Universo de losSistemas Físicos                   U
Universo de losSistemas Físicos                         U                   Sistemas                   abiertos
Ecuación          d G = d H -TdS                de Gibbs                                                                  ...
Sistemas           Ualejados del equilibrio    Sistemas               abiertos
Condición de                                                    no equilibrio:                                            ...
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Intercambio                       ∑c                                                        i                             ...
MODELOS. LOS MODELOS TERMODINÁMICO Y CINÉTICO                        Son herramientas                                     ...
La descripción  matemática del                                                         ε1                N1cambio químico:...
La descripción termodinámica del cambio químico: elmodelo estadístico de     En el modelo estadístico de Boltzmann, el núm...
La descripción termodinámica del cambio    químico: procesos en equilibrio                                                ...
La descripción termodinámica delcambio químico: Energía libre de Gibbs                                                    ...
La descripción termodinámica del cambio químico: modelo del                                                               ...
Descripción matemática del cambio químico: El modelo cinético para     procesos unimoleculares                            ...
Descripción matemática del cambio químico: El modelo cinético para      procesos bimoleculares          Supongamos ahora u...
Descripción matemática del cambio químico:    Molecularidad y orden de reacción                                           ...
Ecuación de velocidad de  un proceso de orden ceroPese a su generalidad, la expresión obtenida en el apartado anterior res...
Ecuación de velocidad deun proceso de orden uno         Supongamos ahora el caso de un proceso     elemental, unidireccion...
Ecuación de velocidad deun proceso de orden dos     Se puede también considerar el caso de un     proceso de orden dos par...
Ecuación de velocidad de un proceso de orden uno para  dos constituyentes A y B                                           ...
Cálculo de losórdenes de reacción   Consiste en determinar cual de las ecuaciones    A                      de velocidad p...
Cálculo de las constantes                                        A partir de las formas integradas y                      ...
Ecuación de velocidad de un  proceso reversible elemental                                                                 ...
Los primeros modelos de                                     Hacia finales de siglo se hizo evidente que cinética enzimátic...
El modelo de Michaelis-Menten    de aproximación al equilibrioEn el modelo de Michaelis-Menten se parten de tres postulado...
Significado de la Km en el modelo de                                                  La denominada “constante de Michaeli...
Aproximación al estado estacionario:       Modelo de Briggs-Haldane                                                       ...
Modelo de Briggs-Haldane para       reacciones reversibles.                                                               ...
Extensión del modelo a múltiples      complejos intermediarios                                                            ...
Método de King y Altman                                                                                       Una forma al...
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  • De sabios excéntricos, enzimas diabólicas y sistemas endiabladamente complejos. Finales del siglo XIX. El edificio monolítico de las ciencias experimentales se convulsiona de nuevo como resultado de la irrupción inminente de la nueva física. De una parte, la mecánica relativista va a incidir directa y espectacular en el núcleo de la vieja mecánica. De otra, nuevos campos de desarrollo, como las mecánicas cuántica y estadística y la termodinámica de procesos irreversibles van a cuestionar de forma muy severa la visión determinista del pensamiento científico del siglo que termina y remover cimientos que probablemente muchos habían creído definitivamente consolidados. Es probable que la correspondencia personal entre James Klerk Maxwell y Boltzmann recoja, por aquel entonces, muchas de estas inquietudes y perspectivas apasionantes. Son dos de las mentes más lúcidas y creativas del momento. Han protagonizado, de hecho, un periodo brillante de nexo entre las físicas de ambos siglos, y como tal, han pasado la mayor parte de sus ya largas vidas reflexionando sobre muchas de las cuestiones centrales. Una de las cartas que Boltzmann recibe de su amigo Maxwell va a sumirlo, sin duda, en una honda reflexión. Se trata de una carta aparentemente absurda, en completa linea con la excentricidad creativa de su ilustre remitente:
  • “ Suponte un sistema termodinámicamente aislado de su entorno y constituido por dos recipientes conectados entre sí por un por una estrecha sección central. Suponte que en su interior hay una cierta cantidad de un gas a una temperatura dada. Suponte que existiera una criatura microscópica, una especie de diablillo travieso, capaz de discriminar la velocidad de las moléculas del gas. Suponte que la criatura, malévolamente, dejase pasar hacia un lado tan solo las moléculas rápidas y hacia otro tan solo las lentas. Al cabo, uno de los compartimentos se calentaría en tanto que el otro se enfriaría. Para un observador externo, el sistema habría discurrido espontáneamente hacia un estado más ordenado, lo que es inaceptable desde el punto de vista termodinámico”. La respuesta a esta paradoja clásica planteada por Maxwell hacia finales del siglo pasado habría de esperar décadas... En 1960 tuvo lugar la publicación de una obra polémica y trascendente: “El azar y la necesidad”. Jaques Monod comparaba en ella a las enzimas con los “diablillos” de Maxwell
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    1. 1. Universo de losSistemas Físicos U
    2. 2. Universo de losSistemas Físicos U Sistemas abiertos
    3. 3. Ecuación d G = d H -TdS de Gibbs UEnergía Entropía Sistemas libre Entalpía (orden) abiertos (calor) S(Q, c1, c2, ......cn) Materia Materia y Sistema y Energía abierto Energía Sistemas abiertos: La variación neta de dCi<>0 cada constituyente es no nula
    4. 4. Sistemas Ualejados del equilibrio Sistemas abiertos
    5. 5. Condición de no equilibrio: Sistemas Sistemas d G <> 0 U abiertos alejados del Condición de equilibrio Sistemas equilibrio: Sistemas alejados del abiertos equilibrio Condición de dG=0 estado estacionario: dG= constante AUTOORGANIZACIÓN: Estructuras disipativasPROPIEDADES EVOLUCIÓN: Susceptibilidad a fluctuaciones COMPORTAMIENTO CAÓTICO ESTABILIDAD ESTRUCTURAL
    6. 6. Sistemas Ualejados del equilibrio Sistemas abiertos Autómatas finitos
    7. 7. Sistemas U I alejados del O equilibrio AUTÓMATA Sistemas FINITO abiertosI = I(i1,i2,.........ik) • MEMORIAO = O(o1,o2,....ox) • APRENDIZAJES = S(s1,s2,........st) • OPTMIZACIÓN • COMPORTAMIENTOS Fs = f(I,S) “inteligentes” Autómatas Fo = f(I,S) • REDES NEURONALES finitos El diablo de Maxwell gasta una energía igual a la Teoría de la información que ha PROCESAMIENTO Información de utilizar: DE LA Shannon-Weaver: INFORMACIÓN dG = I I = -S * log2pi si dH = 0, es: -TdS = I
    8. 8. Sistemas Ualejados del equilibrio Sistemas abiertos Autómatas finitos Sistemas autorregulables
    9. 9. Sistemas Ualejados del equilibrio Sistemas RETROALIMENTACIÓN abiertos SISTEMAS ESTRUCTURALMENTE HOMEOSTASIS Autómatas ESTABLES finitos HOMEORHESIS Sistemas autorregulables
    10. 10. Sistemas Ualejados del equilibrio Sistemas abiertos Autómatas finitos Sistemas autorregulables Sistemas autorreplicativos
    11. 11. Sistemas Sistemas U alejados del equilibrio Bioquímicos Sistemas abiertos Autómatas finitos Sistema Autómatatermodinámico Información finito Sistemas alejado del autorregulable autorregulables equilibrio Fluctuaciones Sistemas autorreplicativos Estructura Sistema disipativa bioquímico en autoorganizable evolución Energía
    12. 12. Intercambio ∑c i i ≠ 0; de materia Procesos Intercambio enzimáticos de energía dG = dH − TdS Intercambio I = ∑ log 2 pi de información • Estequiometría y especies moleculares • Estereoquímica Fenomenológica • Mecanismos de reacciónDescripción del • Descripción mecanocuántica, etc..cambio químico • Modelos termodinámicos Formal • Modelos cinéticos
    13. 13. MODELOS. LOS MODELOS TERMODINÁMICO Y CINÉTICO Son herramientas Representan sistemas o conceptuales procesos observables Sirven para hacer predicciones Pueden simplificarse Modelos deliberadamente Pueden representar aspectos parciales o sesgados No son “verdaderos” o “falsos”: Son mejores o peores en función de su capacidad predictiva y de su alcance Modelos termodinámicos Informan sobre la extensión Procesos del proceso de cambio químico de cambio químico Modelos cinéticos Informan sobre la velocidad del proceso de cambio químico
    14. 14. La descripción matemática del ε1 N1cambio químico: el modelo termodinámico ε Er=ε2−ε1 En el modelo de Boltzmann, no todas las moléculas poseen exactamente igual energía. La energía poblacional representa un ε2 N2 valor representativo, de naturaleza estadística, en torno al cual se distribuyen las energías de cada molécula, según una distribución El punto de partida es el diagrama de energía. El característica (Distribución de cambio químico puede ser representado por el Boltzmann) transito de una población con N1 moléculas y un nivel energético ε 1 a (y desde) un nivel energético ε 2 en que hay N2 moléculas. N1 − ei El proceso será espontáneo (o, también, termodinámicamente favorable, o N ( ei ) ∝ e kT exergónico)cuando el balance de energía sea negativo (la energía final sea menor que la inicial). Para una dirección dada, la diferencia de energía se denomina energía de reacción (Er). Los procesos espontáneos muestran una energía de reacción negativa. Los procesos opuestos muestran energías de reacción numéricamente iguales, aunque con signo diferente. N2 Casi todas las moléculas de la población N1 pueden pasar a N2 (dado que la energía individual ei de casi todas ellas es superior a la energía característica del estado final ε 2. Por el contrario, ε2 ε ε tan solo una fracción de la población N2 posee la energía 1 suficiente para pasar a N1
    15. 15. La descripción termodinámica del cambio químico: elmodelo estadístico de En el modelo estadístico de Boltzmann, el número N(e) de moléculas que poseeen −e Boltzmann una cierta energía e puede calcularse a partir de la ecuación del Boltzmann. N ( e ) ∝ e kT Que también puede expresarse en términos molares (en lugar de en términos moleculares). En tal caso, es necesario considerar la energía E correspondiente a un mol de moléculas: E = e·A (donde −E A es el número de Avogadro). En tal caso, el número de moléculas que se encuentran a un cierto N( E ) ∝ e RT nivel energético e (siendo e = E/A), viene dado por: Donde R (constante de los gases perfectos) es definida en términos ∞ ∞ − E del producto: A·k N t = ∫ N ( E ) dE = ∫ a ⋅ e RT dE 0 0 E ∞ − Para calcular la constante de proporcionalidad (la denominaremos a N t = − aRT e RT = 0 − ( − aRT ) = aRT en lo sucesivo) se puede calcular el total de moléculas presentes 0 (Nt), para cualquier valor de energía comprendida entre 0 e ∞. Para Nt ello habrá que integrar la anterior función de partición. N t = aRT ; a = RT E Por lo que, finalmente, el número de moléculas al estado energético N t − RT N(E) = e E, viene dado por la expresión: RT E A partir de esta expresión, resulta facil calcular el número de ∞ ∞ N t − RT N ( E ≥ Ec ) = ∫ N ( E ) d E = ∫ e dE moléculas cuyo nivel energético es igual o mayor que un valor dado Ec Ec RT Ec. Para ello habrá que interar la expresión anterior entre los valores E ∞ Ec N − − Ec e ∞: N ( E ≥ Ec ) = t ( − RT ) e RT = Nt e RT RT Ec Ec − N ( E ≥ Ec ) = N t e RT
    16. 16. La descripción termodinámica del cambio químico: procesos en equilibrio ε1 El mismo razonamiento puede emplearse, por ejemplo, para calcular el número de moléculas de la población N2 con energía N1 suficiente para alcanzar el nivel E1. En este caso, y teniendo en cuenta el criterio de signos elegido, las moléculas tendrían que tener una energía igual o superior a –Er. Por consiguiente: − ( − Er ) Er -Er N ( E2 → E1 ) = N ( E ≥ − Er ) = N 2 e RT = N 2e RT Er Por otra parte, el número de moléculas que posee energía suficiente para sufror el proceso inverso, es decir, para pasar del nivel energético E1 al nivel E2, coincide prácticamente con N1: ε2 N2 N ( E1 → E2 ) = N ( E ≥ E2 ) ≅ N1 De modo que, si ambos procesos son posibles, se puede formular ε la condición de equilibrio como: Er E N2 − r N ( E1 → E2 ) = N ( E2 → E1 ) ⇒ N1 = N 2 e RT ⇒ = e RT N1 N2 E N2 ln =− r ⇒ Er = − RT ln ⇒ Er = − RT ln K eq N1 RT N1 Er = − RT ln K eq
    17. 17. La descripción termodinámica delcambio químico: Energía libre de Gibbs ∆G = ∆G p − ∆Gr = ∑ µ p i − ∑ µ r i = i i La expresión obtenida a partir de la mecánica estadística proporciona una explicación de las   propiedades termodinámicas idéntica a la que = ∑ µ 0 i + RT ∑ ln c pi −  ∑ µ r0 i + RT ∑ ln cri  = p puede derivarse a partir de modelos macroscópicos i i  i i  basados en energía libre y potenciales químicos. = ∑ µ 0 i − ∑ µ r0 i + RT ∑ ln c pi − RT ∑ ln cri = p i i i i La variación de energía libre asociada a un proceso de cambio químico es igual a la suma algebraica de ∏p i ∏p = ∆G 0 + RT ln i i los potenciales químicos asociados a cada una de las ∏r ∆G = ∆G + RT ln 0 i especies moleculares que intervienen en el proceso (reactivos y productos) i i i ∏r i Aplicando la condición de equilibrio (∆G=0), se obtiene: ∏p i 0 = ∆G 0 + RT ln i ⇒ ∆G 0 = − RT ln K eq Que se corresponde exactamente con la expresión ∏r i i obtenida a partir de la aproximación microscópica basada en las nociones de mecánica estadística La descripción anterior permite hacer predicciones acerca de la extensión con la que tiene lugar el proceso de cambio químico, pero sin embargo no proporciona información alguna acerca de la velocidad del proceso. De hecho, los que sugiere el diagrama de energías es que los procesos termodinamicamente favorables deberían suceder de forma espontanea e inmediata. Y eso no sucede en la realidad: muchos procesos termodinamicamente favorables tienen lugar a velocidades muy pequeñas. Para soslayar este hecho, el modelo anterior puede refinarse mediante la incorporación del denominado estado de transición, caracterizado por un estado intermediario más energético, que ha de ser alcanzado por las moléculas para pasar del estado inicial al final o viceversa.
    18. 18. La descripción termodinámica del cambio químico: modelo del Energía de activación N* estado de transición E3 característica del estado de transición Ea − Ea E1 N ( E1 → E2 ) = N ( E ≥ Ea ) = N1e RT N1Para pasar de E1 a E2, lasmoléculas de N1 tienen quesuperar la barrera de Eractivación (Ea). El número de Y el número de moléculas de N2, capaces de pasar a N1,moléculas viene dado por: (teniendo en cuenta el criterio de signos), viene dado por: E2 N2 ( E −E ) N ( E2 → E1 ) = N ( E ≥ Ea − Er ) = N 2 e − a r RT ε − Ea − ( Ea − Er ) − Ea − ( Ea ) ( Er )Aplicando la condición de N1e RT = N 2e RT ⇒ N1e RT = N 2e RT e RTequilibrio (ambos procesos se ( Er ) Eigualan), se obtiene una N2 − rexpresión idéntica a las N1 = N 2 e RT ⇒ = e RTencontradas anteriormente. N1Desafortunadamente, lamagnitud de la barrera de N2 E N2activación no queda reflejada ln =− r ⇒ Er = − RT ln ⇒ Er = − RT ln K eqen la expresión final que, N1 RT N1como ecuación de estado quees, no depende mas que del En tanto que las enzimas (y los catalizadores en general)estado inicial y del estadofinal del proceso inciden sobre el valor de Ea, el modelo resultante no resulta Er = − RT ln K eq especialmente útil para caracterizarlas
    19. 19. Descripción matemática del cambio químico: El modelo cinético para procesos unimoleculares N* E3 Ea E1 N1 En el modelo cinético, se parte de la hipótesis de que la velocidad de un proceso elemental es proporcional a la probabilidad de que una molécula se encuentre en un nivel energético igual o mayor a la energía de activación (Ea) del proceso: Er Ea E2 dN dN − N2v=− ∝ N ( E ≥ Ea ) ⇒ − ∝ N1 ⋅ e RT dt dt ε A temperatura constante, el factor de Boltzmann es también constante para un proceso definido. Su valor está incluido en la dN 1 1 constante macroscópica de velocidad: k. En efecto, y dividiendo − = k ⋅ N1 ⋅ ambos miembros de la ecuación anterior por el volumen, se obtiene dt V V la expresión convencional de la ecuación de velocidad para dX procesos elementales unimoleculares: − 1 = k ⋅ X1 v=k⋅X dt
    20. 20. Descripción matemática del cambio químico: El modelo cinético para procesos bimoleculares Supongamos ahora un proceso bimolecular en el que el proceso de cambio químico implica la colisión de dos moléculas (en general, diferentes) X1 y X2 para originar una tercera X3: X1 + X 2 → X 3La velocidad de un proceso bimolecular dependerá, en términos La probabilidad de que dos moléculasglobales, de dos factores diferentes: colisionen entre sí puede plantearse, en una • De la probabilidad de que una molécula se encuentre en un primera aproximación, como la probabilidad nivel energético igual o superior a la energía de activación Ea. de que ambas se encuentren en una misma posición determinada, en un instante • De la probabilidad de colisión entre una molécula de tipo X1 y determinado. una molécula de tipo X2  σ X1 La probabilidad Px1 de que una molécula se encuentre en un sitio determinado, en un PX 1 ( r , t ) ∝ instante dado, puede expresarse como: V Donde r es el vector de posición de la molécula y σx1 su volumen aparente. V  σ X2 PX 2 ( r , t ) ∝ representa el volumen de reacción y t, el instante considerado. Es intuitivo que a menor volumen efectivo, la probabilidad de encontrar a la molécula en un volumen de reacción dado, es menor: la molécula ofrece una “menor diana”. Una expresión V idéntica puede asumirse para la otra especie molecular X2:  σ X1 σ X 2 PX1 X 2 ( r , t ) ∝ De modo que la probabilidad de que ambas moléculas colisionen puede expresarse como la probabilidad combinada de ambos procesos:: V2 Y si se tienen N1 moléculas de X1 y N2 moléculas de X2, dX 3 σ X1 σ X 2 la probabilidad global de colisión sería: E - a A partir de aquí, la velocidad de un v= ∝ 2 N1 N 2 ⋅ e RT  σ X1 σ X 2 dt V v = k ⋅ X1 X 2 ( ) PX1 X 2 r , t ∝ 2 N1 N 2 proceso bimolecular puede expresarse dX 3 dX dX V como: = − 1 = − 2 = kX 1 X 2 dt dt dt
    21. 21. Descripción matemática del cambio químico: Molecularidad y orden de reacción X 1 + X 2 + ... + X n → X p Las expresiones anteriores pueden generalizarse para procesos con cualquier molecularidad, pese a que los procesos dX p dX i elementales con una molecularidad mayor de tres son poco v= =− = kX 1 X 2 ⋅ ⋅ ⋅ X n relevantes en el contexto de los procesos bioquímicos (la dt dt 1≤i ≤ n probabilidad de colisión triple es ya mucho menor). Así, para un proceso elemental n-molecular, se tendría, en general: X1 + X 2 + X 2 → X p Los coeficientes estequiométricos de cada una de las especies moleculares que intervienen dX p dX 1 1 dX 2en el proceso elemental aparecen en la expresión final de la velocidad como exponentes. Así, v= =− =−si consideramos, por ejemplo, un proceso trimolecular en el que deben colisionar dos dt dt 2 dtmoléculas de un mismo tipo con una tercera de otro tipo diferente, se tendría: v = kX 1 X 2 X 2 = kX 1 X 2 2 Como resumen de todo lo anterior, la ecuación general de un proceso elemental n-molecular, con aA + bB + cC + ..... → pP + qQ + .... diferente estequiometría para cada una de las especies moleculares implicadas, tendría la forma: 1 dA 1 dB 1 dP 1 dQ v=− =− = .... = = = ... a dt b dt p dt q dtCuando los procesos descritos no son procesos elementales, losexponentes a los que se elevan las concentraciones de cadaespecie molecular en la ecuación de velocidad no coinciden con v = k ⋅ Aa B bC c ...los coeficientes estequiométricos. En tales casos el orden decada constituyente no coincide con su molecularidad. Nisiquiera es, necesariamente, un número entero. Se habla v = k ⋅ A x B y C z ... = k ⋅ ∏ Riti R ⊂{ A, B ,C ,...}entonces de orden de reacción para cada constituyente o de i t ⊂{ x , y , z ,...}orden global del proceso, como la suma de los órdenes dereacción de todos los constituyentes. El modelo cinético queda k = constante de velocidaddescrito entonces si, y solo si, se conocen: v = k ⋅ ∏ Riti Ri= reactivos• La constante microscópica de velocidad ti= órdenes de reacción• Los órdenes de reacción de cada uno de los constituyentes i
    22. 22. Ecuación de velocidad de un proceso de orden ceroPese a su generalidad, la expresión obtenida en el apartado anterior resulta, frecuentemente, de una utilidad limitada en lapráctica. Se trata de una formalización en la que la dimensión temporal, por ejemplo, se encuentra en forma implícita.Para llevar a cabo predicciones acerca del comportamiento de las diferentes especies moleculares a lo largo del curso dela reacción es necesario proceder a la obtención de la forma integrada de la ecuación anterior en cada caso. aA + bB + cC + ... = P  v = k ⋅ ∏ Riti Supongamos, por ejemplo, el caso de  i un proceso elemental de orden cero: v = k ⋅ A x B y C z ...  a =1;b =c =.......=0; x = y = z =...= 0; dA v La ecuación de velocidad v=− = k ⋅ A0 B 0C 0 ... = k vendrá dada por: dt Cuya forma integrada resulta fácil de calcular: dA v=− = k ⇒ − dA = k ⋅ dt dt At = A0 − kt t At t ∫ A0 − dA = k ∫ dt ⇒ 0 At − A0 = −kt A Pend.=-k Si definimos vida media como el tiempo A0 necesario para reducir a la mitad la = A0 − kt1 2 -k concentración inicial del reactivo, su expresión 2 vendrá dada por: A 1 1 t1 2 = 0 ∝ −1 2k A0 t
    23. 23. Ecuación de velocidad deun proceso de orden uno Supongamos ahora el caso de un proceso elemental, unidireccional, de orden uno: v Pend.=k aA + bB + cC + ... = P  k  v = k ⋅ A x B y C z ...  a =1; b = c =.......= 0; 1 x =1; y = z =...= 0; A Su ecuación de velocidad vendrá dada por: dA At/A0 v=− = k ⋅ A1 B 0C 0 ... = k ⋅ A dt Y su forma integrada: dA dA v=− =k⋅A ⇒ − = k ⋅ dt At = A0 ⋅ e − kt t dt A At dA t A ∫A0 A 0 − = k ∫ dt ⇒ ln t = − kt A0 lnAt/A0 Pend.=-k A También puede, en este caso, considerarse el ln 0 = ln A0 − kt1 2 -k momento en que la concentración de reactivo 2 es la mitad de la inicial; esto es, la vida media. Su expresión vendría dada por: ln 2 1 1 t1 2 = ∝ −0 k A0 t
    24. 24. Ecuación de velocidad deun proceso de orden dos Se puede también considerar el caso de un proceso de orden dos para uno de los reactivos: v aA + bB + cC + ... = P   v = k ⋅ A x B y C z ...  a =1; b = c =.......= 0; x = 2; y = z =...= 0; A En este caso, su ecuación de velocidad vendrá dada por: dA v=− = k ⋅ A2 B 0C 0 ... = k ⋅ A2 1/At dt Pend.=k k At dA t ∫ = − k ∫ dt = − k ⋅ t A partir de la cual se puede calcular su 1 forma integrada: A0 A2 0 A A t At dA 1 t 1 0 1 1 ∫ A0 A2 =− = = − A A0 A At A0 At A0 A0 = A0 1 1 1 + A0 kt 2 1 + A0 kt1 2 At = = + kt = 1+ A0 kt At A0 A0 2 = 1 + A0 kt1 2 Cuya expresión de la vida media puede 1 1 obtenerse de forma análoga a los casos t1 2 = ⇒ t1 2 ∝ 1 anteriores: A0 k A0
    25. 25. Ecuación de velocidad de un proceso de orden uno para dos constituyentes A y B 1/At Hasta ahora solo se han descrito casos en los que solamente intervenían Pend.=kmoléculas de reactivo de un solo tipo. El razonamiento se puede hacer extensivo al kcaso en los que reaccionen moléculas diferentes entre si. Consideremos, porejemplo, el caso siguiente: 1 aA + bB + cC + ... = P Cuya ecuación de  tvelocidad puede v = k ⋅ A x B y C z ...  a =1; b =1 c =.......= 0;expresarse, de forma x = y =1; z =...= 0; Pt dP Pt dP Pt dPimplícita, mediante la ∫ (A P0 0 − P )( B0 − P ) = m⋅∫ P0 ( A − P ) 0 + n⋅∫ P0 ( B − P ) 0 = ktecuación: = m ⋅ ln( A0 − P )( − 1) Pt =0 + n ⋅ ln( B0 − P )( − 1) Pt =0 P P dA dB dP 1 m n v=− =− = = k ⋅ A⋅ B = + 0 0 dt dt dt ( A0 − P )( B0 − P ) ( A0 − P ) ( B0 − P ) = m ⋅ ln( A0 − P ) P P0 = 0 + n ⋅ ln( B0 − P ) P P0 = 0 = ( B0 − P ) ⋅ m + ( A0 − P ) ⋅ n = 1 t t De la que, como en casos m ln A0 − m ln( A0 − Pt ) + n ln B0 − n ln ( B0 − Pt ) si P = B0 ⇒ ( A0 − B0 ) ⋅ n = 1antriores, puede derivarse la forma 1  A0  1  B0 integrada: si P = A0 ⇒ ( B0 − A0 ) ⋅ m = 1 = ln + ln = B0 − A0  A0 − Pt   A −B B −P  0 0  0 t   A = A0 − P B = B0 − P 1 1 luego n = m= 1  A0  1  B0  A0 − B0 B0 − A0 ln dP = k ( A0 − P )( B0 − P ) =  A − P  − B − A ln B − P  = B0 − A0  0 t     0 0  0 t dt dP  A0  Pt t   ∫P0 ( A0 − P )( B0 − P ) = k ∫0 dt = kt = 1 ln  A0 − Pt  = 1 A (B − P) ln 0 0 t = kt B0 − A0  B0  B0 − A0 B0 ( A0 − Pt )  B −P   0 tFinalmente, la concentración de producto puede expresarse como: ( B0 − Pt ) A0 ( A0 − Pt ) B0 = e ( B0 − A0 ) kt ⇒ A0 B0 − Pt A0 = A0 B0 e ( B0 − A0 ) kt − B0 Pt e ( B0 − A0 ) kt Pt = ( A0 B0 1 − e ( B0 − A0 ) kt ) ( A0 B0 1 − e ( B0 − A0 ) kt ) ( A0 − B0 e ( B0 − A0 ) kt ) ( ) ( Pt B0 e ( B0 − A0 ) kt − A0 = A0 B0 e ( B0 − A0 ) kt − 1) ⇒ Pt = ( A0 − B0 e ( B0 − A0 ) kt )
    26. 26. Cálculo de losórdenes de reacción Consiste en determinar cual de las ecuaciones A de velocidad permiten un mejor ajuste de los datos experimentales (en términos, por t lnAt/A0 ejemplo, de coeficiente de correlación). Se Método de emplean para ello las formas integradas. La integración representación frente al tiempo de A (orden t 0); ln(A) (orden 1) o 1/A (orden 2) permiten 1/At obtener formas linearizadas a los que los datos experimentales deben ajustarse en cada caso. t Se puede estimar el tiempo que tarda el reactivo en reducir su concentración a la 1 Método de mitad. Como se ha visto anteriormente, el t1 2 ∝ n −1 La vida media tiempo necesario para que eso ocurra es una función que depende del orden de reacción A0 A partir de la ecuación general de velocidad, y mediante la aplicación de logaritmos, se obtiene la expresión: ln v = Q + n1 ln R1 v = k ∏ Rini lnv i ln v = ln k + n1 ln R1 + n2 ln R2 + ... Método ni logarítmico Manteniendo constantes las concentraciones de todos los reactivos menos uno, se verifica 1 que: ln v = Q + n1 ln R1 lnRi Una recta cuya pendiente coincide con el orden de reacción ni.
    27. 27. Cálculo de las constantes A partir de las formas integradas y A de velocidad Pend=-k linearizadas de las ecuaciones de velocidad se pueden estimar las constantes de velocidad a partir de las pendientes de las rectas t lnAt/A0 Método de obtenidas a partir de los datos Pend=-k integración experimentales. Este método solo es útil para t reacciones sencillas y unidireccionales. En los restantes casos es difícil estimar las 1/At constantes de velocidad a partir de las Método de la respuestas temporales y es necesario recurrir Pend=k velocidad inicial a procedimientos diferentes. t Método Para cualquier reacción real el producto acumulado puede ser siempre logarítmico expresado como una función del tiempo, de acuerdo con una expansión en serie de Taylor, en la que, para intervalos cortos de tiempo, la contribución de los términos de orden elevado es despreciable, por lo que puede serA partir de la forma logarítmica de la ecuación aproximada por los dos primeros términos:general de velocidad, y conociendo los órdenes dereacción de cada reactivo, es posible deducir la X p ( t ) = a0 + a1t + a2t 2 + a3t 3 + ... Si suponemos, por ejemplo,constante de velocidad a partir del punto de corte con una reacción unidireccional, X p ( t ) ≈ a0 + a1t ⇒ dX p dt = a1el eje de ordenadas: ln v = k + n1 ln R1 + ∑ ni ln Ri bimolecular, su velocidad puede ser aproximada, para X 3 ( t ) = X 3 ( 0 ) + kX 1 ( 0 ) X 2 ( 0 ) t i >1 pequeños intevalos de siendo : tiempo, como: a0 = X 3 ( 0 ) a1 = kX 1 ( 0 ) X 2 ( 0 ) lnv Por lo que su velocidad inicial para pequeños dX 3 ( 0 ) dt = kX 1 ( 0 ) X 2 ( 0 ) intervalos de tiempo viene dada por:Ord=lnk+ΣnilnRi En tanto en cuanto las concentraciones no n1 varían sustancialmente de sus valores 1 iniciales, la velocidad se mantiene dX 3 ( 0 ) dt ≈ k ⋅ cte aproximadamente constante e igual a la constante de velocidad k: lnR1
    28. 28. Ecuación de velocidad de un proceso reversible elemental  dA Como último de los ejemplos-modelo elementales, consideraremos ahora el caso de − = k1 A − k 2 B una reacción reversible sencilla del tipo: A ↔ B. Para obtener la ecuación de  dt velocidad se puede partir de la ecuación de velocidad y la de conservación:  A + B = T0 ⇒ B = T0 − A  Para poder llevar a cabola integración de la − dA (k + k ) = k1 A − k 2 ( T0 − A) = k1 A − k 2T0 + k 2 A = ( k1 + k 2 ) A − k 2T0 = ( k1 + k 2 ) A − k 2T0 1 2expresión anterior es dt ( k1 + k2 )necesario, primeramente, dA  kT  dAefectuar la separación de − = ( k1 + k 2 )  A − 2 0  ⇒ −  = ( k1 + k 2 ) dtvariables. dt  ( k1 + k2 )    k 2T0   A−    ( k1 + k2 )   A continuación, se obtiene la forma integrada de la expresión obtenida, k 2T0  k T  ( k1+k2 ) t At = +  A0 − 2 0 e − ( k1 + k2 )  ( k1 + k 2 ) más compleja, como puede verse que los modelos anteriores.   dA dA = ∫ ( k1 + k 2 ) dt ⇒ = ( k1 + k 2 ) t At t At −∫ ∫ A0  k 2T0  0 A0  k 2T0   A−     ( k + k ) − A  ( k1 + k 2 )    1 2   k 2T0 k 2T0 At A0 −A −A ( − 1) ln  k 2T0  − A  k 2T0 = ln  ( k1 + k 2 ) 0 = ( k + k ) t ⇒ ( k1 + k2 ) 0 = e( k1 + k2 ) t    ( k + k ) − A  ⇒ ln  ( k1 + k 2 ) 1 2 A  1 2  At k 2T0 k 2T0 −A −A 0 ( k1 + k 2 ) t ( k1 + k 2 ) t k 2T0 −A ( k1 + k 2 ) 0 = k2T0 − A ⇒ At = k 2T0  kT  ( k1+k2 ) t −  2 0 − A0 e − = k 2T0  k T  ( k1+k2 ) t +  A0 − 2 0 e − e ( k1 + k 2 ) t ( k1 + k2 ) t ( k1 + k 2 )  (k + k )  ( k1 + k 2 )  ( k1 + k2 )   1 2   
    29. 29. Los primeros modelos de Hacia finales de siglo se hizo evidente que cinética enzimática... los modelos convencionales de descripción v de cambio químico resultaban inadecuados para explicar satisfactoriamente el curso de las reacciones bioquímicas de mayor interés S Este curso podía antojarse caprichoso a veces: en ocasiones las velocidades de reacción eran constantes e independientes v de las concentraciones de sustrato. En otras, por el contrario, E la velocidad se hacía linealmente independiente de la S→ P concentración de este último. A veces, incluso, el S comportamiento era diferente aún a los dos anteriores. vEn esta linea, Brown obsevó en 1902 quela velocidad de hidrólisis de la sacarosa acargo de la invertasa (β-fructofuranosidasaen la actualidad) resultaba independiente Sde la concentración de sustrato cuando laconcentración de este se elevabasuficientemente. Establece, por lo tanto, Ál año siguiente, en 1903, Henri formalizó laque el rasgo característico de estas descripción de este mecanismo en términosreacciones es el fenómeno de saturación de de reacciones elementales y comprobó que ella enzima por su sustrato. modelo podía, en efecto, explicar las observaciones experimentales que indicaban a⋅x que la rlación funcional entre concentración y= v de sustrato y velocidad del proceso puede ser b+ x descrito por la ecuación de una hipérbole rectangular. En 1903, y basándose en las ideas anteriores, Michaelis Modelo de y Menten propusieron el formalismo que iba a constituir S el fundamento de la cinética enzimática clásica. Michaelis-Menten
    30. 30. El modelo de Michaelis-Menten de aproximación al equilibrioEn el modelo de Michaelis-Menten se parten de tres postulados fundamentales cuya concordancia vcon los sistemas reales se ha comprobado en numerosos casos, pese a que no son necesariamenteuniversales:1.- Los reactivos y la enzima forman complejos intermediarios en los que solo hay presente unaúnica molécula de esta última. Se trata de un requerimiento que ha sido comprobado reiteradamentey que podría tener carácter general. S2.- El complejo intermediario se descompone lentamente, de modo que la velocidad de la reaccióndepende, precisamente, de la velocidad de descomposición del complejo que, por tal motivo, seencuentra en cuasiequilibrio con la enzima libre y el, o los, sustratos de reacción. Se trata de unacondición mucho más restrictiva, aunque asumible en numerosos casos.3.- La reacción discurre lejos del equilibrio termodinámico, de modo que la reversión de la última k1 k2etapa, esto es, la formación de complejo intermediario a partir de enzima libre y productos de E + S ⇔ ES → E + P k −1reacción, es prácticamente despreciable. Siendo la velocidad: El significado de a y b resulta evidente si se tiene en cuenta que dP v0 = = k 2 [ ES ] el producto de k2/[E]0 es la velocidd máxima del proceso que Donde: dt resulta de emplear en la expresión anterior un valor de S>>b: [ E ] = [ E ] 0 − [ ES ]  si es : [ S ] 0 >> [ ES ] si es [ S ] >> b entonces :  a[ S ] a[ S ] [ S ] = [ S ] 0 − [ ES ]  entonces : [ S ] ≈ [ S ] 0 y [ E ] ≈ [ E ] 0 v0 = ≈ = k 2 [ E ] 0 = Vm Vm [ S ] b + [S] [S] v0 = km + [ S ] Por lo que, en el equilibrio: dP k 2 [ E ] 0 [ S ] V [S] v0 = = = m dt km + [ S ] km + [ S ] k −1 [ E ][ S ] ( [ E ] 0 − [ ES ] ) [ S ] ks = = = k1 [ ES ] [ ES ] Un resultado análogo podría obtenerse a partir de la fracción de saturación: [ ES ] = [ E ] 0 [ S ] ∴ v0 = dP k 2 [ E ] 0 [ S ] = v [ ES ] = [ S ] = [ S ] k s + [ ES ] dt k s + [ ES ] s= = Vm [ ES ] + [ E ] [ S ] + [ E ][ S ] [ S ] + Km donde antes era : a = k 2 [ E ] 0 y b = ks [ ES ]
    31. 31. Significado de la Km en el modelo de La denominada “constante de Michaelis” (Km) es una cantidad cuya estimación Michaelis-Menten es, frecuentemente de gran interés en enzimología. De una parte es una constante característica para cada proceso enzimático y, como tal, invariante respecto de la concentración de enzima o de sustrato. Puede verse afectada, no obstante, por la temperatura, por la composición iónica y por otros diversos factores capaces de modificar la posición de equilibrio del sistema catalizado. Es fácil comprobar que La Km es una constante dimensional es una constante dimensional y que se mide en términos de concentración. que caracteríza al sistema enzimático Resulta inmediato, en efecto, que Km es la concentración de sustrato [S] para la que la velocidad es semi-máxima:Km es la concentración de sustrato para la que la velocidad es semimáxima si es : v0 = Vm ⇒ 1 = [S] ⇒ km = [ S ] 2 2 km + [ S ] siendo : s = 0.5 = [S]Km es la concentración de sustrato para Lo que también puede [ S ] + Kmla que la fracción de saturación vale 0.5 comprobarse fácilmente: se tiene : 0.5 ⋅ K m = 0.5 ⋅ [ S ] luego : K m = [ S ] vKm es una medida inversa de la afinidad Vm de la enzima por su sustrato 1 2 A partir de la definición anterior, para valores más altos de Km son necesarias Km concentraciones mayores de sustrato para alcanzar igual grado de saturación de la enzima. O dicho de otro modo, la afinidad de la enzima por el sustrato será menor. S Km1 Km2
    32. 32. Aproximación al estado estacionario: Modelo de Briggs-Haldane Supongamos un sistema enzimático clásico, con un solo sustrato:El segundo postulado establecido por Michaelis y Menten para desarrollar k1 k2su modelo de catálisis enzimática es significativamente restringido. En E + S ⇔ ES → E + Pmuchos sistemas enzimáticos no es posible asumir la condición de k −1equilibrio entre el complejo enzima-sustrato y las moléculas libres deambas especies moleculares debido a que la velocidad de descomposición En el que puede asumirse la condición dedel complejo, para dar el producto de la reacción es comparable a las estado estacionario para el complejo enzima- sustrato:velocidades de formación y disociación del complejo. En muchos de estos d [ ES ]casos, sin embargo, la reacción transcurre, en buena medida, en estado = 0 = k1 [ E ][ S ] − k −1 [ ES ] − k 2 [ ES ] = dtestacionario. Dicho de otra manera: la velocidad a la que se forma elcomplejo enzima-sustrato es igual a la velocidad a la que se descompone = k1 ( [ E ] 0 − [ ES ] ) [ S ] − k −1 [ ES ] − k 2 [ ES ] =para dar el producto de reacción. Briggs y Haldane, demostraron que el = k1 [ E ] 0 [ S ] − k1 [ ES ][ S ] − k −1 [ ES ] − k 2 [ ES ]modelo clásico de Michaelis-Menten puede extenderse, también, a este k1 luego : [ ES ] = [ E]0 [ S ]tipo de sistemas. k1 [ S ] + k −1 + k 2 d [ P] k1k 2 k2 Sustituyendo ahora el valor obtenido para [ES] = k 2 [ ES ] = [ E]0 [ S ] = [ E]0 [ S ] en la ecuación de velocidad (v=k2[ES]): dt k1 [ S ] + k −1 + k 2 [S] + k −1 + k 2 k1 K2[E]0 es la velocidad máxima de la reacción. Si la porción d [ P] V [S] constante del denominador se engloba en una única constante =v= m dt km + [ S ] que, arbitrariamente, denominaremos km, quedaría, finalmente: Que es una expresión formalmente idéntica a la obtenida por Michaelis y Menten, a partir de la condición de equilibrio. Es importante destacar En general, puede decirse que Km<>Ks, a que, en los sistemas en estado estacionario la composición de la km es menos que sea k –1>>k 2, circunstancia que diferente a la obtenida para los sistemas en equilibrio. En efecto, en este garantiza la condición de cuasiequilibrio último caso, la km coincide con la constante de equilibrio de disociación postulada inicialmente por Michaelis y el complejo enzima-sustrato, en tanto que en el caso más general (el de Menten estado estacionario), la k2 también afecta al valor de la km.
    33. 33. Modelo de Briggs-Haldane para reacciones reversibles. El modelo de aproximación al estado estacionario puede generalizarse a reacciones reversibles, del tipo:Los modelos contemplados hasta ahora suponen que la descomposición k1 k2del complejo en enzima libre y producto es, esencialmente, un proceso E + S ⇔ ES ⇔ E + Pirreversible, bien porque la velocidad del proceso inverso sea muy k −1 k −2pequeña, bien porque se consideren los momentos iniciales y laconcentración de producto sea despreciable. Esta aproximación no es Para obtener la correspondiente ecuación de velocidad se parte,siempre aplicable, sin embargo. Ello sucede en los procesos reversibles, como en casos anteriores, de la condición de estadoen los que sustrato y producto son conceptos meramente subjetivos y estacionario y de la condición de conservación de enzima paradependientes de la dirección arbitrariamente elegida para el proceso. encontrar luego las correspondientes expresiones de [E] y [ES], que serán finalmente sustituidas en la ecuación de velocidad: d [ ES ] [ E ] 0 = [ E ] + [ ES ] = k1 [ E ][ S ] + k −2 [ E ][ P ] − ( k −1 + k 2 ) [ ES ] = 0 ∴ [ E ] ( k1 [ S ] + k − 2 [ P ] ) = ( k −1 + k 2 ) [ ES ] dt [ E ] =  k−1 + k2 [ ES ] ∴ [ E ] 0 =  k−1 + k2 + 1[ ES ] v = − d [ S ] = k1 [ E ][ S ] − k−1 [ ES ]   k [ S ] + k [ P]     k [ S ] + k [ P]    1 −2   1 −2  dt  k −1 + k 2   k1k −1 [ S ] + k1k 2 [ S ]   k1 [ S ]( k −1 + k 2 )  [ E]0 v = k1   k [ S ] + k [ P ] [ ES ][ S ] − k −1 [ ES ] =  k [ S ] + k [ P ] − k −1 [ ES ] =  k [ S ] + k [ P ] − k −1   k + k       =  1   1   1   k [ S ] + k [ P ] + 1 −2 −2 −2 −1 2   1 −2  La expresión obtenida  k1   k −2  es una formulación k2  k + k [ S ] − k −1  k + k [ P ]    [ E ] 0 k1 [ S ]( k−1 + k2 ) − ( k1 [ S ] + k−2 [ P] ) k−1 = [ E ] 0 k1k2 [ S ] − k−1k−2 [ P] = [ E ] 0  −1 2   −1 2  más general del k −1 + k 2 + k1 [ S ] + k −2 [ P ] k −1 + k 2 + k1 [ S ] + k − 2 [ P ]  k1   k −2  modelo, como puede 1+   k + k [ S ] +  k + k [ P ]    comprobarse si se hace  −1 2   −1 2  [P]=0 ó Vmi=0 o si se considera una Kmi Y asumiendo: [ ] d [ ] Vm S Vm P − i muy grande grande [ ] Vm = k 2 E 0 Vm = k −1 E 0 d i [ ] v= Km s Km p frente l producto de k +k k +k 1+ [ S ] + [ P] Vmi .[P] K = −1 2 d m K = −1 2 i m Queda, finalmente: s Km p Km k1 k−2
    34. 34. Extensión del modelo a múltiples complejos intermediarios El modelo puede ser extendido, con pequeñas modificaciones, al caso en que se de más de unLos sistemas enzimáticos en los que se presentan diferentes complejos complejo intermediario con una estabilidadenzima-sustrato con estabilidades suficientemente significativas como significativa. Es decir:para que deban ser tenidos en cuenta, son bastante frecuentes. Talessistemas pueden ser también eficientemente modeladas en términos del k1 k2 k3 kn k n+1formalismo clásico de Michaelis-Menten. E + S ⇔ X 1 ⇔ X 2 ⇔ ...... ⇔ X n ⇔ E + P k −1 k −2 k −3 k −n k −( n+1 ) Donde la ecuación de conservación de la enzima puede Asumiendo que los complejos intermediarios se encuentran en estado ser formulada como. estacionario, la velocidad neta del proceso puede ser calculada como la diferencia entre las velocidades de formación y descomposición de n cualquiera de los complejos. Todos ellos deben ser equivalentes al E0 = E + ∑ X i respecto, puesto que, de lo contrario, se acumularían o eliminarían. i =1 Tomando, por ejemplo, la última de sus etapas: v0 = v+ − v− = k n +1 X n − k −( n +1) [ E ][ P ]  dX n − dt = k n X n −1 − k − n X n = 0 Y empleando el mismo procedimiento que el utilizado anteriormente  − dX n −1 = k X − k para calcular la concentración de cada uno de los complejos en estado − ( n −1) X n −1 = 0  dt n −1 n − 2 estacionario se tendrían n ecuaciones lineales para las n+1 formas de  enzima. Junto a la ecuación de conservación, se tendrían n+1 .............  ecuaciones con n+1 variables, que pueden ser resueltas para Xn y E:  dX 2 − dt = k 2 X 1 − k − 2 X 2 = 0 Sustituyendo en la última ecuación de este sistema los valores encontrados para  cada uno de los intermediarios, se obtiene finalmente la ecuación de velocidad − dX 1 = k [ E ][ S ] − k X = 0 en términos de concentración total de enzima E0, sustrato[S] y producto final  dt 1 −1 1 [P]. En la práctica, cuando el mecanismo de reacción es conocido, es  n generalmente más sencillo obtener la ecuación de velocidad mediante el [ E ] 0 = [ E ] + ∑ X i   i =1 procedimiento desarrollado por King y Altman en 1956 y por Volkenstein y Goldstein en 1966, basado en la denominada “teoría de grafos”.
    35. 35. Método de King y Altman Una forma alternativa a la descrita para encontrar las ecuaciones de1 velocidad en sistemas enzimáticos de cierta complejidad es el denominado método de King y Altman, desarrollado a mediados del Otención de un grafo representativo del proceso siglo XX por varios autores, a parti de la teoría de grafos. El método que incluya todas las posibles formas de enzima resulta particularmente útil para la extensión del método a sistemas y sus correspondientes interconversiones. con más de un complejo intermediario. Se parte del diagrama Supongamos, por ejemplo, un sistema con dos correspondiente, procediendo de acuerdo con las etapas siguientes: intermediarios [ES] y [ES]2: En el grafo se definirán todos los ES1 itinerarios secuenciales que k2 permitan la inter-conversión de k1[S] k -1 k -2 todas las posibles formas de k –1k -2 k 2k 3 k –1k3 k3 enzima y la definición de sus E ES2 velocidades k –3[P] k1 k2 k3 E + S ⇔ ES1 ⇔ ES 2 ⇔ E + P k 1k 3[S] k –2k –3[P] k 1k –2[S] k −1 k −2 k −3 2 Elección de itinerarios convergentes a una k 1k 2[S] k –1k –3[P] k 2k –3[P] única forma de enzima. La suma de velocidades para cada una de las formas de enzima Ei se denomina Σ(Ei) [ ES ] i = ∑ES 3 i Aplicación de las denominadas relaciones de King y [ E ] 0 ∑0 Altman, entre concentraciones y sumas de velocidades para cada una de las formas de enzima

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