matemática medio-matematica FORMATADO.doc

Curso Preparatório ProServidor PREFEITURA DE ANANINDEUA - PROFª. FLAVIOBACELAR
www.cursodominiopa.blogspot.com .br FONE: (91) 989454903
RAZÃO E PROPORÇÃO
Chamamos de razão entre doi números a e b, sendo
b não nulo, o quociente entre eles.
Assim a razão de a para b é dada por:
b
a
ou
b
a
:
O número a é chamado de antecedente e o número
b é chamado de conseqüente da razão
b
a
.
 Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre razões:
d
c
b
a
ou
d
c
b
a
:
: 

OBS: Em toda proporção, o produto dos meios é
igual ao produto dos extremos:
bc
ad
d
c
b
a



Numa proporção, a soma ou diferença dos
antecedentes está para a soma ou diferença dos
consequentes assim como cada antecedente
está para o seu consequente.
Assim na proporção:
d
c
b
a
d
b
c
a
temos
d
c
b
a




 valendo o mesmo para
a subtração.
Números diretamente e inversamente
proporcionais.
Duas sucessões de números são diretamente
proporcionais se as razões entre cada termo da
primeira.
sucessão e o termo correspondente da segunda
sucessão são iguais. E o valor dessas razões é
chamado de fator de proporcionalidade.
Por outro lado, duas sucessões são inversamente
proporcionais quando os produtos de cada termo da
primeira sucessão pelo termo correspondente da
segunda sucessão são iguais.
Exercícios
1) Quero distribuir 60 balas entre 3 crianças,
proporcionalmente às suas idades; sabe-se que
Antônio tem 9 anos, Bruno, 7 anos e Carlos 4. Os
números de balas que cabe a cada um é:
2) Divida o número 75 em quatro partes
inversamente proporcionais a 2, 3, 4 e 6.
3) Uma estrada de 315 km de extensão foi asfaltada
por 3 equipes A, B e C, cada uma delas atuando em
um trecho diretamente proporcional aos números 2,
3 e 4, respectivamente. Quantos quilômetros tem o
trecho asfaltado pela equipe C?
4) Um comerciante precisa pagar três dívidas: Uma
de 30 mil reais, outra de 40 mil reais e uma terceira
de 50 mil reais. Como ele só tem 90 mil reais,
resolve pagar quantias diretamente proporcionais a
cada débito. Nessas condições, quanto receberá o
maior credor?
5) O proprietário de uma chácara distribuiu 300
laranjas a três famílias, em partes proporcionais ao
número de filhos. Sabendo-se que as famílias A, B,
C tem respectivamente 2, 3 e 5 filhos, quantas
laranjas recebeu cada família?
GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS E REGRADE TRÊS
Duas grandezas são diretamente proporcionais,
quando a razão entre os valores da primeira é igual
à razão entre os valores da segunda.
Duas grandezas são inversamente proporcionais,
quando a razão entre os valores da primeira é igual
ao inverso da razão entre os valores da segunda.
Exercícios:
1) Se 6 operários levam 10 dias para levantar um
muro ao redor de um campo de futebol, quantos
operários seriam necessários para levantar o mesmo
muro em 3 dias?
2) Em um acampamento, 50 pessoas têm alimento
para 15 dias. Tendo chegado mais 25 pessoas, o
alimento deverá ser suficiente para quantos dias?
3) Em um grupo de 160 pessoas 85 são mulheres.
Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo?
4) Trinta e seis operários, trabalhando 7 horas por
dia durante 12 dias fazem um determinado serviço.

Quantas horas por dia, 12 operários farão o mesmo
serviço em 14 dias?
5) Numa fábrica de sapatos trabalham 16 operários,
que produzem, em oito horas de serviço, 120 pares
de sapatos. Desejando-se produzir 300 pares,
trabalhando 10 horas, a quantidade necessária de
operários será de:
a) 31
b) 32
c) 48
d) 49
PORCENTAGEM - BÁSICO
Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem:
Numa loja de materiais elétricos, um velho
cliente entra para comprar cabos, e compra o que
costuma comprar todo mês. A conta fica em 80
reais, mais cara que a do mês passado.
- Teve aumento?- pergunta o cliente?
- Teve. Os cabos aumentaram 20% - responde o
dono da loja, do outro lado do balcão.
- Então, em nome da nova velha amizade, este mês
eu quero 20% de desconto.
O dono da loja concorda. Quem ganhou e quem
perdeu nessa transação, o velho cliente ou o dono
da loja?
Um trabalhador autônomo, toda vez que emite
uma nota fiscal de serviços, paga 8% de impostos.
Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana
de trabalho ele sempre responde:
- Cobro 750 reais líquidos.
Contudo, terminado o trabalho, o cliente insiste em
lhe pagar 750 reais por semana, e disso não arreda
pé. Por fim, o trabalhador se rende, emite a nota
fiscal no valor de 750 reais, paga 8% de impostos e
embolsa 690 reais. Quanto ele deveria cobrar para,
durante as negociações, dar ao cliente um desconto
de 12%, pagar os 8% de imposto e ainda assim ficar
com 750 reais?
Para responder tais perguntas vamos entender um
pouco mais sobre as porcentagens:
Definição: PORCENTAGEM pode ser definida
como a centésima parte de uma grandeza, ou o
cálculo baseado em 100 unidades.
É visto com freqüência as pessoas ou o próprio
mercado usar expressões de acréscimo ou redução
nos preços de produtos ou serviços.
Alguns exemplos:
a)60% de 150 dias de trabalho = 90 dias
b)70% de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00
Como calcular porcentagem?
Existem várias formas de se calcular uma
porcentagem. Podemos por exemplo se basear no
fato que:
y
x
y
de
x 

100
% (Transforme o valor percentual em
decimal e multiplique pelo total(y).)
Podemos também, proceder fazendo uma regra de
três simples, uma vez que ao buscarmos uma
porcentagem de um determinado valor, estamos
considerando grandezas diretamente proporcionais
Exemplificando:
Efetue o cálculo 10% de 50
100% : 50
10% : X
Ou, 10%=0,1 Logo, 10% de 50 =0,1 . 50 =5
Exemplo 2:
Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no
valor de R$ 150,00 e obtêm-se um desconto de 20%
100% : R$ 150,00
20% : X
X = R$ 30,00
Aumentos porcentuais
Em termos gerais, se um valor qualquer ( Q
V )
aumenta x%, podemos calcular o novo valor
fazendo:
%)
1
.(
%
.
x
V
x
V
V
Q
Q
Q



Diminuições porcentuais
De forma análoga ao desenvolvimento anterior se
obtivermos um desconto de x% em um valor
qualquer ( Q
V ) calcularmos o valor final fazendo:
Q
V - Q
V .x%

= Q
V (1 - x%)
Aumento seguido de diminuição e vice-versa
O preço do tomate ( t
P ) aumentou 29,85%. Vamos
supor que, a certa altura, ele caia 32%. Então o
tomate passará a valor quanto?
Nos casos em que aumentos e diminuições são
intercaladas, sobre um valor qualquer ( Q
V ) podemos
obter o valor final de forma única. Se um valor
aumenta x% e depois diminui y% temos:
Q
V (1+x%)(1-x%)
Exercícios
1) Um jogador de basquete, ao longo do
campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram
de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02
pontos o jogador fez do total de 250 pontos?
2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e
revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa
percentual de lucro ?
3) Qual valor de uma mercadoria que custou R$
555,00 e que pretende ter com esta um lucro de
17%?
4) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada
matéria. Qual o número máximo de faltas que este
aluno pode ter sabendo que ele será reprovado,
caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas?
TRANSFORMAÇÃO DE PERCENTUAIS EM
NÚMEROS
FRACIONÁRIOS E DECIMAIS
Para realizar operações com percentuais é
necessário transformá-los antes em frações ou
números decimais.
15% =
100
15
= 0,15
 o número que antecede o sinal de porcentagem
é transformado em fração, cujo denominador é
sempre 100. Para transformar o número fracionário
em decimal, basta dividir i numerador da fração pelo
seu denominador.
1,2% =
100
2
,
1
= 0,012
 se o numerador contiver uma parte inteira e uma
parte decimal, ambas devem ser representadas no
numerador da fração. Depois, basta dividir o
numerador pelo denominador, para obter o número
expresso em forma decimal.
PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS “SIMPLES E
COMPOSTA”
A indicação da divisão do numerador pelo
denominador de uma fração é, às vezes, chamada
de razão.
Exemplo: 2/4
A igualdade entre duas razões forma uma
proporção. Exemplo:
8
4
4
2
 , são duas frações
equivalentes e esta proporção também pode ser
representada como segue:
8
4
4
2 


meios
extremos
Propriedade Fundamental
Numa proporção do tipo
d
c
b
a
 , o produto dos
termos extremos é sempre igual ao produto do
termos meios, ou seja:
Conhecendo três elementos de uma proporção, é
possível calcular o valor do quarto elemento,
também chamado de Quarta proporcional.
Exemplo:
8
2
16
16
2
4
.
4
2
4
4
2








 x
x
x
x
x
Propriedade da soma
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos
está para o primeiro (ou segundo), assim como a
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou
quarto).
Se
d
c
b
a
 , então:


d
c
b
a
a.d = b.c
d
d
c
b
b
a
ou
c
d
c
a
b
a 






Propriedade da diferença
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros
termos está para o primeiro (ou segundo), assim
como a diferença dos dois últimos está para o
terceiro (ou quarto).
Se
d
c
b
a
 , então:
Exercícios:
1. Calcular x e y na proporção
4
3

y
x
, sabendo que
x + y = 35. Resp.(15,20)
2. Calcular x e y na proporção
3
4

y
x
, sabendo que
x – y = 30. Resp.(120,90)
3. Um pai dividiu R$ 45,00 entre dois filhos na
razão de 2 para 3. Quanto recebeu cada filho?
Resp. R$ 18,00 e R$ 27,00
4. Dois irmãos têm juntos 80 anos. Se a razão
entre essas idades é 3/2, calcule a idade do
irmão mais velho. Resp. 48 anos
5. A diferença entre os preços de dois objetos é R$
90,00 e a razão desses preços é 3/2. Calcule
o preço de cada um. Resp. R$ 270,00 e R$
180,00
Série de Razões Iguais
Em uma série de razões iguais, a soma dos
antecedentes está para a soma dos conseqüentes
assim como qualquer antecedente está para o seu
respectivo conseqüente.
Exemplo:
Exercícios:
1. Calcule x, y e z, sabendo que
15
11
9
z
y
x

 e x +
y + z = 420. Resp.(108,132,180)
2. Calcule a, b e c, sabendo que
1
3
5
c
b
a

 e a + b
+ c = 180. (100,60,20)
3. Dois amigos jogaram na loteria esportiva, sendo
que o primeiro entrou com R$140,00 e o
segundo com R$ 220,00. Ganharam um prêmio
de R$ 162.000,00. Como deve ser rateado o
prêmio? (R$ 63.000,00 e R$ 99.000,00)
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
A relação entre duas grandezas variáveis
estabelece a lei de variação dos valores de uma
delas em relação à outra. Segundo tal lei, as
grandezas relacionadas podem ser direta ou
indiretamente proporcionais.
1. Grandezas diretamente proporcionais
2. Grandezas Inversamente proporcionais
Números inversamente proporcionais
Exercícios:
1. O número de dias gastos na execução de uma
obra é direta ou inversamente proporcional ao
d
d
c
b
b
a
ou
c
d
c
a
b
a 





n
m
f
e
d
c
b
a
n
f
d
b
m
e
c
a
....
....
....












Duas grandezasvariáveissão diretamente
proporcionaisseos valorescorrespondentes a x e y
são expressospor uma funçãodotipo y = k.x, ondek é
um número real constantee diferente de zero.
(Amedida em que aumentamoso valorde x também
aumentao valor de y ou a medidaem diminuímoso
valorde x tambémdiminui o valorde y).
As sequenciasde números reais e não nulos
(a,c,e,....m) e (b,d,f,....n) sãoinversamente
proporcionaisse,e somente se,:
a.b = c.d = e.f = .....= m.n = k (Constante)
Duasgrandezasvariáveissão inversamente
proporcionaisseos valorescorrespondentes a x e y
são expressospor uma funçãodotipo y = k.
x
1
, onde k
é umnúmero real constante e diferente de zero.
(Amedida em que aumentamoso valorde x, diminui
o valor de y ou a medidaem diminuímosovalorde x,
aumentao valor de y).

número de máquinas empregadas na obra? Por
quê?
2. Verifique se são ou não inversamente
proporcionais às sequencias de números:
a) (2, 3, 6,10) e (45, 30, 15, 9)
b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20)
3. Determine os valores de a e b nas sequencias
de números inversamente proporcionais (2, 3, b) e
(15, a, 5). Resp. (10,6)
4. O número de horas gastos para realizar uma
viagem é direta ou inversamente proporcional a
velocidade desenvolvida no trajeto? Por quê?
Regra de Três Simples
 Roteiro para resolução de problemas:
a) Colocar as grandezas de mesma espécie numa
mesma coluna.
b) Indicar duas grandezas diretamente
proporcionais com flechas no mesmo sentido.
c) Indicar duas grandezas inversamente
proporcionais com flechas de sentido contrário.
d) Armar a proporção e resolvê-la.
Exercícios:
1. Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de
uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6
eletricistas para fazer o mesmo trabalho? Resp.
4 dias.
2. Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6
horas. Quantas horas levará para engarrafar
4000 refrigerantes? Resp. 8 h.
3. Com 14 litros de tinta podemos pintar uma
parede de 35 m². Quantos litros são necessários
para pintar uma parede de 15 m²? Resp. 6 l.
4. Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada
página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o
número de páginas? Resp. 360 páginas.
Regra de três composta.
5. Numa fábrica 12 operários trabalhando 8 horas
por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão.
Quantas caixas serão feitas por 15 operários que
trabalhem 10 horas por dia? Resp. 1350 caixas.
6. Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360
camisas em 3 dias, Quantos alfaiates são
necessários para que sejam feitas 1080 camisas
em 12 dias? Resp. 6.
7. Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3
kg de pão. Quantos quilos serão necessários
para alimentá-la durante 5 dias estando
ausentes 2 pessoas? Resp. 5.
8. Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por
dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de
certo produto. Quantas toneladas do mesmo
produto seriam produzidas por 6 máquinas
daquele tipo, operando 6 horas/dia, durante 6
dias. Resp.13,5.
9. Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens
gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia .
Quantos dias, vinte homens, trabalhando 12
horas por dia asfaltarão 2 km da mesma
estrada? Resp. 24.
Exercícios Complementares:
1. Uma viagem foi feita em 12 dias percorrendo-se
150 km por dia. Quantos dias seriam empregados
para fazer a mesma viagem percorrendo 200 km por
dia?
2. Um trabalho é feito por 21 teares em 10 dias,
trabalhando 5 horas por dia. Quantas horas por dia
deverão trabalhar 15 teares durante 12 dias para
fazer o mesmo trabalho?
3. Um batalhão de 1600 soldados tem viveres para
10 dias à razão de 3 refeições diárias para cada
homem. No entanto juntaram-se a esse batalhão
mais 400 soldados. Quantos dias durarão os
víveres, se foi decidido agora que cada soldado fará
2 refeições por dia?
4. Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia
durante 12 dias, conseguem realizar um
determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia,
12 operários farão o mesmo serviço em quantos
dias?
5. Oito operários levam 5 dias para levantar um
muro de 6 m de altura e 35 m de comprimento.
Quantos dias 15 operários levarão para construir um
muro com 3 m de altura e 70 m de comprimento?
6. Em 3 dias foram construídos 2/10 do
comprimento de uma estrada. Supondo que o
trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em
quantos dias a estrada estará pronta?

7. Uma turma de operários realiza certa tarefa em
30 dias. Em quantos dias a mesma turma fará outro
serviço, cuja dificuldade é estimada em 3/5 da
dificuldade do primeiro?
8. A produção de uma tecelagem era de 8000
metros de tecido/dia, com os operários trabalhando
8 horas por dia. Com a admissão de mais 300
operários a indústria passou a produzir 14000
metros/dia, trabalhando 9 horas por dia. Qual era,
então, o número de operários antes da admissão?
PORCENTAGEM - AVANÇADO
Em nosso dia-a-dia é comum observarmos
expressões como estas:
“ Desconto de até 30% na grande
liquidação de verão”
“ Os jovens perfazem um total de 50% da
população brasileira”
“ A inflação registrada em dezembro foi de
1,22%”
Todas essas expressões envolvem uma razão
especial chamada porcentagem, que será o nosso
objeto de estudo.
Taxa percentual
Suponhamos que um aluno tenha acertado,
em um exame, 12 das 15 questões apresentadas. A
razão entre o número de questões acertadas e o
número total de questões, e o percentual de acertos
é:
Problemas de percentagem
Representando
 o principal por P ou C quando se trata de valores
monetários.
 A percentagem por p.
 A taxa por r;
Temos, genericamente:
Exemplo:
Em um colégio 26% dos alunos são meninas.
Quantos alunos possui o colégio, se elas são em
número de 182?
Resolução:
p = 182
Temos:
r = 26
Assim: 700
26
100
182
100
26
182




x
P
P
,
Logo, o colégio possui 700 alunos.
Taxa unitária (i)
Taxa unitária é dada por
P
p
r
i 

100
Exemplo:
Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00
com um lucro de 15% sobre esse valor. Quanto
ganhou?
Temos:
P = 540
I = 15% = 0,15
Como; Pi
p
i
P
p



Logo, p = 540. 0,15 = 81
Então, o comerciante ganhou R$ 81,00.
Exercícios
1. R$ 6000,00 depositados numa caderneta de
poupança renderam R$1500,00. Qual a
porcentagem deste rendimento? Resp. 25%
2. Um comerciante vende uma mercadoria por um
preço “p”. Querendo ser “esperto”, ele aumentou o
Taxa é o valor que representa a quantidade de
unidades tomadas em cada 100.
100
r
P
p


preço em 50% e anunciou que nas compras à vista,
oferece um desconto de 50% sobre o preço final.
Ele leva vantagem nessa transação?
3. Uma prestação de um apartamento é de R$
850,00 e representa 30% do salário do comprador.
Calcule quanto deve ser o salário total do
comprador. Resp. R$ 2.833.33.
4. Um comerciante querendo ser vende uma
mercadoria por um preço p. Querendo ser “esperto”
ele aumentou o preço em 30% e anunciou que nas
compras a vista, oferece um desconto de 30% sobre
o preço final. Ele leva vantagem nesta transação?
Solução:
Preço inicial: p
Preço Final: p + 30%.p = p + 0,3.p = 1,3.p
Desconto sobre o preço final: 30% de (1,3.p) = 0,3 x
1.3p = 0,39p
Preço com desconto: 1,3p – 0,39p = 0,91p
Resposta: Não é uma transação vantajosa, pois
quem compra a vista paga 0,91 ou 91% de p.
Portanto o comerciante perde 9% do preço inicial p.
5. A prestação mensal de uma casa é de R$
530,00 e representa 30% do salário do comprador.
Calcule quanto deve ser o salário do comprador.
Resposta: R$ 1.766,67
6. Uma máquina industrial foi vendida por R$
135.000,00, com um lucro de 40% sobre o custo.
Qual o valor do lucro? Resposta: R$ 38.571,43
7. O aluguel de um imóvel passou a ser de R$
2.800,00, o que representou 250% de aumento
sobre o aluguel anterior. Determinar o valor do
aluguel antigo. Resposta: R$ 800,00
8. Certa mercadoria é vendida nas lojas A e B,
sendo R$ 200,00 mais cara em B. Se a loja B
oferecer um desconto de 20%, o preço seria igual ao
da loja A. Qual é o preço na loja A? Resposta: R$
800,00
9. Se o poder de compra de meu salário é hoje
20% daquele de um ano atrás. Qual deve ser o
reajuste de meu salário para readquirir o poder de
compra anterior? Resposta: 500%
10. Foi depositado numa caderneta de poupança
R$ 6.000,00. Ao final de 30 dias houve um
rendimento de R$ 150,00. Qual o valor da taxa de
juros? Resposta: 2,5% a.m
Retirada a malha e mantido o símbolo, a área
ocupada pelo símbolo e a área do círculo não
utilizada são, respectivamente:
a)   2
2
175
400
175 cm
e
cm 

b)   2
2
600
400
175 cm
e
cm 

c)   2
2
600
400
600 cm
e
cm 

d) 2
2
225
175 cm
e
cm
e) 2
2
1000
600 cm
e
cm
“A persistência é o menor caminho do êxito.”
Charles Chaplin
JUROS COMPOSTOS
1. INTRODUÇÃO:
 Em juros compostos, diferentemente do que
ocorre com os juros simples, os juros gerados a
partir do segundo período são calculados sobre
o montante do período anterior, daí a conhecida
frase “rende juro sobre juro”.
 Esse tipo de capitalização é o mais usado no
mercado financeiro.
Exemplo:
Ex1: Uma pessoa aplica 00
,
000
.
3
$
R a juros
compostos de %
3 ao mês, pelo prazo de dois
meses. Qual será o montante produzido nesse
período?
Solução:
 Passado o primeiro mês, o montante será:
 00
,
090
.
3
$
090
.
3
000
.
3
03
,
1 1 R
M
aumento
de
fator




 Para o segundo mês, o montante passa a ser:
 70
,
182
.
3
$
70
,
128
.
3
090
.
3
03
,
1 2 R
M
aumento
de
fator




2. FÓRMULAPARA CÁLCULO DOS JUROS
COMPOSTOS:
 Sendo C o capital inicial, i a taxa, t o período e
M o montante, temos:
 
i
C
M
t

 1
.
Ex1: Aplicando a fórmula dos juros compostos no
exemplo anterior, em que
.
.
%
3
,
000
,
000
.
3
$ m
a
i
R
C 
 e meses
t 2
 ,
determinar o montante.

Solução:
     
70
,
182
.
3
0609
,
1
000
.
3
03
,
1
000
.
3
03
,
0
1
000
.
3
1
.
2
2









M
M
i
C
M
t
 Note que o valor do montante encontrado pela
fórmula é o mesmo do processo anterior, isto é,
70
,
182
,
3
$
R
M  .
3. JUROS COMPOSTOS CM TAXAS VARIÁVEIS:
 Se, em cada período, dentro de um certo prazo,
a taxa de juros compostos variar, o montante M
será calculado por:
    
i
i
i
C
M n



 1
......
1
.
1
. 2
1
 Sendo i
i
i n
.,
,.........
, 2
1
as taxas de juros
compostos de cada período.
Ex1: Num certo país, um capital de 00
,
000
.
100
$
R
foi aplicado em uma instituição financeira que
pagou as seguintes taxas de juros compostos:
%
15 no primeiro mês, %
20 no segundo e
%
30 no terceiro. Determinar, nesses três
meses:
a) O montante;
b) A taxa total correspondente a essas três taxas.
Solução:
a)
   
400
.
179
30
,
1
.
20
,
1
.
15
,
1
.
000
.
100
30
,
0
1
.
20
,
0
1
.
15
,
0
1
.
000
.
100






M
M
 Portanto, o montante após os três meses é:
00
,
400
.
179
$
R
M 
b)
 Juros:
400
.
79
000
.
100
400
.
179 



 C
M
J
 A taxa total i, correspondente às taxas de
%
25
%
20
%,
15 e é dada por:
%
4
,
79
100
794
,
0
100
000
.
100
400
.
79
100 






C
J
i
 Logo: Após os três meses, a taxa total foi de
%
4
,
79 .
4. INFLAÇÃO:
 Entende-se por inflação o aumento generalizado
e contínuo dos preços de bens e serviços. Ela
reduz o poder de compra da moeda.
Ex1: Em um certo mês a inflação foi de %
3 . No
mês seguinte caiu para %
2 . Qual foi a taxa
de inflação acumulada nesses dois meses?
Solução:
 Consideremos 100 unidades monetárias como
valor de referência. Com base nas taxas de
inflação de %
3
%
2 e , vamos atualizar esse
valor:
06
,
105
02
,
1
03
,
1
100 


 O aumento inflacionário é dado por:
06
,
5
100
06
,
105 

 Portanto, a taxa de inflação correspondente a
esses dois aumentos é dada por:
%
06
,
5
100
100
06
,
5
100 




C
J
i
5. USANDO LOGARITMO NO CÁLCULO DE
JURO COMPOSTO:
 As propriedades dos logaritmos podem ser
usadas na resolução de problemas que
envolvem juro composto.
Ex1: Uma pessoa aplicou 00
,
000
.
10
$
R a juro
composto de %
8
,
1 ao mês. Após quanto
tempo terá um total de 00
,
534
.
11
$
R ?
Solução:
 Dados do enunciado:









534
.
11
.
018
,
0
.
%
8
,
1
000
.
10
M
m
a
m
a
i
C
 Usando a fórmula do montante:
   
1534
,
1
018
,
1
000
.
10
534
.
11
018
,
1
018
,
0
1
.
000
.
10
534
.
11
1
.










t
t
t
t
i
C
M
 Para resolver essa equação exponencial,
podemos explorar as propriedades dos
logaritmos e fazer os cálculos com o auxílio de
uma calculadora científica.
 Vejamos esse procedimento:
  1534
,
1
018
,
1
1534
,
1
018
,
1 log
log 


t
t
 Usando a propriedade do logaritmo de uma
potência:
8
00775
,
0
06198
,
0
018
,
1
1534
,
1
1534
,
1
018
,
1
.
log
log
log
log








t
t
t
t
 Logo, após 8 meses de aplicação, ela terá um
montante de 00
,
534
.
11
$
R .

6. VALOR ATUAL E VALOR FUTURO:
 Observe a seguinte situação:
 Se a caderneta de poupança rende %
2 ao mês,
uma aplicação de 00
,
100
$
R valerá:
Valor atual Valores futuros
00
,
100
$
R 00
,
102
$
R 04
,
104
$
R 12
,
106
$
R
0 1 2 3
meses
 Por outro lado, já sabemos que, em regime de
juro composto de taxa i, um capital C
transforma-se, após um tempo t, em um
montante M igual a:
 
i
C
M
t

 1
.
 Assim, podemos dizer que uma quantia, cujo
valor atual e X, eqüivalerá, depois de um tempo
t, a uma quantia Y, dada por:  t
i
X
Y 
 1
. .
 Essa situação reforça o conceito de valor do
dinheiro no tempo e permite formular diversas
hipóteses para financiamento, em situações em
que dois ou mais capitais estarão disponíveis em
datas diferentes.
 
i
X
Y
t
capitais
de
ia
equivalênc
de
Fórmula

 1
.
Capital
No Futuro Capital hoje
 Essa fórmula mostra que:
1) Para obter o valor futuro, deve-se multiplicar
o valor atual por  t
i

1 .
2) Para obter o valor atual (hoje), deve-se dividir
o valor futuro por  t
i

1 .
 t
i
Y
X


1
Valor X Y Valor
(hoje) 0 t
futuro
 t
i
X
Y 
 1
.
Ex1: Ricardo aplicou 00
,
400
$
R em regime de juro
composto à taxa de %
3 ao mês. Que montante
ele terá após 5 meses de aplicação ?
Solução:
Valor atual
(hoje) Valor
futuro
00
,
400
$
R
X  Y
0 1 2 3 4 5
meses
 Dados:









03
,
0
%
3
5
400
i
t
X
 Assim, temos:
    72
,
463
03
,
0
1
.
400
1
.
5





 Y
i
X
Y
t
 Após 5 meses, Ricardo terá 72
,
463
$
R
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (PROSERVIDOR) Determinar em quantos
meses um capital de 00
,
000
.
2
$
R , aplicado em
regime de juros compostos, produz 00
,
205
$
R
de rendimento, a uma taxa de %
5 ao mês.
Resp: 2 meses
2. (PROSERVIDOR) A que taxa, ao mês, foi
aplicado um capital de 00
,
000
.
4
$
R a juros
compostos, para que, no prazo de cinco
meses, produza um montante de 32
,
416
.
4
$
R ?
(Considere: 02
,
1
10 0086
,
0
 )
Resp: .
.
%
2 m
a
3. (PROSERVIDOR) Determinar o capital que,
aplicado a juros compostos, produz 00
,
050
.
2
$
R
de juros, em dois meses, a .
.
%
5 m
a .
Resp: 00
,
000
.
20
$
R
4. (PROSERVIDOR) Um investidor aplicou
00
,
000
.
14
$
R a juro composto de %
2 ao mês.
Quantos reais terá após 8 meses de aplicação
?

Resp: 24
,
403
.
16
$
R
5. (PROSERVIDOR) Calcule o juro composto que
será obtido na aplicação de 00
,
000
.
25
$
R a
%
25 ao ano, durante 72 meses.
Resp: 50
,
367
.
70
$
R
6. (PROSERVIDOR) Jorge que aplicar
00
,
000
.
6
$
R com o objetivo de, após 15 meses,
obter um montante de 00
,
348
.
9
$
R . A que taxa
mensal de juro composto deve aplicar esse
capital ?
Resp: .
.
%
3 m
a
7. (PROSERVIDOR) Cláudio aplicou 00
,
000
.
5
$
R
à taxa de %
3 ao mês, durante 5 meses. Que
montante esse capital irá gerar, se o regime for
de juro composto? Quantos reais de juro obterá
nessa operação?
Resp: 37
,
796
$
37
,
796
.
5
$ R
e
R
8. (PROSERVIDOR) Celina aplicou 00
,
000
.
40
$
R
em um banco, a juro composto de a
a.
%
16 ,
capitalizado anualmente. Qual o juro obtido ao
final de 2 anos?
Resp: 00
,
824
.
13
$
R
9. (PROSERVIDOR) Qual é o montante que um
capital de 00
,
000
.
4
$
R produz quando aplicado:
a) Durante 3 meses, a uma taxa de .
.
%
4 m
a de
juro composto ?
Resp: 46
,
499
.
4
$
R
b) Durante 10 anos, a uma taxa de .
.
%
2 m
a de juro
composto ?
Resp: 65
,
060
.
43
$
R
c) Durante 15 meses, a uma taxa de d
a.
%
02
,
0
de juro composto?
Resp: 66
,
376
.
4
$
R
10. (PROSERVIDOR) Uma dívida de 00
,
000
.
2
$
R
deverá ser paga 3 meses antes do seu
vencimento, em 20 de setembro. Sabendo que
a taxa de juro para essa dívida é de %
5 ao
mês, em regime de juro composto, qual deverá
ser o valor do desconto?
Resp: 88
,
272
$
R
11. (PROSERVIDOR) Um comerciante vende uma
geladeira, cujo preço à vista é 00
,
900
$
R , em 3
prestações mensais iguais e consecutivas.
Sabendo que a primeira prestação é paga um
mês após a compra e que o juro composto é de
%
3 ao mês, calcule o valor das prestações.
Resp: 25
,
318
$
R
12. (PROSERVIDOR) Determine o montante
acumulado em 4 anos, a uma taxa de %
10 ao
ano, no regime de juros compostos, a partir de
um capital de 00
,
000
.
30
$
R .
Resp: 00
,
923
.
43
$
R
13. (PROSERVIDOR) Um capital de 00
,
500
.
2
$
R é
investido hoje para obter-se um montante de
00
,
100
.
4
$
R daqui a 6 semanas. A que taxa
semanal deve ser aplicado o mesmo capital no
regime de juros compostos?
Resp: %
6
,
8 por semana.
14. (PROSERVIDOR) Em quantos dias um capital
duplica, a juros compostos de %
2 ao dia?
Resp: 35 dias
15. (PROSERVIDOR) Qual é o tempo necessário
para que um capital colocado a juro composto de
%
5 ao mês:
a) duplique ?
Resp: 14 meses e 6 dias
b) triplique ?
Resp: 22 meses e 16 dias
16. (PROSERVIDOR) Qual a taxa mensal de juro
composto que, aplicado ao capital de
00
,
000
.
24
$
R , o transforma em um montante de
00
,
087
.
36
$
R em 7 meses ?
Resp: %
6 ao mês
17. (PROSERVIDOR) Qual o desconto concedido
no resgate de uma nota promissória de
00
,
000
.
20
$
R , recebida 2 meses antes de seu
vencimento, à taxa de juro composto de %
3 ao
mês ?
Resp: 08
,
148
.
1
$
R
18. (PROSERVIDOR) Num certo país, um banco
paga juros compostos com as seguintes taxas:
%
10 no primeiro mês e %
20 no segundo mês.

a) O montante de um capital de 00
,
000
.
10
$
R ;
Resp: 00
,
200
.
13
$
R
b) A taxa total.
Resp: %
32
19. (PROSERVIDOR) Suponha que, após dois
meses, uma ação tenha valorizado %
116 .
Sabendo-se que a valorização no primeiro mês
foi de %
35 , qual foi a valorização no segundo?
Resp: %
60
20. (PROSERVIDOR) O salário de uma
determinada categoria teve reajustes no valor de
%
10 no mês de abril, de %
20 no mês de maio
e de %
30 no mês de junho. Determine a taxa
percentual total de aumento recebido nesses
três meses.
Resp: %
6
,
71
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Podemos entender a Estatística como sendo o
método de estudo de comportamento coletivo, cujas
conclusões são traduzidas em resultados numéricos.
Podemos, intuitivamente, dizer que:
Estatística é uma forma de traduzir o
comportamento coletivo em números.
Universo Estatístico ou População Estatística:
Conjunto formado por todos os elementos que
possam oferecer dados pertinentes ao assunto em
questão.
Exemplo 1: Um partido político quer saber a
tendência do eleitorado quanto a preferência entre
dois candidatos à Presidência da República. O
Universo Estatístico é o conjunto de todos os
eleitores brasileiros.
Amostra: É um subconjunto da população
estatística.
Quando o Universo Estatístico é muito vasto ou
quando não é possível coletar dados de todos os
seus elementos, retira-se desse universo um
subconjunto chamado amostra. Os dados são
coletados dessa amostra .
Exemplo 2: “Numa pesquisa para saber a intenção
de votos para presidente da república, foram ouvidas
400 pessoas...”
 Esse grupo de 400 pessoas é uma amostra.
 Cada pessoa ouvida nessa pesquisa é uma
unidade estatística.
 Cada informação numérica obtida nessa
pesquisa é um dado estatístico.
Rol: É toda seqüência de dados numéricos
colocados em ordem não decrescente ou não
crescente.
Exemplo 3: Os 5 alunos de uma amostra
apresentam as seguintes notas de matemática:
6; 4; 8; 7; 8
O rol desses resultados é : (4; 6; 7; 8; 8 ) ou
(8; 8; 7; 6; 4 ).
Freqüência absoluta: )
(F É o número de vezes
que um determinado valor é observado na amostra.
Freqüência total: É a soma de todas as freqüências
absolutas. )
( t
F
Freqüência relativa: )
( r
F É o quociente
t
r
F
F
F 
ou %
100


t
r
F
F
F .
Exemplo 3:
Numa turma foram registradas as idades de todos os
25 alunos. Qual a freqüência absoluta e a
freqüência relativa do número de alunos de 14
anos:
15 16 16 15 14
15 17 16 14 14
14 17 15 16 15
16 14 15 15 15
16 15 15 16 17
Solução;
Tabela de freqüências:
Idade Freqüência
absoluta
Freqüência relativa(%)
14 5 (5/25).100%
=20%
15 10 (10/25).100%=40%
16 7 (7/25).100%
=28%
17 3 (3/25).100%
=12%
Total 25 100%
Resposta: F = 5 e Fr = 20%
MEDIDAS DE CENTRALIZAÇÃO:
(Média, Mediana, Moda)
Média Aritmética: Considere a seguinte situação:
A tabela abaixo mostra as notas de matemática de
um aluno em um determinado ano:
1° Bimestre 3,5
2° Bimestre 7,5
3° Bimestre 9,0
4° Bimestre 6,0

A média aritmética dessas notas é dada por:
5
,
6
4
26
4
6
9
5
,
7
5
,
3






x
Obs.: Ter média 6,5 significa dizer que, apesar de
ele ter obtido notas mais altas ou mais baixas em
outros bimestres, a soma das notas (26) é a mesma
que ele alcançaria se tivesse obtido nota 6,5 em
todos os bimestres.
Média Ponderada: Considere a seguinte situação:
Cinco baldes contêm 4 litros de água cada um, três
outros 2 litros de água, cada um e, ainda, dois outros
contém 5 litros de água, cada um. Se toda essa
água fosse distribuída igualmente em cada um dos
baldes, com quantos litros ficaria cada um?
Solução:
A quantidade de litros que ficaria em cada balde é a
média aritmética ponderada:
l
l
l
l
xp 6
,
3
2
3
5
2
.
5
3
2
5
4









Ou seja, a quantidade, em litros, de água em cada
balde é chamada de média ponderada dos valores 4
litros, 2 litros e 5 litros, com pesos 5; 3 e 2.
Generalizando:
MÉDIAARITMÉTICA:
n
x
x
x
x n




...
2
1
Média Aritmética Ponderada:
n
n
n
p
p
p
p
p
x
p
x
p
x
x










...
...
2
1
2
2
1
1
ou




 n
i
i
n
i
i
i
p
p
p
x
x
1
1
.
MEDIANA:
Considere a seguinte situação:
Os salários de 5 pessoas que trabalham em uma
empresa são: $700,00 ; $800,00 ; $900,00 ;
$1.000,00 e $5.600,00. O salário médio dessas 5
pessoas é:
800
.
1
5
5600
1000
900
800
700






x Parece
lógico que, neste caso, a média aritmética não é a
melhor medida de centralização para representar
esse conjunto de dados, pois a maioria dos salários
é bem menor que $1.800,00. Em algumas situações
a mediana é um número mais representativo. A
mediana é o termo central do rol. Logo, escrevendo
o rol dos dados numéricos dessa situação, temos:
(700; 800; 900; 1000; 5600)
Logo, o termo central desse rol é “900”. Então a
mediana é igual a 900.
Se acrescentarmos à lista o salário de $1.000,00de
outro funcionário, ficaríamos com um número par de
dados numéricos. Nesse caso, a mediana seria a
média aritmética dos termos centrais:
(700; 800; 900; 1000; 1000; 5600)
Logo a mediana é dada por:
00
,
950
2
1000
900



mediana
Podemos interpretar esse resultado da seguinte
maneira:
Metade dos funcionários ganha menos de $950,00 e
a oura metade mais de $950,00.
Generalizando:
Se n é ímpar, a mediana é o termo central do rol.
Se n é par, a mediana é a média aritmética dos
termos centrais do rol.
MODA: Voltemos ao exemplo 3, onde foram
registradas as idades de 25 alunos de uma turma.
15 16 16 15 14
15 17 16 14 14
14 17 15 16 15
16 14 15 15 15
16 15 15 16 17
A idade de maior freqüência é a de 15 anos. Por
isso dizemos que a Moda dessa amostra é de 15
anos e indicamos 15

o
M
Definição: Em uma amostra cujas freqüências dos
elementos não são todas iguais, chama-se moda,
que se indica por o
M , todo elemento de maior
freqüência possível.
Exemplo 4
 Na amostra (3; 4; 7; 3; 7; 9; 7) a moda é
7

o
M
 Na amostra (9; 9; 5; 7; 10; 22; 1; 10)
Aqui temos duas modas 9

o
M e
10

o
M (amostra bimodal)

 Na amostra (1; 3; 5; 7; 9) não apresenta moda,
pois todos os elementos tem a mesma
freqüência.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Considere a seguinte situação:
Dois candidatos disputam uma única vaga em uma
empresa. Foram realizados vários testes com esses
dois candidatos: Eduardo e Vicente. A tabela a
seguir mostra os desempenhos dos dois candidatos
nas provas a que se submeteram:
Eduardo Vicente
Português 8,5 9,5
Matemática 9,5 9,0
Informática 8,0 8,5
Inglês 7,0 8,0
Economia 7,0 5,0
Note que as médias de Eduardo e Vicente são
iguais:
Eduardo:
0
,
8
5
7
7
8
5
,
9
5
,
8






E
x
Vicente:
0
,
8
5
5
8
5
,
8
9
5
,
9






V
x
Os dois candidatos obtiveram a mesma média.
Como proceder cientificamente para determinar qual
dos dois teve o melhor desempenho na avaliação?
A comparação entre os dois desempenhos pode ser
feita através das seguintes medidas estatísticas:
I) Desvio absoluto médio(D.AM.) :
Determina o quanto cada nota está afastada da
média. Essas diferenças são chamadas de desvio:
Eduardo:
D.AM.=
5
8
7
8
7
8
8
8
5
,
9
8
5
,
8 








=
= 8
,
0
Vicente:
D.AM.=
5
8
5
8
8
8
5
,
8
8
9
8
5
,
9 








=
= 1,2
Logo, as notas de Eduardo estão, em média, 0,8
acima ou abaixo da média, enquanto as notas de
Vicente estão, em média, 1,2 acima ou abaixo da
média aritmética (8,0). Isso mostra que as notas de
Eduardo são menos dispersas que as notas de
Vicente. Então: Eduardo merece a vaga.
II) VARIANÇA ( 2
 )
É uma outra medida estatística que indica o
afastamento de uma amostra em relação a média
aritmética. Define-se Variança como a média
aritmética dos quadrados dos desvios dos elementos
da amostra:
Eduardo:
5
)
8
7
(
2
)
8
8
(
)
8
5
,
9
(
)
8
5
,
8
( 2
2
2
2
2 








9
,
0
2


Vicente:
5
)
8
5
(
)
8
8
(
)
8
5
,
8
(
)
8
9
(
)
8
5
,
9
( 2
2
2
2
2
2 










5
,
2
2


Logo, por esse processo, Eduardo também teve um
desempenho mais regular.
III) Desvio Padrão ( ):
É a raiz quadrada da Variança.
Eduardo:
94868
,
0
9
,
0 


Vicente:
58114
,
1
5
,
2 


Logo, por esse processo, as notas de Eduardo são
menos dispersas que as notas de Vicente.
Conclusão: Eduardo é sempre melhor que Vicente.
Probabilidade de um Evento E em um Espaço
Eqüiprovável
is
sosPossíve
NúmerodeCa
eis
sosFavoráv
NúmerodeCa
E
P 
)
(

Obs.: Se um Espaço Amostral “S” é formado pelos
eventos simples n
e
e
e ....
;
2
;
1 , então:
1
)
(
...
)
(
)
( 2
1 


 n
e
P
e
P
e
P
EXERCÍCIOS
1)Os salários dos funcionários de uma empresa
estão distribuídos na tabela abaixo:
Salário Freqüência
$400,00 5
$600,00 2
$1.000,00 2
$5.000,00 1
Determine o salário médio, o salário mediano e o
salário modal.
EXERCÍCIOS
1)Os salários dos funcionários de uma empresa
estão distribuídos na tabela abaixo:
Salário Freqüência
$400,00 5
$600,00 2
$1.000,00 2
$5.000,00 1
Determine o salário médio, o salário mediano e o
salário modal.
2) As notas de um candidato em suas provas de um
concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
A nota média, a nota mediana e a nota modal desse
aluno, são respectivamente:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
3) Num determinado país a população feminina
representa 51% da população total. Sabendo-se que
a idade média (média aritmética das idades) da
população feminina é de 38 anos e a da masculina é
de 36 anos. Qual a idade média da população?
a) 37,02 anos
b) 37,00 anos
c) 37,20 anos
d) 36,60 anos
e) 37,05 anos
4) Um dado foi lançado 50 vezes. A tabela a seguir
mostra os seis resultados possíveis e as suas
respectivas freqüências de ocorrências:
A freqüência de aparecimento de um resultado
ímpar foi de:
a) 2/5
b) 11/25
c) 12/25
d) 1/2
e) 13/25
5) Em tempo de eleição para presidente, foram
ouvidas 400 pessoas quanto a intenção de voto.
Cada pessoa ouvida nessa pesquisa constitui um(a):
a) dado estatístico
b) unidade estatística
c) amostra representativa
d) freqüência
6) Um conjunto de dados numéricos tem variância
igual a zero. Podemos concluir que:
a) a média também vale zero.
b) a mediana também vale zero.
c) a moda também vale zero.
d) o desvio padrão também vale zero.
e)todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
7) A tabela adiante apresenta o levantamento das
quantidades de peças defeituosas para cada lote de
100 unidades fabricadas em uma linha de produção
de autopeças, durante um período de 30 dias úteis.
Considerando S a série numérica de distribuição de
freqüências de peças defeituosas por lote de 100
unidades, julgue os itens abaixo.

(1) A moda da série S é 5. ( )
(2) Durante o período de levantamento desses
dados, o percentual de peças defeituosas ficou, em
média, abaixo de 3,7%.
( )
(3) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do
levantamento geram uma série numérica de
distribuição de freqüências com a mesma mediana
da série S. ( )
8)Um dado é viciado de tal forma que a
probabilidade de cada face é proporcional ao
número de pontos daquela face. Qual a
probabilidade de ser obter um número par de pontos
no lançamento desse dado?
9) A tabela traz as idades, em anos, dos filhos de 5
mães.
Mãe Ana Márcia Cláudia Lúcia Heloísa
Idade
dos
filhos
7; 10;
12
11; 15 8; 10;
12
12; 14 9; 12; 15; 16; 18
A idade modal desses 15 filhos é inferior à idade
média dos filhos de Heloísa em ____ ano(s).
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
10) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo
masculino é 0,25. Determine a probabilidade do
casal ter dois filhos de sexos diferentes.
11) Considere as seguintes medidas descritivas das
notas finais dos alunos de três turmas:
Com base nesses dados, considere as seguintes
afirmativas:
1. Apesar de as médias serem iguais nas três
turmas, as notas dos alunos da turma B foram as
que se apresentaram mais heterogêneas.
2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com
variação diferente.
3. As notas da turma A se apresentaram mais
dispersas em torno da média.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
12) ENEM
13)ENEM
A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B) Marco, pois obteve o menor desvio padrão.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da
tabela, 19 pontos em Português.
D) Paulo, pois obteve a maior mediana.

E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
14) ENEM
A)6
B)6,5
C) 7
D) 7,3
E) 8,5
Gabarito:
1)O Salário médio é igual a $1.020,00 ( )
O Salário mediano é igual a $500,00 ( )
O Salário modal é de $400,00 ( )
2) [A] 3) [A] 4) [C] 5) [B]
6) [D] 7) E; C; C; 8)
7
4
9) C 10)
8
3
11) D
12) E 13) B 14) B
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória estuda o cálculo da
quantidade de agrupamentos distintos que podem
ser formados com os elementos de um
determinado conjunto Exemplo: quantos números
de três algarismos podemos formar com os
algarismos ímpares?
Você deve ter sempre em mente que a Análise
Combinatória é uma análise quantitativa, ou seja,
a finalidade dos problemas geralmente será
calcular a quantidade de grupamentos, e não
propriamente listar esses grupamentos.
Apenas eventualmente você precisará listar
esses grupamentos.
O nosso estudo neste livro se fará baseando-nos
inicialmente no Princípio Fundamental da
Contagem, procurando entender perfeitamente o
cálculo e a formação dos diversos tipos de
agrupamentos.
Por esse perfeito entendimento, facilmente
compreenderemos as fórmulas a serem usadas
nas resoluções dos problemas.
E aí teremos o estudo completo: o Princípio
Fundamental da Contagem, permitindo o perfeito
entendimento da matéria, e as fórmulas para
maior velocidade na resolução dos problemas.
FATORIAL
É comum, nos problemas de contagem,
calcularmos o produto de uma multiplicação cujos
fatores são números naturais consecutivos. Para
facilitar esse trabalho, vamos adotar um símbolo
chamado fatorial.
Sendo n um número inteiro maior que 1, define-
se fatorial de n como o produto dos n números
naturais consecutivos de n a 1. Indica-se n!.
n! (Lê-se: n fatorial ou fatorial de n.)
n! = n(n - 1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1, sendo
n Є N e n > 1
De acordo com a definição:
2! = 2 . 1 = 2
3! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
CONSEQÜÊNCIAS
1ª Conseqüência: Podemos escrever para
qualquer n (n Є N) e n>2:
n! = n (n - 1)!
Observe que na igualdade 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1,
temos:
8.



 



 

!
7
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
Assim, 8! = 8 . 7!
2ª conseqüência: Vamos estender o conceito de
fatorial de n para n = 1 e n = o. Em cada

extensão deve-se conservar a propriedade n! =
n(n – 1)!
Se n = 2  n! = n(n – 1)!  2! = 2 . (2 - 1)!
2! = 2 . 1!
2 . 1 = 2 . 1! (dividindo os dois membros por 2)
1 = 1! ou 1! = 1
Se n = 1  n! = n (n - 1)!  1! = 1 . (i - 1)!
1! = i . 0!
1 = 1 . 0!
Para que essa igualdade seja verdadeira,
definimos: 0! = 1
EXERCÍCIOS
01. Calcule
a)
!
5
!
2
!
3
!
6 

b)
!
1
!
0
!
2
!
4 

02. Simplifique
a)
!
)
1
n
(
!
n

b)
!
)
1
n
(
!
)
2
n
(


03. Resolva as equações:
a) x! = 15(x – 1)!
b) (n – 2)! = 2(n – 4)!
04. (FMABC-SP) Simplifique:
!
100
!
102
!
101 
a) 101 103
b) 102 !
c) 100 000
d) 101!
e) 10 403
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO OU
FUNDAMENTALDA CONTAGEM
O princípio fundamental da contagem diz que se
há x modo de tomar decisão D1 e, tomada a
decisão D1, há y modos de tomar a decisão D2,
então o número de modos de tomar
sucessivamente as decisões D1 e D2 é xy.
EXERCÍCIOS
(BB 2009/CESPE-UnB) Considerando que as
equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que
premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a
seguir.
01. O total de possibilidades distintas para as três
primeiras colocações é 58.
02. O total de possibilidades distintas para as três
primeiras colocações com a equipe A em primeiro
lugar é 15.
03. Se a equipe A for desclassificada, então o total
de possibilidades distintas para as três primeiras
colocações será 24.
04. (IPEA 2008/CESPE-UnB) Considere que as
senhas dos correntistas de um banco sejam
formadas por 7 caracteres em que os 3 primeiros
são letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, e os 4
últimos, algarismos, escolhidos entre 0 e 9. Nesse
caso, a quantidade de senhas distintas
que podem ser formadas de modo que todas elas
tenham a letra A na primeira posição das letras e o
algarismo 9 na primeira posição dos algarismos é
superior a 600.000.
05. (IPEA 2008/CESPE-UnB) Considere que, para a
final de determinada maratona, tenham sido
classificados 25 atletas que disputarão uma medalha
de ouro, para o primeiro colocado, uma de prata,
para o segundo colocado, e uma de bronze, para o
terceiro colocado. Dessa forma, não
havendo empate em nenhuma dessas colocações, a
quantidade de maneiras diferentes de premiação
com essas medalhas será inferior a 10.000.
(Agente Administrativo – ME 2008/CESPE-UnB)
Considerando que se pretenda formar números de 3
algarismos distintos com os algarismos 2, 3, 5, 7, 8 e
9, julgue o próximo item.
06. (Agente Administrativo – ME 2008/CESPE-
UnB) A quantidade de números ímpares de 3
algarismos que podem ser formados é superior a 90.
(BB 2008/CESPE-UnB) Considerando que uma
palavra é uma concatenação de letras entre as 26
letras do alfabeto, que pode ou não ter significado,
julgue os itens a seguir.
07. (BB 2008/CESPE-UnB) Com as letras da
palavra COMPOSITORES, podem ser formadas

mais de 500 palavras diferentes, de 3 letras
distintas.
08.PREF. MUN. SANTARÉM 17/08/2008 [CETAP]
Com os algarismos de 0 a 9, quantas senhas
bancárias podem formar-se com 5 dígitos, de modo
que todas tenham o prefixo 32 e os números
restantes sejam diferentes uns dos outros e
diferentes do próprio prefixo.
3 2
A) 336.
B) 288.
C) 504.
D) 350.
E) 400.
09. No sistema de numeração decimal, quantos
números de três algarismos são formados:
a) com repetição de algarismos?
b) sem repetição de algarismos?
10. Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas são
as possibilidades de chegada para os 3 primeiros
lugares?
11. (ANAC 2009 - CESPE) O número de rotas
aéreas possíveis partindo de Porto Alegre,
Florianópolis ou Curitiba com destino a
Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió,
Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo
Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo
é múltiplo de 12.(Certo)
12. (AFC-STN 2008/ESAF) Ana possui em seu
closed 90 pares de sapatos, todos devidamente
acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90.
Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de
sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira
do closed quatro caixas de sapatos. O número de
retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo
que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é
igual a:
a) 681384
b) 382426
c) 43262
d) 7488
e) 2120
13. DETRAN/RORAIMA11/04/2010 [CETAP] As
placas de automóveis são formadas por 3 letras
seguidas de 4 algarismos. Quantas placas diferentes
podem ser formadas com as letras A, B, C, D, E, F e
com os algarismos ímpares, sem repetir nem as
letras nem os algarismos?
A) 3000
B) 14.400
C) 24.000
D) 240
E) 2.400
14. Quantos números múltiplos de 5 existem entre
100 e 1 000, de modo que o algarismo das centenas
seja múltiplo de 4 e o das dezenas seja um número
par?
15. Numa Catedral há 10 portas. De quantas
maneiras uma pessoa poderá entrar na catedral e
sair por uma porta diferente da que usou para
entrar?
16. De quantas maneiras podemos responder a 10
perguntas de um questionário, cujas respostas para
cada pergunta são: sim ou não?
17. Quantos números telefônicos com 7
algarismos podem ser formados com os algarismos
de 0 a 9?
18. (UFMG) Observe o diagrama. O número de
ligações distintas entre X e Z é:
a) 39 b) 41
c) 35 d) 45
1 19.(MACKENSE-adaptada) Se uma sala tem
cinco portas, o número de maneiras distintas de se
entrar nela por uma porta e sair por outra diferente é:
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
20. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A
à cidade B e 4 outras ligando B à cidade C. Uma
pessoa deseja viajar de A à C, passando por B.
Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar
na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a
mesma linha?
a) 144 b) 12 c) 24 d) 72
e) n.r.a.

21. (TFC/CGU/ESAF-2008) Ágata é decoradora e
precisa atender o pedido de um excêntrico cliente.
Ele - o cliente - exige que uma das paredes do
quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência
de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes,
ou seja, uma de cada cor.
Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores
disponíveis, então o número de diferentes maneiras
que a parede pode ser pintada é igual a:
a) 56 b) 5760 c) 6720 d) 3600 e) 4320
PERMUTAÇÕES
Permutações simples
Permutações simples é uma técnica combinatória
utilizada quando desejamos contar as
possibilidades formação de uma fila ou seqüência
em que não há repetição de elementos e todos
esses elementos são utilizados no problema.
Por exemplo, com os algarismos 1, 2 e 3, quantos
números de três algarismos distintos (isto é, sem
repetição) podemos formar?
Formar números, em primeira análise, nada mais
é do que ordenar algarismos em fila. Desse
modo, a resposta, como vimos no princípio
multiplicativo é 3 x 2 x 1 = 6 números, pois, não
houve repetição de algarismos. Caso a repetição
fosse permitida teríamos como formar 3 x 3 x 3 =
27 números, pois números como 222
anteriormente não permitidos foram, nesse ultimo
caso, liberados em aparecer na contagem.
Outro exemplo de contagem no qual lançamos
mão da ferramenta permutação simples é a
contagem do número de anagramas que podem
ser formados com alguma palavra.
Anagrama é um processo de troca de ordem das
letras de uma palavra com o intuito de formar
uma nova palavra (esta palavra formada pode ter
sentido ou não). Por exemplo, da palavra roma
vem o anagrama amor. A palavra TRAPO pode
formar os anagramas:
PRATO
RAPTO
PARTO
PORTA
TROPA
TRPAO
POTRA
...
Esses são apenas alguns dos anagramas que
podemos formar. Repare que alguns fazem
sentido outros não.
Imagine agora que você tem a missão de contar
todos os anagramas da palavra Trapo.
Uma das maneiras de realizar essa tarefa é listar,
como vinha sendo feito anteriormente, todos os
anagramas da palavra trapo e em seguida contar
a dedo todos eles. Mas com certeza esse
processo não é uma boa técnica, já que o número
de anagramas vai ser relativamente alto. Como
não podemos repetir as letras da palavra e todas
as letras devem ser utilizadas uma boa técnica de
contagem é o uso das permutações simples.
Observe:
1º ) A palavra TRAPO contém 5 letras. Dispostas
da esquerda para a direita são cinco posições as
quais uma letra de cada vez preenche cada
posição:
Por exemplo, no anagrama RAPTO a letra R
ocupou a primeira, A a segunda, P a terceira, T a
quarta e O a quinta e última posição.
Resta agora, depois do exposto acima verificar
quantas possibilidades de escolha dispomos para
a 1ª posição, para a 2ª e assim sucessivamente.
Para a escolha de uma letra para a 1ª posição
temos cinco letras disponíveis. Optaremos por
uma. Desse modo restarão quatro letras
disponíveis para a escolha da letra da 2ª posição.
Optaremos por uma outra letra. Para a terceira
haverá três opções. Para a quarta duas. E para a
quinta e última uma opção. Finalmente devemos
multiplicar esses valores encontrados:
5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas da palavra
trapo.
Como foi mencionada a listagem de todos os
anagramas é inviável devido ao numero elevado.
É importante notar que no exemplo dos números
encontramos como resposta o produto 3 x 2 x 1 e
nesse último também obtivemos um produto do
mesmo tipo  5 x 4 x 3 x 2 x 1. Esse é um
importante resultado em combinatória. Em
problemas que a ferramenta permutações simples
for utilizada encontraremos resultados como os
acima.
Para generalizar se devemos dispor n objetos em
fila teremos n! (n fatorial) maneiras distintas de

dispormos esses n objetos, Simbolizaremos
assim:
P = n!
EXERCÍCIOS
01. A partir da palavra NÚMEROS (o acento sempre
acompanhará a letra u), responda:
a) Quantos anagramas são possíveis de serem
formados?
b) Quantos anagramas têm como primeira letra
uma vogal?
c) Quantos anagramas começam e terminam
em vogal?
d) Quantos anagramas começam com n?
e) Quantos anagramas são possíveis de serem
formados com as letras n e u juntas e nessa
ordem?
f) Quantos anagramas são possíveis de serem
formados com as letras u e n juntas?
g) Quantos anagramas são possíveis de serem
formados com as letras n, u e m juntas e nessa
ordem?
h) Quantos anagramas são possíveis de serem
formados com as letras n, u e m juntas?
02. (FUVEST) O número de anagramas da
palavra FUVEST que começam e terminam por
vogal é:
a) 24 b) 48 c) 96 d)120 e)144
03. (UNIV. FED. BAHIA) Quatro jogadores
saíram de Manaus para um campeonato em Porto
Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o
trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um
dirigiria uma vez. Combinaram também que, toda
vez que houvesse mudança de motorista, todos
deveriam trocar de lugar. O número de
arrumações possíveis dos 4 jogadores, durante
toda a viagem, é:
A) 4 B) 8 C) 12 D) 24 E)
162
04. (MACK) Um trem de passageiros é
constituído de única locomotiva e seis vagões
distintos, sendo um deles restaurante, Sabendo
que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão
restaurante não pode ser colocado imediatamente
após a locomotiva, o número de modos diferentes
de montar a composição é:
A) 120 B) 320 C) 500 D)600 E) 720
05. (BB 2008/CESPE-UnB) As 4 palavras da frase
“Dançam conforme a música” podem ser
rearranjadas de modo a formar novas frases de 4
palavras, com ou sem significado. Nesse caso, o
número máximo dessas frases que podem ser
formadas, incluindo a frase original, é igual a 16.
(Texto para as questões 06 a 08) Alberto, Bruno,
Sérgio, Janete e Regina assistirão a uma peça de
teatro sentados em uma mesma fila, lado a lado.
Nessa situação, julgue os itens subsequentes.
06. (TJ/ES - 2010 / CESPE) Caso Janete e Regina
sentem-se nas
extremidades da fila, então a quantidade de
maneiras distintas de como essas 5 pessoas
poderão ocupar os assentos é igual a 24.(Errado)
07.(TJ/ES - 2010 / CESPE) A quantidade de
maneiras distintas de como essas 5 pessoas
poderão ocupar os assentos é igual a 120.(Certo)
08. (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considere que Sérgio e
Janete sentem um ao lado do outro. Nesse caso, a
quantidade de maneiras distintas de como as 5
pessoas poderão ocupar os assentos é igual a
48.(Certo)
09. (Auditor Fiscal de Vitória-ES 2007 CESPE)
Para formar-se um anagrama, permutam-se as
letras de uma palavra, obtendo-se ou não uma outra
palavra conhecida. Por exemplo, VROAL é um
anagrama da palavra VALOR. Com base nessas
informações, julgue os próximos itens, relacionados
aos anagramas que podem ser obtidos a partir da
palavra VALOR.
1. O número de anagramas distintos é inferior a
100.
2. O número de anagramas distintos que começam
com VL é igual a 6.
3. O número de anagramas distintos que começam e
terminam com vogal é superior a 15.
4. O número de anagramas distintos que começam
com vogal e terminam com consoante é superior a
44.
10. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) O número de
anagramas da palavra CHUMBO que começam pela
letra C é
A) 120
B) 140
C) 160
D) 180
E) 200

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Essa nova ferramenta, como o nome indica
diferentemente das permutações simples, lida
com elementos que se repetem. Isto é, busca
formar filas ou seqüências com elementos
repetidos. Vale a ressalva: todos os elementos
em questão devem ser utilizados.
Tomemos como exemplo os possíveis anagramas
com a palavra ANA. Vamos, a titulo de ilustração
diferenciar os A,s que aparecem na palavra ANA.
O primeiro será colocado em negrito. Então fica:
ANA. Desse modo os dois A,s se tornaram
diferentes. Assim não temos mais uma palavra
com elementos repetidos. Podemos, com essa
nova palavra, formar 3 x 2 x1 = 3! = 6 anagramas
diferentes, são eles:
Mas, na verdade, a diferenciação dos A,s é
artificial. Ela não existe. Por exemplo, nos
anagramas AAN e AAN são dois, mas sem a
diferenciação dos A,s tornam-se idênticos.
Observe: AAN e AAN. O mesmo acontece com
ANA e ANA ; NAA e NAA . Na verdade ao
trocarmos os A,s de posição não formamos um
novo anagrama. Assim ao invés de 6 temos 3
anagramas com a palavra ANA, pois contamos
cada anagrama duas vezes que é o número de
permutações com os A,s, isto é, 2!
Isso acontece porque ao permutarmos os A,s eles
não geraram um novo anagrama.Assim houve
uma duplicação do resultado e para acharmos a
resposta correta temos que dividir o resultado 6
por 2! para encontrarmos a resposta
correta.Observe:
2
6
!
2
!
3
 =3. Indicaremos esse
resultado por (2) 3 P , que quer dizer: permutação
de 3 elementos com um deles aparecendo duas
vezes.
O que temos que notar em combinatória é que
em muitas situações é interessante, para se
chegar a algum resultado verdadeiro, contar
coisas iguais como se diferentes fossem e
posteriormente corrigir o resultado obtido
indevidamente para se chegar a resposta correta
(Morgado). Em ANA contamos anagramas iguais
como se diferentes fossem. Como contamos cada
um duas vezes duplicamos a resposta. Assim
para contornarmos esse erro dividimos por 2, ou
2! a resposta errada para se chegar a resposta
certa.
Vamos, agora, contar todas as seqüências
formadas a partir da troca dos símbolos de XIII
(treze em romanos).
Como podemos notar o símbolo I aparece três
vezes no número. Dessa forma contaremos o
número de seqüências formadas com XIII como
se os I,s fossem diferentes. Assim obteríamos 4!.
No entanto sabemos que contamos seqüências
iguais mais de uma vez. Na realidade contamos
cada seqüência 6 ou 3! vezes. Assim para
obtermos a resposta correta, basta dividirmos 4!
por 3!. Obteremos:
!
3
!
3
.
4
!
3
!
4
P3
4 

Seqüências distintas.
Para generalizar, o número de permutações
com n elementos em que um deles aparece
repetidamente a vezes, outro b vezes, outro c
vezes e assim sucessivamente é dado por:
.
.
.
!
e
.
!
d
.
!
c
.
!
b
.
!
a
!
n
P )
.
.
.
e
,
d
,
c
,
b
,
a
(
n 
EXERCÍCIOS
01.SECON (CARGO 12) 2012 [CETAP]
Quantos anagramas podemos formar com as letras
da palavra ECONOMIA?
a)8!
b)6!
c)20.160
d)10.080
e)5.400
02. SEMEC-CARGO 04- JANEIRO DE 2013
[CETAP]
03.(SEPLAG/DF 2009 - CESPE) Com 3 letras A e 7
letras B formam-se 120 sequências distintas de 10
letras cada.(Certo)

04.(MACK) O número de maneiras diferentes de
colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8
posições) as peças brancas (2 torres, 2 cavalos, 2
bispos, a rainha e o rei) é
a) 8! b) 504 c) 5 040 d) 8
e) 4
05. O número de anagramas da palavra
SERGIPE nos quais a primeira letra é E e a
última também é E, são:
a) 5 b) 2520 c) 1680 d)
120
06. Quantos números de 6 dígitos podem ser
formados usando apenas os algarismos 1,1,1,1,2
e 3?
PERMUTAÇÕES CIRCULARES
Permutações circulares é uma ferramenta
intrinsecamente ligada à permutações simples.
Difere dessa pelo fato de os elementos em
questão estarem dispostos em fila circular, isto é,
através de um circulo. Observe o exemplo: De
quantos modos podemos dispor as letras da
palavra PRATO em um circulo em lugares
equiespaçados (as letras deverão ter a mesma
distancia entre elas). ?
Primeiro devemos imaginar um círculo e em
seguida as letras da palavra em questão
dispostas ao redor do círculo (figura 1).
Se colocarmos o P no lugar de R, R no lugar de
A, A no lugar de T, T no lugar de O e O no lugar
de P, na verdade não criaremos uma nova fila
circular, apesar de termos mudado todos os
elementos de posição. O que ocorreu, de fato, foi
apenas uma rotação entre os elementos, observe
na figura 2.
Dessa forma, diferentemente do que acontece em
uma fila linear, em uma fila circular a simples
troca de posição dos elementos pode não formar
uma nova fila. Como ocorreu acima. (O que fazer
então?)
Para contornar essa situação devemos fixar um
dos elementos de uma fila e em seguida permutar
o restante de maneira idêntica a uma fila comum.
Observe na figura 3 acima.
Com esse processo garantimos a não ocorrência
de simples rotações e contamos todas as filas
circulares com esses elementos. Já que ao
fixarmos um elemento, “desmantelamos” a fila
circular e criamos outra que se comporta como
uma fila linear. Finalmente, podemos dispor
essas letras em uma fila circular de 4! maneiras.
Uma vez que fixamos o P e permutamos os
elementos restantes como se estivéssemos
formando uma fila comum.
Note que 4! é justamente (5 -1)! 5 é a quantidade
de elementos envolvidos na questão menos 1 que
é o elemento fixado ou travado, para garantir a
contagem de todas as permutações circulares.
EXEMPLO:
1) De quantos modos podemos dispor dez
crianças em uma roda de ciranda?
Ciranda é uma brincadeira em que as crianças
são dispostas em uma fila circular. Assim para
Garantir que simplesmente façamos uma rotação
com as crianças devemos fixar uma delas. Em
seguida permutamos as nove restantes como se
tivemos dispondo-as em uma fila comum. Assim
podemos obter 9! rodas de ciranda distintas que
equivale a (10 -1)! .
2) De quantos modos podemos dispor
circularmente 30 objetos diferentes em uma fila?
A resposta a essa altura deve ser imediata. (30 -
1)! maneiras distintas.
Para generalizar se possuímos n elementos
distintos para dispormos em uma fila circular
e de forma eqüidistante podemos realizar esse
processo de (n – 1)! maneiras distintas.
Simbolizamos por (PC)n
. Dessa forma
(PC)n = (n – 1)!
EXERCÍCIOS
01.(BB 2007/CESPE-UnB) Julgue o item seguinte.
Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão
ocupados pelos 6 participantes de uma reunião.
Nessa situação, o número de formas diferentes para
se ocupar esses lugares com os participantes da
reunião é superior a 10².(Certo)
02. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em
uma mesa redonda vão sentar-se seis pessoas,
entre as quais há um casal. Sabendo que o casal

sentará junto (um ao lado do outro), o número de
maneiras diferentes que as pessoas podem ficar
dispostas em volta da mesa é:
a) 24 b) 48 c) 60 d) 64
e) 72
03. Com algumas crianças podemos formar
setecentos e vinte rodas de ciranda. Quantas
crianças fazem parte dessa brincadeira?
04. (AFRF/2009 – Adaptada) De quantas maneiras
podem sentar-se três
homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto
é, sem cabeceira de
modo a se ter sempre um homem entre duas
mulheres e uma mulher
entre dois homens?
a) 72 b) 36 c) 12 d) 720 e) 360
ARRANJOS SIMPLES
A ferramenta arranjos simples é utilizada quando
desejamos formar filas com p elementos
escolhidos a partir de um grupo de m elementos,
com p  m. Se, por exemplo, de um grupo de oito
(8) pessoas, devemos dispor cinco (5) delas em
fila. De quantos modos podemos realizar tal
processo?
Já sabemos pelo principio multiplicativo ou
principio fundamental da contagem que podemos
formar:
Desse modo obtemos 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720
filas com cinco pessoas escolhidas dentre oito.
Podemos concluir dessa maneira que Arranjos é
uma aplicação do principio multiplicativo para
formar filas quando for necessário escolher
alguns elementos de um grupo para formar tal
Fila. Simbolizaremos o resultado desse exemplo
como A8,5 ( Arranjo 8 elementos tomados 5 a 5),
isto é, formamos uma fila com cinco elementos
selecionados de um grupo de oito. Também
podemos encontrar o símbolo de arranjo como
8
5
P .
Para generalizar, se desejarmos dispor p
elementos em fila escolhidos dentre de m
elementos, com p  m, podemos realizar esse
processo de
)!
p
m
(
!
m
A p
,
m

 maneiras distintas.
EXERCÍCIOS
01. Roberta quer presentear Júlia e Natália.
Resolveu, após investigar os gostos pessoas de
suas duas amigas, que o presente de cada uma
seria DVD,s de música. Na loja especializada há
de 10 opções para adquirir os dois presentes.
Sabendo disso, de quantos modos diferentes
Roberta pode presentear Júlia e Natália?
02. De quantas formas pode-se formar uma
seqüência com 9 elementos distintos tomados a
partir de 12?
03. Resolva a equação
)!
2
p
(
!
p

=30
04. Resolva a equação A5,p = 60.
05. Quantos são os arranjos de 8 elementos
tomados de 3 a 3?
06. Calcule o valor de n na equação An,2 =20.
07. (FUB 2009 / CESPE) A quantidade de
números naturais de 3 algarismos em que todos
os algarismos são distintos é superior a
700(Errado)
08. (FJP) Pode-se permutar m objetos de 24
maneiras diferentes. Suponha que se pretenda
arranjar esses m objetos dois a dois. Nesse
caso, de quantas maneiras diferentes esses m
objetos poderão ser arranjados?
a) 10 b) 12
c) 14 d) 16
COMBINAÇÕES
Combinações Simples
Combinação simples é uma ferramenta
combinatória utilizada quando desejamos contar
as possibilidades de formação de um subgrupo
de elementos a partir de um grupo dado. Em
outras palavras se possuirmos um Conjunto de
elementos, desejamos contar as possibilidades
de formação de um subconjunto formado a partir
do conjunto dado.
É crucial nessa altura notar que quando
formamos um subconjunto a partir de um conjunto
dado, não estamos formando filas. Dessa
maneira, quando se ver diante de um problema
desse tipo, não devemos utilizar qualquer
ferramenta que forme ordem entre os elementos
em questão. Se por ventura forem formadas filas
e não grupos (conjuntos) haverá uma contagem
excessiva.

FÓRMULAGERAL DE COMBINAÇÕES SIMPLES
A partir de um conjunto com n elementos devem-
se formar um subconjunto com p elementos. A
quantidade de subconjuntos é igual a p
n
C
Se n < p , p
n
C = 0
e
p
n
C =
!
)
p
n
(
.
!
p
!
n

Observação:
n, p  {0,1,2,3,4,5...} ; 0!=1 ; 1! =1
EXERCÍCIOS
01. (MPOG/2005) Um grupo de estudantes
encontra-se reunido em uma sala para escolher
aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao
Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é
composto de 15 rapazes e de um certo número de
moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e
apenas entre si, uma única vez; as moças
cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma
única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O
número de moças é, portanto, igual a:
a) 10 b) 14 c) 20 d)
25 e) 45
02. SEMEC-CARGO 04- JANEIRO DE 2013
[CETAP]
03. (Aux. Adm. - 2005 - TJPR) Suponha que,
para compor uma Comissão Examinadora de um
certo Concurso Público, existam um Corregedor
Geral de Justiça, 20 Juízes de Comarca, 30
advogados da OAB e 12 representantes do
Ministério Público. Considerando que a Comissão
examinadora deve ser constituída por um
Corregedor Geral de Justiça (Presidente), 2 Juízes
de Com arca, 1 advogado da OAE e 1 representante
do Ministério Publico, o número total de comissões
distintas que poderão ser formadas é:
a) 126 b) 68.400
c) 7.200 d) 36.000 e)
136.800.
04. (CESPE/PC/PA) O número de maneiras
distintas que um ou mais dos 5 empregados de uma
empresa podem ser escolhidos para realizarem
determinada tarefa é igual a:
a) 20 b) 25
c) 31 d) 40
05.CMA-Aplicada em 11/11/2012 [CETAP]
Uma escola possui 10 professores de Matemática e
15 professores de Português. Quantas comissões de
6 pessoas podem ser formadas de modo que cada
comissão possua 3 professores de Matemática?
a)54.600 b)575 c)19.656 d)3.450 e)34.500
06. (Aux. Sego Interna - 2005 - Fund.
Cesgranrio) Um restaurante oferece cinco
ingredientes para que o cliente escolha no mínimo 2
e no máximo 4, para serem acrescentados à salada
verde. Seguindo esse critério, de quantos modos um
cliente pode escolher os ingredientes que serão
acrescentados em sua salada?
a) 25
b) 30
c) 36
d) 42
e) 50
07. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando-se que o
treinador de um time de vôlei tenha à sua disposição
12 jogadores e que eles estejam suficientemente
treinados para jogar em qualquer posição, nesse
caso, a quantidade de possibilidades que o treinador
terá para formar seu time de
6 atletas será inferior a 10³.
08. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando que o
treinador de um time de vôlei disponha de 12
jogadores, dos quais apenas 2 sejam levantadores e
os demais estejam suficientemente bem treinados
para jogar em qualquer outra posição, nesse caso,
para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou
sem nenhum levantador, o treinador poderá fazê-lo
de 714 maneiras diferentes.
(BB 2009/CESPE-UnB) Com relação a lógica
sentencial, contagem e combinação, julgue o item a
seguir.
09. (BB 2009/CESPE-UnB) Em um torneio em que 5
equipes joguem uma vez entre si em turno único, o
número de jogos será superior a 12.
10. (TFC 2000/ESAF) Em uma circunferência são
escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro
quaisquer destes pontos, de modo a formar um
quadrilátero. O número total de diferentes
quadriláteros que podem ser formados é:
a) 128
b) 495

c) 545
d) 1.485
e) 11.880
11. (TFC-CGU 2008 ESAF) Ana precisa fazer uma
prova de matemática composta de 15 questões.
Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver
10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas
maneiras diferentes Ana pode escolher as
questões?
a) 3003 b) 2800
c) 3005 d) 2980 e)
3006
12.DETRAN/RORAIMA 11/04/2010[CETAP] Em
um determinado setor do DETRAN, trabalham 06
Técnicos e 12 Guardas. Quantas equipes distintas,
constituídas por 02 Técnicos e por 06 Guardas,
podem ser formadas neste setor?
A) 939
B) 12.800
C) 13.860
D) 1.248
E) 6
13. PREF. MUN. SANTARÉM 17/08/2008
[CETAP]Uma construtora necessita comprar 4
caminhões e 6 camionetes. Feita a pesquisa de
preços, a firma vencedora oferece 6 tipos de
caminhões e 8 tipos de camionetes. De quantas
maneiras esta compra pode ser efetuada?
A) 48.
B) 480.
C) 420.
D) 1024.
E) 720.
14. (BB1 2007 CESPE) Julgue o item:
1. Se 6 candidatos são aprovados em um concurso
público e há 4 setores distintos onde eles podem ser
lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se
realizarem tais lotações.
15. (BB 2009 Cespe) Com relação a contagem e
combinação, julgue os itens a seguir.
1. Com 3 marcas diferentes de cadernos, a
quantidade de maneiras distintas de se formar um
pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25.
2. Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez
entre si em turno único, o número de jogos será
superior a 12.
16. (TRT-RJ Analista 2008 Cespe) Caso as
empresas R e H sejam responsáveis pela
manutenção de ar condicionado e possuam 17 e 6
empregados, respectivamente, à disposição do TRT,
sendo que um deles trabalhe para ambas as
empresas, nesse caso, o número de maneiras
distintas para se designar um empregado para
realizar a manutenção de um aparelho de ar
condicionado será igual a
A )5. B) 11. C) 16. D) 22.
E) 102.
17. (TRT-RJ Técnico 2008 Cespe) Caso 5
servidores em atividade e 3 aposentados se
ofereçam como voluntários para a realização de um
projeto que requeira a constituição de uma comissão
formada por 5 dessas pessoas, das quais 3 sejam
servidores em atividade e os outros dois,
aposentados, então a quantidade de comissões
distintas que se poderá formar será igual a
A) 60. B) 13. C) 30. D) 10.
E) 25.
(Texto para as questões 17 e 18) Entre os 6
analistas de uma empresa, 3 serão escolhidos para
formar uma equipe que elaborará um projeto de
melhoria da qualidade de vida para os empregados
da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem
atividades na área de ciências sociais e os demais,
na área de assistência social.
Julgue os itens que se seguem, relativos à
composição da equipe acima mencionada.
17.(EBC - 2011 / CESPE) Se os 2 analistas que
desenvolvem atividades na área de ciências sociais
fizerem parte da equipe, então a quantidade de
maneiras distintas de se compor essa equipe será
superior a 6.(Errado)
18.(EBC - 2011 / CESPE) Se a equipe for formada
por 2 analistas da área de assistência social e 1
analista da área de ciências sociais, então ela
poderá ser composta de 12 maneiras
distintas.(Certo)
(Texto para as questões 19 a 21) Considerando
que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes
distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os
próximos itens.
19.(EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas
possíveis formadas por 3 nomes distintos dos
candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos
forem candidatos, dois desses nomes aparecerão
em mais de 5 dessas listas.
20. (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas
possíveis formadas por 3 nomes distintos dos
candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e
Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão
apenas um desses nomes(Certo)

21. (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de
maneiras distintas de se
escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a
20.(Errado)
PROBABILIDADE
Probabilidade é à parte da matemática que estuda
problemas aleatórios.
2 – ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento aleatório.
Exemplos:
 Lançar um dado e observar a face voltada para
cima.
S = {1,2 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
 Lançar uma moeda e observar a face voltada
para cima.
A face que ficará para cima poderá ser cara ou
coroa.
n(S) = 2
 lançar um dado e uma moeda e observar a face
voltada para cima.
D/M 1 2 3 4 5 6
C C,1 C,2 C,3 C,4 C,5 C,6
k K,1 K,2 K,3 K,4 K,5 K,6
n(S) = 2.6 = 12
d) O espaço amostral no lançamento de dois
dados é dado por:
D2
D1
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Logo: n (S) = 36= 6.6
e)Determinar o espaço amostral, retirar duas
bolas sem reposição de uma urna que contém
10.
n(S) = C10,2 = 45
RESUMO DOS PRINCIPAIS CASOS:
CASO ESPAÇOSAMOSTRAL(S) N (S)
Lançamento
de uma
moeda
(cara, coroa) – (c, k) 2
Lançamento
de duas
moedas
[(c,c)], (c,k), (k,c), (k,k)] 2 . 2 = 4
Lançamento de n moedas 2n
Lançamento
de um dado
(1, 2, 3, 4, 5, 6) 6
Lançamento de n dados 6n
Lançamento de n dados e m moedas 2n . 6m
Concepção de
um embrião
(homem, mulher) – (h,m) 2
Concepção de n embriões 2n
3 – EVENTOS (E):
São todos os casos favoráveis a um experimento
aleatório.
Exemplos:
1) No lançamento de dois dados determine o evento
sair números iguais nas faces voltadas para cima.
E = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
n(E) = 6
2) No lançamento de um dado, determine o evento
sair número:
a) sair número maior que 4.
b) sair número maior que e menor que 5.
 Sair número par o ímpar
 Sair número par e ímpar
Eventos mutuamente exclusivos
São eventos que se completam, não possuindo
elemento em comum.
Ex: números pares e números ímpares
4 – DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
Probabilidade = n° de casos favoráveis
n° de casos possíveis
P =
)
(
)
(
S
n
E
n

Onde:
n(S) = número de elementos do espaço do amostral.
espaço evento.
A probabilidade de um evento pode vir expressa em:
 Fração 1/4
 número decimal 0,25
 porcentagem 25%

A probabilidade é um valor que está compreendido
entre:
0 e 1, inclusive, ou entre 0% e 100%, inclusive.
Exercícios
3) No lançamento de um dado qual é a chance de
obtermos na face voltada para cima um n° par?
4) No lançamento de 2 dados qual é a probabilidade
que as faces voltadas para cima apresentem o
mesmo número?
05 – PROBABILIDADE DA SOMA(ou)
Dados dois eventos, a probabilidade de que
ocorram A ou B é igual a:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Se os eventos são mutuamente exclusivos,
então teremos:
P(A B)= P(A) + P(B), quando P(A  B)= Ø
5) No lançamento de um dado qual é a probabilidade
de obtermos:
a) um número ímpar e menor do que 4.
b)Um número par ou maior do que 4.
c)Um número par ou ímpar.
d)Um número par e ímpar.
e)Um número maior que 6.
06 – PROBABILIDADE DA MULTIPLICAÇÃO
Dados dois eventos, a probabilidade de que
ocorram A e B é igual a:
P(A  B) = P(A) . P(B/A)
Eventos independentes
Dois eventos, A e B, são independentes quando
ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de
ocorrência do outro.
Quando A e B são eventos independentes, a
probabilidade de que ocorram A e B fica igual a:
P(A  B) = P(A) . P(B)
Exemplo:
6) Uma urna possui 10 B.V e 8 BA. Jurubira
pretende retirar duas bolas dessa urna, então
responda:
a) Qual é a probabilidade de que as bolas retiradas
sem reposição sejam verdes.
b) Qual é a probabilidade de que as bolas retiradas
com reposição sejam verdes.
7 – PROBABILIDADE DE EVENTOS
COMPLEMENTARES
Se os eventos são mutuamente exclusivos, então
teremos:
P(A) + P(B) = 100%
Exemplo:
7) Pardoca tem 20% de chance de não estar vivo
daqui a 40 anos. Qual é a probabilidade de que ele
esteja vivo.
8) A chance de Vitória ser convidada por Pedro para
uma festa é de 30% e a chance dela ser convidada
por Carlos é de 20%. Qual é a chance de que ela
não seja convidada por nenhum dos dois?
8 – DISTRIBUÍ ÇÃO BINOMINAL
Se a probabilidade dos eventos A e B forem,
respectivamente, P(A) = a e P(B) = b, então a
probabilidade de ocorrer o evento A exatamente p
vezes em n tentativas será dada por:

P(A) = Cn,p. (a)p
.(b)n - p
Exemplo:
9 -Lance uma moeda 7 vezes, qual é a
probabilidade de saírem, exatamente 4 coroas?
Resolução:
Usando a regra:
9 – PROBABILIDADE CONDICIONAL
Está relacionado a eventos que para
ocorrerem, estão condicionados a ocorrência de um
outro evento.
P(B/A) =
)
(
)
(
A
P
B
A
P 
(probabilidade de ocorrer B tendo ocorrido A)
Exemplo:
10-Uma escola tem 1000 alunos. 400 alunos gostam
de matemática; 800 gostam de português; 300 das
duas. Ao escolhermos um aluno ao acaso, qual é a
probabilidade de que ele:
a) goste apenas de matemática.
Resolução:
c) goste de matemática sabendo que ele gosta de
português.
MAIS QUESTÕES COM PROBABILIDADE
11 – (CESGRANRIO) Beraldo espera ansiosamente
o convite de um de seus três amigos, Adalton,
Cauan e Délius, para participarem de um jogo de
futebol. A probabilidade de que Adalton convide
Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que
Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça
é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de
forma totalmente independente entre si, a
probabilidade de que Beraldo não seja convidado
por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol
é:
a) 12,5%
b) 15,5%
c) 22,5%
d) 25,5%
e) 30%
12-(ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo
daqui a 5 anos é
5
3
. A probabilidade de um cão
estar vivo daqui a 5 anos é
5
4
. Considerando os
eventos independentes, a probabilidade de somente
o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a)
25
2
b)
25
8
c)
5
2
d)
25
3
e)
5
4
13-(CESGRANRIO) São lançadas 4 moedas
distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de
resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?
a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 44,5%
e) 50%
14-( ESAF) Um dado de seis faces numeradas de 1
a 6 é viciado de modo que, quando lançado, a
probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é
300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma
face ímpar qualquer. Em dois lançamentos desse
dado, a probabilidade de que ocorram exatamente
uma face par e uma face impar (não
necessariamente nesta ordem) é igual a:
15 – (ESAF) – Em um grupo de cinco crianças, duas
delas não podem comer doces. Duas caixas de
doces serão sorteadas para duas diferentes crianças
desse grupo ( uma caixa para uma das duas
crianças). A probabilidade de que duas caixas de
doces sejam sorteadas exatamente para duas
crianças que podem comer doces é:
a) 0,10 b)0,20 c)0,25 d)0,30 e)0,60
Resolução:
16-Uma caixa contém 20 bolas numeradas de 1 a
20. Sorteando-se uma delas, qual é a chance de que
ela tenha um numero múltiplo de 5?
a)1/5 b)1/3 c)1/2 d)1/7 e)1/20
17- Um dado é jogado e a face de cima é observada.
Qual é a probabilidade de que ocorra um numero
maior que 4?
a) ½ b)1/3 c)20% d)30% e) 2
18- Um globo contém 10 bolas numeradas de 1 a 10.
Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade de
que ela tenha um número que seja múltiplo de 2 ou
3?
a)2/3 b)3/4 c)7/25 d)7/10 e)1/10
18– Uma escola tem 500 estudantes. 80 estudam
Matemática, 150 estudam Geografia e 10 estudam
as duas disciplinas. Um aluno é escolhido ao acaso.
Qual é a probabilidade de que ele estude Geografia,
mas não estude matemática?
a)5/3 b)3/4 c)4/5 d)7/10 e)1/10
19 - Uma escola tem 500 estudantes . 80 estudam
matemática, 150 estudam direito e 10 estudam as

duas disciplinas. Um aluno é escolhido ao acaso.
Qual é a probabilidade de que estude direito,
sabendo-se que ele estuda matemática?
a)5/3 b) ¼ c)3 d)1/8 e)1
20 – Um globo contém 5 bolas verdes e 3 bolas
azuis. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem
reposição. Qual é a probabilidade de que as duas
bolas sejam azuis?
a) 1/7 b)1/14 c)2/5 d)2/21 e)3/28
21 - Seis moças, entre elas Maria e Paula, são
dispostas em fila ao acaso. Qual a probabilidade de
Maria e Paula ficarem uma ao lado da outra?
a)1/3 b)2/5 c)1/2 d)3/4 e)5/7
22- Uma moeda é jogada 6 vezes. Qual é a
probabilidade de que ocorram exatamente 3 coroas?
a)5/11 b)1/16 c)3/8 d)3/5 e)5/16
23 – Um casal pretende ter quatro filhos. A
probabilidade de nascerem dois meninos e duas
meninas é:
a)
8
3
b)
2
1
c)
8
6
d)
6
8
e)
3
8
24-(CESGRANRIO) Em uma sala de aula estão 10
crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das
crianças são sorteadas para participarem de um
jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas
serem do mesmo sexo é:
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 35%
25 -(FCC) Um juiz de futebol possui três cartões no
bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e
o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro.
Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um
cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma
face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade
de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra
face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:
a)
6
1
b)
3
1
c)
3
2
d)
5
4
e)
6
5
26 - (ESAF) em uma cidade, 10% das pessoas
possuem carro importado. Dez pessoas dessa
cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição.
A probabilidade de que exatamente 7das pessoas
selecionadas possuem carro importado é:
a) (0,1)7
(0,9)3
b) (0,1)3
(0,9)7
c) 120 (0,1)7
(0,9)3
d) 120 (0,1) (0,9)7
e) 120 (0,1)7
(0,9)
27 – (CESGRANRIO)Num sorteio concorrem 50
bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o
bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de
o número sorteado ser 25 é:
a) 15%
b) 5%
c) 10%
d) 30%
e) 20%
28-(FUNIVERSA – 2009) Dados do DETRAN/DF,
mostram que , em 2008, das 1.063 vítima de
acidentes envolvendo ônibus, 1.013 tiveram apenas
ferimentos e 50 perderam a vida, sendo 45 homens
e 5 mulheres.
De acordo com os dados apresentados, escolhendo-
se uma vítima fatal, qual é a probabilidade de que
ela seja mulher é de:
a)1/9
b) 1/10
c) 9/10
d) 1/1.013
e) 1/ 1.063
29- (CESEPE – TCU)
30 –( IADES -2010) Na Copa do Mundo de 2010 da
FIFA, o Brasil ficou no grupo G junto com as
seleções da Corea do Norte, Costa do Marfim e
Portugal. Analisando o resultado de jogos anteriores
entre Brasil e Portugal, um torcedor concluiu que a
chance do Brasil ganhar é três vezes maior do que a
chance do perder e que a chance de empatar é
metade da chance do Brasil perder. Para aquele
torcedor a probabilidade de o Brasil perder um jogo
jogando com Portugal é:
a)1/9 b)2/9 c)3/9 d)4/9

31-(CESGRANRIO-CAIXA – 2008)
32-
(CESGRANRIO)
33- (CESGRANRIO-BNDES-2009)
34- CESGRANRIO – EPE – 2009)
(35-REFAP – 2007-CESGRANRIO)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
DEFINIÇÃO
Progressão aritmética é toda seqüência
numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual à soma do termo precedente
(anterior) com uma constante r. O número r é
chamado de razão da progressão aritmética.
EXEMPLOS:
a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22) é uma P.A. finita de
razão r = 3.
b) (10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, ...) é uma P.A.
infinita de razão r = - 2.

c) (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.A. infinita de razão r =
0.
CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
Uma P.A. é crescente quando cada termo, a
partir do segundo, é maior que o termo que o
antecede.
Para que isso aconteça é necessário e suficiente
que a sua razão seja positiva.
EXEMPLO:
(7, 11, 15, 19, ...) é uma P.A. crescente. Note que
sua razão é positiva, r = 4.
Uma P.A. é decrescente quando cada termo, a
partir do segundo, é menor que o termo que o
antecede. Para que isso aconteça é necessário e
suficiente que a sua razão seja negativa.
EXEMPLO:
(50, 40, 30, 20, ...) é uma P.A. decrescente. Note
que sua razão é negativa, r = - 10.
Uma P.A, é constante quando todos os seus
termos são iguais. Para que isso aconteça é
necessário e suficiente que sua razão seja igual a
zero.
EXEMPLO






.
.
.
,
3
4
,
3
4
,
3
4
é uma P.A. constante. Note que
sua razão é igual a zero, r = 0.
PROPRIEDADE
Uma seqüência de três termos é P.A. se, e
somente se, o termo médio é igual à média
aritmética entre os outros dois, isto é:
(a, b, c) é PA  b =
2
c
a 
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
GENERALIZANDO
Numa P.A. (a1, a2, a3, . . ., an, ...) de razão r tem-
se an = a1 + (n - 1)r, n, com n  lN*. Essa
identidade é chamada de fórmula do termo
geral da P.A.
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.A.
É de grande utilidade, para a resolução de certos
problemas, sabermos representar genericamente
uma P.A. Mostraremos a seguir algumas
representações.
● P.A. de três termos:
(x, x + r, x + 2r), com razão r ou
(x - r, x, x + r), com razão r
● PA. de quatro termos:
(x, x + r, x + 2r, x + 3r), com razão r ou
(x - 3r, x - r, x + r, x + 3r), com razão 2r
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA
P.A.
PROPRIEDADE
Numa P.A. finita a soma de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos
extremos.
CÁLCULOS DA SOMA DOS n PRIMEIROS
TERMOS DE UMA P.A
TEOREMA
A soma Sn dos n primeiros termos da P.A. (a1, a2,
a3, a4, ..., an, ...) é dada por:
 
2
n
a
a
S n
1
n


QUESTÕES DE CONCURSOS
01. O primeiro a de uma P.A. de razão 13
satisfaz 0 < a ≤ 10. Se um dos termos da
progressão é 35, o valor de a é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10 e) 3
02. Sabendo que a seqüência (1 - 3x, x - 2, 2x
+ 1) é uma P.A., determine o valor de x.
a) -2 b) 0 c) 2
1

d) 4 e) 6
03. O valor de x, de modo que x2
, (x + 1)2
e (x
+ 3)2
formem, nessa ordem, uma P.A., é:
a) 3 b) -5 c) - 1/2
d) - 7/2 e) 3/4
04. Na PA. (3+x, 10 - x, 9 + x, ...), a razão vale:
a) x b) 3 + x c) 3
d) 2 e) 6
05.Os números reais a, b e c estão em PA. de
razão r e a < b < c. O valor de a - 2b + c é:
a) r b) 0 c) a
d) b e) - r
06..Em um restaurante, os preços de três pratos
estão em progressão aritmética de razão R$
12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam
juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro
custam juntos :
(A) R$ 54,00
(B) R$ 60,00
(C) R$ 66,00
(D) R$ 68,00
(E) R$ 70,00
07. FCC – TRT/11a – 2012) Estão representados a
seguir os quatro primeiros elementos de uma
sequência de figuras formadas por quadrados.
Mantido o padrão, a 20a figura da sequência será
formada por um total de quadrados igual a
(A) 100
(B) 96
(C) 88
(D) 84
(E) 80
08. CEPERJ – OFICIAL SEFAZ/RJ – 2011 Carlos
resolveu fazer uma poupança durante este ano, da
seguinte forma. Na primeira semana do ano, colocou
10 reais em eu pequeno e vazio cofre. Na segunda
semana, colocou 12 reais; na terceira semana, 14
reais, e assim por diante, aumentando o depósito em
dois reais a cada semana. Se ele mantiver a
promessa e, como o ano tem 52 semanas, após o
último depósito ele terá acumulado uma quantia:
a) entre 3000 e 3100 reais
b) entre 3100 e 3200 reais
c) entre 3200 e 3300 reais
d) entre 3300 e 3400 reais
e) entre 3400 e 3500 reais
09.(CEF) Uma pessoa abriu uma caderneta de
poupança com um depósito inicial de R$ 120,00
e, a partir dessa data, fez depósitos mensais
nessa conta em cada mês depositando R$ 12,00
a mais do que no mês anterior. Ao efetuar o 19º
depósito, o total depositado era de
(A) R$ 3.946,00
(B) R$ 4.059,00
(C) R$ 4.118,00
(D) R$ 4.277,00
(E) R$ 4.332,00
10. (FNDE 2007 FGV) Observe a sequência de
figuras abaixo.
Quando terminarmos a figura 20, o número total de
bolinhas utilizadas terá sido de:
a) 720 b) 840
c) 780 d) 680 e) 880
11. O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de
primeiro termo 2 e razão 3 é:
a) 63 b) 65 c) 92
d) 95 e) 98
12. O décimo oitavo termo da progressão (5,
8, 11, 14,...) é:
a) 18 b) 26 c) 46
d) 56 e) 5 . 318
13. O 150° número ímpar positivo é:
a) 151 b) 291 c) 301
d) 299 e) n.r.a.
14. O produto das raízes da equação x2
+ 2x - 3
= 0 é a razão de uma P.A. de primeiro termo 7. O
100° termo dessa P.A. é:
a) 200 b) -304
c) -290 d) -205 e) -191
15. Três irmãos têm, atualmente, idades que
estão em uma P.A. de razão 5. Daqui a três anos,
suas idades:
a) estarão em uma P.A. de razão 2.
b) estarão em uma P.A. de razão 3.
c) estarão em uma P.A. de razão 5.
d) estarão em uma P.A. de razão 8.
e) não estarão em P.A.

16. Quantos números ímpares há entre 14 e
192?
a) 88 b) 89 c) 87
d) 86 e) 90
17. As progressões aritméticas (5, 8, 11, ...) e
(3, 7, 11, ...) têm 100 termos cada uma. O
número de termos iguais nas duas progressões é:
a) 15 b) 25 c) 1
d) 38 e) 42
18. O primeiro termo de uma P.A. é a1 = 1,4 e a
razão é 0,3. O menor valor de n, tal que an > 6, é:
a) 15 b) 17 c) 19
d) 21 e) 23
19. O número de termos de uma P.A. cujo
primeiro termo é a1 = 10x - 9y, o último, an = y e
a razão, r = y - x, é:
a) 11 b) 10 c) 9
d) 8 e) 7
20. O número de múltiplos de 7 entre 1.000 e
10.000 é:
a)1.280 b) 1.284 c) 1.282
d) 1.286 e) 1.288
21. Interpolando 7 termos aritméticos entre os
números 10 e 98, obtém-se uma P.A. cujo termo
central é:
a) 45 b) 52 c) 54
d) 55 e) 57
22. Três números positivos estão em P.A. A
soma deles é 12 e o produto é 18. O termo do
meio é:
a) 2 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3
23. Três números estão em P.A. A soma desses
números é 15 e o seu produto, 105. Qual a
diferença entre o maior e o menor?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
24. Três números em P.A. apresentam uma
soma igual a 9 e uma soma de seus quadrados
igual a 59. Esses três números são dados por:
a) -2, 3, 8 b) 2, 3, 4 c) 1,3,5
d) 0,3,6 e) n.r.a.
25. Os lados de um triângulo retângulo estão em
P.A. de razão 3. Calcule-os.
a) 3, 6, 9 b) 6, 9, 12 c) 12, 15, 18
d) 9,12, 15 e) n.r.a.
26. Se o número 225 for dividido em 3 partes,
formando uma P.A. de maneira que a terceira
parte exceda à primeira de 140, essas partes
serão:
a) primas entre si.
b) múltiplas de 5 e 10 ao mesmo tempo.
c) números cujo produto é 54.375.
d) múltiplas de 5 e 3 ao mesmo tempo.
e) indeterminadas.
27. Se os ângulos internos de um triângulo estão
em P.A. e o menor deles é a metade do maior,
então o maior mede:
a) 40° b) 50° c) 60°
d) 70° e) 80°
28. Numa P.A., temos a7 = 5 e a15 = 61. Então, a
razão pertence ao intervalo:
a) [8, 10] b) [6, 8[ c) [4, 6[
d) [2, 4[ e) [0, 2[
29. A soma dos cinco primeiros termos de uma
P.A. crescente é zero, e a soma de 9 unidades ao
segundo termo nos dá o quinto termo. O valor do
segundo termo é:
a) 0 b) -3 c) -6
d) 3 e) 6
30. Se a soma dos termos de uma P.A. de três
termos é igual a 15, então o segundo termo da
progressão vale:
a) 3 b) 0 c) 2 d) 5
e) não pode ser calculado, pois não é dada a
razão.
31. A soma do primeiro e quarto termos de uma
P.A. é 9. Se a razão é igual a 4/3 do primeiro
termo, o terceiro termo será:
a) 13/2 b) 11/2
c) 7/2 d) 15/2
e) 3/2
32. Numa P.A. de 7 termos, a soma dos dois
primeiros é 14 e a soma dos dois últimos é 54. A
soma dos outros três termos dessa P.A. vale:
a) 42 b) 45
c) 48 d) 51
e) n.r.a.
33. Sabendo que o quinto e o oitavo termos de
uma P.A. crescente são as raízes da equação
x2
- 14x + 40 = 0, seu terceiro termo é:
a) -2 b) 0
c) 2 d) 14
e) -35

34. O valor da expressão 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
+ ... + 1.000 é:
a) 1.036 b) 5.050
c) 50.500 d) 500.500
e) 1.000.000
35. A soma dos números pares de 2 a 400 é igual
a:
a) 7.432 b) 8200
c) 40.200 d) 80.200
e) 20.400
36. A soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1.000 é:
a) 70.539 b) 71.400
c) 71.540 d) 76.500
e) 71.050
37. Colocando 1.540 estudantes em filas, com
1 estudante na primeira, 2 na segunda, 3 na
terceira e assim sucessivamente, formando um
triângulo, quantas filas teremos?
a) 55 b) 20
c) 154 d) 3
e) 200
38. Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila,
24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma
seqüência, até a vigésima fila, que é a última. O
número de poltronas desse teatro é:
a) 92 b) 132 c)150 d) 1.320 e) 1.500
39. Em uma P.A., a soma do terceiro com o
sétimo termo vale 30, e a soma dos 12 primeiros
termos vale 216. A razão dessa P.A. é:
a) 0,5 b) 1
c) 1,5 d) 2 e) 2,5
40. O primeiro termo de urna P.A. é -10 e a soma
dos oito primeiros termos é 60. A razão é:
a) - 5/7
b) 15/7
c) 5
d) 28
e) 35
41. Se 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 105, então o valor
de n é:
a) 12
b) 14
c)11
d) 13
e) 15
42. Um pêndulo, oscilando, percorre
sucessivamente 18 cm, 15 cm, 12 cm... A soma
dos percursos até o repouso é de:
a) 45 cm b) 63 cm
c) 90 cm d) 126 cm
e) n.r.a.
43. Se a soma dos n primeiros termos da P.A. (-
40, -38, -36, ...) é -264, o valor mínimo de n é:
a) 6 b) 8
c) 15 d) 24
e) 33
44. Um matemático (com pretensões a
carpinteiro) compra uma peça de madeira de
comprimento suficiente para cortar os 20 degraus
de uma escada de obra. Se os comprimentos dos
degraus formam uma P.A., se o primeiro degrau
mede 50 cm e o último, 30 cm e supondo que não
há desperdício de madeira no corte, o
comprimento mínimo da peça é de:
a) 8 m b) 9 m
c) 7 m d) 7,5 m
e) 6,5 m
45. Um automóvel percorre no primeiro dia de
viagem uma certa distância x; no segundo dia,
percorre o dobro do que percorreu no primeiro
dia; no terceiro dia, percorre o triplo do primeiro
dia e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias,
percorreu uma distância de 6.300 km. A distância
percorrida no primeiro dia foi de:
a) 15 km b) 30 km
c) 20 km d) 25 km
e) 35 km
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.G.)
DEFINIÇÃO
Progressão geométrica é toda seqüência
numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual ao produto do termo precedente
(anterior) por uma constante q. O número q é
chama do de razão da progressão geométrica.
Exemplos
a) (3, 6, 12, 24, 48, 96) é uma P.G. finita de
razão q = 2.
b) (1,
2
1
,
4
1
,
8
1
,
16
1
,...) é uma P.G., infinita de
razão q =
2
1
c) 2, -6, 18, -54, 162,...) é uma P.G. infinita
de razão q = -3.
d) (5,0,0,0,...) é uma P.G. infinita de razão q
= 0.
e) (0, 0, 0, ...) é uma P.G. infinita de razão
indeterminada.

matemática medio-matematica FORMATADO.doc

matemática medio-matematica FORMATADO.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to matemática medio-matematica FORMATADO.doc

Similar to matemática medio-matematica FORMATADO.doc (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

matemática medio-matematica FORMATADO.doc