3. 1.Teoremas fundamentales - Ángulos
Contenidos
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
1.2 Igualdad de ángulos inscritos
1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
1.5 Teorema del ángulo exterior
1.6 Teorema del ángulo interior
4. 2.3 Teorema de las tangentes
2.4 Teorema de las cuerdas
2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
2. Teoremas fundamentales - Trazos
2.1 Teorema de las secantes
2.2 Teorema de la tangente y la secante
5. 1. Teoremas fundamentales (ángulos)
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la
circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 40º, entonces α = 40º
O: centro de la circunferencia
40°
6. Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y
mide la mitad del arco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 50º, entonces α = 25º
50°
7. Corolario:
Si un ángulo inscrito y un ángulo del
centro subtienden el mismo arco,
entonces el ángulo del centro es el
doble del ángulo inscrito.
2α
Además, se cumple que:
α = γ + δ
8. Ejemplo:
En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del
centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB
mide 35°.
70°
O: centro de la circunferencia
9. 1.2 Igualdad de ángulos inscritos
Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo
arco, éstos son iguales.
α = β = γ
10. 1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es
rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.
180°
O: centro de la circunferencia
11. 1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia,
los ángulos opuestos son suplementarios.
α + β = 180°
γ + δ = 180°
Ejemplo:
12. 1.5 Teorema del ángulo exterior
Si α es ángulo exterior de la circunferencia,
entonces:
13. 1.6 Teorema del ángulo interior
Si α es ángulo interior de la circunferencia,
entonces:
14. 2. Teoremas fundamentales (trazos)
2.1 Teorema de las secantes
Sean PA y PB dos secantes, entonces:
PA ∙ PD = PB ∙ PC
15. Ejemplo:
12
20
6
x
12 ∙ PD = 20 ∙ 6
12 ∙ PD = 120
PD= 10
PA ∙ PD = PB ∙ PC
En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.
PA y PB secantes.
16. 2.2 Teorema de la tangente y secante
Sean PA una tangente y PC una secante, entonces:
(PA)2
= PC ∙ PD
17. 2.3 Teorema de las tangentes
PA = PC
Sean PA y PC dos tangentes, entonces:
18. 2.4 Teorema de las cuerdas
Sean AB y CD dos cuerdas, entonces:
AP ∙ PB = CP ∙ PD
19. 2.5 Cuadrilátero circunscrito
a + c = b + d
5 + c = 7 + 8
c = 10
Ejemplo:
Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia,
entonces:
