfabetização, que é a localiza-
ção e a movimentação de pessoas e objetos
no mundo físico.
Situações cotidianas, como inter-
pretar uma placa de trânsito, entender a
informação do GPS para se localizar, ou
solicitar uma informação de outra pessoa
para se chegar a um determinado local,
são exemplos de como é importante o de-
senvolvimento de habilidades geométricas,
como a lateralidade, para a movimentação
e a localização.
A entrevista com especialistas na área
da Educação Matemática procura discutir
como trabalhar os conceitos de localização
e movimentação com crianças de 6 a 8 anos.
As conexões com a Educação Física e
com a Geografia são exemplos de como es-
sas disciplinas podem interagir com o ensi-
no de Geometria.
O terceiro bloco, denominado “For-
mas’, procura explorar as diferentes formas
geométricas, como as obras de arte, as pin-
turas e as esculturas; as construções, como

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igrejas, prédios, monumentos; e as mani-
festações artísticas produzidas por diferen-
tes culturas, como cestarias e bordados,
que utilizam vários elementos geométricos,
como formas, simetrias, regularidades, pa-
drões, curvas, perspectivas, profundidade,
entre outras.
No contexto da sala de aula, o pro-
fessor pode utilizar esses recursos para ensi-
nar as características (atributos) das figuras
e suas principais propriedades. A simetria
é um importante conceito geométrico que
está presente em várias obras de arte. Por
exemplo, no quadro de Alfredo Volpi, pode-
mos estudar as formas geométricas (ban-
deirinhas), as regularidades e as simetrias.
Além disso, é um importante instrumento
para que os alunos façam conexões da Ge-
ometria com as Artes e conheçam as princi-
pais obras de importantes artistas.
Para subsidiar as reflexões sobre o
ensino e a aprendizagem da Geometria no
ciclo de alfabetização, foram elaborados
três textos que dão embasamentos teóricos
e metodológicos para a compreensão dos
três blocos do Programa.
TEXTO 1
O texto intitulado Objetivos do en-
sino de Geometria no processo de alfabe-
tização, de Mônica Mandarino, parte de
uma questão instigante: “Por que ensinar
Geometria nos anos iniciais do Ensino Fun-
damental?” A autora faz uma discussão que
envolve aspectos históricos e conexões da
Geometria com diferentes manifestações
artísticas e culturais. Destaca os dois eixos
do ensino da Geometria no ciclo de alfabe-
tização, que são: a visualização e o pensa-
mento geométrico, bem como a localiza-
ção e a orientação.
É destacada a importância dos re-
gistros orais e escritos das experiências vi-
vidas pelas crianças quando trabalham de
forma coletiva ou individualmente.
O texto em tela é importante para o
entendimento da importância que o conhe-
cimento geométrico tem para a resolução
de diversas situações que são geometriza-
das, como as que envolvem a orientação
espacial e a percepção geométrica.
TEXTO 2
O texto de Nelson Antonio Pirola, in-
titulado Práticas de ensino de Geometria:
algumas experiências com o desenvolvi-
mento da movimentação e da localização
de pessoas/objetos no mundo físico, faz
uma discussão mais aprofundada sobre um
dos eixos do ensino da Geometria no ciclo de
alfabetização, que diz respeito à orientação
espacial, discussão essa iniciada no Texto 1,
que enfoca os objetivos do ensino da Geo-
metria. Nesse texto, o autor destaca a im-

8
portância da exploração de diversos espaços
para o desenvolvimento dessa habilidade. O
Centro de Treinamento de Trânsito, o pátio
da escola e a sala de aula são alguns dos am-
bientes em que o trabalho com a movimen-
tação e a localização pode ser desenvolvido
de forma lúdica, constituindo-se em um ele-
mento motivador para a aprendizagem.
O texto traz depoimentos de uma
especialista em Educação Física que mos-
tra algumas interações possíveis da Edu-
cação Física com a Geometria. Além disso,
traz também o depoimento de uma profes-
sora alfabetizadora que interage o trabalho
com figuras geométricas espaciais com o
de movimentação e localização, por meio
da construção de uma maquete. Ainda des-
taca o GPS como elemento importante,
utilizado muito nos dias de hoje, para loca-
lização e movimentação.
TEXTO 3
Outro eixo do ensino da Geometria
no ciclo de alfabetização é destacado no texto
de Odalea Aparecida Viana, que aborda as Fi-
guras planas e espaciais: como trabalhar com
elas nos anos iniciais do Ensino Fundamental?
A autora destaca a teoria de Van Hie-
le discutindo e ilustrando os cinco níveis do
desenvolvimento do pensamento geomé-
trico proposto por esse autor. A seguir, são
apresentadas algumas atividades com o ob-
jetivo de levar os alunos do primeiro ciclo do
Ensino Fundamental à construção de alguns
conceitos geométricos. Algumas dessas ati-
vidades podem ser desenvolvidas desde o ci-
clo de alfabetização.
São apresentadas atividades que en-
volvem: a) identificação de semelhanças en-
tre figuras planas, b) composição e decom-
posição de figuras; c) antecipação de escolha
de faces para formar poliedros; e d) desen-
volvimento do vocabulário geométrico.
Espera-se que o programa, subsidiado
pelos textos, possa contribuir com o debate
acerca da importância do ensino articulado
da Geometria no ciclo de alfabetização com
outros áreas do conhecimento e com práti-
cas de ensino motivadoras da aprendizagem.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Di-
reitos de Aprendizagem. 2013. Dispo-
nível em < http://portal.mec.gov.br/
index.php?option=com_docman&task=doc_
download&gid=12827&Itemid=> Acesso em
17/02/2014.
STERNBERG, R. Psicologia cognitiva. Trad.
Maria Regina Borges Osório. Porto Alegre:
ArtMed, 2000, 494 p.

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Ao pensar nos objetivos do ensino
de Geometria, em especial na fase de alfabe-
tização, surge uma questão mais geral: Por
que ensinar Geometria nos anos iniciais do
Ensino Fundamental?
Primeiramente, a Geometria está
constantemente presente em nosso dia a
dia. Tal afirmação traz implícita uma visão
de Geometria diferente daquela que valori-
za apenas a apresentação formal de regras,
classificações e nomenclaturas. Para nós,
a Geometria se faz presente desde os pri-
meiros meses de vida de uma criança, no
aprendizado dos movimentos e no reconhe-
cimento do espaço em seu redor. Com o de-
senvolvimento motor e cognitivo posterior,
as crianças começam a desenvolver compe-
tências geométricas cada vez mais comple-
xas, por exemplo, para: realizar e descrever
deslocamentos; reconhecer e descrever uma
localização; caracterizar e classificar objetos
do mundo físico. Assim, um dos objetivos do
ensino de Geometria é a sistematização des-
ses conhecimentos.
Em segundo lugar, nossa reflexão
precisa levar em conta a importância histó-
rica da Geometria desde as primeiras fases
do desenvolvimento do saber matemático.
As grandes civilizações antigas – chinesa,
hindu, mesopotâmica, egípcia –, a partir da
necessidade prática para resolver problemas
cotidianos, desenvolveram conhecimentos
geométricos, muitas vezes bastante elabora-
dos e formais. Sabiam construir figuras pla-
nas e espaciais, conheciam relações entre
as grandezas geométricas, calculavam com-
primentos, áreas e volumes, conhecimentos
que atendiam a necessidades socioeconômi-
cas e culturais de cada época e lugar. Dentre
elas, a civilização grega dos séculos 7 a.C.
a 3 a.C. é a mais reconhecida, por ter sido
responsável pela organização da Geometria
como ciência lógica e dedutiva.
texto 1
Objetivos do ensino de Geometria no processo
de alfabetização
Mônica Cerbella Freire Mandarino1
1 Docente do Programa de Mestrado em Educação da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO)
e professora colaboradora do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática da UFRJ. mmandarino@globo.com

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Nessa concepção, é preciso consi-
derar que, ao iniciar o processo de alfabe-
tização, as crianças trazem consigo noções
geométricas informais, construídas em sua
vivência cotidiana. Como enfatiza Fonseca
et al. (2001), os estu-
dantes já exploram
o espaço e detêm al-
gum conhecimento
sobre o mesmo. Co-
nhecimentos cons-
truídos por meio de
suas brincadeiras e
da própria constru-
ção de brinquedos, de
passeios realizados
e também quando
auxiliam seus fami-
liares em alguma atividade. As experiências
prévias precisam servir como elementos de
referência para o professor organizar ativi-
dades que contribuam para, aos poucos, dar
significação aos conceitos matemáticos.
É importante salientar que partir dos
conhecimentos que as crianças pos-
suem não significa restringir-se a eles,
pois é papel da escola ampliar esse
universo de conhecimentos e dar con-
dições a elas de estabelecerem víncu-
los entre o que conhecem e os novos
conteúdos que vão construir, possibili-
tando uma aprendizagem significativa
(BRASIL, 1997, p.45).
As coisas que as crianças observam,
bem como as referências (estar distante de,
estar próximo de, por exemplo) e as relações
(como tem a mesma forma que, é maior do que)
que conseguem estabelecer, devem ser objetos
de reflexão associados
às atividades matemá-
ticas escolares.
Segundo os
PCNs dos anos ini-
ciais do Ensino Fun-
damental, os obje-
tivos do ensino de
Geometria no primei-
ro ciclo são dois:
• Estabelecer pontos
de referência para situar-se, posicionar-se e
deslocar-se no espaço, bem como para identi-
ficar relações de posição entre objetos no es-
paço; interpretar e fornecer instruções, usan-
do terminologia adequada.
• Perceber semelhanças e diferenças entre
objetos no espaço, identificando formas tridi-
mensionais ou bidimensionais, em situações
que envolvam descrições orais, construções e
representações. (BRASIL, 1997, p.47)
Na docência, quando refletimos so-
bre “para quê ensino algo” é preciso ir além
da dimensão utilitária como a resolução de
problemas da vida cotidiana. Como afirmam
Fonseca et al (2001), o estudo da Geometria
“ (...) As experiências
prévias precisam
servir como elementos
de referência para o
professor organizar
atividades que contribuam
para, aos poucos, dar
significação aos conceitos
matemáticos.”

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é importante também como meio de facili-
tar as percepções espaciais dos estudantes,
contribuindo para uma melhor apreciação
das construções e dos trabalhos artísticos,
tanto dos seres humanos quanto da nature-
za. A Geometria está presente em diversas
manifestações culturais e artísticas: arte-
sanatos, tecelagens, tapeçarias, esculturas,
construções e objetos do cotidiano. Na arte
dos indígenas brasileiros, por exemplo, a Ge-
ometria se manifesta de forma marcante.
Fonte: http://meninasemarte.wordpress.com/tag/arte-indigena/
As ilustrações acima mostram o uso
de padrões geométricos. Tais padrões, tanto
os criados pelas pessoas quanto os da natu-
reza, se caracterizam pelo uso de simetrias,
do paralelismo e de polígonos regulares, en-
tre outros elementos geométricos. Uma das
riquezas de nossa cultura são os artistas po-
pulares e podemos tirar proveito disso para
explorar e sistematizar conceitos geométri-
cos de forma prazerosa. O desenho, a arqui-
tetura e a escultura também fornecem óti-
mos elementos para o ensino de Geometria.
É importante chamar a atenção das crianças
para características geométricas presentes
em obras de arte e em construções, como as
que destacamos a seguir.
Obra de Mondrian
Fonte: http://cealdecote.wordpress.com/2007/12/
Projeto de Oscar Niemayer
MAC (Museu de Arte Contemporânea), Niterói, RJ.

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Nossa proposta de abordagem
da Geometria
Neste texto buscamos destacar a im-
portância de uma abordagem que integre
conhecimentos prévios, desenvolvidos na e
pela interação social com o mundo físico,
com conhecimentos mais formais, da ma-
temática historicamente construída. Nela
são muito bem vindos os inúmeros jogos ou
atividades com materiais concretos que po-
dem ser experimentados na escola. Os jogos
que envolvem movimento e localização das
crianças, a montagem de modelos concre-
tos de figuras geométricas com canudos de
refrigerantes, com garrafas pet ou com su-
cata, e muitas outras atividades desse tipo
podem enriquecer o ensino.
Destacamos especialmente as atividades de
desenho. Desde os rabiscos espontâneos,
até os desenhos com o auxílio de instrumen-
tos simples e adequados à faixa etária, existe
um vasto repertório de atividades escolares
que auxiliam a criança a representar os obje-
tos ao seu redor e a compreender as proprie-
dades geométricas das figuras desenhadas
ou reproduzidas em imagens gráficas.
Também são fundamentais as con-
versas e debates. Qualquer nomenclatura
se desenvolve e ganha significado apenas se
tivermos necessidade de usá-la. As crianças
pequenas, muitas vezes, usam termos liga-
dos à localização de forma equivocada ou
não conseguem descrever com clareza um
caminho a percorrer, por exemplo. É conver-
sando com os alunos que podemos desco-
brir como usam termos e pontos de referên-
cia e ajudá-los a aperfeiçoarem estes usos e
a ampliarem o vocabulário. Cabe destacar
que atividades de localização e movimenta-
ção não fazem muito sentido se reproduzi-
das em papel, no livro ou em folhas de exer-
cício. Estar perto, longe, em cima, em baixo,
atrás, na frente, entre, etc., só faz sentido
concretamente, a partir de um referencial
estabelecido com clareza.
Visualização e pensamento geo-
métrico
Sabemos que as percepções prove-
nientes dos movimentos e dos sentidos, em
especial do tato e da visão, cumprem uma
função fundamental na constituição de nos-
so pensamento geométrico.
A visão nos ajuda a captar e interpre-
tar as informações provenientes do mundo
que nos cerca, bem como a constituir ima-
gens mentais baseadas nessas informações.
Por exemplo, ao olharmos uma bola de
futebol, criamos a imagem mental de um
objeto com propriedades apropriadas para
realizar movimentos muito variados e que
a torna propícia àquele esporte. É na escola
que podemos ajudar os alunos a fazerem a
imagem mental do objeto geométrico asso-
ciado à bola – uma superfície esférica – que

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é uma abstração, definido como a região do
espaço na qual todos os pontos são equi-
distantes de um mesmo ponto, o centro
da esfera. Num sentido que se pode dizer
inverso, a visualização é outra capacidade
geométrica importante.
Estas capacidades estão sempre pre-
sentes em atividades de representação grá-
fica de objetos tridimensionais por meio de
desenhos. Reproduzir um objeto tridimen-
sional por meio de desenho é uma ativida-
de bastante complexa, já que o desenho é
bidimensional e é preciso fazer escolhas do
que representar e do que abandonar de in-
formação, tentando garantir que o desenho
“leve seu leitor” ao objeto representado. O
uso de capacidades como as descritas aqui
evidenciam que a Geometria favorece o de-
senvolvimento de um pensamento crítico e
autônomo nos alunos (PAVANELLO, 1993).
Como diz Freudenthal (1973) [...] as formas
no espaço são um guia insubstituível para a
pesquisa e a descoberta (p. 407).
Para nós, no estudo da Geometria, é
preciso investir na compreensão das repre-
sentações de figuras espaciais por meio de
desenhos em uma folha de papel. Estas re-
presentações, que Parzysz (1988) chama de
diagramas, incluem não apenas as represen-
tações de figuras geométricas simples, mas
também a representação esquemática de
objetos concretos. Uma das dificuldades em
Geometria é que nem sempre a compreen-
são da criança de um diagrama coincide com
a desejada pelo professor. Pesquisas apon-
tam para o fato de que as diferenças entre
a interpretação desses objetos se constitui
em um dos principais obstáculos no estudo
da Geometria (PARZYSZ, 1988; ARSAC, 1989;
LABORDE & CAPPONI, 1994).
Localização e orientação
Os movimentos da criança, a explo-
ração do espaço e as interações propiciadas
pelas diversas formas de linguagem caracte-
rizam a fase inicial, espontânea, da aquisição
das competências geométricas. Essas primei-
ras aquisições permitem à criança localizar
objetos, observar os seus deslocamentos e
situar-se no seu entorno físico.
A noção de referencial é básica em
todas as atividades que envolvem localização
e movimento. Reconhecer se um objeto ou
uma pessoa está longe ou perto, em cima ou
embaixo, à direita ou à esquerda, requer que
se estabeleça sempre outro objeto ou pessoa
como referência: longe ou perto da casa de
Maria; em cima ou embaixo da mesa; à direi-
ta ou à esquerda de Pedro. Como ocorre com
muitas noções básicas, o referencial é tão
enraizado nas atividades que envolvem a lo-
calização e o movimento, que ele acaba por
ficar implícito em nossas falas. Nesses casos,
sempre cabe ao interlocutor, dependendo do
contexto, tornar claro qual o referencial to-
mado numa determinada situação.

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Apesar de, na linguagem cotidiana,
ser comum a ausência de explicitação do
referencial, o professor deve ser muito cau-
teloso nesse aspecto, já que a omissão do
referencial, em atividades propostas em li-
vros didáticos, por exemplo, pode torná-las
enigmáticas ou mesmo inexequíveis.
Atividades de representações gráfi-
cas como croquis, plantas baixas, mapas e
construção de maquetes, também são im-
portantes no ensino escolar, pois levam a
criança a adquirir competências mais elabo-
radas de localização de objetos e de observa-
ção de deslocamentos.
A maioria dos livros didáticos traz
propostas para que a criança trace percur-
so em mapas ou em malhas quadriculadas.
No entanto, muitas vezes, o “mapa” apre-
sentado contém erros de representação da
realidade que podem ser aceitáveis se pro-
duzidos pelas crianças, mas que não deve-
riam estar presentes nos livros. Um proble-
ma frequente é confundir quem está sendo
tomado como referência: o personagem na
ilustração ou o leitor do livro.
Atividades envolvendo malhas quadri-
culadas e o plano cartesiano para localização
de pontos ou de regiões são muito importan-
tes. Desde os primeiros anos de escolaridade
é possível brincar com quadriculados simples
para que a criança localize algo a partir da
descrição do professor de sua localização e
vice-versa. A descrição oral de percursos,
como o trajeto entre a sala de aula e outro
ponto da escola, são fundamentais para de-
senvolver competências de localização. O
professor pode, depois de ir com sua turma
de um ponto a outro da própria escola, pro-
por atividade de elaboração de um texto co-
letivo que registre o percurso, com pontos de
referência, como se fosse o registro para que
outras pessoas pudessem percorrer o mesmo
trajeto. Atividades deste tipo devem ser pro-
postas com ampliação do trajeto, individuali-
zação dos deslocamentos e uso das rotas des-
critas por uns e por outros alunos de modo a
verificarem sua eficácia.
Finalizamos este texto enfatizando
dois aspectos primordiais em nossa propos-
ta: o desenho e o registro oral ou escrito em
linguagem materna das experiências viven-
ciadas no coletivo ou individualmente.

15
REFERÊNCIAS
ARSAC, G. La Construction du Concept de Figure chez les Élèves de 12 Ans. In Proceedings of the
thirteenth conference of the International Group for Psychology of Mathematics Education,
pp. 85-92, Paris, PME, 1989.
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em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16903&Item
id=1139. Acessado em 07/10/2013.
FONSECA, M. C. et al. O ensino de Geometria na escola fundamental: três questões para a for-
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PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino de Geometria no Brasil: causas e conseqüências.
Zetetiké, n1, 1993. P. 7-17.

16
Este texto tem como principal ob-
jetivo apresentar algumas experiências de
práticas de ensino de Geometria no ciclo de
alfabetização (três primeiros anos do Ensino
Fundamental) no que diz respeito ao desen-
volvimento de habilidades relacionadas à
movimentação e localização2
.
Algumas pesquisas, como as de Piro-
la (1995), mostram que, embora os currículos
oficiais preconizem o ensino de Geometria
em todas as etapas da Educação Básica, o que
se percebe, na sala de aula, é a predominância
de práticas de ensino de conteúdos de Geo-
metria alicerçadas em memorização de no-
mes de figuras e propriedades geométricas,
sem conexões com outras áreas da Matemá-
tica e outros campos do saber. Como salienta
uma professora do 3º ano do Ensino Funda-
mental, quando questionada sobre como era
o ensino de Geometria na época em que ainda
era aluna da Educação Básica, a Geometria,
tradicionalmente, sempre era deixada para o
final do ano letivo:
Geralmente o professor ensinava
Geometria no fim do ano, era um dos
últimos conteúdos. O tempo para tra-
balhar esse conteúdo era mínimo; os
professores não davam muita impor-
tância, era somente um conteúdo a
mais. Os recursos utilizados para ex-
plicação desse conteúdo eram: cader-
no, lousa, giz e réplicas de sólidos que
podíamos manusear, mas sem muita
contextualização, era somente para
reconhecimento da figura.
Dessa forma, o ensino de Geometria
quase sempre esteve pautado na visualização
de formas e no reconhecimento de proprie-
dades geométricas. O desenvolvimento de
outras habilidades geométricas, tais como
aquelas relacionadas à movimentação e lo-
calização, de orientação espacial e de per-
cepção geométrica, parecem sempre ter sido
pouco exploradas no ensino de Geometria.
texto 2
Práticas de ensino de Geometria: algumas ex-
periências com o desenvolvimento da movi-
mentação e localização de pessoas/objetos no
mundo físico
Nelson Antonio Pirola1
1 Professor Adjunto do Departamento de Educação da UNESP/Bauru e Consultor desta Edição
Temática. Email: npirola@uol.com.br
2 Neste texto a movimentação e a localização se referem sempre às pessoas e objetos no espaço físico.

17
O ensino de Geometria pode ser
mais atrativo se o professor incorporar em
suas práticas de ensino atividades lúdicas
e desafiadoras. Entre outras abordagens, o
professor alfabetizador poderá utilizar di-
ferentes espaços para explorar conceitos
e propriedades geométricas relacionadas à
movimentação e à localização.
A visita a um Centro de Treinamento
de Trânsito, que desenvolve projetos na área
de Educação para o Trânsito, poderá forne-
cer elementos para se trabalhar a movimen-
tação de pessoas e veículos, utilizando como
recursos as placas de trânsito e o semáforo,
por exemplo. Nesse caso, as crianças po-
derão compreender quando devem parar,
quando podem atravessar a rua, qual a faixa
de ciclista e também conhecer o significado
das placas espalhadas pela cidade.
A quadra de esportes e o pátio da es-
cola são ambientes em que o professor alfa-
betizador poderá desenvolver atividades de
Educação Física com interações com a Geo-
metria. Os jogos esportivos, como o vôlei e o
futebol, e as brincadeiras, como o “pega-pe-
ga”, são elementos importantes e motiva-
dores para se trabalhar, entre tantas outras
coisas, com a movimentação e a localização
das pessoas.
A seguir, destacamos um depoimento
de uma especialista que mostra algumas inte-
rações entre a Geometria e Educação Física.
A relação interdisciplinar na Educa-
ção Física, na infância e no ciclo de alfabe-
tização, na escola, é muito positiva, pois,
ao tratar com o movimento dos corpos, se
desenvolvem noções que envolvem experi-
ências lógico-matemáticas e as estruturas
cognitivas que pouco a pouco se modificam
conforme haja aprendizagens significati-
vas, ou seja, interessantes e apropriadas
para cada aluno, de acordo com sua cultura
e fase de desenvolvimento.
Trabalhar com deslocamentos no es-
paço, tal como na Geometria (andar,
correr, saltar, equilibrar, etc.), se deslo-
car de frente, de costas, de lado, numa
brincadeira de “pega–pega”, por exem-
plo, dá à criança possibilidades de ex-
perimentar seu corpo e os outros cor-
pos, entendendo o que está em cima,
embaixo, ao seu lado, e de que lado. Es-
tas são noções que se relacionam com
o mundo natural e com a Geometria,
uma vez que essa parte da Matemática
também se preocupa, desde a Educa-
ção Infantil, com o desenvolvimento da
lateralidade e do reconhecimento da
importância de se estabelecerem pon-
tos de referência para localizar uma
pessoa ou objeto no espaço.
Profª Drª Luciene Ferreira da Silva3
3 Departamento de Educação – UNESP -Bauru

18
Dessa forma, realizando atividades lú-
dicas, construindo brinquedos e trabalhando
em grupos, é possível desenvolver habilida-
des geométricas, explorando a lateralidade, a
orientação espacial e a
percepção geométrica,
componentes impor-
tantes do pensamento
geométrico.
As habilidades
de movimentação de
um objeto também po-
dem ser exploradas por
meio da brincadeira do
“passa-passa” (PIRO-
LA, 2006). Essa brinca-
deira consiste em dis-
por os alunos em fila
e entregar ao primeiro
um objeto (uma bola,
por exemplo). Vários
comandos podem ser
dados: Por exemplo, o
professor pode solicitar
a um aluno que passe
o objeto por cima de sua cabeça para quem
está atrás dele. A seguir, esse aluno deverá se
colocar como o último da fila.
Outros espaços podem ser explora-
dos pelo professor no processo de ensino
da Geometria. Por exemplo, em uma visita
a um zoológico, ou museu, os mapas e as
sinalizações com setas podem ser explora-
das para localizar um determinado animal
ou uma obra de arte.
A sala de aula também se constitui
em um rico espaço des-
tinado à exploração de
atividades de ensino de
Geometria.
A professora Alessan-
dra Vitali trabalha com
uma turma do 3º Ano
do Ensino Fundamental
da EMEB Prefeito Prof.
José Mendesano, da ci-
dade de Registro, São
Paulo. Ela relata uma
experiência interessan-
te em relação ao traba-
lho com a Geometria.
Utilizando embalagens
variadas trazidas pelos
alunos, a turma montou
um mercadinho. Ini-
cialmente foi feita uma
classificação dos pro-
dutos: produtos de limpeza, alimentação etc.
Posteriormente, as embalagens foram classi-
ficadas em corpos redondos e poliédricos.
Desde o 1º bimestre exploro a Geometria
com meus alunos, oralmente e com ativi-
dades pertinentes. Utilizo a interdiscipli-
naridade sempre que possível para explo-
rar, tanto oralmente quanto no registro,
sobre o tema. Os alunos gostam bastante
“ (...) realizando
atividades lúdicas,
construindo brinquedos
e trabalhando em
grupos, é possível
desenvolver habilidades
geométricas,
explorando a
lateralidade, a
orientação espacial e a
percepção geométrica,
componentes
importantes do
pensamento
geométrico.”

19
da comparação das formas geométricas
com os objetos que fazem parte do dia-a-
-dia, seja na escola, no trajeto ou em casa.
A maioria compreendeu bem a diferen-
ciação de figuras geométricas dos sólidos
geométricos, os quais explorei em sala
com objetos do mercadinho, comparando
formas, tamanhos e espessuras. (...) Neste
bimestre recortamos e colamos os sólidos
geométricos do livro didático. Foi uma ativi-
dade que os alunos adoraram. Após debate
e explicação das planificações para formar
os sólidos, fiz uma exploração inicial so-
bre as arestas, os lados e os vértices, com
os sólidos mais utilizados e conhecidos. As
crianças fizeram comparações e compreen-
deram que a Geometria está presente em
todos os lugares.
Também realizamos uma maquete sim-
bólica, com os objetos do mercadinho. Fi-
zemos uma disputa entre meninas e meni-
nos: montar uma rua com casas, prédios,
carros e outros objetos pertinentes, para
posteriormente explorarmos as figuras ge-
ométricas através dos sólidos. Claro que
houve empate! Todos demonstraram aten-
ção e envolvimento, se divertiram e apren-
deram um pouco mais sobre a Geometria,
deixando claro que vale a pena utilizar o
concreto aliado ao registro escrito, pro-
porcionando ao ensino uma melhor assi-
milação dos conhecimentos pelos alunos.
O trabalho com embalagens de di-
ferentes formatos é bastante interessante,
pois, por meio delas, é possível realizar clas-
sificações de sólidos geométricos e planifi-
cações. De acordo com o relato da professo-
ra Alessandra, também é possível fazer uma
maquete com ruas e prédios. A partir dessa
maquete, várias atividades de movimenta-
ção e localização poderão ser realizadas. Por
exemplo: na maquete construída da cidade,
pode-se identificar qual o melhor caminho
para se deslocar da praça à padaria. Aqui po-
derão ser utilizados relatos orais com o uso
de noções de lateralidade.
As habilidades de localização e movi-
mentação podem, ainda, ser desenvolvidas
utilizando o papel quadriculado, croquis e
mapas em um trabalho com interações com
a Geografia. A descrição de trajetos, a identi-
ficação de locais em mapas e a identificação
do que está ao sul, ao norte, a leste a oeste
são alguns elementos interessantes utili-
zados para articular o ensino da Geografia
com o de Geometria.
Atividades dessa natureza enfatizam,
entre outras coisas, a importância do reco-
nhecimento de pontos de referências para a
localização e a movimentação no espaço.
Vários recursos já foram desenvolvi-
dos para auxiliar as pessoas a se localizarem e
a se movimentarem. Um desses recursos é o
GPS (Sistema de Posicionamento Global), que
dá as informações necessárias para se che-
gar a um determinado destino. Entretanto,
o conhecimento das noções de lateralidade
é imprescindível para realizar um determina-

20
do trajeto com sucesso, uma vez que o GPS
utiliza comandos como: virar à direita, virar
à esquerda, fazer uma curva suave à direita,
manter-se à esquerda e assim por diante.
Antes da criação e utilização do GPS
em larga escala, outros recursos eram uti-
lizados para realizar a movimentação e lo-
calização. Entre esses recursos destacamos
as indicações orais e os mapas. Uma pessoa
que chegava a uma cidade em que nunca foi
e desejava localizar uma determinada rua,
geralmente parava o carro e perguntava a
alguém onde ficava essa rua. Com as infor-
mações obtidas, como “anda três quadras
e vire à esquerda, passando o supermerca-
do vire à direita” era possível chegar a um
determinado local. A consulta a um mapa
também possibilitava chegar ao destino de-
sejado. Quando não se dispõe do GPS, esses
recursos ainda são utilizados.
Com o GPS, as informações são obti-
das em tempo real, o que possibilita ao mo-
torista economia de tempo e maior precisão
nas informações.
O GPS facilita a movimentação e a localização.
Outro recurso muito utilizado para
dar a posição de uma pessoa é o celular, pois
muitos modelos já têm o GPS integrado. Vá-
rias pessoas utilizam as redes sociais para
postarem a sua localização em um dado mo-
mento (fazer check-in).
No ciclo de alfabetização, os regis-
tros oral e escrito dos alunos possibilitam
constituir um dos instrumentos para ava-
liar o desenvolvimento das habilidades re-
lacionadas à localização e movimentação.
O professor alfabetizador poderá utilizar a
roda de conversa, realizada no pátio da es-
cola, para pedir aos alunos que destaquem
alguns pontos de referência presentes em
seu trajeto casa-escola. Podem destacar pra-
ça, igreja, edifício, etc. A seguir, os alunos
poderão registrar esses pontos de referência
em um desenho. Uma variação dessa ativi-
dade é solicitar aos alunos que desenhem o
trajeto que fazem para se deslocar da sala
de aula ao refeitório. A seguir destacamos a
produção de um aluno de seis anos com o
desenho do trajeto de sua casa à escola.
Ao explicar o trajeto, o aluno disse
que sua tia saía de sua casa (B) e ia
buscá-lo em casa (A). A seguir, a tia
retornava no sentido de B para ir até
C, que é a escola. A professora dessa
turma ficou intrigada, querendo saber
por que a tia não ia direto de A para C.
Conversou com a tia e mostrou o tra-
jeto feito pelo aluno e questionou por

21
que, uma vez em A, não seguia direto
para C, não sendo necessário voltar.
A tia explicou que seu sobrinho tinha
feito o itinerário correto, uma vez que
para ir de A a C direto era inviável, pois
as ruas apresentavam muitos buracos,
dificultando bastante o deslocamento.

Extraído de Pirola (2006). P. 199-200
Feita a atividade, as produções dos
alunos podem ser expostas e cada um deles
pôde explicar o seu desenho e os pontos de
referências destacados.
De forma geral, existem muitas ati-
vidades interessantes a serem desenvolvidas
com os alunos para desenvolver a habilidade
de movimentação e localização. O professor
alfabetizador não pode ficar restrito somen-
te ao ambiente da sala de aula. Precisa se
movimentar com seus alunos, explorando
outros espaços e realizando conexões com
outros campos do saber, como, por exemplo,
a Educação Física e a Geografia. O trabalho
interdisciplinar é importante no processo de
construção do conhecimento, pois possibili-
ta, entre outras coisas, utilizar um determi-
nado conceito em diferentes contextos.

22
REFERÊNCIAS
PIRES, C. M. C; CURI, E. CAMPOS, T.M.M. Espaço e forma: a construção de noções geométricas
pelas crianças. São Paulo: PROEM. 2000.
PIROLA, N. A. Um estudo sobre a formação dos conceitos de triângulo e paralelogramo
em alunos de 1º grau. 1995. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação,
Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
______ . Espaço e forma na educação infantil. In: Coletânea de Textos do CECEMCA. 1ed, 2006, v.
1, p.192-240.

23
A Geometria escolar estuda o espaço
e as formas. Neste texto, iremos nos dedicar
às formas que podem ser representadas como
figuras geométricas.
Sabemos que a Geometria plana estu-
da as figuras planas (ou bidimensionais), como
quadrados, retângulos, triângulos, polígonos,
etc.; e que a Geometria espacial estuda as
figuras espaciais (ou tridimensionais), como
cubos, paralelepípedos, pirâmides, cilindros,
etc. Os objetos produzidos pelo homem têm
formas tridimensionais, apesar de, em alguns
casos, nos referirmos apenas à forma de uma
de suas partes. Por exemplo, quando olhamos
a porta, a janela, o quadro branco ou a própria
parede, associamos essas formas a retângulos.
Entendemos que explorar as proprie-
dades das figuras geométricas, bem como
compor e decompor formas, pode ser um bom
caminho para as crianças aprenderem concei-
tos e desenvolverem seu raciocínio em Geo-
metria. No entanto, inicialmente vamos con-
testar algumas ideias que, ao serem admitidas
de uma maneira simplista, acabam impedindo
que nossas crianças aprendam conceitos geo-
métricos. O Quadro 1 mostra algumas afirma-
ções que são frequentes nas falas dos professo-
res (VIANA et al., 2013) e a nossa percepção em
relação às mesmas.
AFIRMAÇÕES NOSSA PERCEPÇÃO
1ª) AO OBSERVAR AS FORMAS
DOS OBJETOS, AS CRIANÇAS
APRENDEM GEOMETRIA.
CONCORDAMOS ( )
NÃO CONCORDAMOS (X)
2ª) AO MANIPULAR OBJETOS
CONCRETOS, AS CRIANÇAS
APRENDEM GEOMETRIA.
CONCORDAMOS ( )
3ª) QUANDO ASSOCIAM O
NOME ÀS FIGURAS GEOMÉTRI-
CAS, AS CRIANÇAS APRENDEM
GEOMETRIA.
CONCORDAMOS ( )
4ª) AO DESMONTAR E MONTAR
CAIXINHAS DE EMBALAGENS,
AS CRIANÇAS APRENDEM
GEOMETRIA ESPACIAL.
CONCORDAMOS ( )
5ª) AO CONTAR FACES, VÉRTICES
E ARESTAS, AS CRIANÇAS APREN-
DEM GEOMETRIA ESPACIAL.
CONCORDAMOS ( )
Quadro 1. Afirmações comuns nas falas dos professores
Evidentemente, a alternativa assina-
lada “não concordamos” é uma provocação
para que possamos tecer algumas reflexões
sobre o ensino e aprendizagem da Geome-
texto 3
Figuras planas e espaciais: como trabalhar com elas
nos anos iniciais do Ensino Fundamental?
Odalea Aparecida Viana1
1 Professora da Faculdade de Ciências Integradas do Pontal, da Universidade Federal de Uberlândia.
odaleaviana@gmail.com

24
tria. O objetivo deste texto é apresentar uma
concepção acerca da formação de conceitos
geométricos elementares e o papel das figu-
ras nesse processo.
Conceitos
Sob a perspectiva piagetiana, pode-
mos compreender a formação de conceitos
– tema de especial interesse neste trabalho
– por meio do entendimento das operações
que um indivíduo pode realizar ao longo do
seu desenvolvimento e na construção do es-
paço perceptivo e representativo (PIAGET &
INHELDER, 1993). Um conceito é uma gene-
ralização a partir de dados relacionados e
que possibilita responder a algo ou pensar
em estímulos ou percepções específicos de
uma determinada maneira. Quando a crian-
ça formou os conceitos de retângulo2
e de
trapézio3
, por exemplo, ela pôde generalizar
as figuras abaixo como sendo representan-
tes desses conceitos e pôde perceber as tá-
buas do portão com a forma de dois retân-
gulos e quatro trapézios (Imagem 1).
Imagem 1. Trapézios à esquerda e esquema de um portão
formado por retângulos e trapézios.
A aprendizagem da Geometria se dá
pelo desenvolvimento do chamado “pensa-
mento geométrico”, conforme denominado
por Van Hiele – um autor que se preocupou
em estudar como os conceitos geométricos
podem ser formados pelos alunos (VAN HIE-
LE, 1986). O modelo, que pode ser visto em
Crowley (1994), consiste em cinco níveis de
compreensão: reconhecimento, análise, de-
dução informal, dedução formal e rigor e su-
gere que os alunos progridam através dessa
sequência hierárquica enquanto aprendem
Geometria. Esses níveis do raciocínio geo-
métrico foram descritos por Van Hiele (1986)
e são resumidos a seguir:
Nível 1 – Reconhecimento:
Neste estágio inicial, também chama-
do de nível básico ou de visualização, o alu-
no percebe os conceitos geométricos como
entidades totais; não vê componentes ou
atributos. A aparência física é determinante
para reconhecer figuras e não suas partes ou
propriedades. O aluno consegue aprender um
vocabulário geométrico, identificar formas es-
pecíficas e reproduzir um desenho com papel
quadriculado. Por exemplo, pode reconhecer
um dado, chamá-lo de cubo, mas não é capaz
de reconhecer as seis faces quadradas. Este ní-
vel mais elementar de raciocínio é decorrente
da forma como normalmente a Geometria pa-
2 Retângulos são quadriláteros (polígonos de quatro lados) que possuem quatro ângulos retos.
3 Trapézios são quadriláteros que têm um par de lados paralelos, e retângulos são quadriláteros que têm
quatro ângulos retos.

25
rece ser ensinada nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, ou seja, baseada em ativida-
des que têm por objetivo o reconhecimento
nos dois sentidos: nome <-> figura.
Em muitas ocasiões, as descrições
das figuras estão baseadas em sua seme-
lhança com outros objetos (não necessa-
riamente geométricos) que conhecem. São
usadas frases como: “... se parecem com...”,
“ ...a forma de...” etc.
Nível 2 – Análise:
Neste nível, o aluno reconhece as
partes de uma figura, começa a analisar
as suas propriedades e utiliza algumas de-
las para resolver certos problemas. Não é
capaz de explicar relações entre as mes-
mas, não vê inter-relações entre as figuras
e não entende definições. Pode perceber
que os lados opostos e, possivelmente,
que as diagonais de um retângulo são con-
gruentes, mas não notará como os retân-
gulos se relacionam com os quadrados.
Acrescente-se que, neste nível, o
aluno dá mais importância à existência de
algumas propriedades diferenciadoras nas
figuras que à existência de propriedades co-
muns. Como exemplo, dadas as figuras a se-
guir (Imagem 2), provavelmente as crianças
vão apontar diferenças: B é “maior” que A,
os “cantinhos” (ângulos) de A são “abertos”
e os de B são “retinhos”, mas demorarão
para dizer que as duas figuras são polígonos
e têm o mesmo número de lados. No segun-
do caso, talvez se refiram às alturas (o cubo
D é mais “alto” que o paralelepípedo C), às
faces iguais de D e diferentes de C, e só mais
tarde indicarão que ambas as figuras são po-
liedros com seis faces.
Imagem 2. A e B são polígonos de seis lados (hexágonos); C
e D são poliedros de seis faces (hexaedros).
No nível 2, por meio de atividades
exploratórias, as crianças poderão reconhe-
cer e nomear os grupos de figuras a seguir
(Imagem 3), já que agora elas conseguem
analisar as propriedades.
Imagem 3. Grupo A: retângulos; Grupo B: triângulos e Grupo
C: trapézios.
Da mesma maneira, no nível 2, as
crianças podem analisar semelhanças (o
que é mais difícil do que analisar diferenças)
e podem separar as figuras em poliedros4
e
não poliedros (Imagem 4).
Imagem 4. Poliedros (à esquerda) e não poliedros (à direita).
4 Os poliedros são figuras tridimensionais (ou espaciais) que são formadas por faces (superfícies planas),
vértices e arestas. Os não poliedros são, em geral, chamados de corpos redondos (na figura estão um cone, dois
cilindros, uma esfera e um tronco de cone).

26
Nível 3 – Ordenação:
O aluno, neste nível, ordena logica-
mente figuras e entende inter-relações de
propriedades tanto das figuras quanto entre
elas. É capaz de formar classes de figuras, e a
inclusão de classes é entendida. Pode enten-
der por que todo quadrado é retângulo, mas
pode não ser capaz de explicar por que as dia-
gonais de um retângulo são congruentes.
Nível 4 – Dedução:
O aluno compreende o significado da
dedução e é capaz de construir demonstra-
ções de teoremas. Em geral, esse nível não é
alcançado no Ensino Fundamental.
Nível 5 – Rigor:
O aluno, nesse nível, é capaz de tra-
balhar com outras Geometrias que não a
euclidiana. Estudantes de nível superior
podem atingir esse nível.
Algumas pesquisas indicam que os
alunos dos anos finais do Ensino Fundamen-
tal e até do Ensino Médio estão em um ní-
vel de formação conceitual bem abaixo do
esperado. Assim, são muitos os que não re-
conhecem as figuras constantes na Imagem
5, pois não analisam suas características, ou
melhor, não analisam as propriedades das
figuras. Evidentemente, não conseguem in-
cluir classes de figuras, entendendendo, por
exemplo, que quadrados são paralelogra-
mos5
. A Imagem 5 mostra classes de figuras
para quadriláteros prismas6
. O entendimen-
to das relações de inclusão ilustradas pelas
imagens requer o Nível 3 de desenvolvimen-
to do raciocínio geométrico, de acordo com
Van Hiele (1986):
Imagem 5 – Inclusão de classes para os polígonos que
são quadriláteros (à esquerda) e para os poliedros que
são prismas (à direita).
Consideramos que aprender Geome-
tria, mesmo nos anos iniciais do Ensino Fun-
damental, não se resume a reconhecer e no-
mear figuras, mas sim a desenvolver formas
de pensamento geométrico. Para desenvol-
ver os níveis de conceitos, são necessárias
operações mentais que vão muito além da
manipulação de manipular objetos.
De acordo com Piaget e Inhelder
(1993), todo pensamento surge das ações,
mas estas não se resumem a ações físicas
com objetos; é preciso que as crianças coor-
denem essas ações no plano do pensamen-
to. Assim, não basta montar quadrados com
5 Paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares de lados paralelos.
6 Prismas são poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes e as outras faces (laterais) paralelogramos
(geralmente retângulos).

27
quatro varetinhas do mesmo comprimento;
é preciso que, ao receber varetas de compri-
mentos variados, a criança imagine quantas
e de quais tamanhos ela precisaria para re-
presentar as formas de
um piso e de uma ban-
deira – e tentar expli-
car por que fez assim,
por exemplo. Essas an-
tecipações das ações
tornam-se verdadeiros
desafios para o aluno
e são conflitos cogni-
tivos que, de acordo
com Piaget, ajudam no
desenvolvimento intelectual dos alunos.
Assim, com base na teoria piage-
tiana, consideramos que oportunizar a
manipulação de material concreto pode
contribuir para a formação de conceitos
desde que as crianças possam agir no pla-
no do pensamento. Figuras desenhadas
nas folhas dos livros ou em cartazes não
permitem, por exemplo, antecipação de
deslocamentos e de giros, nem de verifi-
cação dos resultados desses movimentos.
Alguns exemplos de movimentos de figu-
ras são descritos a seguir, lembrando que
o professor pode construir, junto com os
alunos, a maior parte dessas figuras. São
também sugeridas outras atividades para
a Geometria plana e espacial.
Algumas atividades para construir conceitos
Exemplo 1: Trabalhar
com figuras planas
recortadas (que per-
mitam movimentar,
girar, sobrepor)
a) Identificar congruên-
cias7
em triângulos: Há
pares de figuras iguais
(congruentes)?
b) Identificar semelhanças nas figuras: Há pa-
res de figuras em que, ao que parece, uma é a
ampliação ou redução da outra? “Há pares de
polígonos que parecem ser semelhantes?”
c) Variação da atividade anterior: as mesmas
figuras poderão compor um jogo de cartas,
com os mesmos questionamentos anteriores.
“(...) com base na teoria
piagetiana, consideramos que
oportunizar a manipulação
de material concreto pode
contribuir para a formação
de conceitos desde que as
crianças possam agir no plano
do pensamento.”
7 Dois triângulos são congruentes quando têm lados e ângulos correspondentes de mesma medida. Uma das
maneiras de verificar a congruência é sobrepor as figuras.
8 Dois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos
correspondentes têm a mesma medida. Evidentemente, nos anos iniciais, exploram-se apenas as ideias de redução
e de ampliação.

28
Exemplo 2: Criar, compor e decompor fi-
guras planas
a) Criar formas poligonais
A ideia é que a criança crie contor-
nos como os ilustrados, com auxílio de ré-
gua e sem medidas, apenas para caracteri-
zar polígonos. Não importa que as figuras
não fiquem simétricas, o importante é ca-
racterizar os lados retos.
b) Decompor e recompor o polígono criado
(dodecágono). Que figuras foram obtidas?
A “estrela poligonal” é um polígono
de 12 lados. Ela deu origem a 6 polígonos,
sendo 2 triângulos (triângulos equiláteros) e
4 quadriláteros (sendo um quadrado e três
trapézios). Entre esses 6 polígonos, há po-
lígonos congruentes?
c) Compor figuras (quebra-cabeça) com: (i)
contornos definidos, (ii) contornos não defi-
nidos, (iii) modelo com peças do mesmo ta-
manho, (iv) modelo com peças maiores que
o modelo etc.
d) Criar uma forma poligonal, recortá-la em
cartolina e usá-la para compor faixas (con-
gruência e translação/simetria). Abaixo, o
“cachorro poligonal” é polígono de 10 lados!
Exemplo 3: Antecipando construções
a) Antecipar a escolha das faces para formar
os poliedros (prismas, paralelepípedos, pi-
râmides). Observe os polígonos à esquerda
(eles serão as faces): quantas faces você vai
precisar para montar cada poliedro à direita?
Serão todas triangulares? Haverá quadrados?
b) Antecipar a escolha das arestas para for-
mar os poliedros (prismas, paralelepípedos,
pirâmides). Quantas varetas (arestas) você
precisará para formar o paralelepípedo? Te-
rão a mesma medida?
Exemplo 4: Desenvolvendo vocabulário
a) Jogo “Adivinha quem sou”: sou um polígo-
no, tenho quatro lados, tenho quatro ângu-
los, os lados são congruentes, os ângulos
são todos retos.
b) Jogo da memória de pares ou trios.

29
Considerações finais
Conforme as teorias mostram, é ne-
cessário que a criança estabeleça relações o
tempo todo: É igual? É diferente? É parecido?
O que tem de igual? É o ângulo? É a medida
do lado? É a quantidade de lados?
O enfrentamento de desafios, na for-
ma de antecipações, também é importan-
te. Na Geometria plana, por exemplo: Esta
quantidade de lados vai ser possível para for-
mar esse polígono? As medidas desses lados
formam aquele hexágono? Por quê? Se jun-
tar aqueles dois ângulos formará o ângulo
reto do quadrado? Na Geometria espacial:
quantas arestas e de que medidas você vai
precisar? Essas são as melhores faces para
aquele poliedro? E se pegar essas, forma
aquele outro poliedro que é pirâmide? E por
que não pegar aquelas? Se juntar essas faces
retangulares formará o paralelepípedo?
Além disso, apostamos em ativida-
des que incentivem a criança a criar, a in-
ventar, e a explorar as propriedades da fi-
gura criada. Na Geometria plana: Esse seu
“peixe poligonal” é um polígono de quan-
tos lados? Lados iguais? Quantos ângulos?
Tem ângulos retos? Na Geometria espa-
cial: Esse poliedro que você criou, quantas
faces tem? As faces são iguais? São dife-
rentes? Esse poliedro tem faces que são
iguais às daquela pirâmide?
Conforme podemos notar, o voca-
bulário deve ser aprendido pela criança
nas próprias atividades.
Esperamos ter explicado as nossas
percepções contidas no Quadro 1: na nossa
concepção, não se aprende Geometria ob-
servando formas de objetos e manipulando
materiais concretos, mas devemos dar ênfa-
se à criatividade e à exploração das proprie-
dades, de modo a contribuir para a forma-
ção de conceitos e para o desenvolvimento
dos níveis de pensamento em Geometria.

30
REFERÊNCIAS
CROWLEY, M. L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In: LIND-
QUIST. M. M; SHULTE A. A. (org.) Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução de Hygino H.
Domingos. São Paulo: Atual, 1994.
PIAGET, J.; INHELDER B. A representação do espaço na criança. Tradução de Albuquerque, B. M.
Porto Alegre: Artes Médicas, 1993.
VAN HIELE, P. M. Structure and Insight – A Theory of Mathematics Education, Orlando: Acade-
mic Press, 1986.
VIANA, O. A.; SILVA, R. M. M.; SILVA, B. A. R. Relações entre atitudes e concepções de professo-
res acerca da Geometria. Encontro Nacional de Educação Matemática, 11, PUCPR, 2013. Anais…
Curitiba, 2013.

31
Presidência da República
Ministério da Educação
Secretaria de Educação Básica
TV ESCOLA/ SALTO PARA O FUTURO
Coordenação Pedagógica
Ana Maria Miguel
Acompanhamento pedagógico
Grazielle Bragança
Copidesque e Revisão
Milena Campos Eich
Diagramação e Editoração
Bruno Nin
Virgilio Veiga
Consultor especialmente convidado
E-mail: salto@mec.gov.br
Home page: www.tvescola.org.br/salto
Rua da Relação, 18, 4º andar – Centro.
CEP: 20231-110 – Rio de Janeiro (RJ)
Setembro 2014

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