Metodos Numericos. Calculo 4. Exelente material para practicar metodos numericos. Hecho por el ing. Ruben Zarate Rojas

1. Índice
1. SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
• Método Jacobi.................................................................................................... 2
• Método de Gauss – Seidel................................................................................. 4
2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
• Método de las Aproximaciones Sucesivas......................................................... 6
• Método Newton – Raphson ............................................................................... 8
• Método de la Bisección...................................................................................... 10
• Método de la Falsa Posición.............................................................................. 12
3. INTERPOLACION Y APROXIMACION
• Interpolación de Newton.................................................................................... 14
• Polinomio de Lagrange...................................................................................... 16
4. INTEGRACION NUMERICA
• Método de los Rectángulos................................................................................ 18
• Método de los Trapecios.................................................................................... 18
• Método de Simpson ½........................................................................................18
• Método de Simpson ¾........................................................................................18
5. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
• Método de Euler................................................................................................. 20
• Método de Heun ................................................................................................ 22
• Método de Runge – Kutta de Cuarto Orden ..................................................... 24
• Método de Milne ................................................................................................ 26
• Método de Hamming ..........................................................................................27
• Método de Milne Modificado...............................................................................28
• Método de Hamming Modificado........................................................................ 29

2. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 2
MÉTODO DE JACOBI
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 = b1
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 = b2
a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 = b3
k 0 1
x1 0,00 (b1-a12*X2
(0)
-a13*X3
(0)
) / a11
x2 0,00 (b2-a21*X1
(0)
-a23*X3
(0)
) / a22
x3 0,00 (b3-a31*X1
(0)
-a32*X2
(0)
) / a33
La matriz A debe ser de diagonal estrictamente dominante.
|a11| > |a12| + |a13|
|a22| > |a21| + |a23|
|a33| > |a31| + |a32|

3. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 3
MÉTODO DE JACOBI
Ejemplo 1
Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Jacobi. Usar en los
cálculos tres cifras decimales de aproximación
4 X1 -1 X2 0 X3 = 2
-1 X1 4 X2 -1 X3 = 6
0 X1 -1 X2 4 X3 = 2
k x1 x2 x3
0 0,000 0,000 0,000
1 0,500 1,500 0,500
2 0,875 1,750 0,875
3 0,938 1,938 0,938
4 0,984 1,969 0,984
5 0,992 1,992 0,992
6 0,998 1,996 0,998
7 0,999 1,999 0,999
8 1,000 2,000 1,000
9 1,000 2,000 1,000
k 2
x1 (2-(-1)*1,500-0*0,500) / 4
x2 (6-(-1)*0,500-(-1)*0,500) / 4
x3 (2-0*0,500-(-1)*1,500) / 4
x1 x2 x3
1,000 2,000 1,000

4. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 4
MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 = b1
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 = b2
a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 = b3
k 0 1
x1 0,00 (b1-a12*X2
(0)
-a13*X3
(0)
) / a11
x2 0,00 (b2-a21*X1
(1)
-a23*X3
(0)
) / a22
x3 0,00 (b3-a31*X1
(1)
-a32*X2
(1)
) / a33
La matriz A debe ser de diagonal estrictamente dominante.
Converge más rápido que Jacobi.

5. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 5
MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
Ejemplo 1
Resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Seidel.
Usar en los cálculos tres cifras decimales de aproximación
4 X1 -1 X2 0 X3 = 2
-1 X1 4 X2 -1 X3 = 6
0 X1 -1 X2 4 X3 = 2
k x1 x2 x3
0 0,000 0,000 0,000
1 0,500 1,625 0,906
2 0,906 1,953 0,988
3 0,988 1,994 0,999
4 0,999 1,999 1,000
5 1,000 2,000 1,000
6 1,000 2,000 1,000
k 1
x1 (2-(-1)*0-0*0) / 4
x2 (6-(-1)*0,5-(-1)*0) / 4
x3 (2-0*0,5-(-1)*1,625) / 4
k 2
x1 (2-(-1)*1,625-0*0,906) / 4
x2 (6-(-1)*0,906-(-1)*0,906) / 4
x3 (2-0*0,906-(-1)*1,953) / 4
x1 x2 x3
1,00 2,00 1,00

6. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 6
MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
F(x) = 0
x F(x)
0 -
1 -
2 -
3 -
4 +
5 +
x = x+F(x) = f(x)
a
b
xn+1 = f(xn)
x0 (a+b)/2
x1 f(xo)
x2 f(x1)
x3 f(x2)
:
xn
xn+1
| f '(x) | < 1 Condición de convergencia

7. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 7
MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
EJEMPLO 1
Resolver la ecuación log(x
2
+ 2) + x - 5 = 0, con tres cifras decimales
de aproximación, empleando el método de Aproximaciones
Sucesivas.
F(x)= log(x^2 + 2) + x - 5 = 0
x F(x)
0 -4,70
1 -3,52
2 -2,22
3 -0,96
4 0,26
5 1,43
f(x)= 5 - log(x^2 + 2) = x
f'(x)= - 1 / (x^2 + 2) * 2 * x * log e
f'(3,5)= -0,213
a 3
b 4
xn+1 = f(xn)
x0 3,500 (3+4)/2
x1 3,846 5 - log(3,500^2 + 2)
x2 3,775 5 - log(3,846^2 + 2)
x3 3,789 5 - log(3,775^2 + 2)
x4 3,786 5 - log(3,789^2 + 2)
x5 3,787 5 - log(3,786^2 + 2)
x6 3,787 5 - log(3,787^2 + 2)

8. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 8
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
F(x)= 0
x F(x)
1 -
2 -
3 +
F'(x)=
a
b
xn+1 = xn - F(xn)/F'(xn)
x0 =(a+b)/2
x1 = x0 - F(x0)/F'(x0)
x2 = x1 - F(x1)/F'(x1)
x3 = x2 - F(x2)/F'(x2)
xn
xn+1
x= xn+1

9. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 9
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
EJEMPLO 1
Resolver la ecuación 2
x
- 4x = 0, con dos cifras decimales de aproximación,
empleando el método de Newton Raphson.
F(x)= 2x
- 4x = 0
x F(x)
0 1,00
1 -2,00
2 -4,00
F'(x) = 2x
*ln2 - 4
a = 0
b = 1
xn+1 = xn - F(xn)/F'(xn)
x0 0,50 = (0+1)/2
x1 0,31 =0,5-(2^0,5-4*0,5)/(2^0,5*LN(2)-4)
x2 0,31 =0,31-(2^0,31-4*0,31)/(2^0,31*LN(2)-4)
x = 0,31

10. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 10
MÉTODO DE LA BISECCIÓN
f(x)= 0
m = (an + bn) / 2
Si f(an) f(m) < 0 an+1 = an raíz en intervalo izquierdo
bn+1 = m
Si f(an) f(m) > 0 bn+1 = bn raíz en intervalo derecho
an+1 = m
Si f(an) f(m) = 0 x = m
Iteración a f(a) b f(b) m f(m)
1
2
3
n 0
x = m

11. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 11
MÉTODO DE LA BISECCIÓN
EJEMPLO 1
Determinar la raíz de la ecuación x3
- x - 1 = 0 en [1 ; 2], empleando el método
de la bisección. Usar en los cálculos cuatro cifras decimales de aproximación.
f(x)= x^3 - x -1 = 0 (1,2)
Iteración a f(a) b f(b) m f(m)
1 1,0000 -1,0000 2,0000 5,0000 1,5000 0,8750
2 1,0000 -1,0000 1,5000 0,8750 1,2500 -0,2969
3 1,2500 -0,2969 1,5000 0,8750 1,3750 0,2246
4 1,2500 -0,2969 1,3750 0,2246 1,3125 -0,0515
5 1,3125 -0,0515 1,3750 0,2246 1,3438 0,0826
6 1,3125 -0,0515 1,3438 0,0826 1,3281 0,0146
7 1,3125 -0,0515 1,3281 0,0146 1,3203 -0,0187
8 1,3203 -0,0187 1,3281 0,0146 1,3242 -0,0021
9 1,3242 -0,0021 1,3281 0,0146 1,3262 0,0062
10 1,3242 -0,0021 1,3262 0,0062 1,3252 0,0020
11 1,3242 -0,0021 1,3252 0,0020 1,3247 0,0000
x = 1,3247
a1 = 1
f(a1) = 1^3 - 1 - 1 = -1
b1 = 2
f(b1) = 2^3 - 2 - 1 = 5
m = (1 + 2) / 2 = 1,5
f(m) = 1,5^3 - 1,5 - 1 = 0,8750

12. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 12
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
f(x)= 0
m = (f(bn) an - f(an) bn) / (f(bn) - f(an))
Si f(an) f(m) < 0 an+1 = an
bn+1 = m
Si f(an) f(m) > 0 bn+1 = bn
an+1 = m
Si f(an) f(m) = 0 x = m
Iteración a f(a) b f(b) m f(m)
1
2
3
n 0
x = m

13. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 13
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
EJEMPLO 1
Determinar la raíz de la ecuación x
3
- x - 1 = 0 en [1 ; 2], empleando el método
de la falsa posición. Usar en los cálculos cuatro cifras decimales de
aproximación.
f(x)= x^3 - x -1
Iteración a f(a) b f(b) m f(m)
1 1,0000 -1,0000 2,0000 5,0000 1,1667 -0,5787
2 1,1667 -0,5787 2,0000 5,0000 1,2531 -0,2854
3 1,2531 -0,2854 2,0000 5,0000 1,2934 -0,1295
4 1,2934 -0,1295 2,0000 5,0000 1,3113 -0,0566
5 1,3113 -0,0566 2,0000 5,0000 1,3190 -0,0243
6 1,3190 -0,0243 2,0000 5,0000 1,3223 -0,0104
7 1,3212 -0,0148 2,0000 5,0000 1,3232 -0,0063
8 1,3232 -0,0063 2,0000 5,0000 1,3241 -0,0027
9 1,3241 -0,0027 2,0000 5,0000 1,3245 -0,0011
10 1,3245 -0,0011 2,0000 5,0000 1,3246 -0,0005
11 1,3246 -0,0005 2,0000 5,0000 1,3247 -0,0002
12 1,3247 -0,0002 2,0000 5,0000 1,3247 -0,0001
13 1,3247 -0,0001 2,0000 5,0000 1,3247 0,0000
x = 1,3247
a1 = 1
f(a1) = 1^3 - 1 - 1 = -1
b1 = 2
f(b1) = 2^3 - 2 - 1 = 5
m = (5 x 1 - (-1) x 2) / (5 - (-1)) = 1,6667
f(m) = 1,6667^3 - 1,6667 - 1 = -0,5787

14. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 14
Interpolación de Newton
Tabla de de diferencias finitas
i X Y ∆Y ∆
2
Y ∆
3
Y ∆
4
Y
0 X0 Y0
1 X1 Y1 Y1-Y0
2 X2 Y2 Y2-Y1 ∆Y1-∆Y0
3 X3 Y3 Y3-Y2 ∆Y2-∆Y1 ∆Y
2
1-∆Y
2
0
4 X4 Y4 Y4-Y3 ∆Y3-∆Y2 ∆Y
2
2-∆Y
2
1 ∆Y
3
1-∆Y
3
0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n 1
k 0
2 n
0
h x x
k x x /h
k k 1 k k 1 k 2 k n 1k
y y y y y
1! 2! n!
−= −
= −
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅⋅⋅ − +
= + ⋅∆ + ⋅∆ +⋅⋅⋅+ ⋅∆

15. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 15
Interpolación de Newton
Ejemplo 1
Para la función definida en la tabla, determinar el valor de Y para x=3,2 , con tres
decimales de aproximación.
Xi Yi
0 2
2 8
4 62
6 212
8 506
10 992
X 3,2
i Xi Yi ∆Y ∆
2
Y ∆
3
Y
1 0 2
2 2 8 6
3 4 62 54 48
4 6 212 150 96 48
5 8 506 294 144 48
6 10 992 486 192 48
h= 2
k= 0,6 =(3,2-2)/2
Y= 31,568 =8+0,6/1*54+0,6*(0,6-1)/2*96+0,6*(0,6-1)*(0,6-2)/6*48

16. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 16
Interpolación de Lagrange
X
i Xi Yi X-Xi X1-Xi X2-Xi X3-Xi … Xn-Xi Lk Lk x Yk
1
2
3
:
n
Π Σ
n
i
k
i 1 k i
i k
n
k k
k 1
x x
L (x)
x x
P(x) y L
=
≠
=
−
=
−
= ⋅
∏
∑

17. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 17
Interpolación de Lagrange
Ejemplo 1
Para la función definida en la tabla, determinar el valor de Y para x=2 , con cuatro
decimales de aproximación.
Xi Yi
0 2
1 3
4 18
6 38
X 2
i=k Xi Yi X-Xi X1-Xi X2-Xi X3-Xi X4-Xi Lk Lk x Yk
1 0 2 2 1 4 6 -0,3333 -0,6667
2 1 3 1 -1 3 5 1,0667 3,2000
3 4 18 -2 -4 -3 2 0,3333 6,0000
4 6 38 -4 -6 -5 -2 -0,0667 -2,5333
Π 16 -24 15 -24 60 Σ 6

18. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 18
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
F(x) = y
xn yn
x0 y0
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
x6 y6
n
a
b
h =(b-a)/n
TRAPECIO
I1/2 =h/2*(y0+y6+2*(y1+y2+y3+y4+y5))
SIMPSON 1/3
I1/3 =h/3*(y0+y6+2*(y2+y4)+4*(y1+y3+y5))
SIMPSON 3/8
I3/8 =3h/8*(y0+y6+2*(y3)+3*(y1+y2+y4+y5))

19. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 19
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
EJEMPLO 1
Calcular el valor de la integral definida, aplicando la fórmula de los trapecios para n = 6,
con cuatro decimales de aproximación.
F(x)= (x3
-12*x2
-4*x+336)/48
n xn yn
0 2 6
1 4 4
2 6 2
3 8 1
4 10 2
5 12 6
6 14 14
n= 6
a= 2
b= 14
h= 2 =(14-2)/6
TRAPECIO
I= 50 =2/2*(6+14+2*(4+2+1+2+6))
SIMPSON 1/3
I= 48 =2/3*(6+14+2*(2+2)+4*(4+1+6))
SIMPSON 3/8
I= 48 =2*3/8*(6+14+2*1+3*(4+2+2+6))
14 3 2
2
x 12x 4x 336
dx
48
− − +
∫

20. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 20
MÉTODO DE EULER
y ' = f(x , y)
yn+1= yn + h f(xn , yn)
x0 : abscisa inicial
y0 : ordenada inicial
h : paso
n xn yn
0 x0 y0
1 x1 y1
2 x2 y2
: : :
n xn yn

21. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 21
MÉTODO DE EULER
Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial de y(0)=2, calcular el valor
de la solución de esta ecuación para el valor de x=1 utilizando el método de EULER.
yn+1= yn + h f(xn , yn)
y ' = y - x
h = 0,1
n xn yn
0 0 2,0000
1 0,1 2,2000 y1 =2+0,1*(2-0)
2 0,2 2,4100 y2 =2,2+0,1*(2,2-0,1)
3 0,3 2,6310 y3 =2,41+0,1*(2,41-0,2)
4 0,4 2,8641 y4 =2,631+0,1*(2,631-0,3)
5 0,5 3,1105 y5 =2,8641+0,1*(2,8641-0,4)
6 0,6 3,3716 y6 =3,1105+0,1*(3,1105-0,5)
7 0,7 3,6487 y7 =3,3716+0,1*(3,3716-0,6)
8 0,8 3,9436 y8 =3,6487+0,1*(3,6487-0,7)
9 0,9 4,2579 y9 =3,9436+0,1*(3,9436-0,8)
10 1 4,5937 y10 =4,2579+0,1*(4,2579-0,9)

22. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 22
MÉTODO DE HEUN
y ' = f(x , y)
yn+1,p= yn + h f(xn , yn) Predictor
yn+1,c= yn + h/2 (f(xn , yn)+ f(xn+1 , yn+1,p)) Corrector
yn+1= yn + h/2 (f(xn , yn) + f(xn + h , yn + h f(xn , yn))
x0 : abscisa inicial
y0 : ordenada inicial
h : paso
n xn yn
0 x0 y0
1 x1 y1
2 x2 y2
: : :
n xn yn

23. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 23
MÉTODO DE HEUN
Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial de y(0)=2, calcular el valor de la
solución de esta ecuación para el valor de x=1 utilizando el método de HEUN.
yn+1= yn + h/2 (y'n + f(xn + h , yn + h y'n))
y ' = y - x
h = 0,1
n xn yn
0 0 2,0000
1 0,1 2,2050 y1 =2+0,1/2*((2-0)+(2+0,1*(2-0)-0,1))
2 0,2 2,4210 y2 =2,205+0,1/2*((2,205-0,1)+(2,205+0,1*(2,205-0,1)-0,2))
3 0,3 2,6492 y3 =2,421+0,1/2*((2,421-0,2)+(2,421+0,1*(2,421-0,2)-0,3))
4 0,4 2,8909 y4 =2,6492+0,1/2*((2,6492-0,3)+(2,6492+0,1*(2,6492-0,3)-0,4))
5 0,5 3,1474 y5 =2,8909+0,1/2*((2,8909-0,4)+(2,8909+0,1*(2,8909-0,4)-0,5))
6 0,6 3,4204 y6 =3,1474+0,1/2*((3,1474-0,5)+(3,1474+0,1*(3,1474-0,5)-0,6))
7 0,7 3,7116 y7 =3,4204+0,1/2*((3,4204-0,6)+(3,4204+0,1*(3,4204-0,6)-0,7))
8 0,8 4,0228 y8 =3,7116+0,1/2*((3,7116-0,7)+(3,7116+0,1*(3,7116-0,7)-0,8))
9 0,9 4,3562 y9 =4,0228+0,1/2*((4,0228-0,8)+(4,0228+0,1*(4,0228-0,8)-0,9))
10 1 4,7141 y10 =4,3562+0,1/2*((4,3562-0,9)+(4,3562+0,1*(4,3562-0,9)-1))

24. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 24
RUNGE - KUTTA
y ' = f(x , y)
x0=
y0=
h=
k1= f(xn , yn)
k2= f(xn+h/2 , yn + h k1/2)
k3= f(xn+h/2 , yn + h k2/2)
k4= f(xn+h , yn + h k3)
φ= (k1 + 2 k2+2 k3 + k4)/6
yn+1= yn + h φ
n xn yn k1 k2 k3 k4 φn
0
1
2
3
:
n

25. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 25
RUNGE - KUTTA
Dada la ecuación diferencial y'=y-x, bajo la condición inicial de y(0)=2, h=0,1 ,
calcular el valor de la solución de esta ecuación para el valor de x=1
utilizando el método de RUNGE KUTTA, con 4 cifras decimales de
aproximación.
k1= f(xn , yn)
k2= f(xn+h/2 , yn + h k1/2)
k3= f(xn+h/2 , yn + h k2/2)
k4= f(xn+h , yn + h k3)
φ= (k1 + 2 k2+2 k3 + k4)/6
yn+1= yn + h φ
y ' = y - x
h= 0,1
n xn yn k1 k2 k3 k4 φn
0 0,00 2,0000 2,0000 2,0500 2,0525 2,1053 2,0517
1 0,10 2,2052 2,1052 2,1604 2,1632 2,2215 2,1623
2 0,20 2,4214 2,2214 2,2825 2,2855 2,3500 2,2846
3 0,30 2,6499 2,3499 2,4174 2,4207 2,4919 2,4197
4 0,40 2,8918 2,4918 2,5664 2,5701 2,6488 2,5690
5 0,50 3,1487 2,6487 2,7312 2,7353 2,8222 2,7340
6 0,60 3,4221 2,8221 2,9132 2,9178 3,0139 2,9163
7 0,70 3,7138 3,0138 3,1144 3,1195 3,2257 3,1179
8 0,80 4,0255 3,2255 3,3368 3,3424 3,4598 3,3406
9 0,90 4,3596 3,4596 3,5826 3,5887 3,7185 3,5868
10 1,00 4,7183
k1= =2-0
k2= =(2+0,1*2/2)-(0+0,1/2)
k3= =(2+0,1*2,05/2)-(0+0,1/2)
k4= =(2+0,1*2,0525)-(0+0,1)
φ= =(2+2*2,05+2*2,0525+2,1053)/6
y1= =2+0,1*2,0517

26. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 26
MILNE
yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn)
yn+1,c= yn-1 + 1/3 h ( fn-1 + 4 fn+ fn+1,p)
y ' = 1/2 (1 + x) y
2
= f (x,y)
h= 0,1
n xn yn,p fn,p yn,c fn,c
0 0,00 1,000000 0,500000
1 0,10 1,055409 0,612638
2 0,20 1,123596 0,757481
3 0,30 1,208459 0,949243
4 0,40 1,315504 1,211386 1,315791 1,211913
5 0,50 1,454015 1,585620 1,454543
y4,p= y0 + 4/3 h (2 f1 - f2 + 2 f3)
y4,p= 1+4/3*0,1*(2*0,612638-0,757481+2*0,949243) =1,315504
f4,p= 0,5 (1 + x4) y4,p^2
f4,p= 0,5*(1+0,4)*1,315504^2 =1,211386
y4,c= y2 + 1/3 h ( f2 + 4 f3+ f4,p)
y4,c= 1,123596+1/3*0,1*(0,757481+4*0,949243+1,211386) =1,315791
f4,c= 0,5 (1 + x4) y4,c^2
f4,c= 0,5*(1+0,4)*1,315791^2 =1,211913
y5,p= y1 + 4/3 h (2 f2 - f3 + 2 f4)
y5,p= 1,055409+4/3*0,1*(2*0,757481-0,949243+2*1,211913) =1,454015
f5,p= 0,5 (1 + x5) y5,p^2
f5,p= 0,5*(1+0,5)*1,454015^2 =1,585620
y5,c= y3 + 1/3 h ( f3 + 4 f4 + f5,p)
y5,c= 1,208459+1/3*0,1*(0,949243+4*1,211913+1,58562) =1,454543

27. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 27
MILNE MODIFICADO
yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn)
yn+1,m= yn+1,p + 28/29 ( yn - yn,p)
yn+1,c= yn-1 + 1/3 h ( fn-1 + 4 fn+ fn+1,m)
y ' = 1/2 (1 + x) y
2
h= 0,1
n xn yn,p fn,p yn,m fn,m yn,c fn,c
0 0,00 1,000000 0,500000
1 0,10 1,055409 0,612638
2 0,20 1,123596 0,757481
3 0,30 1,208459 0,949243
4 0,40 1,315504 1,211386 1,315791 1,211913
5 0,50 1,454015 1,585620 1,454292 1,586223 1,454563
y4,p= y0 + 4/3 h (2 f1 - f2 + 2 f3)
y4,p= 1+4/3*0,1*(2*0,612638-0,757481+2*0,949243) =1,315504
f4,p= 0,5 (1 + x4) y4,p^2
f4,p= 0,5*(1+0,4)*1,315504^2 =1,211386
y4,c= y2 + 1/3 h ( f2 + 4 f3+ f4,p)
y4,c= 1,123596+1/3*0,1*(0,757481+4*0,949243+1,211386) =1,315791
f4,c= 0,5 (1 + x4) y4,c^2
f4,c= 0,5*(1+0,4)*1,315791^2 =1,211913
y5,p= y1 + 4/3 h (2 f2 - f3 + 2 f4)
y5,p= 1,055409+4/3*0,1*(2*0,757481-0,949243+2*1,211913) =1,454015
f5,p= 0,5 (1 + x5) y5,p^2
f5,p= 0,5*(1+0,5)*1,454015^2 =1,585620
y5,m= y5,p + 28/29 ( y4 - y4,p)
y5,m= 1,454015+0,96551724137931*(1,315791-1,315504) =1,454292
f5,m= 0,5 (1 + x4) y4,c^2
f5,m= 0,5*(1+0,5)*1,454292^2 =1,586223
y5,c= y3 + 1/3 h ( f3 + 4 f4+ f5,m)
y5,c= 1,208459+1/3*0,1*(0,949243+4*1,211913+1,586223) =1,454563

28. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 28
HAMMING
yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn)
yn+1,c= 1/8 (9 yn - yn-2)+ 3/8 h ( fn+1,p + 2 fn - fn-1)
y ' = 1/2 (1 + x) y
2
h= 0,1
n xn yn,p fn,p yn,c fn,c
0 0,00 1,000000 1,000000 0,500000
1 0,10 1,055409 1,055409 0,612638
2 0,20 1,123596 1,123596 0,757481
3 0,30 1,208459 1,208459 0,949243
4 0,40 1,315504 1,211386 1,315805 1,211940
5 0,50 1,454022 1,585635 1,454591
y4,p= y0 + 4/3 h (2 f1 - f2 + 2 f3)
y4,p= 1+4/3*0,1*(2*0,612638-0,757481+2*0,949243) =1,315504
f4,p= 0,5 (1 + x4) y4,p^2
f4,p= 0,5*(1+0,4)*1,315504^2 =1,211386
y4,c= 1/8 (9 y3 - y1)+ 3/8 h (- f2 + 2 f3+ f4,p)
y4,c= 1/8*(9*1,208459-1,055409)+3/8*0,1*(-0,757481+2*0,949243+1,211386) =1,315805
f4,c= 0,5 (1 + x4) y4,c^2
f4,c= 0,5*(1+0,4)*1,315791^2 =1,211940
y5,p= y1 + 4/3 h (2 f2 - f3 + 2 f4)
y5,p= 1,055409+4/3*0,1*(2*0,757481-0,949243+2*1,21194) =1,454022
f5,p= 0,5 (1 + x5) y5,p^2
f5,p= 0,5*(1+0,5)*1,454022^2 =1,585635
y5,c= 1/8 (9 y4 - y2)+ 3/8 h (- f3 + 2 f4 + f5,p)
y5,c= 1/8*(9*1,315805-1,123596)+3/8*0,1*(-0,949243+2*1,21194+1,585635) =1,454591

29. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 29
HAMMING MODIFICADO
yn+1,p= yn-3 + 4/3 h (2 fn-2 - fn-1+2 fn)
yn+1,m= yn+1,p + 112/121 ( yn - yn,p)
yn+1,c= 1/8(9yn - yn-2)+ 3/8 h ( fn+1,m + 2 fn - fn-1)
y ' = 1/2 (1 + x) y
2
h= 0,1
n xn yn,p fn,p yn,m fn,m yn,c fn,c
0 0,00 1,000000 0,500000
1 0,10 1,055409 0,612638
2 0,20 1,123596 0,757481
3 0,30 1,208459 0,949243
4 0,40 1,315504 1,211386 1,315805 1,211940
5 0,50 1,454022 1,585635 1,454300 1,586242 1,454614
y4,p= y0 + 4/3 h (2 f1 - f2 + 2 f3)
y4,p=
1+4/3*0,1*(2*0,612638-
0,757481+2*0,949243) =1,315504
f4,p= 0,5 (1 + x4) y4,p^2
f4,p= 0,5*(1+0,4)*1,315504^2 =1,211386
y4,c= 1/8 (9 y3 - y1) + 3/8 h (- f2 + 2 f3 + f4,p)
y4,c= 1/8*(9*1,208459-1,055409)+3/8*0,1*(-0,757481+2*0,949243+1,211386) =1,315805
f4,c= 0,5 (1 + x4) y4,c^2
f4,c= 0,5*(1+0,4)*1,315805^2 =1,211940
y5,p= y1 + 4/3 h (2 f2 - f3 + 2 f4)
y5,p= 1,055409+4/3*0,1*(2*0,757481-0,949243+2*1,21194) =1,454022
f5,p= 0,5 (1 + x5) y5,p^2
f5,p= 0,5*(1+0,5)*1,454022^2 =1,585635
y5,m= y5,p + 112/121 ( y4 - y4,p)
y5,m= 1,454022+112/121*(1,315805-1,315504) =1,454300
f5,m= 0,5 (1 + x4) y4,c^2
f5,m= 0,5*(1+0,5)*1,4543^2 =1,586242
y5,c= 1/8 (9 y4 - y2) + 3/8 h (- f3 + 2 f4 + f5,p)
y5,c= 1/8*(9*1,315805-1,123596)+3/8*0,1*(-0,949243+2*1,21194+1,586242) =1,454614

30. CÁLCULO NUMÉRICO
Ing. Rubén Zárate Rojas 30
Bibliografía
1.- Métodos Numéricos
Rodolfo Luthe – Antonio Olivera – Fernando Schutz
Limusa
2.- Métodos Numéricos para Ingeniería
Steven Chapra – Raymond Canale
Mc Graw Hill
3.- Análisis Numérico
W. Allen Smith
Prentice Hall
4.- Métodos Numéricos
Terrence Akai
Limusa Wiley
5.- Análisis Numérico con aplicaciones
Curtis Gerald – Patrick Wheatley
Prentice Hall
6.- Métodos Numéricos aplicados en Ingeniería.
Jean Marie Ledanois – Aura López de Ramos – José Pimentel – Filipo Piranti
Mc Graw Hill
7.- Métodos Numéricos con MATLAB
John Mathews – Kurtis Fink
Pearson Prentice Hall
8.- Problemas de Cálculo Numérico para ingenieros con aplicaciones Matlab.
Sánchez – Souto
Mc Graw Hill