Mic sesión 8b

MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN
CUANTITATIVA
Sesión 8b
ANOVA DE UN FACTOR
FÁTIMA PONCE REGALADO 1

2
PUNTOS A TRATAR
Sesión 8b: ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)
DE UN FACTOR
Qué es y Cuándo se usa?
Planteamiento de hipótesis
Estadístico F
Ejercicio.
FÁTIMA PONCE REGALADO

3FÁTIMA PONCE REGALADO
INTRODUCCIÓN
 Hasta ahora se estudió la teoría general de las pruebas
de hipótesis, analizando el caso en que se seleccionó
una muestra de una población.
 Se utilizó la distribución Z (normal estándar) o la
distribución t para determinar si era razonable concluir
que la media poblacional ó la proporción poblacional era
igual a un valor especificado.
 Ahora se verá una prueba que compara en forma
simultanea varios promedios para determinar si
provienen de poblaciones iguales (ANOVA).

ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)
 Prueba estadística empleada cuando se quiere comparar
más de 2 grupos y la variable de estudio es numérica.
 Estudia la influencia de un determinado factor o grupo de
factores (variables cualitativas) sobre una variable respuesta
(variable numérica).
 Permite hacer inferencias acerca de si nuestras muestras se
tomaron de poblaciones que tienen la misma media.
 Por ejemplo, se quisiera comparar:
 El kilometraje logrado por 4 tipos diferentes de gasolina.
 Los ingresos del primer año de los graduados de 5 escuelas de
gestión.
 Tiempo para llegar a la universidad debido al tipo de transporte
empleado.

ANOVA DE UN FACTOR ó UNIFACTORIAL
 Es el modelo lineal en el que la variable analizada la
hacemos depender de un sólo factor.
 De tal manera que las causas de su variabilidad son
englobadas en un componente aleatorio que se denomina
error experimental o muestral.
 ANOVA permite decidir si los distintos niveles del factor
establecen diferentes subpoblaciones en la respuesta o,
por el contrario, el comportamiento de ésta es la misma
para todos los niveles y se tiene una única población.
 Estudiaremos ANOVA de un factor.

SUPUESTOS DEL ANOVA
 Supuestos:
Cada muestra se toma de una población normal.
Muestras son independientes.
C/u de estas poblaciones tiene la misma varianza, 2.
Pero, si los tamaños de muestra son lo suficientemente
grandes, no se requiere el supuesto de normalidad.
Cuando se cumplen estas condiciones, se emplea la
F como la distribución del estadístico de prueba.

Se emplea cuando:
 Queremos ver los efectos de una variable cualitativa (o
factor X) sobre una variable cuantitativa Y.
 Quisiéramos saber si entre Y e X hay relación o no.
ANOVA DE UN FACTOR
Nota en el curso / cercanía a la pizarra
Tiempo de cura / medicamento utilizado
Productividad del trabajador / turno
Ingreso familiar / categoría de colegio
Monto del préstamo / ubicación de la empresa
Ejemplos:
Y: variable respuesta (numérica)
X: factor (cualitativa)

¿Son independientes Y y X?
¿Hay relación entre Y y X?
 ¿Hay diferencias significativas en el valor de Y, según
que X tome uno u otro valor?
¿Influye X en el valor de Y?
¿Hay diferencias en los valores de Y, entre los distintos
grupos determinados por X?
X
Factor
Variable independiente
(v. cualitativa)
Y
Variable respuesta,
Variable dependiente
(v. cuantitativa)
¿QUÉ PREGUNTAS PUEDO HACER SOBRE LA
RELACIÓN DE DOS VARIABLES USANDO ANOVA?

X (factor)
Y (respuesta)
1 2 3
µ1
µ2
µ3
Niveles de factor
Media de Y en
cada nivel de
factor
GRAFICAMENTE
X: factor (cualitativa) con tres niveles
Muestra agrupadas en los tres niveles

EJEMPLO ANOVA DE UN FACTOR
 Imaginen que dicto en un salón a 13 estudiantes y los
separo en 3 grupos bajo el criterio de lejanía de la
pizarra (distancia cercana, mediana, lejana).
 El problema que se plantea es analizar si los
distintos niveles del factor bajo estudio
(X=distancia a la pizarra) influyen de igual forma en
la variable respuesta (Y=nota del curso).
 Debemos ver si:
¿Y, X guardan relación?.
¿Hay diferencias significativas en Y según distintos
valores de X?

X=distancia
Y=nota
1 2 3
µ1
µ2
µ3
µ
Media global
EJEMPLO GRÁFICO
X: factor (cualitativa) con tres niveles
Muestra de 13 observaciones agrupadas en los 3 niveles

H0: µ1= µ2= µ3 (promedios iguales)
H1: No todas las medias son iguales ó Por lo menos
una µi es distinta
Rechazar H0 equivale a
encontrar dependencia
entre X e Y.
¿CUÁL ES LA HIPÓTESIS A EVALUAR?
H0 equivale a decir que:
Y, X son independientes;
Y, X no guardan relación;
X no influye en el valor de Y.
 La mejor estrategia para contrastar la H0 es La
Descomposición de la varianza total de los datos.
Si el valor de X no guarda relación con el de Y ¿cómo
deberían ser las Notas promedios µ1, µ2, µ3?: IGUALES.

EJEMPLO Podríamos tener:
PRUEBA ANOVA: Determinar si las medias muestrales
provienen de una sola población o de poblaciones con medias
diferentes.
(a) Medias no son iguales
(Hay un efecto del factor en
la nota)
cerca
medio
lejos cerca
medio
lejos
Nota Nota
(b) Medias son iguales (No
hay relación entre el factor
X y la nota Y).

 Descomposición de la varianza total (VT) de los datos en 2:
- Variación entre muestras o Inter ó Entre-grupos,
cuantifica la dispersión de las medias de las muestras
con respecto a la media global (SCE).
- Variación dentro de las muestras o Intra-Dentro de los
grupos, cuantifica la dispersión de los valores de cada
muestra con respecto a sus correspondientes medias.
ELEMENTOS DE LA DESCOMPOSICIÓN
DE LA VARIACIÓN

En el ejemplo: El problema es analizar si los distintos
niveles del factor bajo estudio (X= distancia a la pizarra)
influyen de igual forma en la respuesta (Y=nota).
 Para resolver el problema se propone descomponer la
varianza de la respuesta (varianza total = SCT) en 2 partes:
La originada por el factor bajo estudio (X) = Variación
Explicada por el factor = (SCE)
 La producida por el resto de factores, conocidos o no,
denominado error experimental o en la muestra =
(SCR).
DE LA VARIACIÓN

Sean:
Variación Total = SCT: Suma de cuadrados totales.
Variación explicada= SCE: suma de cuadrados explicados por
el factor (por X).
Variación residual= SCR: Suma de cuadrados de los residuos.
Donde:
Residuo o error experimental = σ
Número de niveles o tratamientos del factor = t (en ejemplo=3)
DE LA VARIACIÓN
SCT = SCE + SCR

Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Varianzas ó
cuadrados
medios
Cociente
F
Tratamientos
(Entre-
grupos)
SCE
t – 1
t = n° de
tratamientos
s2
E=SCE/(t-1)
Error
(Dentro del
grupo)
SCR n – t s2
R=SCR/(n-t)
Total
(Var. Total) SCT n-1
22
ˆ/ˆ RE ss
tntRE Fss  ,1
22
ˆ/ˆ
TABLA ANOVA
Rechazamos H0 si p-valor de F < nivel
de significancia ().
Efecto del factor
Efecto del error

EJERCICIO
 Desde hace algún tiempo las aerolíneas han reducido sus
servicios, como alimentos y bocadillos durante sus vuelos.
Hace poco un grupo de 4 aerolíneas (A,B,C y D) contrató a
una encuestadora para encuestar a sus pasajeros sobre la
adquisición de boletos, abordaje y servicio durante el vuelo,
entre otros, etc.
Hicieron 25 preguntas con diversas respuestas posibles:
excelente (=4), bueno (=3), regular (=2) o deficiente (=1).
Estas respuestas se sumaron, de modo que la calificación
final fue una indicación de la satisfacción con el vuelo. La
calificación mayor posible fue 100.

EJERCICIO
 La encuestadora seleccionó y estudio al azar pasajeros de
las 4 aerolíneas:
 Hay alguna diferencia en el nivel de satisfacción medio
entre las 4 aerolíneas? Use α = 0.01.
A B C D
94 75 70 68
90 68 73 70
85 77 76 72
80 83 78 65
88 80 74
68 65
65

EJERCICIO
 Paso 1: Formule las hipótesis. La hipótesis nula es que
las calificaciones medias son iguales para las 4 aerolíneas.
 Paso 2: Seleccione el nivel de significancia: 0.01.
H0: µ1= µ2= µ3 = µ4
H1: No son todas iguales
 Paso 3: Determine el estadístico de prueba.
SCE / (t-1) s2
E
F = ----------------- = ------
SCR / (n-t) s2
R
tntRE Fss  ,1
22
ˆ/ˆ

EJERCICIO
 Paso 4: Formule la regla de decisión. Se necesita el valor
critico.
grados de libertad en el numerador= t – 1 = 4 – 1 = 3
t = numero de tratamientos = 4
grados de libertad en el denominador = n – t = 22-4 =18
n = numero total de observaciones = 22
 Paso 5: Tome una decisión.
Es conveniente resumir los cálculos del estadístico F en una
tabla ANOVA.

Ejercicio Empleando Excel
 Para emplear ANOVA DE UN FACTOR ir a la opción Datos
y buscar Análisis de datos. Seleccionar Análisis de
varianza de un factor y saldrá esta ventana:
Definir el
alfa
0.01

EJERCICIO
Análisisdevarianzadeunfactor
RESUMEN
Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza
A 4 349 87.25 36.916667
B 5 391 78.2 58.7
C 7 510 72.85714286 30.142857
D 6 414 69 13.6

Fest > FcríticoRechazar H0 ó
ANÁLISISDEVARIANZA
Origendelas
variaciones
Sumade
cuadrados
Gradosde
libertad
Promediodelos
cuadrados F Probabilidad
Valorcrítico
paraF
Entregrupos 890.6837662 3 296.8945887 8.9906433 0.000742769 5.091889521
Dentrodelosgrupos 594.4071429 18 33.02261905
Total 1485.090909 21
Efecto del factor
Efecto del error
 No todas las medias poblacionales son iguales. Las
calificaciones medias no son iguales para las 4 aerolíneas.
Hay una diferencia en las medias del tratamiento, no se puede
determinar cuales ni cuantos grupos de tratamientos difieren.
Prob < 0.01  Rechazar H0

ANOVA: ESTADISTICO F
Rechazar H0: Hay
diferencia en las medias
Aceptar H0 : µ1=µ2=µ3=µ4
Valor crítico
F5%
(t-1, n-t) =(3,18)= 5.09
=0.01
Festimado= 8.99
prob=0.0007

Levin, R. y Rubin, D. (2010). Cap. 11 (11.4).
McDaniel, Carl y Roger Gates (2010). Cap 8.
BIBLIOGRAFIA

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