Este documento trata sobre la aplicación de la derivada para resolver problemas de optimización. Explica conceptos clave como extremos locales y números críticos. Luego, presenta el criterio de la derivada primera para determinar extremos locales de una función, así como la estrategia para hallar los extremos absolutos en un intervalo determinado evaluando la función en los números críticos y extremos del intervalo.
2. Objetivos
Que el alumno logre:
• Resolver problemas de optimización mediante la
aplicación de la derivada.
• Graficar una función mediante la aplicación de
herramientas estudiadas en análisis matemático
3. Contenidos Previos
Extremos locales o relativos
f(c.) es un mínimo local (o relativo) de f si existe un
intervalo I, que contenga a c, tal que f(c)≤f(x) x I
f(c) es un máximo local (o relativo) de f si existe un
intervalo I, que contenga a c, tal que f(c)≥f(x) x I
5. Observaciones:
Un extremo local no tiene porque ser
absoluto.
f(c1) es un máximo
local, no absoluto.
f(c2) es un mínimo
local, no absoluto
0 c1 c2 x
y
f(c1)
f(c2)
f(x)
6. Si f está definida en [a;b], los extremos
locales no pueden ser ni f(a) ni f(b).
0 a b x
[ ]
y
f(b)
f(a)
f(x)
f(a) mínimo absoluto, no relativo,
ya que no existe un intervalo
abierto I que contenga a a, tal que
f(a) f(x) x I
f(b) máximo absoluto, no relativo,
ya que no existe un intervalo
abierto I que contenga a b, tal que
f(b) f(x) x I
7. Todo extremo absoluto que una función
presenta en un punto “interior” de su
dominio es también extremo local.
0 a c d b x
y
f(c)
f(d)
f(x)
f(c) es máximo absoluto y
relativo.
f(d) es mínimo absoluto y
relativo.
[a c d b]
8. Extremos absolutos
Los extremos absolutos
se producen en puntos
donde hay extremos
locales o en los extremos
del intervalo de definición.
a b
x
0
c
m=
f(c)
M=
f(b)
y
f(x)
9. Extremos locales y derivada
a e f0
y
f ’(a) = 0
f ’(e) = 0
no f ’(f)
f(x)
10. Teorema del Extremo Interior
Si f tiene un extremo local en
x=c f´(c)= 0 ó no existe f´(c)
Observación:
El proposición recíproca no es válida.
11. y
0 c x 0 c x
y
f ’(c) = 0 o f ’(c) f(c) es extremo
12. Número crítico
Si f está definida en c, se dice que c es un
número crítico si f´(c)= 0 ó no existe f´(c).
(Es decir un número crítico, es un posible
extremo relativo)
Observación: Con esta definición el teorema
anterior se puede expresar:
“Si f tiene un extremo relativo en x=c,
entonces c es un número crítico de f ”
13. Crecimiento
Si f es una función continua en [a;b] y derivable en (a;b),
entonces:
a) f’(x) > 0 x en (a;b) f es creciente en [a;b]
b) f’(x) < 0 x en (a;b) f es decreciente en [a;b]
c) f’(x) = 0 x en (a;b) f es constante en [a;b]
x
y
14. Determinación de los extremos
relativos
Hemos visto que el signo de la derivada primera
de una función determina los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de la misma.
Esta información nos permite detectar los valores
de la variable donde se producen los extremos
locales de la función.
15. Ejemplos
y y
0 c1 x 0 c2
x
f(x) g(x)
creciente decreciente decreciente creciente
máximo local en c1 mínimo local en c2
16. Y y y
0 c1 x 0 c2 x
h(x) t(x)
creciente decreciente decreciente creciente
máximo local en c1 mínimo local en c2
17. Teorema
Criterio de la derivada primera para la
determinación de extremos locales
Consideremos una función f continua en [a;b] y derivable
en (a;b) excepto quizás en c (a;b).
a) Si f´(x) > 0 en (a;c) y f´(x) < 0 en (c;b) entonces f
tiene un máximo local en c.
b) Si f´(x) < 0 en (a;c) y f´(x) > 0 en (c;b) entonces f
tiene un mínimo local en c.
18. Procedimiento práctico para la
determinación de extremos locales
Obtener los puntos críticos de f.
Aplicar el criterio de la derivada primera
para la determinación de los extremos
locales.
20. f ’(x) = 0 x = 1 x = -1
números críticos
• Crecimiento
f ’(x) = , el denominador es siempre positivo
por lo tanto el signo de la derivada primera lo determina
el numerador, luego:
f ’(x)>0 x2-1 > 0 x>1 x<-1
f ’(x)<0 x2-1 < 0 -1<x<1 y x 0
2
2
x
x 1
0 Dom(f)
1x2
-1 0 1
21.
f’(x)>0 -1 f’(x)<0 1 f’(x)>0
f crece f decrece f crece
en x = -1 hay un
máximo local y
ML= f(-1)=-2
en x =1 hay un
mínimo local y
mL= f(1)=2
22.
-1 0 1 x
Dom(f) = R – {0} Bosquejo de la función
-2
2
f crece f decrece
f decrece f crece
24. • Crecimiento
f ’(x) > 0 12x(x-1)2 > 0 x > 0 y x 1
f ’(x) < 0 12x(x-1)2 < 0 x < 0
f ’(x)<0 0 f ’(x)>0 1 f ’(x)>0
f decrece f crece f crece
en x = 0 hay un
mínimo local y
mL= f(0)=0
en x =1 no hay
extremo local
26. Estrategia para hallar extremos absolutos
de una función continua en un intervalo [a;b]
Hallamos los números críticos c (a;b).
Calculamos el valor de la función en esos
números y en los extremos del intervalo.
El mayor de esos valores es el máximo y
el menor el mínimo absoluto.
27. Ejemplos
Sea f(x) = 2x4 - 3x3 en [-1;1], hallemos los extremos
absolutos:
f ’(x) = 8x3-9x2
• f ’(x) = 0 x2(8x-9) = 0 [ x= 0 x= 9/8 ]
• f ’(x) está definida x
Luego, el único número crítico en (-1;1) es x = 0
28. Evaluamos a la función en las abscisas del único punto
crítico obtenido y en las de los extremos del intervalo:
f(-1)= 5
f(0) = 0
f(1) = -1
Finalmente concluimos…
máximo absoluto es M= f(-1)= 5
mínimo absoluto es m= f(1)= -1
29. Veamos otro ejemplo…
Sea f(x) = 3(x-8)2/3 en [7;9], hallemos los extremos
absolutos.
f ’(x) = 2(x-8) -1/3 =
f ’(x) 0 x en (7;9)
f ’(x) no está definida para x=8
Luego, el único número crítico en (7;9) es x = 8
3
8x
2
30. f(7) = 3
f(8) = 0
f(9) = 3
Finalmente concluimos……
máximo absoluto es M= f(7)= f(9) = 3
mínimo absoluto es m= f(8)= 0
Evaluamos a la función en las abscisas del único punto
crítico obtenido y en las de los extremos del intervalo:
