matemática financiera

1. 289
SEMINARIO DE ACTUALIZACIÓN CONTABLE
Módulo IV
Matemática Financiera
(8 horas)

2. 290
4.0 INTRODUCCIÓN
La matemática financiera es una aplicación de la matemática a temas relacionados con el “valor del
dinero en el tiempo”, tema que guarda una estrecha relación con la contabilidad, sobre todo en los
temas de financiamiento, inversiones, gastos financieros, ingresos financieros, entre otros.
El concepto de valor del dinero en el tiempo, es un tema importante en las finanzas, ya que el dinero
es un activo que pierde o gana valor al transcurrir el tiempo. Esto significa que el dinero tiene un
costo de oportunidad, pues se puede cobrar o pagar un interés sobre su valor inicial.
4.1 INTERÉS SIMPLE
1. Definiciones Básicas
2. Fórmulas relacionadas
3. Tipos de interés simple
1. DEFINICIONES BÁSICAS
Interés: es la cantidad pagada (costo) por el uso del dinero de terceras personas o instituciones
financieras; o ganada (rendimiento) en una inversión.
Monto pagado por los intermediarios financieros por los dineros
Captados. Tasa de interés pasiva.
Interés
Monto cobrado por los intermediarios financieros por los créditos
Otorgados. Tasa de interés activa.
Interés Simple: Es el costo del dinero que se genera sobre un capital (principal) que permanece
constante durante todo el plazo establecido de la operación. Los intereses devengados en un período
no ganan intereses en el período siguiente.
Fórmula básica: 𝑰 = 𝑪 · 𝒊 · 𝒕 o 𝑰 = 𝑷 · 𝑹 · 𝑻
I= Designa los intereses (monto a pagar o recibir por concepto de intereses). Se expresa en unidades
monetarias (colones, dólares, euros, etc.)
C=Designa el capital (principal, valor presente o valor actual) que se invierte o se solicita en préstamo.
Está expresado en unidades monetarias.
i= Designa la tasa de interés o de rendimiento devengado por unidad de tiempo. Normalmente viene
expresada de forma anual.

3. 291
t= Designa el período o plazo de la transacción. Puede darse en años, meses o días, pero siempre debe
de estar referido a la misma unidad temporal de la variable “i”.
S=Designa el valor futuro o monto acumulado. Es el monto a pagar o recibir una vez que el plazo de
la transacción haya concluido. También se simboliza con las letras F o FV.
El valor futuro o acumulado es el total que se obtiene al sumar el capital y los intereses generados:
S = C + I
2. FÓRMULA RELACIONADAS (Interés Simple)
Fórmulas básicas Fórmulas relacionadas
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 𝐶 =
𝐼
𝑖 · 𝑡
𝑖 =
𝐼
𝐶 · 𝑡
Valor futuro ( S ):
𝑡 =
𝐼
𝐶 · 𝑖
𝑆 = 𝐶 + 𝐼 𝐼 = 𝑆 − 𝐶
𝐶 = 𝑆 − 𝐼
𝑆 = 𝐶 + 𝐶 · 𝑖 · 𝑡
𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖 · 𝑡)
Valor presente ( C ):
𝐶 =
𝑆
1 + 𝑖 · 𝑡
= 𝑆(1 + 𝑖𝑡)−1
EJERCICIOS

4. 292
1. José obtiene de Pedro un Préstamo de ¢500 y al final de un año le paga ¢525. Indique el valor de
I, C y S.
C = ¢500 S= ¢525 I= ¢25
2. Calcule la tasa de interés del ejercicio anterior.
𝑖 =
𝐼
𝐶 · 𝑡
=
25
500 · 1
= 0,05 = 5%
3. Determine el interés simple y el monto acumulado de ¢750 al 4% durante ½ año.
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 = 750 · 0,04 · ½ = 15
𝑆 = 𝐶 + 𝐼 = 750 + 15 = 765.
O bien utilizando la fórmula 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖 ∙ 𝑡)
𝑆 = 750 (1 + 0,04 ∙
1
2
) = 765
4. Determine el interés simple, y el monto acumulado de ¢750 al 4% durante 10 meses.
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 = 750 · 0,04 ·
10
12
= 25
(Se utilizada 𝑡 =
10
12
dado que la tasa es anual)
𝑆 = 775
5. Determine el interés simple y el monto acumulado de ¢900 al 5 % durante 80 días.
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 = 900 · 0,05 ·
80
360
= 10
(Se utilizada 𝑡 =
80
360
dado que la tasa es anual. O bien 𝑡 =
80
365
; según sea el caso)
𝑆 = 910
6. Encontrar el interés simple y el monto acumulado de ¢ 1000.
a) Al 4,5 % durante 1 año b) Al 5,5 % durante 11 meses
c) Al 4% durante 12 meses d) Al 5% durante 95 días

5. 293
Respuestas:
a) I= 45 S= 1045
b) I= 50,42 S= 1050,42
c) I= 40 S= 1040
d) I= 13,19 S= 1013,19
7. Encontrar la tasa de interés de:
a) Un monto de ¢ 2000 que será ¢ 2110 en un año.
𝑖 =
𝐼
𝐶 · 𝑡
=
110
2000 · 1
= 0,055 = 5,5%
b) Un monto de ¢720 que será ¢ 744 en 10 meses.
𝑖 =
𝐼
𝐶 · 𝑡
=
24
720 ·
10
12
= 0,04 = 4%
8. Juan compró un radio en $ 79,95. Dio un anticipo de $ 19,95 y acordó pagar el resto en 3 meses,
más un cargo adicional de $ 2. Calcule la tasa de interés aplicada.
Capital = ¢60 Interés = ¢2 Tiempo = 3 meses
𝑖 =
𝐼
𝐶 · 𝑡
=
2
60 ·
3
12
= 0,1333 = 13,33%
9. ¿En qué tiempo el monto de ¢2000 será de ¢ 2125 al 5% de interés?
C= 2.000 S= 2.125 I= 125 i= 5%
𝑡 =
𝐼
𝐶 · 𝑖
=
125
2000 · 0,05
= 1,25 𝑎ñ𝑜𝑠
(1,25 ·12 = 15 meses = 1 año y 3 meses)
10. ¿En qué tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5% de interés?
𝐶 = 𝑥 𝑆 = 2𝑥 𝐼 = 𝑥 𝑖 = 5%
𝑡 =
𝐼
𝐶 · 𝑖
=
𝑥
𝑥 · 0,05
=
1
0,05
= 20 𝑎ñ𝑜𝑠

6. 294
11. Laura López pide a un banco un préstamo de $100 000 pagaderos en 3 meses a una tasa de interés
simple del 5% ¿Cuánto tendrá que devolver a la entidad bancaria cumplidos los 3 meses?
C = 100 000 i = 0,05 y t =3
𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖 · 𝑡) = 100 000(1 + 0,05 · 3/12) = $101 250
12. El Banco Nacional paga el 5% sobre los depósitos a plazo. ¿Cuál es el pago anual por interés
sobre un depósito de 12 000 colones?
C = 12 000 i = 5% = 0,05 t = 1 año
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 = 12 000 · 0,05 · 1 = ¢600
3. TIPOS DE INTERES SIMPLE
3.1 INTERES SIMPLE ORDINARIO (APROXIMADO)
Se calcula con base en un año comercial de 360 días, donde se supone que cada mes tiene 30 días. Es
el utilizado por los Bancos por representar un interés mayor.
EJERCICIOS
1. Calcular el interés simple ordinario sobre ¢ 2 000 al 5% durante 50 días
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 = 2000 · 0,05 ·
50
360
= 13,89
2. Determine el tiempo aproximado (interés ordinario) transcurrido entre el 25 de enero de 2012 al
15 de mayo del 2012.
Día mes día mes
15 5 45 4
25 1 25 1
20 3 (tres meses y 20 días)
3x 30 = 90 + 20 = 110 días.
O bien, a la fecha más reciente se le resta la más antigua. Luego se multiplican la cantidad de
días por 1; la cantidad de meses por 30 y la cantidad de años por 360; de la siguiente manera:
Día Mes Año
15 5 2012
- 25 - 1 - 2012

7. 295
-10 4 0
x 1 x 30 x 360
-10 días 120 días 0 días
Ahora se suman o se restan los días y se obtiene: -10 + 120 + 0 = 110 días.
3. Determinar el tiempo (ordinario) transcurrido entre el 17 de setiembre de 2011 y el 15 de febrero
2012 y calcular el interés ordinario sobre ¢2 000 al 5% prestado por ese tiempo.
Día mes año día mes año.
15 2 2012 45 13 2011
17 9 2011 17 9 2011
28 4 0 (cuatro meses y 28 días)
4 x 30 = 120 días + 28 = 148 días.
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 = 2 000 · 0,05 ·
148
360
= 41,11
4. El señor Pérez toma prestado 1 000 colones al 12,17% de interés simple ordinario, durante 220
días. ¿Cuánto recibirá el acreedor al finalizar el plazo?
𝐶 = 1000 𝑖 = 0,1217 𝑡 =
220
360
S = C(1 + i · t) = 1000 (1 + 0,1217 ·
220
360
) = 1074,37
3.2 INTERÉS SIMPLE EXACTO
El interés exacto se calcula sobre la base del año natural de 365 días o 366 cuando el año es bisiesto.
EJERCICIOS
1. Calcular el interés exacto sobre ¢ 2 000 invertidos al 5% durante 50 días.
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 = 2 000 · 0,05 ·
50
365
= 13,70
2. Calcular el interés exacto de ¢ 1 500 al 6% del 10 de marzo de 2011 al 21 de mayo de 2011.
Cálculo del tiempo.
Del 10 al 31 de marzo 21 días
Abril 30 días

8. 296
Al 21 de mayo 21 días
Total de días 72 días
𝐼 = 𝐶 · 𝑖 · 𝑡 = 1 500 · 0,06 ·
72
365
= ¢17,75
3. Calcule el interés exacto sobre ¢ 4 000 al 5 % durante 75 días
Respuesta I= ¢49,32
4. Calcular el interés exacto de ¢ 3.000 al 5% del 10 de mayo de 2011 al 20 de octubre 2011.
Respuesta I= ¢66.99
5. Calcular el interés exacto de ¢ 5.000 al 4% del 15 de abril de 2012 al 21 de junio 2012.
Respuesta I= ¢36,71
6. Calcular el interés exacto de ¢ 7.000 al 6% del 1 de junio de 2012 al 21 de noviembre 2012
Respuesta I= ¢199,07

9. 297
4.2 DESCUENTO SIMPLE.
Se le llama también descuento bancario, a diferencia del descuento racional, el monto del descuento
se calcula sobre el valor futuro o valor de vencimiento del documento financiero a descontarse.
Se llama descuento bancario dado que, es el descuento que se aplica por hacer efectivo antes del
vencimiento, un documento que es garantía de una operación de crédito del corto plazo.
Por otra parte, cuando en una operación de crédito se cobran los intereses por adelantado, la tasa de
interés se convierte en una tasa de descuento.
𝑫 = 𝑺 · 𝒅 · 𝒕
D = Representa el monto del descuento a efectuar.
d = Representa la tasa de descuento a utilizar en la operación.
t = Representa el período de tiempo entre la fecha de negociación y la fecha de vencimiento.
C = Representa la cantidad neta recibida al descontar un título valor a una tasa de descuento
comercial.
Fórmulas relacionadas:
𝐶 = 𝑆 − 𝐷 𝐶 = 𝑆 (1 − 𝑑 · 𝑡) 𝑆 =
𝐶
1−𝑑·𝑡
= 𝐶(1 − 𝑑𝑡)−1
EJERCICIOS
1. Hallar el descuento simple sobre una deuda de ¢1.500 con vencimiento en 9 meses a una tasa de
descuento de 6%. ¿Cuál es el valor presente de la deuda?
D = S*d*t = D= 1500*0,06*9/12 = ¢67.50 C = S-D C=1500-67,50 = ¢1.432.50
C = S (1-dt) C= 1.500(1-67.50*9/12)= ¢1.432.50
2. Un Banco carga el 6% de interés por adelantado (6% descuento simple). Si Juan firma un crédito
por un total de ¢2.000 a 5 meses. ¿Qué cantidad recibirá Juan del Banco?
C = S(1-dt) C= ¢1.950
3. Determinar el valor del documento a 5 meses que Juan debe firmar con el objeto de recibir ¢2.000
(hoy), si se aplica una tasa del 6% por adelantado.
S = C = S= 2.000 ¢2.051.28
(1-dt) (1-0,06*5/12)

10. 298
Esto quiere decir que Juan firma el documento por ¢2.051.28, pero el banco le rebaja o le descuenta
un monto de ¢51.28, correspondiente al interés por adelantado.
4. Un banco carga el 6% de interés simple por adelantado (o sea el 6% de descuentos simple), en
préstamos a corto plazo. Determinar la cantidad recibida por una persona que solicita:
A.- ¢1.500 por 60 días B.- ¢1.750 por 6 meses
C.- ¢2.000 por 8 meses D.- ¢1.000 el 1 de marzo al 20 de abril.
A = ¢1.485 B= ¢1.697 C= ¢1.920 D= ¢992.
EL PAGARÉ Y LA LETRA DE CAMBIO
Es una promesa de pago escrita de una determinada cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en
una fecha dada, suscrita por un deudor a favor de un acreedor.
Elementos que intervienen:
 Plazo (t): El tiempo especificado en el documento (años, meses, días)
 Valor Nominal (C): Es la suma estipulada en el documento.
 Fecha de vencimiento: Fecha en que debe ser pagada la deuda.
 Valor de vencimiento (S): Suma a pagar en la fecha de vencimiento.
 Rendimiento financiero (i): pago por el uso del dinero con el tiempo, que es la tasa de interés
cobrada.
DESCUENTO DE DOCUMENTOS
1. Determinar para un pagaré por ¢ 3.000 a 8 meses de vencimiento, con un interés del 4%, el importe
de la venta (descuento) a 5 meses de vencimiento, a una tasa de descuento del 8%.
a. Se calcula el valor del pagaré al vencimiento:
𝐼 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑡 𝐼 = 3.000 ∗ 0.04 ∗
8
12
= ¢80
Valor al vencimiento: S = ¢ 3.000 + 80 = ¢3.080
O bien, aplicando la fórmula para valor futuro del interés simple:
𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖𝑡)
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎
⇒ 𝑆 = 3.000 (1 + 0.04
8
12
) = ¢3.080
El valor futuro o acumulado del documento es de ¢3.080
b. Se calcula el descuento:

11. 299
𝐷 = 𝑆 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎
⇒ 𝐷 = 3.080 ∗ 0.08
5
12
= ¢102.67
Por lo tanto el valor de la venta o valor descontados del documento está dado por
𝐶 = 𝑆 − 𝐷 C = ¢3.080 – 102.67 = ¢2.977.33
O bien, aplicando la fórmula del valor presente de un descuento simple:
𝐶 = 𝑆 (1 − 𝑑 ∗ 𝑡)
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎
⇒ 𝐶 = 3.080 (1 − 0.08
5
12
) = ¢ 2.977.33
Esto quiere decir que el primer acreedor recibirá ¢2.977.33 por descontar o vender el documento 5
meses antes de su vencimiento. Que también representa el monto que pagó el nuevo acreedor por el
documento.
2. Una letra de cambio con un capital de $20.000, con vencimiento a 180 días e intereses del 8%.
Es descontada 80 días antes del vencimiento en un banco que cobra una tasa de descuento del
10%. Determine: a) Cuánto paga el banco por el documento? b) Cuánto es la ganancia del banco
por adquirir el documento? c) Qué tasa de interés se ganó el banco por el descuento?
EJERCICIOS
1. Un pagaré de ¢ 1.000 a tres meses sin intereses, firmado el 6 de mayo fue descontado el 26 de
junio al 6%. ¿Determinar el valor de la transacción?
A.- Cálculo del valor al vencimiento.
Como no tiene interés el valor al vencimiento es de ¢ 1.000
B.- Calculo del descuento.
D = S*d*T = ¢67
Valor de la transacción ¢ 1.000 – 6.67 = ¢993.33
TAMBIÉN
C = S (1-dT) = ¢993.33
2. Un documento por ¢ 2.500 a 6 meses con intereses al 6%, fechado el 20 de marzo, fue descontado
el 7 de julio al 5%. Hallar el importe de la operación.
A.- Calculo del valor al vencimiento.
S = C (1+RT)
B = Cálculo del descuento.
D = SdT
Valor de la transacción S-D

12. 300
TAMBIÉN
C = S (1-dT).
3. Un documento por ¢ 3.000 a 240 días, con intereses al 5%, fechado el 10 de agosto de 2011 fue
descontado el 16 de febrero 2012 al 4%. Hallar el importe de la operación.
R/ C= 3.081,40
4. Un Banco carga el 5% de descuento simple en préstamos a corto plazo. Determine el valor del
documento dado al Banco si el prestatario recibe.
A.- ¢2.500 por 60 días. B.- ¢1.250 por tres meses
R / S= 2.521,01 R/ S= 1.265,82
4.2 INTERÉS COMPUESTO
1. Definición.
2. Fórmula del valor futuro compuesto
3. Valor presente
DEFINICIÓN
Dinero que se paga o se gana sobre un capital que crece, a medida que se le suman los intereses de
periodos anteriores. Es decir, se capitalizan los intereses.
 Puede agregarse al capital, generando un capital cada vez mayor.
 Consecuentemente este capital mayor generará un interés también mayor.
 Este interés mayor se conoce como Interés compuesto. O interés sobre interés.
 La suma final (principal más interés) se conoce como Monto compuesto.
EJERCICIOS.
1.- Hallar el interés simple sobre ¢ 1.000 por 3 años al 5% de interés.
I = C*i*t = 1.000 (0.05) 3 = 150
2.- Hallar el interés compuesto sobre ¢1.000 por 3 años, si el interés del 5% es convertible
anualmente en capital. R/ 157,62
El capital original es 1.000
El interés por un año es 1.000 (0.05) 1= 50,00
El capital al final del año es 1.000 + 50 = 1.050,00
El interés sobre nuevo capital por un año 1.050 (0.05) 1 = 52.50
El capital al final del segundo año es = 1.050 + 52.50 = 1.102.50
El interés sobre un nuevo capital por 1 año 1.102.50 (0.05) 1 = 55.12
El capital al final del 3º año 1.102.50 + 55.12 = 1.157.62
El interés puede ser convertido o capitalizado en capital anualmente, semestralmente, trimestralmente
etc. ¿Cuándo es mejor?

13. 301
PERÍODO DE INTERÉS DE CONVERSIÓN
El período de tiempo entre dos conversiones.
Ejemplo:
Si la tasa es semestral, el período de interés será de 6 meses
Si la tasa es trimestral, el período de interés será de 3 meses.
FRECUENCIA DE CONVERSIÓN O CAPITALIZACIÓN
Es el número de veces que el interés se convierte o capitaliza el capital en un año.
Ejemplo
Si la tasa es semestral, la frecuencia será 2.
Si la tasa es trimestral, la frecuencia será 4
Tasa nominal (J):
Es la tasa anual de interés simple, por lo que no considera las capitalizaciones o pagos de interés sobre
interés.
Es la que se estipula en todas las operaciones y brinda la información de la tasa efectiva. Es
capitalizable o convertible.
Ejemplo 6%. Quiere decir que la tasa es anual.
De otra forma, debe indicarse. Ejemplo: 6% convertible semestralmente.
Tasa efectiva (i):
Es la tasa efectiva por periodo de capitalización, es la tasa compuesta, por lo que considera las
capitalizaciones. Es la que se utiliza para el cálculo de intereses sobre intereses. Es la tasa
capitalizada.
Se obtiene dividiendo la tasa nominal, entre la frecuencia de conversión.
NÚMERO DE PERÍODOS DE CONVERSIÓN O CAPITALIZACIÓN
Es el período de veces que el interés se acumula al capital en toda la transacción.
Se obtiene multiplicando la frecuencia por el número de años.
EJERCICIOS
1. Una cierta cantidad es invertida durante 8.1/2 años, al 7% convertible trimestralmente. Identificar
los elementos importantes.
Capital original = Se conoce
El período de conversión = 3 meses. (Trimestral)
La frecuencia de conversión es = 4 meses
Tasa de interés = 7% anual
Tasa interés por período conversión = Tasa anual de interés

14. 302
Frecuencia de conversión.
Tasa de interés por período conversión = 7% = 0.0175
4
Número de períodos de conversión = (8. ½ x 4) = 34
2. Una cierta cantidad es invertida por 6 años, 7 meses al 6% convertible mensualmente. Hallar la
tasa de interés por periodo de conversión y el número de períodos.
El período de conversión = 1 mes (mensual)
La frecuencia de conversión es = 12 meses
Tasa de interés = 6% anua
Tasa de interés periodo de conversión = 0,5%
Tasa interés por período conversión = Tasa anual de interés
Frecuencia de conversión.
Tasa de interés por período conversión = 6% = 0.05
12
Número de períodos de conversión = (6 x 12) = 72
2. FÓRMULA DEL VALOR FUTURO COMPUESTO
PV = Valor presente, principal, capital que se presta o invierte (C)
FV = Valor futuro o monto a pagar o recibir al vencimiento del plazo (S)
i = Tasa efectiva de interés o de rendimiento por periodo de capitalización, porcentaje.
j = a la tasa de interés nominal anual (a veces también se simboliza con r)
m= al número de periodos de capitalización por año i = j/m
n = número total de periodos de capitalización que existen en el plazo convenido (n = m* años)
(1 + 𝑖)𝑛
= Factor acumulativo del interés compuesto.
Por lo tanto, la fórmula del interés compuesto está dada por:
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽(𝟏 + 𝒊)𝒏
O bien:
𝑺 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏
EJERCICIOS

15. 303
1. Si se invierten ¢1.000 durante 8.1/2 años al 7% convertible trimestralmente. Calcular el número
de períodos de conversión, el interés y el monto compuesto.
n = 8.1/2 x 4 = 34
n
FV= PV (1+i)
34
FV = 1.000 ( 1 + 7% / 4) FV= ¢ 1.803.72
El interés compuesto sería ¢1.803.72 – ¢1.000 = ¢ 803.72
2. ¿Cuál es el valor de ¢2.000 a los 6 años, invertido a una tasa del 4.2%, convertible cada tres meses?
n = 6 x 4 = 24 PV = ¢2.000 i = 4.2% / 4 = 0.0105
n
FV = PV (1 + i )
24
FV = ¢ 2.000 ( 1.0105) FV = 2.569,81
3. ¿Cuál es el valor de ¢ 3.000 a los 7 años, invertidos a una tasa del 5%, convertible cada cuatro
meses?
FV = PV (1 + i )
21
FV = ¢ 3.000 ( 1+5% / 3 ) FV = 4.244,93
3. VALOR PRESENTE
FÓRMULA DEL VALOR PRESENTE
El valor presente, principal o actual de un monto que vence en una fecha futura, es aquel capital que,
una tasa de interés dado, en un periodo de tiempo, alcanzara el valor del monto especificado a la fecha
futura.
El valor presente puede tener condiciones financieras de interés simple o compuesto.
Formula:
𝐶 =
𝑆
(1 + 𝑖)𝑛
= 𝑆(1 + 𝑖)−𝑛
O bien:
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖)𝑛
= 𝐹𝑉(1 + 𝑖)−𝑛

16. 304
PARA CALCULAR LA TASA DE INTERÉS DEL PERIODO (i)=:
√
𝑉𝐹
𝐶
𝑛
− 1 = 𝑖
PARA CALCULAR LA CANTIDAD DE PERIODOS (n)=:
log
𝑉𝐹
𝐶
log (1+𝑖)
= 𝑛
EJEMPLOS:
1. Calcule el valor futuro (a un año) de una inversión de ¢ 100 000 depositados en una cuenta de ahorros
que paga 20% de interés capitalizable semestralmente.
Datos: 𝐶 = 100 000 𝑡 = 2 𝑖 =
20%
2
= 10%
Solución: 𝑉𝐹 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡
= 100 000 · (1 + 0,1)2
= 121 000
2. ¿Cuánto debe invertirse para obtener ¢800 000 en un período de 3 años, a una tasa de interés del 12%
capitalizable mensualmente?
Datos: 𝑉𝐹 = 800 000 𝑡 = 36 𝑖 =
12%
12
= 1%
Solución: 𝐶 = 𝑉𝐹(1 + 𝑖)−𝑡
= 800 000 · (1 + 0,01)−36
= 559 139,96
3. Mariam invirtió ¢600 000 en un depósito a plazo fijo por un período de un año. Al momento de
cumplirse el plazo de la inversión Mariam ganó ₡75 000 por concepto de intereses. Determine la tasa
de interés (compuesto) que fue aplicada, si se sabe que los intereses se capitalizaron mensualmente.
Datos: 𝑉𝐹 = 675 000 𝐶 = 600 000 𝑡 = 12
Solución: 𝑖 = √
𝑉𝐹
𝐶
𝑡
− 1 = √
675 000
600 000
12
− 1 = 0,00986 (mensual)
Al multiplicar este valor por 12 obtenemos una tasa de interés del J(12)=11,83%
4. ¿Cuánto tiempo debe pasar para duplicar el valor de un capital invertido al 9% capitalizable
bimensualmente?
Datos: 𝐶 = 𝑥 𝑉𝐹 = 2𝑥 𝑖 =
9%
6
= 1,5%
Solución: 𝑡 =
log
𝑉𝐹
𝐶
log (1+𝑖)
=
log
2𝑥
𝑥
log (1+0,015)
=
log 2
log1,015
= 46,56 bimestres (aproximadamente 7 años
y 10 meses)

17. 305
PASOS PARA TRABAJAR INTERÉS COMPUESTO EN EXCEL:
1. Ingresar a las funciones Fx , buscar en la ventanilla la categoría “financiera” si la versión es en español o
“financial” si es en inglés, tal y como se presenta:
2. Si se necesita calcular en valor futuro o acumulado, se busca la función VF (en español) o FV (en inglés), tal y
como se presenta:

18. 306
3. Al dar ok, se despliega la siguiente pantalla. Veamos un ejemplo: Se invierte una capital de 300.000 al J (2)
=10%, es decir al 10% capitalizable semestralmente (es decir 5% efectivo semestral), durante año y medio.
Calcular el valor futuro o acumulado.
Tenemos entonces:
Tasa = Rate= 5%
N = NPER= 3 (en año y medio son 3 capitalizaciones semestrales)
VA = PV = -300.000 (el capital siempre se debe de introducir negativo)
Se introducen los datos como sigue:
4. Pulsamos OK, y se obtiene el resultado:

19. 307
De igual forma se puede calcular el valor presente VA para versión en español, PV para versión en inglés: la tasa de interés
efectiva: TASA para versión en español, RATE para versión en inglés y el tiempo N como NPER tanto para la versión en
español, como para la versión en inglés.
Recuerden que la N (periodos de capitalización) siempre coincide con la forma de pago de los intereses, es decir si la tasa
es semestral, la N serán semestres; si la tasa de interés es mensual, la N serán meses, etc.
EJERCICIOS ADICIONALES.
1. Un pagaré de ¢1.200 firmado el 1 de abril con vencimiento en 8 meses y con interés de 5%, es
vendido a José el 14 de julio del mismo año con la base de un rendimiento del 6%.
¿Cuánto paga José por el pagaré? Calcular el valor de vencimiento.
S = C (1+RT)
S = 1200( 1+0,05*8/12) = ¢1.240
Calcular el valor presente de ¢1.240 al 6% (por el importe que falta)
C = S .
1+RT
C= _____1.240___ =1.212.32
1+0,06*137/360

20. 308
2. ¿Cuál es el valor presente de un pagaré de $100 que vence en 150 días si la tasa de descuento es
de 25% anual?
Se tiene que:
S= 100 d= 0,25 t = 150/360
P = S(1 − d ∗ t)
P = 100(1 − (0,25)(
150
360
))
P =89,58
3. El 10 de julio un deudor firma un pagaré por $1000 a 5 meses, con 14% de interés, el 18 de octubre
el acreedor del pagaré lo vende a un banco, que descuenta pagarés a una tasa de interés simple de
15%, con base en la información calcule los ingresos por la venta.
Se tiene que:
P= 1000, d= 0,14 y t = 5/12
S = 1000(1 + (0,14)(5/12)
S = 1000(1 − (0,14)(
5
12
))
El valor del pagaré al vencimiento es: S =1058,33
Ahora se tiene que
S = 1058,33, d =0,15 y t= 53/360
P = S(1 + r ∗ t)−1
P = 1058,33(1 + (0,15) (
53
360
))−1
Ingresos al 18 de Octubre P = 1035,46
4. Un pagaré a 10 meses por ¢ 3.000 al 6%, es suscrito el día de hoy. Determinar su valor dentro de
4 meses (valor presente a los 4 meses), suponiendo un rendimiento de 7%.
R/ C = 3.043,48
5. Un pagaré a 11 meses por ¢3.500 al 5%, es suscrito el día de hoy. Determinar su valor dentro de
5 meses, suponiendo un rendimiento del 6%.
R/ C= 3.553,80
6. Un pagaré de $ 1.500 firmado el 1 de mayo con vencimiento en 9 meses, y con interés de 5%, es
vendido a Pedro el 15 de octubre del mismo año, con un rendimiento del 7%. ¿Cuánto paga Pedro
por el pagaré?
R/ C= 1.524,82