El documento describe las propiedades de los grafos hamiltonianos y eulerianos. Un grafo es hamiltoniano si tiene un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez. Un grafo es euleriano si cada vértice tiene un grado par. Se presentan varios teoremas relacionados con las condiciones necesarias para que un grafo sea hamiltoniano o euleriano.

1. Grafos
eulerianos
condiciones necesarias para que un
grafo sea hamiltoniano.
• debe ser conexo.
• no puede tener vértices de grado 1
• Si S es un subconjunto del conjunto
de vértices de un grafo G,
escribimos G − S para designar el
subgrafo que aparece al eliminar
todos los vértices de S y aristas
adyacentes
Hamiltonianos
Definición
Son aquellos que pueden
recorrerse completamente desde
un vértice y regresar al punto de
origen sin pasar dos veces por la
misma arista.
Definición
Es un camino de un grafo, una
sucesión de aristas adyacentes,
que visita todos los vértices del
grafo una sola vez. Si además el
último vértice visitado es
adyacente al primero, el camino es
un ciclo hamiltoniano.
Teorema general.
Sea un grafo G=<V,A> no dirigido y
conexo, entonces las expresiones
siguientes equivalen:
1. G es grafo euleriano.
2. Todos sus vértices tienen grado par
no nulo.
Teorema de Ore y Dirac
Si G es un grafo conexo, simple y sin lazos
con n vértices, con n ≥ 3, en el cual grado(u)
+ grado(v) ≥ n para todo par de vértices no
adyacentes u, v, entonces G es hamiltoniano.
Si G es un grafo conexo, simple, sin lazos y
con n vértices en el cual grado(u) ≥ n/2 para
todo vértice u, entonces G es hamiltoniano.8​
Teorema de Bondy-Chvátal
Un grafo es hamiltoniano si y sólo si lo es su
clausura.
Propiedades
Un grafo conexo y no dirigido se
dice que es euleriano si cada
vértice tiene un grado par.
Un grafo no dirigido es euleriano
si es conexo y si se puede
descomponer en uno con los
vértices disjuntos.
Si un grafo no dirigido G es
euleriano entonces su gráfo-línea
L(G) se dice que es también
euleriano.
Ejemplo