Curso intersemestral de integración. Enero 2018

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
LA INTEGRAL
Conceptos, integrales
inmediatas, cambio de
variable, sustituciones
singulares, métodos de
integración y aplicaciones
Pablo García y Colomé, Profesor de Carrera
Orgullosamente UNAM

Ejercicios de Integración
Integración
UNAM
Facultad de Ingeniería
División de Ciencias Básicas
Academia de Cálculo Integral

Cálculo
Diferencial
e Integral
Cálculo
Diferencial
e Integral

Teorema Fundamental del Cálculo
Sea una función continua en el
intervalo y sea . Si es
una función tal que
entonces se cumple que
 f x
,a b   ,x a b     F x
   
x
a
F x f u du 
 
 
dF x
f x
dx


Prueba
     
0
lim
x x x
a a
x
f u du f u dudF x
dx x

 



 
Por propiedades de la integral definida
     
x x x x x
a a x
f u du f u du f u du
 
   
,x a x x    

     
x x x x x
a a x
f u du f u du f u du
 
   
   
0
lim
x x
x
x
f u dudF x
dx x

 



Por el teorema del valor medio del
Cálculo Integral
    ; ,
x x
x
f u du f c x c x x x

      

   
0
lim
x
dF x f c x
dx x 



 
 0
lim
x
dF x
f c
dx  

   0x f c f x   
 
 
dF x
f x
dx
 

Calcular a través de la suma de Riemann
el área bajo la curva de la función
 
5 34
4
x
f x
 

de a con subintervalos del
mismo tamaño y considerando el valor
medio de cada subintervalo para evaluar
la función. Graficar
2x  6x 
Ejemplo

Representación gráfica del problema:
x
y
2 61ix  ix
6
1
 
5 34
4
x
f x
 

i
A

4
x
n
 
 0 1 1
4 4
2 ; 2 ; ; 2 1 ;
4 4
2 ; ; 2 6
i
i n
x x x i
n n
x i x n
n n

   
        
   
   
       
   
1 4 2
2
2
i i
i i
x x
i
n n
    
     
 

 
 
20 10
10 34
4
1 20 10
24
4
i
i
i
n n
f
f i
n n


 
    
 
  
     
  
1
1 20 10 4
lim 24
4
n
n
i
A i
n n n

  
    
  

 
5 34
4
x
f x
 

4 2
2i i
n n

 
   
 

1 1 1
1 20 10
lim 24 1 1
n n n
n
i i i
A i
n n n
  
 
   
 
  
 11 20 10
lim 24
2n
n n
A n n
n n n
 
     
 
 
1
lim 24 10 1 10
n
A n n
n
     
 
1
lim 24 10 10 10
n
A n n
n
   

14
lim
n
n
A
n

2
14A u 
 lim 14
n
A


x
y
2 61ix  ix
6
1
 
5 34
4
x
f x
 

i
A

Teorema del valor medio
    
b
a
f x dx f c b a c a b      ; ,
a b a bc
 f c

Determinar el valor de la ordenada media
de la siguiente integral definida. Graficar
   
6
0
0 2
si 2 2 4
6 4 6
x si x
f x dx f x si x
x si x
 

  
   

Ejemplo

   
6 6
0 0
6 2
2 8
2
A f x dx A f x dx

      
x
y
6
2
2 4
A
   
6
0
0 2
si 2 2 4
6 4 6
x si x
f x dx f x si x
x si x
 

  
   


     
8 4
8 6
6 3
f c f c f c    
     ; ,
b
a
f x dx f c b a c a b     
Teorema del valor medio

x
y
6
2
2 4
A
A
 
4
3
f c 

n
n u
u du C n
n

   

1
; 1
1
du
u C
u
  ln

 
3
1x
dx
x


1
2
3 3 1 1
3 3
x x x x
dx x x dx
x x
   
    
 
 
3 1
2 2
3
3 ln
3 1
2 2
x x
x x C    
 
3
1 2
3 6 ln
3
x
dx x x x x x C
x

     
Ejemplo

1
dx
senx
1
1 1
dx senx
senx senx


 
 
2 2
2
1 1
1 cos
sec sec tan
senx senx
dx dx
sen x x
x x x dx
 


 
 

tan sec
1
dx
x x C
senx
   

Ejemplo

4
2
5
3
dx
x x
 
 
 

 
2 2
5 15 5
3u du dx du dx
x x x

      
5
41 1
5 5 5
u
u du C  
4 5
2
5 1 5
3 3
25
dx
C
x xx
   
       
   

Ejemplo

Ejemplo x
dx
sen x
 2
3
cos
u senx du xdx   cos
du u
u du C
u

   
1
2 3
3
2
3
1
3
x
dx u C sen x C
sen x
    
1 1
3 3
2
3
cos
3 3

2
1
1
x
dx
x


2
1 2 2
1 1
1 1 1
x
x x dx
x x x
  
         

2
; 1
1
2 2ln
dx u x du dx
x
du
u C
u
   

 


2 2
1
2ln 1
1 2
x x
dx x x C
x

     

Ejemplo

x x
x x
e e
dx
e e




 x x x x
u e e du e e dx 
    
ln
x x
x x
x x
e e
dx e e C
e e




   

ln
du
u C
u
 
Ejemplo

3 4
cot5x x dx
4 3
5 20u x du x dx  
3 4 41
cot5 ln 5
20
x x dx sen x C  
1 1
cot ln
20 20
udu senu C 
Ejemplo

 2 1x x dx 
1 ; 1u x du dx x u     
   1 2 3u u dx u u dx    
5 3
3 1 2 2
2 2
3
3
5 3
2 2
u u
u u du C
 
    
 

     
5 3
2 2
2
2 1 1 2 1
5
x x dx x x C       
Ejemplo

2
2
csc
1 cot
x
dx
x
2 2 2
cot cot cscu x u x du xdx     
2 2
1
tan
du u
ang C
a aa u
   

 
2
2
csc
tan cot
1 cot
x
dx ang x C
x
   

2
1 1a a  
Ejemplo

2
4 9
dx
x x 
 
2 2 2
4 9 4 4 4 9 2 5
dx dx dx
dx
x x x x x
 
       
  
 
22
2 2u x u x du dx      
2
5 5a a  
2 2
1
tan
dx u
ang C
u a a a
 

2
1 2
tan
4 9 5 5
dx x
ang C
x x

  
 
Ejemplo

2
9
dx
x

2 2
2
9 3
u x u x du dx
a a
    
  
2 2
du u
angsen C
aa u
 


2 39
dx x
angsen C
x
  


Ejemplo

2
3 2
1 6 9
x
dx
x x

 
 
 
2 2
1 6 9 6 18
6 3 1
u x x du x dx
du x dx
      
   
2 2 2
3 1 3 3 1
3
1 6 9 1 6 9 1 6 9
x x dx
dx dx
x x x x x x
  
 
       
2
2
1 1
3 1 1
61 6 9
1 1
ln ln1 6 9
6 6
x du
dx
ux x
u C x x C

 
 
       
 
Ejemplo

 
 
2 2
2
3 3
1 6 9 9 6 1 1 1
3
2 3 1
dx dx
x x x x
dx
x
  
      
 
 
 

 
22
2
3 1 3 1 3
2 2
u x u x du dx
a a
      
  

2
2
3 2 1
ln1 6 9
61 6 9
1 2 3 1
ln
2 2 2 3 1
x
dx x x
x x
x
C
x

    
 
 
 
 

 
2 2 2
2 2
3
2 3 1
1 1 2 3 1
ln ln
2 2 2 2 3 1
dx du
a ux
a u x
C C
a a u x
  
 
  
     
  
 

2
3
2
x
dx
x x



 
 
2
2 2 2
2 1
u x x du x dx
du x dx
    
  
2 2 2
3 1
2
2 2 2
x x dx
dx dx
x x x x x x
 
 
  
  
Ejemplo
2
1 2
2
x
dx
x x
 



1
2
2
1
2
2
1
1 1 1
;
2 22
1
2
12
2
x du
dx u du
ux x
u
C x x C



    
  
 
2 2 2
2 2 2
2 2 1 1 1 1
dx dx dx
x x x x x
 
     
  
 
22
1 1u x u x du dx      

 
2 2
22 2
2
2
2 2ln
2ln 1 1 1
du
u u a C
u a
x x C
   

     

 
2
22
3
2
2 2ln 1 1 1
x
dx
x x
x x x x C



       

2
1 1a a  

3
20 cos
senx
dx
x


cosu x du senxdx   
1
2
2 2
1
1cos
senx du u
dx u du C C
ux u


        
  
2
1
coscos
senx
dx C
xx
 
Ejemplo

3
3
20
0
1
coscos
1 1 1 1
2 1 1
1cos0 1
cos
3 2
senx
dx
xx



 
  
 
      

3
20
1
cos
senx
dx
x

 

5
32
3 21
1 1
1 dx
x x
 
 
 

2 3
1 2
1u du dx
x x
    
8 8
5 3 3
3
2
1 1 3 1
1
82 2 16
3
u
u du C C
x
 
        
 

Ejemplo

2
5 8
3 32
3 2 21
1
8 8
3 3
1 1 3 1
1 1
16
3 1 3 1
1 1
16 4 16 1
dx
x x x
 
              
 
   
       
   

     
 
8 8
3 3
3 3
1.25 2 0.1875 1.813
16 16
0.1875 6.35 0.3399 1.190625
    
   
5
32
3 21
1 1
1 0.85dx
x x
 
   
 


senh x
dx
x

2
2 2cosh
dx
u x du
x
senhudu u C
  
  
2cosh
senh x
dx x C
x
  
Ejemplo

Ejemplo
3
cosh xdx
 2 2
cosh cosh 1 senh coshx xdx x xdx   
2
cosh senh coshxdx x xdx  
senh coshu x du xdx  
3
2
3
u
du u du u C      
3
3 senh
cosh senh
3
x
xdx x C   

Ejemplo
3
3
21
x
e
dx
x
2
3 3
u du dx
x x
   
3
3
2 2
1 3 1 1
3 3 3
x
u ux
e
dx e dx e du e C
x x
 
        
 
  
3
3
2
1
3
x
x
e
dx e C
x
  
 
3
3
3
3
1 3 3
21
1
1 1 1 1
3 3 3 3
x
x
e
dx e e e e e
x
 
        
 


Ejemplo
3
cosh xdx
 2 2
cosh cosh 1 senh coshx xdx x xdx   
2
cosh senh coshxdx x xdx  
senh coshu x du xdx  
3
2
3
u
du u du u C      
3
3 senh
cosh senh
3
x
xdx x C   

Integración
por partes
Vincent Willem van Gogh (Países Bajos, 1853 -
Francia, 1890) Fue un pintor neerlandés, de los
principales exponentes del postimpresionismo.
Pintó 900 cuadros (de ellos 27 autorretratos y
148 acuarelas) y 1.600 dibujos. La figura central en
su vida fue su hermano menor Theo, quien continua
y desinteresadamente le prestó apoyo financiero
(“Noche estrellada”)

   u f x y v g x 
 udv d uv vdu 
udv uv vdu  
 d uv udv vdu 

2x sen x dx
cos2
; 2
2
x
u x du dx dv sen x dx v      
2 cos2
2
2 2
xcos x x
x sen x dx dx
 
    
 
 
2 1
2 cos2
2 2
xcos x
x sen x dx x dx   
2 2
2
2 4
xcos x sen x
x sen x dx C    

lnx dx
ln ;
dx
u x du dv dx v x
x
     
ln ln
dx
x dx x x x
x
 
   
 
 
ln lnx dx x x dx  
ln lnx dx x x x C   

2 3x
x e dx
3
2 3
2 ;
3
x
x e
u x du x dx dv e dx v     
 
2 3 3
2 3
2
3 3
x x
x x e e
x e dx x dx  
2 3
2 3 32
3 3
x
x xx e
x e d xe dxx   

3x
xe dx
3
3
;
3
x
x e
u x du dx dv e dx v     
3 3
3
3 3
3
1
3 3
3 9
x x
x
x x
x
xe e
xe dx dx
xe e
xe dx C
 
   
 

2 3 3 3
2 3 2
3 3 3 9
x x x
x x e xe e
x e dx C
 
    
 

2 3 3 3
2 3 2 2
3 9 27
x x x
x x e xe e
x e dx C    

lntansenx xdx
 
2
lntan
cos lntan c
sec
lntan
tan cos
co
os
co
s
s
x dx
u x du dx du
x senx x
dv senx dx
senx x dx
dx
x x x
senx x
v x
    
   
 
   



cos lntan cscx x x dx  
lntan
cos lntan ln csc cot
senx x dx
x x x x C
 
    

lntansenx x dx 
1
cos lntanx x dx
senx
 
    
 


 
2
1
x
xe
dx
x 

 
 
2
1
11
x x x
u xe du xe e dx
dx
dv v
xx
   
   

 
 
2
1
1 11
xx x
e xxe xe
dx dx
x xx

  
 
 
 
2
11
x x
xxe xe
dx e C
xx
   



Diferenciales trigonométricas
Alessandro di Mariano di Vanni
Filipepi (Florencia,1445 – 1510)
Apodado Sandro Botticelli. Su obra
se ha considerado representativa de
la gracia lineal de la pintura del
Renacimiento. El nacimiento de
Venus y La primavera son dos de las
obras maestras florentinas más
conocidas (Simonetta Vespucci)

2 2
3 cos 3sen x xdx
2 2
1 1 1 1
cos6 cos6
2 2 2 2
1 1 1 1
cos 6 cos 6
4 4 4 4
x x dx
x dx dx xdx
  
    
  
 
   
 

  

1 1 1 1
cos12
4 4 2 2
1 1 1
cos12
4 8 8
1 1
cos12
8 8
dx x dx
dx dx xdx
dx xdx
 
    
 
  
 
 
  
 
2 2 12
3 cos 3
8 96
x sen x
sen x xdx C   

5
cos x
dx
senx

 
 
1
4 2
1
2
2 2
1
2 4 2
1 3 7
2 2 2
cos cos
1 cos
1 2 cos
cos 2 cos cos
x sen x xdx
sen x sen x xdx
sen x sen x sen x xdx
sen x xdx sen x xdx sen x xdx





  
   
  



  

1 5 9
1 3 7 2 2 2
2 2 2
cos
2
2
1 5 9
2 2 2
u senx du xdx
u u u
u du u du u du C

  
       
1 5 95
2 2 2
cos 4 2
2
5 9
x
dx sen x sen x sen x C
senx
    

64
6
sec x dx


 
 
 
2
6 2 2
4 2 2
4 2 2 2 2
2
5 3
4 2
sec tan 1 sec
tan 2tan 1 sec
tan sec 2tan sec sec
tan sec
2
2
5 3
x dx x x dx
x x x dx
x x x x x dx
u x du x dx
u u
u du u du du u C
  
  
  
  
     
 


  

5 3 5 3
5 3 4
64
6
6
5 3
5 3
2 tan 2tan
tan
5 3 5 3
tan 2tan
sec tan
5 3
tan 2tan
4 4 tan
5 3 4
tan 2tan
6 6 tan
5 3 6
u u x x
u C x C
x x
x dx x




 

 

       
 
    
 
  
  


5 3
1 1
2
1 2 13 3
1
5 3 5 3 3
28 1 2 1 28 56
15 1545 3 9 3 3 45 3
   
   
        
     
64
6
sec 1.1482x dx

 

3
tan 4x dx
 
3 2
2
2
tan 4 tan 4 tan4
sec 4 1 tan4
tan4 sec 4 tan4
x dx x x dx
x x dx
x x dx x dx

 
 
 

 

2
2 2
1 1
2
tan4 4sec 4
1 1 tan 4
4 4 2 8
1
tan4 ln sec4
4
u x du x dx
u x
udu C C
x dx x C
  
   
 


2
3 tan 4 1
tan 4 ln sec4
8 4
x
x dx x C   

3 5
sec tanx x dx
 
 
3 5 2 4
2
2 2
2 4 2
6 4
2
sec tan sec tan sec tan
sec sec 1 sec tan
sec sec 2sec 1 sec tan
sec sec tan 2 sec sec tan
sec sec tan
x x dx x x x xdx
x x x xdx
x x x x xdx
x x x dx x x x dx
x x x dx

 
  
 

 


 


6 4
2
7 5 3
6 4 2
sec sec tan 2 sec sec tan
sec sec tan
2
2
sec sec tan
7 5 3
u
x x x dx x x x dx
x x x dx
u u u
u du u
x du x
du u du C
x dx
 

   

 
 
 

  
3 5
7 5 3
sec tan
sec 2sec sec
7 5 3
x x dx
x x x
C

   


Sustitución
trigonométrica
Leonardo da Vinci (Vinci, 1452 – Amboise, 1519). Pintor
florentino y notable polímata del renacimiento.
Anatomista, arquitecto, artista, , botánico, científico,
escritor, escultor, filósofo, ingeniero, inventor, músico.
Poeta y urbanista. Estudió con el célebre Andrea de
Verrocchio. Sus primeros trabajos fueron creados en
Milán, al servicio de Ludovico Esforza y después en
Roma, Bolonia y Venecia. Pasó sus últimos años en
Francia, cobijado por el rey Francisco I (La última
cena)

 
1
2 2 2
)i a u
a u
2 2
a u
 
1
2 2 2
)ii a u u
a
2 2
a u
 
1
2 2 2
)iii u a
u 2 2
u a
a
y
y
y

2
9 16x dx
2 2
2
9 ; 3 ; 3
16 ; 4
u x u x du dx
a a
  
 
2 21
3
u a du 
y
u
a
2 2
u a
2 2
sec
sec tan
tan
u a y
du a y y dy
u a a y


 

 
2 2
2 2
2 2
3
1
tan sec tan
3
sec tan sec sec 1
3 3
sec sec
3 3
a y a y y dy
a a
y y dy y y dy
a a
y dy y dy

  
 

 
 
3 2
2
sec sec sec
sec ; sec tan
sec ; tan
y dy y y dy
u y du y ydy
dv ydy v y

 
 
 

 3 2
3 3
3
3
sec sec tan sec sec 1
sec sec tan sec sec
2 sec sec tan sec
1 1
sec sec tan ln sec tan
2 2
y dy y y y y dy
y dy y y y dy y dy
y dy y y y dy
y dy y y y y C
  
  
 
    
 
  
 

3 2
sec sec tan sec tany dy y y y y dy  

2
2
2 2
1 1
sec tan ln sec tan
3 2 2
ln sec tan
3
sec tan ln sec tan
6 6
a
y y y y
a
y y C
a a
y y y y C
 
   
 
  
   

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
ln
6 6
ln
6 6
a u u a a u u a
C
a a a a
u u a a u u a
C
a
 
  
  
  
y
u
a
2 2
u a

2 2
3 9 16 16 3 9 16
ln
6 6 4
x x x x
C
  
  
2
2 2
9 16
9 16 8 3 9 16
ln
2 3 4
x dx
x x x x
C
  
  
  


2
2
1 4
x dx
x

2 2
2
4 2 2
1 1
u x u x du dx
a a
    
  
2
2 2
2 2 2 2 2
1 14
2 81 4
u
dux dx u du
x a u a u
 
  
  
2 2 2 2 2
cos
; cos
u aseny du a y dy
u a sen y a u a y
  
  
y
u
a
2 2
a u

2 2 2
2 2
1 1 cos
8 8 cos
u du a sen ya ydy
a ya u


 
2 2
2 1 1
cos2
8 8 2 2
a a
sen y dy y dy
 
   
 
 
2 2 2 2
cos2 2
16 16 16 32
a a a a
dy y dy y sen y C     

2 2
2 2
2 2 2 2
2 cos
16 32
cos
16 16
16 16
a u a
angsen seny y C
a
a u a
angsen seny y C
a
a u a u a u
angsen C
a a a
   
  

  
y
u
a
2 2
a u

2 2 2
2
2
16 16
1 2 2 1 4
16 1 16
1 1 4
2
16 8
a u u a u
angsen C
a
x x x
angsen C
x x
angsen x C

  

  

  
2 2
2
1 1 4
2
16 81 4
x dx x x
angsen x C
x

   



2
64 25
dx
x x 

2 2
2
2 2 22
64 8 8
25 5
1
864 25 64 25
8
u x u x du dx
a a
dx du du
ux x u u ax
    
  
 
 
  
y
u
a
2 2
u a 2
2 2
tan sec
sec
u a y du a y dy
a u a y
  
 

2
2 2
sec
tan sec
du a y dy
a y a yu u a


 
1
1 sec 1 1cos
csc
tan
cos
y dy y
dy y dy
senya y a a
y
    
1
ln csc coty y C
a
  

2 2
2
1
ln
1 64 25 5
ln
5 8
u a a
C
a u u
x
C
x

  
 
 
2
2
1 64 25 5
ln
5 864 25
dx x
C
xx x
 
  


1
ln csc coty y C
a
  
y
u
a
2 2
u a

Sustitución trigonométrica
del ángulo medio
Raffaello Sanzio (Urbino, 1483 – Roma,1520 ). Fue un pintor y
arquitecto italiano del Alto Renacimiento. Además de su labor
pictórica, que sería admirada e imitada durante siglos, realizó
importantes aportes en la arquitectura y, como inspector de
antigüedades, se interesó en el estudio y conservación de los
vestigios grecorromanos (La academia)

2
xz
1
2
1z 
2 22
2 2 cos
2 2 2
1
1
2
1 1
2
x x x
sen sen
z
z
senx
z
zz
 
  
 
 
 
tan
2
x
z 

2 2
2
2
2
2 2
2
cos
1
1
cos2 cos
2 2 2
1
1 1
tan 2 ta
2
2
1
n
x x x
sen
z
z z
x
ang
x
z
z
dz
d
z
x
z
x ang z
 
   
 
  
 

  




2
xz
1
2
1z 

2
cos
dx
senx x
 
   
2
2
2 2
2 2
22
2
22 1
2 1cos
1 1
4 4
2 1 2 1
4 4
2 1 1 1 2 1
dz
dx z
z zsenx x
z z
dz dz
z z z z
dz dz
z z z



 
 
    
 
      
 
 
 

 
 
22
2
2 2 2
1 1
; 2 2
4 4
2 1
1 2 2 1
4 ln ln
2 2 2 1
u z u z
du dz a a
dz du
a uz
a u z
C C
a a u z
    
    
 
 
  
  
  
 
2 1 tan
2 22ln
cos 2 1 tan
2
x
dx
C
xsenx x
 
  
  


Descomposición
en fracciones
racionales
Michelangelo
Buonarroti (Caprese,
1475– Roma, 1564),
Arquitecto, escultor y p
intor italiano renacentis
ta, considerado de los
más grandes artistas
de la historia tanto por
sus esculturas como
por sus pinturas y obra
arquitectónica.
Desarrolló su labor a lo
largo de más de
setenta años
entre Florencia y
Roma. Fue muy
admirado por sus
contemporáneos, que
le llamaban el Divino.
La escultura era su
predilecta y la primera
a la que se dedicó; a
continuación, la
pintura, casi como una
imposición por parte
del papa Julio II, y que
se concretó en una
obra excepcional que
magnifica la bóveda
de la Capilla Sixtina (La
piedad)

 
   
1 2
2
) ; 1
; 1,2, ,
n
n
n
i
i ax b n
A A A
ax b ax b ax b
A i n N
 
  
  
 
" "n
 
   
2 2
1 1 2 2
2 2
2 2
) ; 1 4 0
; 1,2,
n
n n
n
i i
ii ax bx c n y b ac
Ax B A x B A x B
ax bx c ax bx c ax bx c
A y B i n N
    
  
  
     
 

2
6
3 10
x
dx
x x

 
  
   
  
  
2
1 2
2
1 2
2
1 1 2 2
2
1 1 2 2
3 10 2 5
6
3 10 2 5
5 26
3 10 2 5
5 26
3 10 2 5
6 5 2
x x x x
A Ax
x x x x
A x A xx
x x x x
Ax A A x Ax
x x x x
x Ax A A x A
    

 
   
  

   
  
 
   
    

1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
6 5 2 5 2 6
A A A A
A A A A
   
 
       
2 2 1 1
1 1 8
7 1 ; 1
7 7 7
A A A A
 
          
 
 1 2 2 2
2 2
1 ; 5 1 2 6
5 5 2 6
A A A A
A A
      
     
2
8 1
6 7 7
3 10 2 5
x
dx dx dx
x x x x


 
     

2
6 8 1
3 10 7 2 7 5
x dx dx
dx
x x x x

 
     
1 1
8 8 8 8
ln ln 2
7 2 7 7 7
dx du
u C x C
x u
     
 
2
5
u x du dx
v x dv dx
   
   
2 2
1 1 1 1
ln ln 5
7 5 7 7 7
dx dv
v C x C
x v
         
 

 
2
8
6 8 1
ln 2 ln 5
7 73 10
21
ln
7 5
x
dx x x C
x x
x
C
x

     
 

 



3 2
4
2 1
1
x x x
dx
x
  

      
3 2 3 2 3 2
4 2 2 2
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
x x x x x x x x x
x x x x x x
        
 
     
        
3 2
2 2 2
2 1
1 1 1 1 1
x x x
A x x B x x Cx D x
   
       
3 2
4 2
2 1
1 1 1 1
x x x A B Cx D
x x x x
   
  
   

   
3 2
3 2 3 2 3 2
2 1
1 1
x x x
A x x x B x x x Cx Cx Dx D
   
          
3 2
3 2 3 2 3 2
2 1x x x
Ax Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx Dx D
   
          
1 1
2 2
1 1 1
1 1 1
A B C A B C
A B D A B D
A B C A B C C A B
A B D A B D D A B
      
         
 
          
             

1 1
1 2
A B A B
A B A B
    

     
1
2 2 2 4
4 1
2 2 3 5
4
A
A B
A
A B
B

   
    
   

1 5
1 0
4 4
1 5 1
1
4 4 2
C C
D D
     
      

3 2
4 2
2 1
1 1 1 1
x x x A B Cx D
x x x x
   
  
   
3 2
4
2
2 1
1
11 5 0
24 4
1 1 1
x x x
dx
x
x
dx dx
x x x
  

 
   
   
  

  

3 2
4
2 1
1
1 5 1
ln 1 ln 1 tan
4 4 2
x x x
dx
x
x x ang x C
  

      

 
3 2
4
5
2 1
1
11 1
ln tan
4 1 2
x x x
dx
x
x
ang x C
x
  



  



3
2 1
8
x
dx
x


  
  
    
3 2
22
2
2 2
2 1 2 1
8 2 2 4
2 1
2 2 42 2 4
2 1 2 4 2
2 1 2 4 2 2
0
2 2 2
1 4 2
x x
x x x x
x A Bx C
x x xx x x
x A x x Bx C x
x Ax Ax A Bx Bx Cx
A B
A B C
A C
C
 

   
 
  
    
      
  
 
  

  

 

2 4
1 4 2
1
3
2 4 5
1 3
121 4 2
5
12
A C
B A
A C
C
A C
C A
A C
B
 
  
 

 
    
   
 
3 2
2
5 15
2 1 12 312
8 2 2 4
5 1 5 4
12 2 12 2 4
x
x
dx dx dx
x x x x
dx x
dx
x x x
 

 
   

 
  
  
 

   
1
2
2 2
2 2
22
2
2
5 5
ln 2
12 2 12
2 4 2 2 2 1
5 4 5 5 5 4
2 4 2 4
1
5 9
2 4 2 4
1 5 5
5 ln
2 22 4
5
ln 2 4
2
dx
x C
x
u x x du x dx x dx
x x
dx dx
x x x x
x dx
dx
x x x x
x du
dx u C
ux x
x x C
  

       
   

   

 
   

  
 
   

 
 
 

 
 
2 2
2
2
22
2 4 2 1 1 4
1 3
3 ; 3
1 ; 1;
dx dx
x x x x
dx
x
a a
u x u x du dx

     

 
 
    
 

 
2 2 2 2
3 3
9 9 9
2 4 1 3
1 9 1
9 tan tan
3 3
dx dx du
dx
x x u ax
u x
ang C ang C
a a
    
   

      
  

3
2
2
2 1
8
5 1 5
ln 2 ln 2 4
12 12 2
9 1
tan
3 3
5 5
ln 2 ln 2 4
12 24
3 1
tan
4 3 3
x
dx
x
x x x
x
ang C
x x x
x
ang C




    

 
 

    

 


Sustituciones
diversas
Pierre-Auguste Renoir (1841 - 1919) Pintor francés impresionista. En sus creaciones muestra
la alegría de vivir, incluso cuando los protagonistas son trabajadores. Siempre son
personajes que se divierten en una naturaleza agradable. Trató temas de flores, escenas
dulces de niños y mujeres y sobre todo el desnudo femenino, que recuerda a Rubens por
las formas gruesas. (Almuerzo de remeros)

3
dx
x x

6 5
6x z dx z dz  
5 5 3
3 23 36 6
6
6 6
1
dx z dz z dz z dz
zz zx x z z
  
 
   

3
2
3 2
1
6 6 1
1 1
2 3 6 6ln 1
z dz
z z dz
z z
z z z z C
 
      
     
 
 
6
3 6 6
3
2 3 6 ln 1
dx
x x x x C
x x
      



1
1
x
dx
x



2
2x u dx udu  
2 3
3
2
1 1 2 2
2
1 11
2 2 4
2 2 4
1 1
x u u u
dx udu du
u ux
u u
du u u du
u u
  
 
 
  
      
  
 

2
3 3
2
2 2 4 4
1
2 2 2
4 4ln 1
1 3
du
u du udu du
u
u u u
du u u u C
u
   


     

   

1 2
4 4ln 1
31
x x x
dx x x x C
x

      



1x
dx
e 

2 2
1 1x x
e u e u    
2 tan 1
1
x
x
dx
ang e C
e
   


 2
2
2
2
2
ln 1
1
2
1 2 2 tan
11x
udu
x u dx
u
udu
dx duu ang u C
u ue
    

   

  

1x
dx
e 

1x x
u e du e dx   
   1 1 1 11
x
x x
dx du du
u u u u
e
ee
 
   
  
2
2u w du wdw  
  22
2
2 2 tan
11
wdw dw
ang w C
ww w
  
 
2 tan 1
1
x
x
dx
ang e C
e
   



MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESÁrea bajo
la curva
Pablo Ruiz y Picasso. (España,
1881 – Francia, 1973).
Pintor y escultor español, creador,
junto con Georges Braque y Juan
Gris, del movimiento cubista.
Participó desde la génesis en
muchos movimientos artísticos que
se propagaron por el mundo y
ejercieron una gran influencia en
otros grandes artistas de su
tiempo. Incansable y prolífico,
pintó más de dos mil obras,
presentes en museos y
colecciones de toda Europa y del
mundo. Abordó dibujo,
grabado, ilustración de libros,
escultura, cerámica y
diseño de escenografía y vestuari
o para teatro. Se
declaraba pacifista y comunista.
Fue miembro del PCE y Comunista
Francés hasta su muerte a los 91
años. (Retrato de Dora Maar)

3
0
2
x y x  
Calcular el valor del área limitada por
la gráfica de la función
el eje de las abscisas y las rectas
 f x senx

2

y senx
0x 
3
2
x


y
x

A

   
3
2
0
3
2
0
cos cos
3
cos cos0 cos cos
2
3
cos cos0 cos cos
2
1 1 0 1 3
A senxdx senxdx
A x x
A







 

 
 
         
 
      
 
    
       
 
2
3A u 

Calcular el valor del área limitada por la gráfica
de la siguiente función y el eje de las abscisas:
  2
4f x x 
y
x
4
2 2
2
4y x 
A

 
2
2
0
2 4A x dx 
 
3
2
2 4 2 4
3
x
A x dx x C
 
     
 

 
 
32
3
0
2
2 4 2 4 2
3 3
x
A x
  
     
    
28 32
2 8
3 3
A A u
 
    
 

Área entre
curvas
Amedeo Clemente
Modigliani (Livorno,
1884 – París, 1920)
Pintor y escultor
italiano,
perteneciente a la
denominada
Escuela de París.
Arquetipo del
artista bohemio, en
su vida hubo
estupefacientes,
alcohol, mujeres,
pobreza y
enfermedad, y sólo
alcanzó la fama
después de muerto
(Niña con trenzas).

   
b
a
A f x g x dx   
A
A
A
x
x
x
y
y
y
f
f
f
g
g
g

Calcular el valor del área de la región
limitada por las curvas:
2
4 1.5 1.5y x y x y    
2
4y x  
1.5 1.5x y 
A
y
x
 1, 3
 2.5, 2.25

 
 
2
4
1.5 1.5 1.5 1.5
y f x x
x y y g x x
   
     
   
 
2.5
2
1
2.5
3 2
2.5
2
1
1
4 1.5 1.5
1.5
1.5 2.5 2.5
3 2
A x x dx
x x
A x x dx x



     
 
 
        
 



   
 
   
 
3 2
3 2
2.5 1.5 2.5
2.5 2.5
3 2
1 1.5 1
2.5 1
3 2
5.2083 4.6875 6.25 0.3333 0.75 2.5
A
A
 
    
 
 
  
     
 
 
      
2
7.1459A u 

Calcular el área limitada, en el primer
cuadrante, por las gráficas de las curvas:
2
2 2 2
; ; ; 8
8
x
y x y y x y x   
 
 
2
4 3
2
2
4 3
2
1 0
0 0
1 1
8 8 0
8
0 0
2 4
y x
x x x x
y x
x y
x y
y x
x x x x
y x
x y
x y
 
    

  
 
  
 
    

  
 
  

 
 
2
4
3
2
2
4
3
2
64 08
64
0 0
4 2
8 512 08
64
8
0 0
8 8
x
y x
x x x
y x
x y
x y
x
y x
x x x
y x
x y
x y


    
 
  
 
  


    
 
  
 
  

1A
2A
3A
y
x
2
8y x
2
y x
2
8
x
y 
2
y x
 8, 8
 2, 4
 4, 2
 1,1

 
 
4
2
2
2
1
2
8
2
3
1
4
8
8
8
A x
x
A
x dx
A x x d
dx
x
x
 
  
 








2
3
1 3 22
2 2
1 1
1
2
3 3
8 4 2 1 2 4 2
3
3 3 3 3 3
x x
A x x dx
 
             
   
            

A u  2
1 1.114

 
 
4
3
1 1 24
2 2
2 2
2
2
2 2 2 2 1
3
16 4 2
2 2 1
3 3
x
A x x dx
 
             
 
    
 

A u  2
2 6.303

8
3
1 2 328
2
3 4
4
4 2
2 2
8 3 24
128 64 32 2 8
3 3 3 3
x x x
A x dx
 
             
  
          

2
1 2 3 16.332T TA A A A A u     
A u  2
3 8.915

Área en
polares
José Clemente Orozco (México 1883 -1949). Muralista y litógrafo mexicano,
nacido en Zapotlán actual Ciudad Guzmán, Jalisco y falleció en la Ciudad de
México. Graduado en la Escuela Nacional de Agricultura, estudió más
tarde matemáticas y dibujo arquitectónico. (Zapatistas)

 
2 21 1
2 2
A f d r d
 
 
      
 r f 2

A
0



Calcular el área interior a la circunferencia
de ecuación ; 0r a a 
2

3
2

0
r a
2
0
1
2
2
A a d


 
  
 

 
2 21 1
2 2
A f d r d
 
 
      
2 2
0
A a d A a

   

Calcular el área limitada por las curvas:
4 2r sen y r sen  
2

3
2

0
4r sen
2r sen

2 2 2
0 0 0
1 1
16 4 6
2 2
A sen d sen d sen d
  
         
0
0
1 1 2
6 cos2 6 6 3
2 2 2 2 2
sen
A d

   
  
     
         
     

2
3A u 

Calcular el área situada en el interior de la cardioide de
ecuación y arriba del eje polar2 2cosr  
2

A 2 2cosr  2

 0
2
2
4
A

 
2 21 1
2 2
A f d r d
 
 
      
 
 
2
0
2
0
1
2 2cos
2
1
4 8cos 4cos
2
A d
d


 
  
 
  


 2
0
0
2 4cos 2cos
1 1
2 4cos 2 cos2
2 2
d
d


  
  
  
  
     
  



 0
0
3 4cos cos2
2
3 4
2
A d
sen
sen


  

 
  
 
   
 

   
 2 02
3 4 3 0 4 0
2 2
sensen
sen sen

 
  
       
   
2
3A u 

Longitud
de arco
Diego María de la Concepción Juan Nepomuceno Estanislao de la Rivera y Barrientos
Acosta y Rodríguez (Guanajuato, 1886 - Ciudad de México, 1957). Muralista mexicano de
ideología comunista, famoso por plasmar obras de alto contenido social en edificios
públicos. Creador de diversos murales en distintos puntos del centro histórico de la Ciudad
de México, en la Escuela Nacional de Agricultura de Chapingo, y en ciudades
como Cuernavaca y Acapulco, San Francisco, Detroit y Nueva York. (La creación)

 
2
1 '
b
a
L f x dx    
2 2
dx dx
L d
d d



 
   
    
   

x
y
b a
f

a) Con la expresión que define la longitud
de arco cuando la función está expresada
en su forma explícita, es decir,
Verificar que la longitud de una
circunferencia de radio esr 2 r
 y f x
b) Mediante la expresión que define la
longitud de arco cuando la función está
dada por sus ecuaciones paramétricas

2 2 2
x y r 
y
x
r
rr
r
2 2
2 2
y r x
dy x
dx r x
 

 

22
2 20
1 4 1
b r
a
dy x
L dx L dx
dx r x
  
       
   
 
2 2 2 2
1
2 2 2 20 0
4 1 4
rx r x x
L dx dx
r x r x
 
  
  

2 2 2 20 0
4 4
r rr dx
dx r
r x r x
 
 
 
4
r
o
x
L r angsen
r
 
  
 
   4 1 0 4
2
L r angsen angsen r
 
      
 
2L r u 

cosx r y y rsen  
cos
cos
dx
x r rsen
d
dy
y rsen r
d
 

 

   
  
2 2
dx dy
L d
d d



 
   
    
   

2
0
4 2L r r

     
   
2 2
2 2
0 0
4 cos 4L rsen r d r d
 
        

Dada la función:
determinar la longitud de la curva
entre los puntos:
Graficar aproximadamente la curva
y señalar los puntos dados así como
la longitud pedida
 
2
3
2 4f x x 
   1, 2 8,4y

8
1
y
 
2
3
2 4f x x 
 1, 2
 8,4
x
y
4

2 1
3 3
1
3
4 4
2 4
3
3
dy dy
y x x
dx dx
x

     
 
82
21
3
16
1 ' 1
9
b
a
L f x dx dx
x
      
2 2
3 38 8
2 11 1
3 3
9 16 1 9 16
3
9
x x
dx dx
x x
 
  

2
3
1
3
1 9 16
3
x
dx
x


2 1
3 3
1
3
6
9 16 6u x du x dx dx
x

    
33
2 22
3
1 1 2 1
9 16
18 18 3 27
u
u du C x C
 
     
 

 
8
3
2 3 32
3 2 2
1
1 1 1
9 16 52 25 374.977 125
27 27 27
L x
 
                  
9.258L u 

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESLongitud de
arco en polares
José de Jesús Alfaro Siqueiros, más conocido como David Alfaro Siqueiros, (Ciudad de México; 29 de diciembre de 1896 –
Cuernavaca; 6 de enero de 1974) fue un pintor y militar mexicano. Es considerado uno de los tres grandes exponentes
del muralismo mexicano junto con Diego Rivera y José Clemente Orozco. (El pueblo a la universidad, la universidad al
pueblo)

   
2
2 2 2
'
dr
L f f d r d
d
 
 
   

 
           
 
 
0
2


  r f 

Calcular la longitud de arco de la gráfica de la
siguiente función en el intervalo considerado:
4cos ; ,
2 2
r
 
 
 
   
 
4cosr 
0
3
2


2
4
2


2 2 2
4cos 4 cos 4r r r x y x      
 
22 2 2
4 4 4 0 2 4x x y x y         
2
2 2 22
2
2 2
2 2
16cos 16
4 4 4
dr
L r d sen d
d
d



 
 
   

  

 
 
    
 
    
 

4L u 

Calcular la longitud de la rosa de tres pétalos de
ecuación 2 3r sen 

Para calcular su longitud basta con hacerlo con uno de
los pétalos y después el resultado se multiplica por tres
2
2 dr
L r d
d




 
   
 

2 23
0
2 3
4 3 36cos 3
6cos3
r sen
L sen ddr
d
d

  
 



  


La resolución de esta integral puede resultar sumamente
compleja, por lo que se recurre a un método numérico a
través de una computadora. La longitud de un pétalo,
solución de la integral definida dada y la total son
6.28 2 6RL L u L u     

Volúmenes de sólidos
de revolución (discos
Cilíndricos)
Rembrandt Harmenszoon van Rijn (Leiden, 1606 – Ámsterdam, 1669). Pintor y grabador
holandés. De los mayores maestros barrocos de la pintura y el grabado. Es el artista más
importante de la historia de Holanda. Su pintura coincide con la edad de oro holandesa.
Durante veinte años fue el maestro de todos los pintores holandeses. Entre sus mayores
logros creativos están los magistrales retratos que realizó para sus contemporáneos,
sus autorretratos y sus ilustraciones de escenas bíblicas. Por la empatía con que retrató la
condición humana, ha sido considerado "uno de los grandes profetas de la civilización

 y f x
y
x
y
 if 
ix
x
x
a
a
b
b

 
   
2
1
2 2
lim
n
i i
n
i
b b
a a
V f x
V f x dx f x dx
 
 


   
       

 
   
2 2d d
c c
V f y dy f y dy         

Calcular el volumen del cono truncado que
se genera al hacer girar, alrededor del eje
de las abscisas, la superficie limitada por las
siguientes rectas y hacer un trazo
aproximado de la superficie de giro, así
como del cono truncado cuyo volumen se
pide:
5 ; 0 ; 0 ; 3y x y x x    

cono
truncado
3x 
5y x 0x 
0y 
5
53
xx
y y

 
2b
a
V f x dx    
 
3
3
2
0
25 5 75 45 9 39
3
x
x x  
 
       
 
3
122.52V u 
   
3 32 2
0 0
5 25 10x dx x x dx      

Calcular el volumen que se genera al hacer girar la
superficie limitada por las gráficas de las curvas cuyas
ecuaciones son alrededor del eje2
4y x y y  5y 
x
4
y
x
eje de giro
4y 
5y 
2
y x
2 2

   
2 2 22
0
2
2 4
0
2 5 5 4
2 25 10 1
V x dx
x x dx


    
  
     


2
3 5
0
10
2 24
3 5
80 32 832
2 48
3 5 15
x x
V x
V

 
 
   
 
 
    
 
3
174.254V u 

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESVolúmenes de
sólidos
de revolución
(cortezas
cilíndricas)
Magdalena Carmen Frida Kahlo Calderón (México, 1907 – México,1954). Pintora
mexicana. Casada con Diego Rivera, su vida estuvo cruzada por el infortunio de una
enfermedad infantil y por un grave accidente en su juventud que la sometió a 32 cirugías.
Su obra pictórica gira temáticamente en torno a su biografía y a su sufrimiento. Fue
autora de unas 200 obras, principalmente autorretratos. Su obra está influenciada por
Diego Rivera, con el que compartió su gusto por el arte popular mexicano de raíces
indígenas. Gozó de la admiración de pintores e intelectuales como Pablo Picasso, Wassily
Kandinski, André Bretón o Marcel Duchamp. (Las dos Fridas)

y
y
x
x
a
a
b
b
ix1ix 
i
 if 
f
fix

eje de revolución
eje de
revolución
   2
d
c
V p y q y dy  
   2
b
a
V p x q x dx  
 q x
 q y
 p y
b
 p x
a
c
d
y
x
x

¿Cuál es su volumen? (magnitudes
en metros). Utilizar para el cálculo los dos
métodos, el de las cortezas cilíndricas y el de
los discos
2
2 ; 4 4
8
x
y x    
" " " "x y y
Se construye un depósito de combustible
cuya forma se obtiene al hacer girar
alrededor del eje de las abscisas, el
segmento de la parábola

8 m
4 m x
y
2
2
8
x
y  

   2
d
c
V p y q y dy 
   2 4 4 2 ;q y x y p y y   
y
2 4 2x y 
2
2
8
x
y  
dy
y
x
4 4
2
Cortezas

 
2 2
0 0
2 4 4 2 8 4 2V y y dy V y y dy      
4
4 2 ; 4 2 2 ;
2
u
y y dy u y du dy y

      
 
1 3
2 2
1 4 1 1
4 4
2 2 4 4
u
u du u u u du u u du
 
       
 
  
3 5
3 52 2
2 2
1 4 2 1
3 54 3 10
2 2
u u
C u u C
 
 
        
 
 
   
3 5
2 2
2 1
4 2 4 2
3 10
y y C    

   
2
3 5
2 2
0
2 1
8 4 2 4 2
3 10
V y y
 
     
 
   
3 5
2 2
2 1
8 4 4
3 10

 
  
 
16 32
8
3 10
V 
 
  
 
3
53.62V m 

2
2
8
x
y  
y
x
dx
2
2
8
x
y  
44
2
 
2
2 2
2 2
4 4
4 0
2 2 2
8 8
b
a
V f x dx
x x
dx dx

 

   
   
      
   

 
Discos

2
2 2 4 3 5
2 4 4
8 2 64 6 320
x x x x x
dx dx x C
   
          
   
 
4
3 5
0
64 1024
2 4 2 16
6 320 6 320
x x
V x 
   
       
  
3
53.62V m 

En la ciudad de San Luis Missouri, EUA, se
construyó un arco que posee la forma de una
catenaria invertida. En el centro tiene de
altura y de extremo a extremo en la base hay
una longitud de . La forma del arco
obedece, en forma aproximada, a la curva de
ecuación:
192 m
192.28 m
231 39cosh
39
x
y
 
   
 
Determinar la longitud total del arco, así como
el área total bajo el mismo

231 39cosh
39
x
y
 
   
 
El Arco Gateway, o la Puerta hacia el Oeste, es la parte más importante
del Monumento a la Expansión Nacional de Jefferson enSan Luis
Misuri. Se construyó como un monumento conmemorativo de
la expansión hacia el oeste de los Estados Unidos

231 39cosh
39
x
y
 
   
 
 96.14,0  96.14,0
 0,192
y
x
2
96.14
0
2 1
dy
L dx
dx
 
   
 


2
2
231 39cosh ;
39 39
39
x dy x
y senh
dx
dy x
senh
dx
   
      
   
   
    
   
96.14
2
0
2 1
39
x
L senh
 
   
 

96.14
96.14
0
0
cosh 2 39
39 39
x x
dx senh
    
     
    

455.52L m

 
96.14
0
2A f x dx 
96.14
0
2 231 39cosh
39
x
A dx
  
    
  

 
96.14
2
0
2 231 39 2 22,208.34 8,882.63
39
x
x senh
  
     
  
2
26,651.42A m 

Muchas
gracias
Pablo García y Colomé
Blog “colomenta”
Yo gané,
¿verdad?

¡Ay UNAM, qué
emoción vivirte!

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