Ejercicios desarrollados de razones y proporciones

1. Introducción
Tanto en la vida diaria como en las operaciones comerciales es necesario comparar cosas, ya que algunos enunciados que
involucran números, tienen un significado muy restringido si no se comparan con otros o con otras cantidades En la
siguiente presentación usted podrá apreciar lo que son las Razones y Proporciones, aparte de ejercicios de explicación y
aplicación.
RAZONES Y PROPORCIONES
1) Razón o relación .- Es el resultado de comparar 2
números o cantidades por medio de una diferencia o de un
cociente
1
A A B R (Razón Aritmética)
12 4 8 (Razón Aritmética)
G
A
R
B
 (Razón Geométrica)
12
3
4
 (Razón Geométrica)
Ejemplo aplicativo
 comparar las edades de Manuel y Natalia, si Manuel tiene
48 años y Natalia tiene 16 años
 Comparamos dichas edades mediante una sustracción.
48-16=32. Nos da a entender que la edad de Manuel es
mayor o excede a la edad de Natalia en 32 años.
 Comparamos dichas edades mediante una división.
ퟒퟖ
= ퟑ
ퟏퟔ
. Nos da a entender que la edad de Manuel es 3 veces o
es el triple de la edad de Natalia.
OJO: En estadística se usa mucho la comparación por
cociente y se le llama simplemente RAZON.
2) Proporción.- Es la igualdad de 2 razones aritméticas o
geométricas.
2.1) Proporción Aritmética.- Es la igualdad de 2 razones
aritméticas.
a b  c  d . Es de 2 clases:
a) P. A. Discreta.-Cuando todos sus términos son
diferentes.
a b c d d    
ta
y 2 son

10 4 8 2 4 diferencial
   
Propiedad Básica:
a  d  b  c; 10 2  48
b) P. A. Continua.- Cuando sus términos medios son
iguales.
a b  b c
b Es media aritmética o media diferencial.
c Es la tercia aritmética o tercia diferencial.
Dónde, además ; s i des pejamos “b” s e obtiene:
풃 =
풂 + 풄
ퟐ
2.2) Proporción Geométrica.- Es la igualdad de 2 razones
geométricas
a c 
se lee: a es a
b
b d como c es a
d
 
a y d : Términos extremos.
b y c : Términos medios.
a y c :Antecedentes.
b y d : Consecuentes
a c
b d
era da 1 razón 2 razón
 
2.2.1) Clases de Proporciones Geométricas.-Son de 2
clases:
a) P. G. Discreta.- Todos sus términos son diferentes.
ta 12 8 y 6 son 4
a c d
b d
 
;
 
9 6 proporcional o geométrica
b) P. G. Continua.- Sus términos medios son iguales.
y 6 son media proporcional
b
9 6 o geométrica
a b
;
b c c
6 4 y 4 son tercera proporcional
o geométrica

  
PROPIEDADES
-En toda proporción geométrica, el producto de extremos es
igual al producto de medios, es decir:
퐚
퐜
=
→ 퐚 × 퐝 = 퐛 × 퐜
퐛
퐝
-En una proporción geométrica continua, la media
proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los
extremos, así:
퐚
퐛
=
→ 퐛 = √퐚 × 퐜
퐛
퐜
OBS: Si no se determina que tipo de razón o proporción se
establece en un problema, se asume que es GEOMÉTRICA.
Serie de Razones Equivalentes (S.R.E).-
1) Serie Aritmética:
*S.R.E.A Continua: Forma General:
a – b = b – c = c – d = d – e =. . .
*S.R.E.A. Discreta: Forma General:
a – b = c – d = e – f = …
2) Serie Geométrica:
* S.R.E.D. Continua: Forma General:
k
a
d
   
e
c
d
b
c
b
* S.R.E.G. Discreta: Forma General:
k
a
e
  
f
c
d
b
NOTA: Propiedades de las Series Geométricas:
Dado: a
e
  
k
f
c
d
b
a  c 
e
1) k
b d f

 
a c e N 
 
  N = N° de razones
2) K ;
b d f
P P P
a  C 
e
3) P
P P P
K
b d f

 
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sí
3
11
m
n
 . Además m n  700. Halle la diferencia
de los números.
a) 300 b) 350
c) 500 d) 400 e) 450
2. La razón aritmética y geométrica de 2 números son 30 y
5/2 respectivamente. Hallar el antecedente de dichas
razones.
a) 50 b) 40
c) 35 d) 60 e) 70

2. 2
3. Dos números están en la misma relación de 3 a 5. Si la
suma de los dos números es 16. Hallar el número menor.
a) 4 b) 3
c) 10 d) 9 e) 6
4. Si 18xy y
8
5
x
y
 . Hallar “ xy ”
a) 87 b) 68
c) 78 d) 98 e) 48
5. Las edades de Ana y María están en la misma relación
de 2 a 7, si el producto de dichas edades es 224. Hallar
la suma de sus edades.
a) 36 b) 26
c) 16 d) 10 e) 4
6. En una proporción geométrica continua la suma de los
extremos es 45 y su diferencia 27. Hallar la media
proporcional.
a) 16 b) 18
c) 20 d) 24 e) 36
7. Si las razones aritméticas de los términos de la primera
y segunda razón de una proporción geométrica son 10 y
50 respectivamente. Determinar en qué relación
estarían la diferencia y la suma de los consecuentes de
dicha proporción.
a) 3/2 b) 5/4
c) 2/5 d) 2/3 e) 5/3
8. Sabiendo que la media proporcional de 3 y 27 es a la
tercera proporcional de “ a ” y 36 como 1 es a 3. Hallar “
a ”.
a) 18 b) 24
c) 36 d) 48 e) 58
9. Si 8 es la cuarta diferencial de “ ,y a b c ”, además
bc y 36 es la tercera diferencial de “ 4a ” y 48.
Hallar el máximo valore de “ b ”
a) 11 b) 12
c) 13 d) 16 e) 17
10. En un s alón de clas e hay “ n ” alumnos entre varones y
mujeres . Si el número de varones es a “ n ” como 5 es a
12 y la diferencia entre el número de mujeres y el
número de varones es 18. ¿Cuál es la relación entre
varones y mujeres, si se retiran 13 mujeres?
a) 10/9 b) 5/4
c) 6/11 d) 9/10 e) 11/9
11. Las edades de dos personas suman 55 años y dentro
de 5 años estarán en la razón de 4 a 9, ¿cuál es la edad
del menor?
a) 25 b) 30
c) 35 d) 20 e) 15
12. A una fiesta, concurren 400 personas, entre varones y
mujeres: hay 3 varones por cada dos mujeres. Luego de
dos horas, se observa que hay 2 hombres por cada
mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron?
a) 80 b) 68
c) 72 d) 90 e) 82
13. Si:
a. b. c = 1 120 y
2
a
=
7
b
=
10
c
. Hallar a + b + c
a) 28 b) 32
c) 38 d) 19 e) 26
14. Si:
m
2
=
n
5
=
p
8
=
q
10
. Además: nq − mp = 306.
Entonces: p + q − m − n es igual a:
a) 11 b) 22
c) 33 d) 44 e) 55
15. Sean
3
푃
=
푃
퐸
=
퐸
푅
=
푅
푈
=
푈
96
. Calcular: E
a) 12 b) 6
c) 18 d) 24 e) 36
16. Las edades de Javier, Cesar y Miguel son proporcionales
a los números 2; 3 y 4. Si dentro de 9 años sus edades
serán proporcionales a 7; 9 y 11 respectivamente. Hallar la
edad actual de Cesar.
a) 15 años b) 16 años
c) 17 años d) 18 años e) 19 años
17. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la
suma de sus cuatro términos es 160. Hallar el valor de la
razón aritmética. Sabiendo que los extremos son entre sí
como 11 es a 5.
a) 15 b) 6
c) 8 d) 50 e) 24
18. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la
suma de sus cuatro términos es 360. Hallar el valor de la
razón aritmética. Sabiendo que los extremos son entre sí
como 7 es a 2.
a) 4 b) 6
c) 8 d) 50 e) 24
19. Si se aumenta una misma cantidad a los números 20; 50;
100 se forma una proporción geométrica continua cuya
razón es:
a) 1/2 b) 4/3
c) 2 d) 1/3 e) 3/5
22. Si 45 es la cuarta diferencial de a, b y c, además. 140 es la
tercera diferencial de 2a y 160. Hallar la media aritmética
de b y c.
a) 14 b) 67,5
c) 15 d) 12,5 e) 11,5
24. Calcular:
 La media diferencial de 14 y 4.
 La cuarta diferencial de 25; 12; y 16.
 La tercera diferencial de 16 y 9.
 La media diferencial de 3,8 y 0,6.
 La cuarta proporcional de 16; 24 y 4.
 La media proporcional de 1 y 25.
 La tercera proporcional de 9 y 6.
25. Una ciudad está dividida en 2 es a 5 y B es a C
como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C
es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos
números?
a) 66 b) 55 c) 132
d) 121 e) 156
26. Se tiene la siguiente serie de razones
geométricas iguales:
c
10
b
7
a
5
 
Hallar la suma de los antecedentes
Si 3a + 2b – c = 76
a) 88 b) 78 c) 72
d) 66 e) 64