2. UNIDAD II: VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS.
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS PRINCIPALES
CUBO
a = arista, d = diagonal
Área(A) 6a2
d a Volúmen(V) a3
d a 3
PIRÁMIDE RECTANGULAR
(RECTA)
A Area base Area Caras
Area base h
V
3
PARALELEPÍPEDO
c
Área(A) = 2 ( ab + ac + bc )
b Volumen = a b c
a
CONO RECTO
Área Manto = r g r r2 h2
g Área Total = r (g r)
h
r2 h
Volumen =
3
r g r2 h2
ESFERA
o
r Área = 4 r2
4
Volumen = r3
3
2
3. CILINDRO RECTO:
La figura engendrada al rotar un rectángulo en torno a
una de sus lados.
El manto del cilindro es la generatriz (g) o superficie
engendrada por lado que gira el rectángulo.
g altura (h) g generatriz
Área del Manto (As) 2 rh 2 rg h altura
g h Base (B) Tope 2 r 2
r radio
As base tope
2 r g r2 r2
Área Total
2 r (g r)
B
r 2 r (h r)
Volumen(V) Area Base h
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar las áreas totales de algunos cuerpos.
Hallar, con aproximación al entero más cercano, las áreas totales de los siguientes cuerpos:
a. Un cubo cuya arista mide a = 5 cm.
Solución:
At 6 a2
a=5
At 150cm2
1 1
b. Un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones son: 10 pies, 7 pies, y 4 pies.
2 2
Solución:
At 2 l w 2 l h 2 w h h
1 1
A 2 10 7 2 10 4 2 7 7 w
2 2 l
At 293pies2
c. Una esfera cuyo radio mide 1.1 m.
Solución:
At 6 r2
At 6 3,14 1,12
At 15m2
2. Volumen de un cubo;
Determinar el volumen (V) de un cubo cuya arista mide a= 4 pulg.
Solución: V 43 pulg3 64pulg3
9
3. Hallar el volumen de una pirámide de altura igual a 8 ydas y cuya base es un cuadrado de lado igual a ydas.
2
Solución:
1 2
V= a h
3
2
1 9
V= 8 54 ydas3
3 2
4. Volumen de una esfera, cilindro y cono. Hallar volumen de:
a. Una esfera cuyo radio es igual a 10 pulg.
3
4. Solución:
4
V r3
3
4
V 3,14 103
3
V 4187pulg3
b. Un cilindro de altura igual a 4 yardas y cuya base tiene radio igual a 2 pies.
Solución:
V r2 h
V 3,14 22 1
V 150,72pies3
c. Un cono de altura igual a 2 pies y cuya base tiene un radio de 2 yardas.
1
V r2 h
3
1
Solución: V 3,14 62 12
3
V 75,36pies3
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un prisma recto tiene una arista lateral de longitud 3 y el perímetro de su base es 34. ¿Cuál es el área de su superficie
lateral?
2. Determinar la altura de un prisma recto para el cual el área de la superficie lateral es 143 y el perímetro de la base es 13.
3. Las bases del prisma representado por la fig. 1 son triángulos equiláteros y sus caras
laterales son regiones rectangulares. Si se sabe que la longitud de una arista de la base
es 6 y la altura del prisma es 10, calcular el área de la superficie total del prisma.
Figura.
4. ¿Cuál es el área de la superficie lateral de un cubo con arista de longitud 5? ¿Cuál es el área de la superficie total?
5. Las aristas de una sección transversal de un prisma triangular tienen longitudes 3, 6 y 3 3 . ¿Cuáles son las longitudes
de las aristas de otra sección transversal? ¿Qué figura geométrica es? ¿Cuáles son las medidas de sus ángulos?.
Calcular el área de una sección transversal del prisma.
6. La longitud de la diagonal de un cubo es 16 3 . Determinar el área de su superficie total.
7. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 4, 7 y 12. Calcular el área de su superficie total.
8. Las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular (fig. 1) son 5 y 8, y su altura es
12. Un agujero que va desde la base superior hasta la base inferior, tiene la forma de un
prisma triangular recto, cuyas bases son triángulos equiláteros con aristas de longitud 3.
Determinar el área de la superficie total de la figura.
Figura
9. La base de un paralelepípedo es una región rectangular de dimensiones 6 por 15 (fig.2).
Las caras extremas son regiones cuadradas que forman un ángulo de 60° con la base.
Un plano perpendicular a la arista más larga de la base intersecta al paralelepípedo
según una región rectangular. Determinar el área de la superficie total.
Figura
10. La altura de un paralelepípedo rectangular es 7 centímetros y las dimensiones de la base son 4 y 5 centímetros.
Determinar su volumen.
4
5. 11. Un recipiente rectangular, de 1m por 1m por 1m, se llenó con agua. Si 1 galón de líquido tiene un volumen de 231
centímetros cúbicos, ¿cuántos galones de agua caben en el recipiente?
12. A ciertas barras de plata se les da forma de prisma recto cuya base (un extremo de la barra)
es un trapecio (Figura). Las longitudes de las bases del trapecio son 7 y 10 centímetros. La
altura de la barra es 5 cm. y su longitud es 30 centímetros. Si la plata pesa 10 12 gramos
por centímetros cúbico, ¿cuánto pesará una barra?
Figura.
13. Al introducirse un trozo de metal en un tanque rectangular, lleno de agua, de
dimensiones 50 cm. por 37 centímetros, el nivel del agua subió 1 centímetro (Figura).
¿Cuál es el volumen del trozo de metal?
Figura.
14. Para calcular el costo de abastecimiento de aire acondicionado a una estructura que se
proyecta construir, un contratista tiene que determinar el volumen de aire contenido en un
edificio rectangular como el que se representa en la Figura. El edificio tiene 130 pies de
largo y 42 pies de ancho. A ambos lados del edificio, los aleros están situados a 9 12 pies de
altura y el punto más alto del techo está a 15 pies del piso. Determinar el volumen del
edificio.
Figura.
15. Un prisma rectangular recto tiene una altura de 18 cm. y una base que mide 6 cm. por 8 cm. El plano determinado por
una diagonal de la base y un vértice de la base superior forma una pirámide con las caras del
prisma. Determinar el volumen de la pirámide.
16. Determinar el volumen de una pirámide cuadrada regular cuya altura es 12 y cuya base tiene
una arista de longitud 12. Determinar el área de su superficie lateral.
Figura.
17. Calcular el volumen y el área de la superficie total de un octaedro regular cuya arista
tiene longitud 3.
18. La base de un prisma recto es una región hexagonal regular. Una arista de la base
mide 2 cm. de largo y una arista lateral del prisma mide 7 cm. de largo. Determinar el
área de la superficie lateral del prisma. Determinar el área de una sección transversal
que dista 5 pulgadas de la base y es paralela a ésta.
19. En un estante de un almacén, hay dos tarros de la misma marca de mermelada
de frutilla. El tarro más alto tiene doble altura del otro, pero su diámetro es la
mitad del diámetro del más bajo. El tarro más alto cuesta 230 pesos y el otro
430 pesos. ¿Cuál es la mejor compra?
Figura.
20. ¿Cuál es el volumen de un cono, si su altura es 6 y el diámetro de la base es 10?
21. La base de un tetraedro es un triángulo cuyos lados tiene longitudes 10, 24 y 26. La altura del
tetraedro es 20. Determinar el área de una sección transversal cuya distancia de ésta es 15.
22. Dado que el diámetro de una esfera es 18, determinar su volumen y su área de superficie.
23. Una bola esférica cuyo radio es 8 cm. tiene un hueco central esférico de radio 5 centímetros. ¿Cuál es el volumen de la
cáscara o cápsula esférica?
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